2/24專題03函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用題型一函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間（共5小題）1．（24-25高一上·上海松江·期末）下列函數(shù)中，對(duì)任意的、時(shí)，均有的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先確定函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)任意的、時(shí)，均有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.對(duì)A：因?yàn)椋詢绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，不合題意；對(duì)B：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不合題意；對(duì)C：因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上就是單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)D：因?yàn)?，所以?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合題意.故選：C2．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化函數(shù)為分段函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A3．（24-25高一上·四川綿陽(yáng)·期末）下列函數(shù)，滿足“對(duì)任意，且，都有”的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由對(duì)任意的，且，都有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.對(duì)于A，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在R上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．（24-25高一上·湖南·期末）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性并利用定義法證明；(3)求在上的最大值.【答案】(1)；(2)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）先根據(jù)已知條件求出進(jìn)而求出，再開(kāi)方即可求解.（2）先求出，再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間即可.（3）利用（2）中結(jié)論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，分、兩種情況討論即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即因?yàn)?，所以．?）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，由（2）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以若，則，若，則．綜上，.5．已知函數(shù)，且，設(shè)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)用定義法判斷的單調(diào)性．【答案】(1)(2)在區(qū)間和和上分別單調(diào)遞減【分析】（1）直接根據(jù)題意代入求值即可；（2）根據(jù)定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，故．（2）易得的定義域?yàn)?，，則，①當(dāng)時(shí)，，則，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，則，即，故在區(qū)間單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，，則，即，故在區(qū)間單調(diào)遞減，綜上，在區(qū)間和和和上分別單調(diào)遞減題型二復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（共5小題）6.（23-24高一上·浙江紹興·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：C.7．（24-25高一上·甘肅甘南·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定，求解內(nèi)層函數(shù)的定義域，進(jìn)而再求出單調(diào)性即可.【詳解】設(shè)，即，在上單調(diào)遞增，故取，且的單調(diào)遞增的部分，可求出的遞增區(qū)間，可得，即，解得.故選：A.8．（24-25高一上·江蘇蘇州·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的減區(qū)間.【詳解】對(duì)于函數(shù)，由可得或所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的減區(qū)間為.故選：A.9．（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，判定內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】?jī)?nèi)函數(shù)，其在上單調(diào)遞增，而外函數(shù)在上單調(diào)遞減，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則知的單調(diào)遞減區(qū)間為，10．（24-25高一上·河南信陽(yáng)·期末）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)定義域，求單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由，得，解得，所以的定義域?yàn)椋蓮?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間即為函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：D．題型三利用函數(shù)單調(diào)性求參（共5小題）11．（24-25高一上·湖北武漢·期末）“”是“在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及充分條件、必要條件求解.【詳解】當(dāng)在上單調(diào)遞減，設(shè)任意，且，則，又，所以可得，故“”是“在上單調(diào)遞減”的充要條件，故選：C12．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù)滿足：，當(dāng).時(shí)，恒成立，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】不妨設(shè)，令，變形得到，得到在R上單調(diào)遞增，并根據(jù)得到，得到不等式，求出答案.【詳解】不妨設(shè)，，故，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，所以，解?故選：C13．（24-25高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知函數(shù)，滿足：對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，列出不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．定義在上的函數(shù)對(duì)任意的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)總有成立，并且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，同時(shí)須注意定義域．【詳解】解：∵函數(shù)對(duì)任意的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)總有，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵∴，解得，故選：B．15．已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性然后轉(zhuǎn)化分段函數(shù)推出不等式組，即可求出a的范圍．【詳解】對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，即成立，可得函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于0，說(shuō)明函數(shù)是減函數(shù)；可得：，解得，故答案為：．題型四利用函數(shù)單調(diào)性解不等式（共4小題）16．已知是定義在上的減函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則使不等式成立的的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件得到或，然后由單調(diào)性解不等式，即可求解.【詳解】不等式等價(jià)或，又是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，即，，且是定義在上的減函數(shù)，故或，所以或，即不等式解集為.故選：A17．（24-25高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)有在定義域上單調(diào)遞減，結(jié)合已知判斷的區(qū)間符號(hào)，進(jìn)而求不等式的解集.【詳解】由題設(shè)，在定義域上單調(diào)遞減，且，所以，在上，在上，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，可得解集為.故選：C18．，其中，若，則得取值范圍是【答案】【分析】畫出函數(shù)圖像，結(jié)合對(duì)稱性構(gòu)造不等式即可求解；【詳解】

畫出函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，，,即，同理：當(dāng)時(shí)，也可得，所以的圖像的圖像關(guān)于對(duì)稱；所以等價(jià)于，即，解得：或，又，所以得取值范圍是，19．（24-25高一上·江西·期末）已知函數(shù)(1)用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件和（1）結(jié)果，得到不等式組，即可求解.【詳解】（1）任取，且，，則，又，，，則，，所以，，得到，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋以趨^(qū)間上是增函數(shù)，由，得到，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.題型五判斷函數(shù)的奇偶性（共4小題）20．（24-25高一上·海南·期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義及應(yīng)用解析式的單調(diào)性判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不是奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以函?shù)是奇函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：在區(qū)間上單調(diào)遞減的，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不是奇函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.21．（2025高一上·全國(guó)·期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以；是定義在上的偶函數(shù)，所以，對(duì)于A，，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，與和均不相等，所以為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故為偶函數(shù)，故D正確.故選：D.22．（24-25高一上·四川瀘州·期末）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線C．是奇函數(shù) D．若，則【答案】B【分析】將選項(xiàng)A，B，C中的條件分別代入函數(shù)的解析式中，計(jì)算判斷對(duì)應(yīng)結(jié)論；取特值計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，因，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，A不正確；對(duì)于B，因，而，則數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，B正確；對(duì)于C，，令，，，所以不是奇函數(shù)，C不正確；對(duì)于D，取，顯然有，而，，此時(shí)，D不正確.故選：B23．（24-25高一下·云南昭通·期末）函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性可排除CD，根據(jù)范圍可排除B.【詳解】，故為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除CD，當(dāng)時(shí)，，故可排除B，故選：A題型六利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式（共5小題）24．（24-25高一下·安徽阜陽(yáng)·期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義求出解析式.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則.故選：A25．（24-25高一上·江西·期末）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，A． B． C． D．【答案】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解析式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.26．（23-24高一下·上海黃浦·期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設(shè)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的解析式.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以.故選：B27．若是定義在上的奇函數(shù)，且，對(duì)任意的恒成立，若對(duì)任意的，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可知的周期為4，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知，結(jié)合函數(shù)周期性即可求解.【詳解】由，得，所以，即的周期為4.又，為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，則.故選：D28．（24-25高一上·黑龍江雞西·期末）已知函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，即.當(dāng)時(shí)，得，則，即，.所以當(dāng)時(shí)，.故選：B.題型七利用函數(shù)奇偶性求參（共5小題）29．（24-25高一上·山東菏澤·期末）已知為偶函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用偶函數(shù)的定義可求出的值.【詳解】由可得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，所以對(duì)任意的恒成立，故，解得.故選：A.30．（24-25高一上·甘肅蘭州·期末）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的值為（

）A．0 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出，再由奇函數(shù)性質(zhì)求出，即可得解.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，解得，又由奇函數(shù)可知，解得，所以，所以，故選：A31．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)椋鶕?jù)奇函數(shù)定義取特值可得，并結(jié)合奇函數(shù)定義檢驗(yàn)即可.【詳解】令，解得，可知函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)為奇函數(shù)，則，可得，即，則，可得，即，可知函數(shù)為奇函數(shù)，所以.故選：B.32．（24-25高一上·貴州黔南·期末）設(shè)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（

）A． B．38 C．26 D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義域的夜店求出b，繼而根據(jù)為奇函數(shù)求出a，即可求得答案.【詳解】根據(jù)奇函數(shù)的定義，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，則對(duì)，都有，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，解得.要使函數(shù)在上為奇函數(shù)，需滿足，即，，則，即，則所以，故選：C.33.（24-25高一上·湖南·期末）“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】應(yīng)用偶函數(shù)定義結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算，再應(yīng)用充要條件定義判斷.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即，即，所以，“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的必要條件；當(dāng)“”時(shí)，，即函數(shù)為偶函數(shù)，“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充分條件；綜上，“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件，故選：A.題型八抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與周期性（共4小題）34.（24-25高一上·湖南婁底·期末）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)判斷的奇偶性和單調(diào)性；(3)設(shè)函數(shù)，若方程有2個(gè)不同的解，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)為奇函數(shù)；函數(shù)是上的減函數(shù)(3)或．【分析】（1）在已知等式中令，可得；（2）令，可得奇偶性，再用單調(diào)性的定義證明單調(diào)性；（3）由奇函數(shù)性質(zhì)及已知變形的形式，然后在中由的單調(diào)性化簡(jiǎn)得，即，作出函數(shù)的圖象，它與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得結(jié)論．【詳解】（1）令，代入得，所以．（2）令，代入，可得，所以，可得函數(shù)為奇函數(shù)；任取，且又因?yàn)闀r(shí)，，且，所以，所以，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù)．（3），即所以，令，即，因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以，即令作出的圖象如圖，結(jié)合圖象，可得：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為或．35．（24-25高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且.(1)求的值；(2)令，求證:函數(shù)為奇函數(shù)；(3)求的值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）應(yīng)用賦值法即可；（2）應(yīng)用奇函數(shù)的定義即可判斷；（3）結(jié)合（2）轉(zhuǎn)化為求，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則；（2）當(dāng)時(shí)，，則；設(shè)，則，則，則，即，即函數(shù)為奇函數(shù).（3）由（2）知，為奇函數(shù)，則.36．（24-25高一上·遼寧·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，均有，且，當(dāng)時(shí)，．(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(3)若對(duì)任意，，，總有恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)奇函數(shù)(2)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(3)．【分析】（1）令，結(jié)合得，利用奇函數(shù)定義即可證明；（2）先利用條件證時(shí)，，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及已知條件，判斷函數(shù)單調(diào)性即可；（3）先判斷在R上的單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最值，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，即對(duì)恒成立，列不等式組求解即可.【詳解】（1）函數(shù)為R上的奇函數(shù).證明如下：易知函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，又，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2）在上的單調(diào)遞增，證明如下：由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，所以，從而，，則，因?yàn)椋?，又?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，故在上的單調(diào)遞增.（3）由（1）知，函數(shù)為R上的奇函數(shù)，所以，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，且在上的單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，又任意，總有恒成立，所以，即，由題意，對(duì)恒成立，令，則，所以，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.37．（24-25高一上·重慶·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的都有，且時(shí),,時(shí),.(1)求的值并判斷函數(shù)的奇偶性；(2)討論的單調(diào)性并證明；(3)若對(duì)任意的成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，奇函數(shù)(2)增函數(shù)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）對(duì)已知式中的依次賦值，求得，，利用奇偶性定義證明即得；（2）先證明時(shí),，由是上的奇函數(shù)，可得，再由函數(shù)的單調(diào)性定義證明在在上單調(diào)遞增，再由奇函數(shù)即得為上的增函數(shù)；（3）通過(guò)賦值法，將題設(shè)不等式化成，再利用在上是增函數(shù)將其化成對(duì)任意的成立問(wèn)題，結(jié)合一次函數(shù)的圖象即可求得.【詳解】（1）因?qū)θ我獾亩加?當(dāng)時(shí),令,則，因，則；再令,則，即，因，則.令,則,故是奇函數(shù).（2）在上是增函數(shù).以下提供證明:當(dāng)時(shí),則，由，可得，又，且時(shí),，故時(shí),.又因是定義在上的奇函數(shù),所以.任取,則,從而在上單調(diào)遞增,又因是上的奇函數(shù),則在上單調(diào)遞增,且，故在上是增函數(shù);（3）在中，令，可得，因，則，由可得，即因在上是增函數(shù)，即得對(duì)任意的成立，設(shè)，則解得或即實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型九利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（共9小題）38．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋趨^(qū)間上單調(diào)遞增，，且為偶函數(shù).若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】由為上的奇函數(shù)，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，又為偶函數(shù)，則，故關(guān)于對(duì)稱，則，則，是周期為4的周期函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，則，因此，又關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則，因此，可得，，故選：C.39．（23-24高一下·貴州遵義·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）A． B．函數(shù)是奇函數(shù)C．若，則 D．函數(shù)在單調(diào)遞減【答案】B【分析】對(duì)A，賦值法令求解；對(duì)B，賦值法結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷；對(duì)C，令求得函數(shù)的周期求解；對(duì)D，利用單調(diào)性定義結(jié)合賦值法求解判斷.【詳解】對(duì)于A，令，可得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，可得，又，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，令，得，則是周期函數(shù)，周期為2，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，且，則，即，而時(shí)，與2大小不定，故D錯(cuò)誤.故選：B.40．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函數(shù)在R上是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到不等式，求出解集.【詳解】在R上是奇函數(shù)，故，故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，令，解得，故，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，作出的圖象，如圖所示.由得或，由圖象得或，所以或，即不等式的解集是故選：B41．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造新函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性及其單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】已知函數(shù)，令，又，可得：為定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，由于二次函數(shù)開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，可得：函數(shù)在上單調(diào)遞增；又為奇函數(shù)且，可得：函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，得：，即，移項(xiàng)得：，由為奇函數(shù)，得：，由在上單調(diào)遞增，得：，解得：.綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B42．（24-25高一下·廣西柳州·期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.若實(shí)數(shù)a滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知得到，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性及區(qū)間單調(diào)性得，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，知，所以，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即或，所以或.故選：B43.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)、且時(shí)，都有成立，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對(duì)進(jìn)行變形，得出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式.【詳解】由可得，設(shè)函數(shù)，，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，，所以為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，而不等式，又因?yàn)椋?，所以不等式的解集?故選：B44．（24-25高一上·四川德陽(yáng)·期末）若是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知不等式和偶函數(shù)性質(zhì)判斷出在定義域上的單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為，，結(jié)合含絕對(duì)值不等式的解法求解即可.【詳解】由可知：當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞減，且，，可得，即，又因?yàn)椋?，易知，恒成立，因此，，即?的值域是，的值域是，解得.故選：D.45．（24-25高一下·甘肅平?jīng)觥て谀┮阎瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】已知時(shí)，根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)討論的范圍，得出當(dāng)時(shí)，；根據(jù)函數(shù)的奇偶性，即為定義在上的奇函數(shù)，得出當(dāng)時(shí)，，合并確定不等式的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，，易得在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又為定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，.綜上，不等式的解集為.故選：A.46.（24-25高一上·江西·期末）已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式在給定區(qū)間恒成立，從而求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù).又因?yàn)楹瘮?shù)，，都是上的增函數(shù)，所以也是上的增函數(shù).所以.所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，即恒成立.設(shè)，由時(shí)，恒成立得：.故選：A題型十最大值與最小值及f（a）+f(-a）（共5小題）47．（23-24高一上·重慶·期末）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】由題意可得，可求的值.【詳解】由，得，函數(shù)的定義域?yàn)?，令，定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，所以，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.故選：C.48．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函數(shù)對(duì)，都有，若在上存在最大值M和最小值m，則（

）A．8 B．4 C．2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)賦值法可得，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得為奇函數(shù)，即可根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】令，則，得；令，則，所以；令，則，所以為奇函數(shù)，故，即，所以．故選：B．49.（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則【答案】2【分析】由題意可得的最大，最小值分別為，，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，變形可得答案．【詳解】，令，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，由奇函數(shù)得性質(zhì)可得，，解得.50．（24-25高一上·河南鄭州·期末）已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則【答案】2【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設(shè)，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，令，則，設(shè)，，則，所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則，由，解得.51．（23-24高一上·遼寧鞍山·期末）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】將函數(shù)解析式化為，令，判斷的奇偶性，然后利用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】，令，則其定義域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，則，所以，則.故選：B.題型十一函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性綜合（共10小題）52.（24-25高一上·江蘇·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)在上單調(diào)遞增，則下列命題為真命題的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若，則【答案】ACD【分析】由可判斷A，根據(jù)平移變換得為奇函數(shù)判斷B，由題干等量函數(shù)關(guān)系得判斷C，根據(jù)單調(diào)性及對(duì)稱性列不等式求解判斷D.【詳解】由知，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；的圖象由的圖象向左平移一個(gè)單位得到，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；由，知：，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，且，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱知，平方化簡(jiǎn)得，解得，D正確.故選：ACD53．（多選）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B．為奇函數(shù)C．是周期為4的函數(shù) D．【答案】ACD【分析】運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)和對(duì)稱性得到原函數(shù)的周期性，借助賦值可解.【詳解】為奇函數(shù)，得到，向右平移1個(gè)單位得到，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,則A正確.則，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則，則,則，則是周期為4的函數(shù).則C正確.令，則由，知，則..故D正確.前面式子推不出，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.54.（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知函數(shù).（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性：（2）用定義證明函數(shù)在上為減函數(shù)：（3）已知，且，求x的值.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）或.【解析】（1）由已知得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由，可得結(jié)論；（2）任取，作差，判斷其差的符號(hào)，可得證；（3）由三角函數(shù)的值域和（1），（2）的結(jié)論可得在也是減函數(shù)，由此可得，解之可得答案．【詳解】解.（1）奇函數(shù)；證明：函數(shù)，定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故為奇函數(shù)；（2）任取，，因?yàn)?，，，所以，則，所以在上為減函數(shù).（3），，，又在R上為奇函數(shù)且在為減函數(shù)，所以在也是減函數(shù)，所以，又，則或.55．（24-25高一上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，都有．(1)求使得成立的x的取值集合；(2)求證：為周期為4的周期函數(shù)，并直接寫出在區(qū)間上的解析式；(3)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解，(3)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合周期的定義分析證明，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解析式；（3）先利用換元令，結(jié)合二次函數(shù)求得，再根據(jù)的性質(zhì)求的最大值，再利用基本不等式求得，結(jié)合恒成立問(wèn)題分類討論分析求解.【詳解】（1）由題意可得：，則，解得，則，故使得成立的x的取值集合.（2）∵，即，則，∴為周期為4的周期函數(shù)，又∵是定義在R上的奇函數(shù)，則，即，當(dāng)時(shí)，則，故；又∵是定義在R上的奇函數(shù)，則有：當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：當(dāng)時(shí)，則.（3）對(duì)于，令，則的對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，取到最大值，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故，由（2）可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，則的最大值為，又∵為周期為4的周期函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，則的最大值為，∴的最大值為，則對(duì)任意恒成立，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則有：當(dāng)時(shí)，則，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題型十二函數(shù)新定義（共7小題）56．（24-25高一上·遼寧·期末）若函數(shù)的定義域、值域均為，則稱為區(qū)間上的方正函數(shù)．(1)若為區(qū)間上的方正函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù)？若存在，請(qǐng)寫出符合要求的所有實(shí)數(shù)對(duì)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)不存在；理由見(jiàn)解析.【分析】（1）分析函數(shù)在上的單調(diào)性，求出函數(shù)值域，結(jié)合方正函數(shù)的定義，可求的值.（2）分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性和奇偶性，還有方正函數(shù)的定義，分析的存在情況.【詳解】（1）因?yàn)?，函?shù)圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意，為區(qū)間上的方正函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）.因此，若為區(qū)間上的方正函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.（2）不存在，理由如下：對(duì)函數(shù)，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.如存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù)，則，即，又，顯然，所以，，所以，即，解得，這與矛盾.故不存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù).57．（24-25高一上·四川遂寧·期末）如果函數(shù)滿足：對(duì)定義域內(nèi)的所有，存在常數(shù)，，都有，那么稱是“中心對(duì)稱函數(shù)”，對(duì)稱中心是點(diǎn).（1）證明點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）已知函數(shù)（且，）的對(duì)稱中心是點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的值；②若存在，使得在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，②.【分析】（1）求得，根據(jù)函數(shù)的定義，即可得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（2）①根據(jù)函數(shù)函數(shù)的定義，利用，即可求得.②由在上的值域，得到方程組，轉(zhuǎn)化為為方程的兩個(gè)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（2）①因?yàn)楹瘮?shù)（且，）的對(duì)稱中心是點(diǎn)，可得，即，解得（舍）.②因?yàn)椋?，可得，又因?yàn)椋?所以在上單調(diào)遞減，由在上的值域?yàn)樗?，，即，即，即為方程的兩個(gè)根，且，令，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.58．（24-25高一上·重慶長(zhǎng)壽·期末）數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維互相轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題.函數(shù)的單調(diào)性刻畫函數(shù)的自變量與函數(shù)的增減關(guān)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，還可研究其增加的快慢.例如：，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，且隨著的增大的變化越來(lái)越慢，我們稱這個(gè)函數(shù)在時(shí)為“上凸函數(shù)”.此性質(zhì)還可以表達(dá)為：成立，則稱此函數(shù)在內(nèi)為“上凸函數(shù)”.已知函數(shù).(1)請(qǐng)說(shuō)明的單調(diào)性（無(wú)需證明過(guò)程）；(2)證明此函數(shù)在內(nèi)是“上凸函數(shù)”；(3)已知，且，求的最大值.【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可得結(jié)果；（2）根據(jù)“上凸函數(shù)”的定義，利用作差法即可得結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得其在在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減.由于在上連續(xù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減.（2），，

.，，，，所以：，故：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是“上凸函數(shù)”.（3）由（2）得：，有，且，且..當(dāng)且僅當(dāng)，取得最大值.最大值為.59．