專題1.1集合【清單01】集合與元素1.含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.2.元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A【清單02】集合中元素的特征（1）確定性（2）互異性（3）無序性（4）廣泛性【清單03集合的表示法1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.2.描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.3.區(qū)間法：（1）一般區(qū)間的表示．設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間__[a，b]__{x|a＜x＜b}開區(qū)間__(a，b)__{x|a≤x＜b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]（2）特殊區(qū)間的表示.定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.【清單04】集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，空集可以看成含0個元素，故空集是有限集.【清單05】集合間的基本關(guān)系1.子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA2.?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3．已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.【清單06】集合的基本運算1.交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且（1）（2）（3），并集或（1）（2）（3），補集（1）（2）2．A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B．【清單07】常用數(shù)集及其關(guān)系表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.【考點題型一】集合的基本概念【例1】（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）下列命題中正確的（

）A．與表示同一個集合；B．方程的所有解的集合可表示為；C．由3，4，5組成的集合可表示為或；D．很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合．【變式1-1】（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）關(guān)于的方程的解集可能是（

）A．空集 B．單元素集合 C． D．【變式1-2】（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．聯(lián)合國所有常任理事國（共5個）組成一個集合B．朝陽中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個集合C．與是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5組成的集合有六個元素【變式1-3】（多選）（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）下列說法正確的有（

）A．某校高一年級視力差的學(xué)生可以構(gòu)成一個集合B．集合與集合是相同的集合C．由，，，，這些數(shù)組成的集合有4個元素D．在平面直角坐標(biāo)系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限內(nèi)所有的點組成的點集，可以表示成集合【變式1-4】（多選）（24-25高一上·重慶·開學(xué)考試）下列說法正確的有（

）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是B．由1，2，3組成的集合可表示為或C．方程的解集是D．若集合中的元素是的三邊長，則一定不是等腰三角形【考點題型二】元素與集合【例2】（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知集合，若，則（

）A． B．C． D．不屬于M，Q，P中的任意一個【變式2-1】（24-25高一上·海南儋州·階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的個數(shù)為（）①，②，③，④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-2】（24-25高一上·天津東麗·期中）下列關(guān)系中，正確的是（

）A． B．C． D．【變式2-3】（24-25高一上·天津南開·期中）給出下列關(guān)系：①；②；③；④；⑤.其中錯誤的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2-4】（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，則1與集合的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【考點題型三】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【例3】（24-25高一上·山東·期中）設(shè)集合，，已知且，則a的取值集合為.【變式3-1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或【變式3-2】（24-25高一上·重慶渝北·期中）已知集合，若，則的值為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3-4】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，則實數(shù).【考點題型四】子集、真子集的個數(shù)問題【例4】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合滿足，則符合條件的集合有個.【變式4-1】（24-25高一上·廣西北海·期中）已知集合滿足，則不同的的個數(shù)為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式4-2】（24-25高一上·山東泰安·期中）已知集合，則的子集個數(shù)為（

）A．8 B．16 C．32 D．64【變式4-3】（24-25高一上·天津·期中）已知，它的非空真子集的個數(shù)為.【變式4-4】（24-25高一上·廣東佛山·期中）集合的子集個數(shù)為．【考點題型五】包含關(guān)系的判斷【例5】（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）已知集合，，，則M，N，P的關(guān)系（

）A． B．C． D．【變式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合，，則集合M與N的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合，，則與之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式5-4】（24-25高一上·重慶·期中）下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【考點題型六】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【例6】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，，且，求m的取值范圍．【變式6-1】（24-25高三上·山西長治·階段練習(xí)）設(shè)集合，，若，則（

）A．3 B．1 C．0 D．【變式6-2】（24-25高一上·江蘇揚州·期中）已知為常數(shù)，集合，集合，且，則的所有取值構(gòu)成的集合元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式6-3】（多選）（24-25高一上·河北保定·期中）設(shè)集合，，且，則實數(shù)a的值可以是（

）A．2 B．1 C． D．0【變式6-4】（24-25高一上·廣東湛江·期中）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為.【考點題型七】集合的相等【例7】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【變式7-1】（24-25高一上·安徽阜陽·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【變式7-2】（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）下列說法中不正確的是（）A．集合中有兩個元素B．集合中沒有元素C．D．與是不同的集合【變式7-3】（多選）（24-25高一上·貴州·階段練習(xí)）下列關(guān)于集合的說法不正確的有（

）A．B．任何集合都是它自身的真子集C．若（其中），則D．集合與是同一個集合【變式7-4】（多選）（24-25高一上·廣東陽江·期中）下列各組中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【考點題型八】根據(jù)集合相等求參數(shù)【例8】（24-25高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知，，若集合，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【變式8-1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，，若，則等于（

）A．或 B．或C． D．【變式8-2】（24-25高一上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知集合，若，則（

）A． B．2 C． D．6【變式8-3】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知集合，，若，則實數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C．1或3 D．3【變式8-4】（24-25高三上·河南·期中）已知集合，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考點題型九】集合的基本運算【例9】（24-25高一上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知全集，，，或求(1)(2)(3)【變式9-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式9-2】（24-25高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式9-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，，，則（

）A． B．C． D．【變式9-4】（24-25高一上·安徽滁州·期中）設(shè)全集，，，則（

）A． B． C． D．【考點題型十】根據(jù)集合的運算求參數(shù)【例10】（24-25高一上·廣西北?！て谥校┮阎?，.(1)若，求，.(2)是否存在實數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【變式10-1】（24-25高一上·四川達(dá)州·期中）已知集合.若則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【變式10-2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）已知全集，集合，.(1)求和；(2)已知，寫出集合的所有非空子集.【變式10-3】（24-25高一上·廣東佛山·期中）已知集合．(1)求P，Q；(2)若，求m的取值范圍．【變式10-4】（24-25高一上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知集合，，且.(1)若，求實數(shù)組成的集合；(2)若，求，的值.【考點題型十一】集合的應(yīng)用【例11】（24-25高一上·山東德州·階段練習(xí)）某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、化學(xué)講座，其中有人聽了數(shù)學(xué)講座，人聽了歷史講座，人聽了化學(xué)講座，記是聽了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生，是聽了歷史講座的學(xué)生，是聽了化學(xué)講座的學(xué)生.用來表示有限集合中元素的個數(shù)，若，，，，則（）A． B．C． D．【變式11-1】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）學(xué)校統(tǒng)計某班30名學(xué)生參加音樂、科學(xué)、體育3個興趣小組的情況，已知每人至少參加了1個興趣小組，其中參加音樂、科學(xué)、體育小組的人數(shù)分別為19，19，18，只同時參加了音樂和科學(xué)小組的人數(shù)為4，只同時參加了音樂和體育小組的人數(shù)為2，只同時參加了科學(xué)和體育小組的人數(shù)為4，則同時參加了3個小組的人數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式11-2】（24-25高一上·陜西榆林·階段練習(xí)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某校開設(shè)了籃球社團(tuán)、AI社團(tuán)、圍棋社團(tuán)，高一某班學(xué)生共有30人參加了學(xué)校社團(tuán)，其中有15人參加籃球社團(tuán)，有8人參加AI社團(tuán)，有14人參加圍棋社團(tuán)，同時參加籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，同時參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，沒有人同時參加三個社團(tuán)，只參加圍棋社團(tuán)的人數(shù)為(

).A．10 B．9 C．7 D．4【變式11-3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉行，為了辦好這一屆具有“中國特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會，杭州某高校的40名同學(xué)報名參加足球、籃球、排球三個項目的志愿者服務(wù)活動，且每名同學(xué)至多參加兩個志愿者服務(wù)項目.已知參加足球、籃球、排球項目的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加足球和籃球項目的有6人，同時參加足球和排球項目的有4人，則同時參加籃球和排球項目的人數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式11-4】（24-25高一上·湖北荊州·階段練習(xí)）高一某班共有54人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇3門進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理的有32人，選擇化學(xué)的有24人，選擇生物的有22人，其中選擇了物理和化學(xué)的有18人，選擇了化學(xué)和生物的有10人，選擇了物理和生物的有16人.那么班上選擇物理或者化學(xué)或者生物的學(xué)生最多有人.【考點題型十二】集合的“新定義”問題【例12】（24-25高一上·江西贛州·期中）對非空數(shù)集及實數(shù)，定義，，已知．(1)當(dāng)時，若集合為單元素集，求；(2)當(dāng)時，若集合，求的所有取值構(gòu)成的集合；(3)若中有3個元素，求實數(shù)的取值范圍．【變式12-1】（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）若，則，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是（

）A．31 B．7 C．3 D．1【變式12-2】（24-25高一上·廣東·期中）已知，對于，且，則稱為的“孤立元”．給定集合，則的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合的