專題02不等式【清單01】不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性?ac>bcc的符號?ac<bc5同向可加性?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正【清單02】基本不等式1．如果a>0，b>0，，當且僅當時，等號成立．其中叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．變形：ab≤，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立．a(chǎn)＋b≥2，a，b都是正數(shù)，當且僅當a＝b時，等號成立．【清單03】二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解關系設y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y(tǒng)＞0或y＜0的步驟求方程y＝0的解有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根畫函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象得等的集不式解y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}{x|x1＜x＜x2}Ry＜0{x|x1＜x＜x2}??【考點題型一】不等式的性質(zhì)【例1】.下列不等式中成立的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若且，則【答案】B【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，若，由不等式的性質(zhì)可知，故B正確；對于C，若，取，得，則，故C錯誤；對于D,若且，取，得，則，故D錯誤.故選：B.【變式1-1】.已知都是實數(shù)，則下列命題中，真命題是（

）A．若，則． B．若，則．C．若，則． D．若，則．【答案】D【詳解】對于A，若時，不成立，故A錯誤；對于B，若時，不成立，故B錯誤；對于C，若時，無意義，不成立，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以成立，故D正確.故選：D【變式1-2】.下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】B【詳解】對于A，取，得，A錯誤；對于B，由，得，而，則，B正確；對于C，由，得，C錯誤；對于D，取，滿足，而，D錯誤.故選：B【變式1-3】.（多選）下列說法中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【詳解】A選項，，所以A選項錯誤.B選項，若，則，則，所以B選項正確.C選項，若，則，所以C選項正確.D選項，若，則，所以，所以D選項正確.故選：BCD【變式1-4】.（多選）下列命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BD【詳解】對于A，由，但，故A錯；對于B，，又，所以，即，故B正確；對于C，由，即，故C錯；對于D，由且，故，故D正確.故選：BD.【考點題型二】基本不等式【例2】.（多選）已知x、y都是正數(shù)，則（

）A． B．若，則的最大值為2C．的最大值為 D．【答案】BC【詳解】對于A，，則，當且僅當時取等號，A錯誤；對于B，，解得，當且僅當時取等號，B正確；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，當時，，D錯誤.故選：BC【變式2-1】.（多選）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對于選項A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故選項A正確；對于選項B：，當且僅當，即時取等號，故選項B錯誤；對于選項C：由選項A可知，所以，當且僅當，即時取等號，故選項C正確；對于選項D：因為，當且僅當，即時取等號，這與x，y均為正數(shù)矛盾，故，故選項D錯誤.故選：AC.【變式2-2】.已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，，且，則，所以，當且僅當時，即當，時，所以的最小值為，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【變式2-3】.（多選）下列命題中正確的是（）A．若，，，則的最大值為B．已知，，，則的最小值是C．若，則的最小值為4D．若，，，則的最小值為【答案】CD【詳解】對于A，，解得，平方得，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為，故A錯誤；對于B，由，可得，得，則，當且僅當，即，故等號不成立，故B錯誤；對于C，，當且僅當且，即時取等號，所以的最小值為4，故C正確；對于D，，當且僅當，即時取等號，所認的最小值為，故D正確.故選：CD【變式2-4】.（多選）已知，，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C． D．的最小值為【答案】ACD【詳解】解：由，得，所以，整理得，解得（舍去），當且僅當時，取得等號，A正確；由，得，即，解得（舍去），當且僅當時，取得等號，所以的最小值為，B錯誤；由，得，所以，解得，C正確；，，當且僅當，即時，取得等號，D正確．故選：ACD．【考點題型三】一元二次不等式【例3】.已知，關于x的一元二次不等式的解集為.(1)求b，c的值；(2)解關于x的不等式.【答案】(1)，(2)答案見解析【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以和是方程的兩個根.根據(jù)韋達定理，可得，.解得，.（2）由（1）知，，則不等式為，即.當時，不等式化為，解得.當時，的解為或.當時，，不等式的解為.當時，不等式化為，即，此時不等式無解.當時，，不等式的解為.

綜上所得，當時，解集為；當時，解集為或；當時，解集為；當時，解集為空集；當時，解集為.【變式3-1】.“不等式在上恒成立”的的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】關于的不等式在上恒成立，若，即，不合題意，若，則，解得.故選：A.【變式3-2】.已知關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【詳解】因為關于的不等式的解集為，當，即時，解得，顯然解集不為，故舍去；當，即時，，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故選：A【變式3-3】.（多選）已知關于x的一元二次不等式的解集為或，則（

）A．且B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】AC【詳解】依題意可得方程的兩根分別為或，且；由韋達定理可得，即；對于A，由可得，即A正確；對于B，易知，即B錯誤；對于C，不等式即為，同時除以即可得，所以不等式的解集為，即C正確；對于D，不等式即為，也即；所以，解得或，即不等式的解集為或x>12，可得D錯誤.故選：AC【變式3-4】.已知關于x的不等式的解集為.(1)求的值.(2)若正實數(shù)滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得是方程的兩根，則，解得.（2）由（1）得正實數(shù)滿足，所以，當且僅當，且，即時等號成立，所以的最小值為.【變式3-5】.24．已知關于的不等式.(1)若該不等式的解集為，求a和b的值；(2)若，求該不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案見解析.【詳解】（1）由題設知是的兩個根，則.（2）由題設，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.1．若關于的不等式的解集為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題設，二次函數(shù)的對稱軸為，則，且，即，所以，可得，所以.故選：B2．（多選）下列說法正確的是（

）A．若，則的最大值為B．函數(shù)的最小值為C．已知，且，則的最小值為D．若正數(shù)，滿足，則的最小值是【答案】ACD【詳解】對于A，，，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故A正確；對于B，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以函數(shù)的最小值為，故B錯誤；對于C，因為，，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故C正確；對于D，因為，，，所以，則，當且僅當即時等號成立，此時，所以的最小值為.故D正確.故選：ACD.3．（多選）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若關于的不等式的解集是或，則B．若集合有且僅有兩個子集，則的最大值為C．若，則的最大值為D．若，且關于x的不等式的解集中有且僅有三個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【詳解】對于A選項，因為關于的不等式的解集是或，則和是兩根.由韋達定理，，解得，.則，所以A選項正確.對于B選項，運用集合有且僅有兩個子集，則方程有一個根，所以判別式，即，可得.把代入得：所以當時，取得最大值.所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，即.令，則.所以.令，則.對求最大值，.根據(jù)均值不等式，當且僅當時取等號.所以，所以C選項正確.

對于D選項，當時，.因為不等式的解集中有且僅有三個正整數(shù)，令，則的解集中有且僅有三個正整數(shù),所以,的解集為,所以的解集中有且僅有三個正整數(shù)，，，則，解得，所以D選項正確.故選：ACD.4．（多選）已知不等式，下列說法正確的是（

）A．若，則不等式的解集為B．若不等式對恒成立，則整數(shù)的取值集合為C．若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是D．若恰有一個整數(shù)使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【詳解】當時，由，解得，故A錯誤；若不等式對恒成立，則當時，恒成立，當時，，且，解得，綜上，，則整數(shù)的取值集合為，故B正確；若不等式對恒成立，則，即解得，故C正確；若恰有一個整數(shù)使得不等式成立，則，又因為，且對稱軸為，所以該整數(shù)解為，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，可得即解得，故D正確.故選：BCD5．（多選）已知不等式的解集是，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．當時，，上的值域為，則的取值范圍是D．若關于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BC【詳解】因的解集是?2,3，所以，A錯誤；－2，3是關于x的方程的兩個根，且，于是得，，即，不等式化為：，解得，B正確；當時，因為，所以，則，，依題意，，由得，或，因在上的最小值為，從而得，或，，兩種情況均有，C正確．，令，由對勾函數(shù)得在上單調(diào)遞增，即有，因有解，則，解得或，D不正確；故選：BC6．（1）求關于的不等式的解集；（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）【詳解】令，，整理有，解得或，當，即時，不等式的解集為或，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為或；綜上所述：時，不等式的解集為或，時，不等式的解集為，時，不等式的解集為或.（2）當時，解得，若，原式化為，滿足題意，若，原式化為，不合題意；當時，由題意得，解得，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為：.7．已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實數(shù)，的值；(2)若，解關于的不等式；(3)若，對于，成立，求的最大值.【答案】(1)，(2)答案見解析(3)【詳解】（1）因為不等式的解集為x1≤x≤2，所以1和2是方程的兩個根，所以，所以，；（2）若，不等式可化為，即，當時，解得，當時，解得或，當時，解得或，綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；（3）因為，，成立，即，對成立，所以對成立，即對成立，所以即所以，即，所以的最大值為.8．已知關于x的不等式．(1)當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當時，解關于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）不等式可化為，當時，，所以不等式化為，又因為，所以，所以實數(shù)a的取值范圍是；（2）不等式可化為，因為，所以不等式對應方程的根為1和，當時，，所以時，不等式為，解得；當時，，解不等式得；當時，，解不等式得；綜上，時，解集為；時，解集為；時，解集為．9．已知關于的不等式的解集為或.(1)求a，b的值；(2)當且滿足時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由題可知，且和是方程的兩個根，所以，此時原不等式為即，該不等式解集為或，符合，所以.