PAGE（時(shí)間：100分鐘滿分：100分）一、選擇題（每小題2分，共20分）1.（2012·寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝eq\f(2,3)，則BC的長(zhǎng)為 （）A.4 B.2eq\r(5)C.eq\f(18\r(13),13) D.eq\f(12\r(13),13)解析∵cosB＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,3)，∵AB＝6，∴CB＝eq\f(2,3)×6＝4.答案A2.先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹(shù)，要求相鄰兩樹(shù)之間的水平距離為5米，那么這兩樹(shù)在坡面上的距離AB為 （）A.5cosα B.eq\f(5,cosα)C.5sinα D.eq\f(5,sinα)解析利用銳角三角函數(shù)解答，在以AB邊為斜邊的直角三角形中，cosα＝eq\f(5,AB)，因此AB＝eq\f(5,cosα).答案B3.（2012·衢州）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ACB＝30°，則sin∠AOB的值是 （）A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),3)解析∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).答案C4.（2012·濟(jì)南）如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為 （）A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.3解析由圖形知：tan∠ACB＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案A5.（2012·襄陽(yáng)）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，李明利用一根栓有小錘的細(xì)線和一個(gè)半圓形量角器制作了一個(gè)測(cè)角儀，去測(cè)量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD.如圖，已知小明距假山的水平距離BD為12m，他的眼睛距地面的高度為1.6m，李明的視線經(jīng)過(guò)量角器零刻度線OA和假山的最高點(diǎn)C，此時(shí)，鉛垂線OE經(jīng)過(guò)量角器的60°刻度線，則假山的高度為 （）A.（4eq\r(3)＋1.6）m B.（12eq\r(3)＋1.6）mC.（4eq\r(2)＋1.6）m D.4eq\r(3)m解析∵BD＝12米，李明的眼睛高AB＝1.6米，∠AOE＝60°，∴DB＝AK，AB＝KD＝1.6米，∠CAK＝30°，∴tan30°＝eq\f(CK,AK)＝eq\f(CK,12)，解得CK＝4eq\r(3)（米），即CD＝CK＋DK＝4eq\r(3)＋1.6＝（4eq\r(3)＋1.6）米.答案A6.（2012·杭州）若兩圓的半徑分別為2cm和6cm，圓心距為4cm，則這兩圓的位置關(guān)系是 （）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.外切 D.外離解析∵兩圓的半徑分別為2cm和6cm，圓心距為4cm.則d＝6－2＝4，∴兩圓內(nèi)切.故選B.答案B7.如圖，已知BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A、C在⊙O上，eq\a\vs4\al(⌒,AB)＝eq\a\vs4\al(⌒,BC)，∠AOB＝60°，則∠BDC的度數(shù)是（）A.20° B.25°C.30° D.40°解析∵eq\a\vs4\al(⌒,AB)＝eq\a\vs4\al(⌒,BC)，∠AOB＝60°，∴∠BDC＝eq\f(1,2)∠AOB＝30°.故選C.答案C8.（2012·紹興）如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是：甲：（1）作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)，（2）連接AB，AC，BC，△ABC即為所求的三角形.乙：（1）以D為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn).（2）連接AB，BC，CA.△ABC即為所求的三角形.對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷 （）A.甲、乙均正確 B.甲、乙均錯(cuò)誤C.甲正確、乙錯(cuò)誤 D.甲錯(cuò)誤、乙正確解析根據(jù)甲的思路，作出圖形如圖：連接OB，∵BC垂直平分OD，∴E為OD的中點(diǎn)，且OD⊥BC，∴OE＝DE＝eq\f(1,2)OD，又OB＝OD，在Rt△OBE中，OE＝eq\f(1,2)OB，∴∠OBE＝30°，又∠OEB＝90°，∴∠BOE＝60°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∠BOE為△AOB的外角，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°，同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，∴△ABC為等邊三角形，故甲作法正確；根據(jù)乙的思路，作圖如圖：連接OB，BD，∵OD＝BD，OD＝OB，∴OD＝BD＝OB，∴△BOD為等邊三角形，∴∠OBD＝∠BOD＝60°，又BC垂直平分OD，∴OM＝DM，∴BM為∠OBD的平分線，∴∠OBM＝∠DBM＝30°，又OA＝OB，且∠BOD為△AOB的外角，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，同理∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC為等邊三角形，故乙作法正確，故選A.答案A9.（2012·臺(tái)州）如圖，點(diǎn)A、B、C是⊙O上三點(diǎn)，∠AOC＝130°，則∠ABC等于 （）A.50° B.60°C.65° D.70°解析∵∠AOC＝130°，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝65°.故選C.答案C10.（2012·深圳）如圖，⊙C過(guò)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi)弧OB上一點(diǎn)，∠BMO＝120°，則⊙C的半徑長(zhǎng)為 （）A.6 B.5C.3 D.3eq\r(2)解析∵∠BMO與∠BAO兩個(gè)圓周角所對(duì)弧是一個(gè)圓，∴∠BMO＋∠BAO＝180°，∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOB＝90°，∴∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∴OA＝3，∴AB＝2OA＝6，∴⊙C的半徑長(zhǎng)為eq\f(AB,2)＝3.故選C.答案C二、填空題（每小題2分，共20分）11.（2012·泉州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上點(diǎn)D′時(shí)，則AD′＝，∠AD′B＝.解析∵AD＝2，∴AD＝AD′＝2，在Rt△ABD′中，∵AB＝1，AD′＝2，∴AB＝eq\f(1,2)AD′＝1，∴∠AD′B＝30°.答案230°12.（2012·南京）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm.若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為cm.（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解析過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝eq\f(CE,OE)≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為2.7cm.答案2.713.（2012·咸寧）如圖，某公園入口處原有三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺(tái)階改為斜坡，設(shè)臺(tái)階的起點(diǎn)為A，斜坡的起始點(diǎn)為C，現(xiàn)設(shè)計(jì)斜坡BC的坡度i＝1∶5，則AC的長(zhǎng)度是cm.解析過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，根據(jù)題意得：AD＝2×30＝60（cm），BD＝18×3＝54（cm），∵斜坡BC的坡度i＝1∶5，∴BD∶CD＝1∶5，∴CD＝5BD＝5×54＝270（cm），∴AC＝CD－AD＝270－60＝210（cm）.∴AC的長(zhǎng)度是210cm.答案21014.（2012·揚(yáng)州）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，如果eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，那么tan∠DCF的值是.解析四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，∵將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，∴CF＝BC，∵eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(CD,CF)＝eq\f(2,3)，設(shè)CD＝2x，CF＝3x，∴DF＝eq\r(CF2－CD2)＝eq\r(5)x，∴tan∠DCF＝eq\f(DF,CD)＝eq\f(\r(5)x,2x)＝eq\f(\r(5),2).答案eq\f(\r(5),2)15.（2012·衡陽(yáng)）已知⊙O的直徑等于12cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.解析根據(jù)題意，得該圓的半徑是6cm，即大于圓心到直線的距離5cm，則直線和圓相交，故直線l與⊙O的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選C.答案216.（2012·臺(tái)州）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝16厘米，則球的半徑為厘米.解析取EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取球心為點(diǎn)O，連接OF，設(shè)OF＝x，則OM＝16－x，MF＝8，在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2即：（16－x）2＋82＝x2，解得：x＝10答案1017.（2012·肇慶）扇形的半徑是9cm，弧長(zhǎng)是3πcm，則此扇形的圓心角為度.解析根據(jù)l＝eq\f(nπr,180)有eq\f(nπ×9,180)＝3π，解得：n＝60.答案6018.（2012·張家界）已知圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)都是10cm，則圓錐的側(cè)面積為.解析∵底面圓的半徑為5cm，則底面周長(zhǎng)為10πcm，∴圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×10π×10＝50πcm2.答案50πcm219.（2012·襄陽(yáng)）如圖，從一個(gè)直徑為4eq\r(3)dm的圓形鐵皮中剪出一個(gè)圓心角為60°的扇形ABC，并將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面半徑為dm.解析如圖，作OD⊥AC于點(diǎn)D，連接OA，∴∠OAD＝30°，AC＝2AD，∴AC＝2OA×cos30°＝6∴eq\f(60π×6,180)＝2πr∴圓錐的底面圓的半徑為2π÷（2π）＝1.答案120.（2012·揚(yáng)州）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠P的度數(shù)是.解析連接OA，OB，如圖所示：∵PA、PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∵圓心角∠AOB與圓周角∠ACB都對(duì)弧AB，且∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，則∠P＝360°－（90°＋90°＋140°）＝40°.答案40°三、解答題（共60分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟）21.（8分）（1）（2012·麗水）計(jì)算：2sin60°＋|－3|－eq\r(12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1).解原式＝2×eq\f(\r(3),2)＋3－2eq\r(3)－3＝－eq\r(3)22.（8分）（2012·臺(tái)州）如圖，為測(cè)量江兩岸碼頭B、D之間的距離，從山坡上高度為50米的A處測(cè)得碼頭B的俯角∠EAB為15°，碼頭D的俯角∠EAD為45°，點(diǎn)C在線段BD的延長(zhǎng)線上，AC⊥BC，垂足為C，求碼頭B、D的距離（結(jié)果保留整數(shù)）（tan15°＝0.27）.解∵AE∥BC，∴∠ADC＝∠EAD＝45°.又∵AC⊥CD，∴CD＝AC＝50.∵AE∥BC，∴∠ABC＝∠EAB＝15°.又∵tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)，∴BC＝eq\f(AC,tan15°)≈185.2.∴BD＝185.2－50≈135（米）.23.（8分）（2012·衡陽(yáng)）如圖，一段河壩的橫截面為梯形ABCD，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出壩底寬AD.（i＝CE∶ED，單位：m）解作BF⊥AD于點(diǎn)F.則BF＝CE＝4m，在直角△ABF中，AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\r(52－42)＝3m，在直角△CED中，根據(jù)i＝eq\f(CE,DE)，則ED＝eq\f(CE,i)＝eq\f(4,\f(1,\r(3)))＝4eq\r(3)m.則AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋4eq\r(3)＝（7.5＋4eq\r(3)）m.24.（8分）（2012·廣安）如圖，2012年4月10日，中國(guó)漁民在中國(guó)南海黃巖島附近捕魚(yú)作業(yè)，中國(guó)海監(jiān)船在A地偵查發(fā)現(xiàn)，在南偏東60°方向的B地，有一艘某國(guó)軍艦正以每小時(shí)13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚(yú)的中國(guó)漁民，此時(shí)，C地位于中國(guó)海監(jiān)船的南偏東45°方向的10海里處，中國(guó)海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度趕往C地救援我國(guó)漁民，能不能及時(shí)趕到？（eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)＝2.45）.解過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵∠CAD＝45°，AC＝10海里，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD＝eq\r(\f(AC2,2))＝eq\r(\f(102,2))＝5eq\r(2)（海里），在Rt△ABD中，∵∠DAB＝60°，∴BD＝AD·tan60°＝5eq\r(2)×eq\r(3)＝5eq\r(6)（海里），∴BC＝BD－CD＝（5eq\r(6)－5eq\r(2)）海里，∵中國(guó)海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度航行，某國(guó)軍艦正以每小時(shí)13海里的速度航行，∴海監(jiān)船到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間t＝eq\f(AC,30)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)（小時(shí)）；某國(guó)軍艦到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間i＝eq\f(BC,13)＝eq\f(5（\r(6)－\r(2)）,13)≈eq\f(5（2.45－1.41）,13)＝0.4（小時(shí)），∵eq\f(1,3)＜0.4.∴能及時(shí)趕到.答中國(guó)海監(jiān)船能及時(shí)趕到.25.（8分）（2012·聊城）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島岸邊P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖）.小船從P處出發(fā)，沿北偏東60°劃行200米到達(dá)A處，接著向正南方向劃行一段時(shí)間到達(dá)B處.在B處小亮觀測(cè)媽媽所在的P處在北偏西37°方向上，這時(shí)小亮與媽媽相距多少米（精確到米）？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73）解作PD⊥AB于點(diǎn)D，由已知得PA＝200米，∠APD＝30°，∠B＝37°，在Rt△PAD中，由cos30°＝eq\f(PD,PA)，得PD＝PAcos30°＝200×eq\f(\r(3),2)＝100eq\r(3)米，在Rt△PBD中，由sin37°＝eq\f(PD,PB)，得PB＝eq\f(PD,sin37°)≈eq\f(100×1.73,0.6)≈288米.答小亮與媽媽的距離約為288米.26.（10分）（2012·自貢）如圖AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C.（1）若AB＝2，∠P＝30°，求AP的長(zhǎng)；（2）若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線.（1）解∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°；又∵AB＝2，∠P＝30°，∴AP＝eq\f(AB,tan∠P)＝eq\f(2,\f(\r(3),3))＝2eq\r(3)，即AP＝2eq\r(3).（2）證明如圖，連接OC，OD、AC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是