專題3.1函數(shù)的概念【清單01】函數(shù)的概念1.給定是兩個非空的實數(shù)集A與B，以及對應(yīng)關(guān)系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈Ax稱為自變量，y稱為因變量.2.定義域：自變量的取值范圍（即集合A）；3.值域：所有函數(shù)值組成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}．顯然，值域是集合B的子集．4.相同的函數(shù)（同一函數(shù)）：兩個函數(shù)表達式表示的函數(shù)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同（即對自變量的一個值，兩個函數(shù)表達式表示得到的函數(shù)值相等）5.拓廣：復(fù)合函數(shù)的認識，函數(shù)是由f(u)),u(x)=x+1復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).【清單02】函數(shù)的表示方法1.表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．【清單03】分段函數(shù)分段函數(shù)：若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．3.提醒：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．【考點題型一】函數(shù)關(guān)系及相等函數(shù)的判斷【例1】（多選）（24-25高一上·海南儋州·階段練習）有以下判斷，其中是正確判斷的有（）A．與表示同一函數(shù)B．函數(shù)y=fx的圖像與直線的交點最多有1個C．與是同一函數(shù)D．函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【變式1-1】（24-25高一上·貴州·期中）若函數(shù)y=fx的定義域為，值域為，則函數(shù)y=fx的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-2】（24-25高一上·廣東·期中）下列各組函數(shù)中，是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．，與，【變式1-3】（24-25高一上·廣東東莞·期中）下列各組函數(shù)中，與是相同函數(shù)的是（為自然對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B．C． D．【變式1-4】（多選）（24-25高一上·河南許昌·階段練習）下列說法正確的是（

）A．與表示同一函數(shù)B．函數(shù)的圖象與直線的交點至多有1個C．若，則D．關(guān)于的方程有一個正根，一個負根的充要條件是【考點題型二】求函數(shù)值【例2】（24-25高一上·浙江衢州·階段練習）已知函數(shù)，則．【變式2-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知函數(shù)的定義域為，且對，，則（

）A． B． C． D．2【變式2-2】（24-25高一上·廣東江門·階段練習）函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，，均有，且，則（

）A．1014 B．1012 C．2024 D．2025【變式2-3】（多選）（20-21高一上·福建泉州·期中）定義在上的函數(shù)，對于任意的，都有，且，則（

）A． B．C． D．【變式2-4】（24-25高一上·四川·期中）已知函數(shù).(1)求的值;(2)計算和，猜想的值并加以證明.【考點題型三】求分段函數(shù)值【例3】（24-25高一上·湖北省直轄縣級單位·期中）已知，則【變式3-1】（24-25高一上·寧夏銀川·期中）如圖，是函數(shù)y=fx的圖象上的三點，其中，則的值為（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【變式3-2】（24-25高一上·甘肅·期中）已知函數(shù)則的值為（

）A．4 B．5 C．8 D．0【變式3-3】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【變式3-4】（24-25高一上·廣西玉林·期中）已知函數(shù)，則.【考點題型四】求具體函數(shù)的定義域【例4】（24-25高一上·江蘇南京·階段練習）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（24-25高一上·浙江·期中）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【變式4-2】（24-25高一上·北京房山·期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【變式4-3】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式4-4】（24-25高一上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)的定義域為.【考點題型五】求抽象（復(fù)合）函數(shù)的定義域【例5】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知函數(shù)的定義域為，求的定義域；（2）已知函數(shù)的定義域為，求的定義域．【變式5-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·階段練習）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高一上·遼寧朝陽·階段練習）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【變式5-3】（24-25高一上·天津·期中）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是．【變式5-4】（2024高一·全國·專題練習）已知，函數(shù)的定義域是，求的定義域.【考點題型六】常見函數(shù)的值域【例6】（24-25高一上·福建福州·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【變式6-1】（多選）（24-25高一上·四川攀枝花·階段練習）下列函數(shù)中值域為的是（）A． B．C． D．【變式6-2】（24-25高一上·陜西寶雞·期中）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，那么函數(shù)的值域是．【變式6-3】（24-25高一上·山東菏澤·期中）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是.【變式6-4】（23-24高一下·全國·課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)；(3)；【考點題型七】求函數(shù)的解析式【例7】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函數(shù)，且，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知函數(shù)滿足，求函數(shù)的解析式.【變式7-1】（24-25高一上·湖北省直轄縣級單位·期中）（1）已知是一次函數(shù)，且，求的解析式；（2）已知函數(shù)，求的解析式；【變式7-2】（24-25高一上·海南省直轄縣級單位·期中）求下列函數(shù)的解析式.(1)已知函數(shù)，求；(2)已知是一次函數(shù)，，求.【變式7-3】（24-25高一上·河北廊坊·階段練習）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，求解析式;（2）已知，求的解析式;（3）已知一次函數(shù)滿足，求的解析式.【變式7-4】（24-25高一上·天津紅橋·期中）已知函數(shù)，且．(1)寫出函數(shù)的解析式；(2)求的值；(3)若，求實數(shù)的值．【考點題型八】由函數(shù)的定義域、值域求參數(shù)【例8】（23-24高一上·重慶南岸·階段練習）（1）已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍；（2）的值域為，求實數(shù)的取值范圍．【變式8-1】（24-25高一上·貴州貴陽·階段練習）已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式8-2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式8-3】（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)，的值域為，則的取值范圍是．【變式8-4】（24-25高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)，，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是．【考點題型九】由函數(shù)值求自變量或參數(shù)【例9】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知函數(shù)．(1)求，；(2)若，求實數(shù)的值．【變式9-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，，則實數(shù)（

）A．1 B．-1 C． D．0或1【變式9-2】（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)滿足，若，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C． D．【變式9-3】（24-25高一上·北京通州·期中）已知函數(shù)，當時，則的值為.【變式9-4】（23-24高一上·甘肅武威·期中）已知函數(shù)．(1)點在的圖象上嗎?(2)當時，求的值；當時，求的值．【考點題型十】由分段函數(shù)值求自變量或參數(shù)【例10】（24-25高一上·北京東城·階段練習）已知函數(shù)①若，則x的值是②若且，則的取值范圍是【變式10-1】（多選）（24-25高一上·甘肅張掖·階段練習）已知函數(shù)，若，則x的取值可以是（

）A．3 B．20 C． D．5【變式10-2】（多選）（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函數(shù)若，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．【變式10-3】（24-25高一上·浙江溫州·期中）設(shè)，若，則（

）A． B． C． D．【變式10-4】（2024高二上·北京·學業(yè)考試）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C．2 D．【考點題型十一】分段函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【例11】（24-25高一上·天津東麗·期中）已知函數(shù)(1)的值；(2)若的值;(3)若的取值范圍.【變式11-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)若當時，，則的最大值是（

）A．4 B．3 C．7 D．5【變式11-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式11-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函數(shù)若實數(shù)滿足且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式11-4】（多選）（24-25高三上·山東棗莊·階段練習）已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則x的值是C．的解集為 D．的值域為【考點題型十二】分段函數(shù)的最值問題【例12】（23-24高二下·山東青島·期末）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為（）A．1 B． C． D．-【變式12-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函數(shù)的最小值是-2，則實數(shù)a的取值范