專題3.3函數(shù)、方程、不等式及函數(shù)的應用【清單01】函數(shù)的零點1.函數(shù)零點的定義：使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．2.三個等價關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點3.拓廣：（1）若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．（2）連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．【清單02】二次函數(shù)的零點與其對應方程、不等式解集之間的關(guān)系1．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點和相應方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的關(guān)系函數(shù)圖象判別式符號(設判別式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0與x軸交點個數(shù)210方程的根（函數(shù)零點）的個數(shù)210ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集（-?，x1)∪(x2,+?)（-?，x0)∪(x0,+?)R（注：a<0的情況，類似可以給出）2.拓廣：穿根法（根軸法）解不等式：（1）整理不等式，一端化為因式積，且各因式中x系數(shù)為正；（2）求相應方程的根；（3）將上述根標在數(shù)軸上；（4）從最右邊的根開始，自上而下穿過數(shù)軸，其它各根依次穿過（二重根穿而不過）；（5）位于數(shù)軸上方的曲線對應區(qū)間使不等式大于0，其它對應區(qū)間使不等式小于0成立.類似如圖所示：【清單03】零點存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．【清單4】二分法二分法：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．【清單5】常見函數(shù)模型1.常見函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)；（2）二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；（3）分式函數(shù)模型（4）分段函數(shù)模型（5）拓廣：函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的性質(zhì)及最值：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調(diào)遞減．(2)當x>0時，x＝eq\r(a)時取最小值2eq\r(a)，當x<0時，x＝－eq\r(a)時取最大值－2eq\r(a).2.函數(shù)應用問題解法=1\*GB3①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；=2\*GB3②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；=3\*GB3③求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；=4\*GB3④還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．【考點題型一】求函數(shù)的零點【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函數(shù)的兩個零點為，則=【答案】/【知識點】求函數(shù)的零點【分析】由零點定義可得答案.【詳解】令，得的零點為1與，則.故答案為：【變式1-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習）函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【知識點】求函數(shù)的零點、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】求出方程的根，即可得答案；【詳解】函數(shù)的零點可以轉(zhuǎn)化為方程的根，所以x=1.故選：C.【變式1-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的零點為（

）A．2 B．C．2,0或 D．2和【答案】D【知識點】對數(shù)的運算、求函數(shù)的零點【分析】根據(jù)零點定義結(jié)合對數(shù)運算計算即可.【詳解】令，則，解得或．故選：D.【變式1-3】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）表示不大于的最大整數(shù)，例，則的的取值范圍，方程的解集是.【答案】【知識點】函數(shù)新定義【分析】根據(jù)的含義即可求，根據(jù)可得且，即可結(jié)合為整數(shù)求解.【詳解】由可得，由于，故由可知，故，解得且，由于為整數(shù)，故，或，或0，或2，故答案為，，【變式1-4】（20-21高三上·上海嘉定·期中）設，則方程的解集為.【答案】【知識點】求函數(shù)的零點、等式的性質(zhì)與方程的解【分析】根據(jù)絕對值方程的特點，分別求出絕對值內(nèi)部一次函數(shù)的零點，將分成，，和四個部分，分別去掉絕對值，求解方程即得.【詳解】當時，方程可化為：，解得，故解集為；當時，方程可化為：，解得，舍去；當時，方程可化為：，解得，故解集為；當時，方程可化為：，解得，故解集為.綜上，方程的解集為.故答案為：.【考點題型二】函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷【例2】（23-24高一上·河北張家口·期末）已知，則的零點所處的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】判斷零點所在的區(qū)間、零點存在性定理的應用【分析】由函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理可得.【詳解】，且是上的減函數(shù).由，，根據(jù)區(qū)間上零點存在性定理，有且只有一個零點，且在區(qū)間上.故選：B.【變式2-1】（24-25高一上·遼寧朝陽·階段練習）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】判斷零點所在的區(qū)間【分析】計算區(qū)間端點的函數(shù)值的乘積，利用零點的存在性定理進行判斷即可.【詳解】由題意得，，所以一定包含零點的區(qū)間是.故選：A.【變式2-2】（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】零點存在性定理的應用、判斷零點所在的區(qū)間、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理即可判斷.【詳解】因和都是上的增函數(shù)，故也是上的增函數(shù)，又，由零點存在定理，可得函數(shù)fx的零點所在的區(qū)間是.故選：B.【變式2-3】（24-25高一上·廣東佛山·階段練習）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷零點所在的區(qū)間、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理即可得到答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，在0,+∞上的單調(diào)遞增，又因為，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，則根據(jù)零點存在性質(zhì)定理知的零點所在的區(qū)間是.故選：C【變式2-4】（2024·廣東·模擬預測）已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】比較指數(shù)冪的大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小、判斷零點所在的區(qū)間【分析】由題可得在0,+∞上單調(diào)遞增，后由零點存在性定理結(jié)合冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷選項正誤.【詳解】注意到函數(shù)圖象在0,+∞上連續(xù)不間斷，因為在0,+∞上均單調(diào)遞增，則在0,+∞上單調(diào)遞增.對于A，.因函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，則在上無零點，故A錯誤；對于B，因為在0,+∞上單調(diào)遞減，則，結(jié)合，故在上存在零點，故正確；對于CD，由于在0,+∞上單調(diào)遞增，，可知C?D都是錯誤的.故選：B.【考點題型三】函數(shù)零點個數(shù)的判斷【例3】（2024·北京平谷·模擬預測）已知函數(shù)，設．給出下列四個結(jié)論：①當時，不存在最小值；②當時，在為增函數(shù)；③當時，存在實數(shù)b，使得有三個零點；④當時，存在實數(shù)b，使得有三個零點．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】②④【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)的值域或最值【分析】結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分段函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的零點逐項判斷.【詳解】對于①：當時，，易知函數(shù)在上的最小值為0，函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，即，所以時，函數(shù)的最小值為0，故①錯誤；對于②：當時，函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,m內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)的對稱軸為，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，又，即，解得，綜上可知，當時，在0,+∞為增函數(shù)，故②正確；對于③：當時，函數(shù)，則，即，存在一個零點；函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，與存在一個交點，又，即，解得或，于是時，，如下圖所示：綜上可知，當時，存在實數(shù)b，使得至多有兩個零點，故③錯誤；④當時，函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,m內(nèi)單調(diào)遞增，則與存在兩個個交點，由③知，與存在一個交點，，又，即，解得或，于是時，如下圖所示：綜上可知，當時，存在實數(shù)b，使得有三個零點.故答案為：②④.【變式3-1】（24-25高一上·上海·階段練習）已知，有，則實數(shù)的值有（

）個A．2個 B．3個 C．4個 D．無數(shù)個【答案】D【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷為偶函數(shù)，則可得，再分析得時，，從而得解.【詳解】因為的定義域為，又，所以可知為偶函數(shù)，若，可得或，解之可得或，則的值有4個，當時，，若此時，化簡求交集可得，此時恒成立，故的值有無數(shù)個，綜上，的值有無數(shù)個.故選：D【變式3-2】（23-24高二下·陜西漢中·期末）設函數(shù),則的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】分別判斷函數(shù)在時以及時的零點個數(shù)，即得答案.【詳解】當時，令或，有2個零點；當時，令，即，結(jié)合函數(shù)的圖象可知二者在時有1個交點，即此時有1個零點.綜合可知，的零點個數(shù)為3.故選：D【變式3-3】（24-25高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象討論方程的解的個數(shù)【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、畫出具體函數(shù)圖象、由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】（1）設，則，由此可求的解析式，結(jié)合奇偶性可求時的解析式，則解析式可知；（2）根據(jù)的解析式作出圖象；再根據(jù)的圖象交點個數(shù)分析方程的解的個數(shù).【詳解】（1）當時，，所以，又因為為偶函數(shù)，所以，所以的解析式為.（2）的圖象如下圖所示：因為“方程的解的個數(shù)”“的圖象交點個數(shù)”，在同一平面直角坐標系中作出的圖象如下圖所示：由圖象可知，當時，的圖象無交點，所以方程無解；當或時，的圖象有個交點，所以方程有個解；當時，的圖象有個交點，所以方程有個解；當時，的圖象有個交點，所以方程有個解；綜上所述，當時，方程無解；當或時，方程有個解；當時，方程有個解；當時，方程有個解.【變式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，.現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，并根據(jù)圖象.

(1)畫出在軸右側(cè)的圖象并寫出函數(shù)的增區(qū)間；(2)寫出函數(shù)的解析式；(3)討論方程解的個數(shù).【答案】(1)作圖見解析，(2)(3)答案見解析【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、畫出具體函數(shù)圖象、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義即可畫出圖象，由圖象即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)偶函數(shù)定義即可求出解析式；（3）數(shù)形結(jié)合即可討論方程解的個數(shù).【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，圖象如下：

其遞增區(qū)間為；（2）根據(jù)題意，令，則，則，又由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，則；（3）當時，，所以當時，，又因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以當時，，方程解的個數(shù)即為函數(shù)y=fx與的交點個數(shù)，由圖象可知，當時沒有解；當或時有2個解；

當時有4個解；

當時有3個解.【考點題型四】根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)【例4】（23-24高一上·福建莆田·期中）設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，．若對任意都有，則的取值范圍是．【答案】【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用【分析】先求解出、、、時的解析式，然后作出與的圖象，根據(jù)圖象的交點橫坐標確定出符合條件的的取值范圍.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，且，作出的大致圖象如下圖所示：由圖象可知：若，對于任意都有顯然不成立，所以，由圖象可知，當時，令，則有，解得或，結(jié)合圖象可知，若對于任意都有成立，則有，故答案為：.【變式4-1】（24-25高一上·北京延慶·期中）已知函數(shù)有兩個零點，在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合集合的包含關(guān)系及零點存在性定理列式求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個零點，得且或且，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C【變式4-2】（24-25高一上·甘肅蘭州·階段練習）已知函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，另一個零點在區(qū)間內(nèi)，則的值可能是（

）A． B．1 C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍【分析】令，根據(jù)零點的范圍得到滿足的條件，解不等式組可得結(jié)果.【詳解】令，由題意，得，即，解得，故的取值范圍是.四個選項中在內(nèi)的只有.故選：D.【變式4-3】（2023·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】零點存在性定理的應用、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點存在性定理可得.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式4-4】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知的零點在區(qū)間，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【分析】利用零點存在性定理判斷即可.【詳解】由題意可知，在R上單調(diào)遞增，因為，，則零點在區(qū)間上，可得.故選：C.【考點題型五】根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)【例5】（24-25高一上·安徽阜陽·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，當時，.若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】首先作出的圖象，再利用換元法設，合理分類討論，再利用二次函數(shù)的零點分布列出出不等式組，解出即可.【詳解】當時，，當且僅當時等號成立，當時，，則，根據(jù)對勾函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)為奇函數(shù)作出整個函數(shù)圖象如下圖所示：令，則，顯然由圖知直線與圖象最多3個交點，若要滿足題意，則有兩個不等實數(shù)解，則，且根據(jù)韋達定理得，顯然當不適合方程，且，不妨設，則由圖知：（i）當直線與有3個交點，直線與有1個交點，①，則，即，無解；②，則，即，解得；（ii）當直線與有3個交點，直線與有1個交點，①，則，即，無解；②，則，即，解得；（iii）當直線與有2個交點，直線與有2個交點，①，則，即，無解；②當時，則，由圖知此時符合題意，此，綜上所述的取值范圍為.故答案為：.【變式5-1】（24-25高一上·四川瀘州·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、函數(shù)圖象的應用、函數(shù)與方程的綜合應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】作出的圖象，根據(jù)圖形即可得出結(jié)果.【詳解】當時，，圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為，頂點坐標為，作的圖象如下，

由圖可知，函數(shù)圖象有3個交點，則，即實數(shù)k的取值范圍為.故選：D．【變式5-2】（24-25高一上·山東德州·期中）已知函數(shù)若存在實數(shù)，使得函數(shù)有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、函數(shù)圖象的應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】畫出函數(shù)y=fx【詳解】由題意，，函數(shù)有4個不同的零點，函數(shù)y=fx的圖象和直線有4個交點，函數(shù)y=fx

由圖可知，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，且；所以實數(shù)的取值范圍是0,1.故選：B.【變式5-3】（24-25高一上·湖北黃岡·期中）若關(guān)于的方程有4個互不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用【分析】令，作出函數(shù)y=fx的圖象與直線，結(jié)合圖象即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有四個不同交點.由得為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱.當時，，作出函數(shù)y=fx的圖象與直線，如圖所示：

由圖可知，當時，滿足條件.故選：A.【變式5-4】（23-24高一下·浙江金華·期末）若函數(shù)（是常數(shù)）有且只有一個零點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】由已知條件可判斷為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，由函數(shù)有且只有一個零點，過坐標原點即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，因為函數(shù)有且只有一個零點，所以函數(shù)過坐標原點，，解得.故選：.【考點題型六】比較函數(shù)零點的大小【例6】（2024高三·全國·專題練習）若，，，則，，由小到大的順序是【答案】【知識點】對數(shù)函數(shù)圖象的應用、指數(shù)函數(shù)圖像應用、比較零點的大小關(guān)系【分析】把給定的三個等式作等價變形，比較函數(shù)，，的圖象與曲線交點的橫坐標大小即可.【詳解】依題意，，，，，，，因此，成立的值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，成立的值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，成立的值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)，，，的圖象，如圖，觀察圖象，得，即，所以，，由小到大的順序是.故答案為：.【變式6-1】（2024·廣東·二模）設，，分別為函數(shù)，，的零點，則，，的大小關(guān)系為(

).A． B．C． D．【答案】D【知識點】比較零點的大小關(guān)系【分析】當時，f1=0，所以，然后在和時，分別判斷和的零點，即，的取值范圍，最后綜合判斷即可.【詳解】因為時，，又因為單調(diào)遞增，所以；若，則，所以時，，即；若，則，所以時，，即.綜上所述，，故選：D.【變式6-2】（2024·廣東梅州·二模）三個函數(shù)，，的零點分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】復合函數(shù)的單調(diào)性、比較零點的大小關(guān)系【分析】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點的存在性定理求出函數(shù)零點的范圍，即可得出答案.【詳解】因為函數(shù)，，，都是增函數(shù)，所以函數(shù)，，均為增函數(shù)，因為，所以函數(shù)的零點在上，即，因為，所以函數(shù)的零點在2,3上，即，因為，所以函數(shù)?x的零點在0,1上，即，綜上，．故選：B．【變式6-3】（2024·新疆烏魯木齊·二模）設，函數(shù)的零點分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】比較零點的大小關(guān)系【分析】由題意分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】分別令，則，則分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標，分別作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

由圖可知，.故選：A.【變式6-4】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知正數(shù)分別是函數(shù)的零點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求函數(shù)的零點、比較零點的大小關(guān)系【分析】依據(jù)零點存在性定理可判定的零點所在范圍；對通分，應用一元二次方程可求解；將?x的零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標，畫簡圖可求，從而得出結(jié)果.【詳解】由函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，又，則存在唯一零點，即；令gx=0，則，解得或，則；令，可得函數(shù)?x的零點即為與的交點的橫坐標，畫簡圖如圖：可得（負值舍去），則．綜上，．故選：B【考點題型七】“二分法”與零點的近似解【例7】（24-25高一上·上?！るS堂練習）求方程的零點（精確到0.1）．【答案】2.1【知識點】二分法求函數(shù)零點的過程、判斷零點所在的區(qū)間【分析】令，設函數(shù)y=fx的零點為，因為f2<0，，所以，再由精確度為0.1時，利用二分法確定.【詳解】令，設函數(shù)y=fx的零點為，因為f2<0，，所以，由二分法得到下表，中點所在區(qū)間2.52.252.1252.18752.156252.1406252.1484375因為在精確度為0.1時，，，所以在精確度為0.1時，．【變式7-1】（24-25高一上·山東德州·期中）用二分法研究函數(shù)的零點時，通過計算得：，，則下一步應計算，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【知識點】二分法求函數(shù)零點的過程【分析】根據(jù)二分法的原理即可判斷即可.【詳解】因為，，且函數(shù)圖象連續(xù)不斷，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，所以下一步應計算，，故選：C.【變式7-2】（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）小胡同學用二分法求函數(shù)在內(nèi)近似解的過程中，由計算可得，，，則小胡同學在下次應計算的函數(shù)值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】二分法求方程近似解的過程【分析】根據(jù)二分法的計算方法即可判斷.【詳解】因為，，，則根應該落在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)二分法的計算方法，下次應計算的函數(shù)值為區(qū)間中點函數(shù)值，即.故選：D.【變式7-3】（安徽省滁州市定遠縣育才學校2020-2021學年高一下學期期中理科數(shù)學試題）設函數(shù)，用二分法求方程近似解的過程中，計算得到，，則方程的近似解落在區(qū)間（）A． B．C． D．【答案】A【知識點】二分法求方程近似解的過程、判斷零點所在的區(qū)間【分析】根據(jù)二分法求方程的近似解的過程，由條件先求得，再求的符號，只須找到滿足即可【詳解】取，因為，所以方程近似解，取，因為，所以方程近似解，故選：A.【變式7-4】（2020上·陜西渭南·高一?？计谥校榱饲蠛瘮?shù)的一個零點，某同學利用計算器得到自變量和函數(shù)的部分對應值，如表所示：1.251.31251.3751.43751.51.5625－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115則方程的近似解（精確到0.1）可取為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【知識點】二分法求方程近似解的過程【解析】根據(jù)二分法結(jié)合零點存在定理求解.【詳解】因為，所以方程的解在區(qū)間內(nèi)，又精確到0.1，所以可取1.4故選：C【考點題型八】函數(shù)零點與函數(shù)的基本性質(zhì)【例8】（多選）（24-25高一上·江蘇常州·期中）某同學在研究函數(shù)時，分別給出下面幾個結(jié)論，則正確的結(jié)論有（

）A．等式對恒成立；B．若，則一定有；C．若，方程有兩個不等實數(shù)根；D．函數(shù)在上只有一個零點.【答案】ABD【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】對于A，通過判斷函數(shù)的奇偶性進行判斷，對于B，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，對于C，由的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的值域分析判斷，對于D，由的奇偶性和單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于A，因為，所以是奇函數(shù)，故對恒成立，故A正確；對于B，當時，，因為在上遞減，所以在上遞增，因為是奇函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，而，的圖象連續(xù)，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，則一定有成立，故B正確；對于C，易知的定義域為，又，所以為偶函數(shù)，當時，，因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，當時，，因為，所以，所以，則，因為，為偶函數(shù)，所以，所以當時，有兩個不相等的實數(shù)根，當時，不可能有兩個不等的實數(shù)根，故C錯誤；對于D，因為，易得的定義域為，又，所以為奇函數(shù)，當時，，因為為奇函數(shù)，所以當時，，又，所以函數(shù)在上只有一個零點，故D正確.故選：ABD.【變式8-1】（23-24高一上·福建南平·期中）已知的定義域為，且是奇函數(shù)，當時，，函數(shù)，則方程的所有的根之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)對稱性的應用、求零點的和【分析】根據(jù)的定義域為，且是奇函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對稱，且，再根據(jù)的圖象也關(guān)于對稱，畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】解：因為的定義域為，且是奇函數(shù)，所以，則的圖象關(guān)于對稱，且，當時，，又因為函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，所以方程的所有的根之和即為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標和，和的圖象，如圖所示：

由圖象知：和的圖象有5個交點，其中一個交點的橫坐標為1，另外四個，兩兩分別關(guān)于對稱，所以5個交點的橫坐標之和為，故選：C【變式8-2】（24-25高一上·湖北·期中）對于函數(shù)，若存在，使得，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”，若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、函數(shù)新定義【分析】則原問題轉(zhuǎn)化為方程：在上有解問題，結(jié)合對稱軸和根的判別式得到不等式，求出答案.【詳解】設為奇函數(shù)，且當時，，則時，，則原問題轉(zhuǎn)化為方程：在上有解，求的取值范圍問題.由在有解得：.故選：A【變式8-3】（多選）（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知函數(shù)，的定義域均為，下列結(jié)論正確的是（

）注：函數(shù)的零點是當函數(shù)值取零時自變量的值A．若，均為增函數(shù)，則也為增函數(shù)B．若，均為減函數(shù)，則也為減函數(shù)C．若，均存在零點，則也存在零點D．若，均存在零點，則也存在零點【答案】AC【知識點】求函數(shù)的零點、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷A，取特例可判斷B，根據(jù)零點概念判斷C，取特例判斷D.【詳解】對A，，均為增函數(shù)，則也為增函數(shù)，故A正確；對B，，均為減函數(shù)，則不一定是減函數(shù)，例如，不是減函數(shù)，故B錯誤；對C，因為定義域為，且有解，則有解，故C正確；對D，，均存在零點，則不一定有零點，例如都有零點，但無零點，故D錯誤.故選：AC【變式8-4】（多選）（24-25高一上·湖北武漢·期中）已知函數(shù)關(guān)于的方程，下列判斷中正確的是（

）A．時方程有3個不同的實數(shù)根B．方程至少有2個不同的實數(shù)根C．若方程有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為D．若方程有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為【答案】ACD【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐個判斷即可.【詳解】方程根的問題可以轉(zhuǎn)換成和圖象交點問題，對于A：由圖象可知：時方程有3個不同的實數(shù)根，正確；對于B：當時，結(jié)合圖象可知，方程無解，故錯誤；對于C：由圖象可知和由3個交點時，的取值范圍為，故正確；對于D：假設，結(jié)合圖象可知，所以，故正確.故選：ACD【考點題型九】二次函數(shù)零點、方程的根與不等式【例9】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）關(guān)于的一元二次方程恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】一元二次方程根的分布問題、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】根據(jù)題意，方程有兩個不同的實數(shù)根，進而求解出方程的兩個解，再根據(jù)的不同取值范圍，討論兩根的分布情況，從而得出結(jié)果.【詳解】恰有兩個整數(shù)解

方程有兩個不相等的實數(shù)根，解得，，且方程的兩根可寫為時，，，此時不等式至少有4個整數(shù)解，不合題意；時，，，此時不等式有兩個整數(shù)解1和2，符合題意；時，，.當時，，即，解得，;當時，不等式最多一個整數(shù)解，不合題意.綜上，.故答案為：.【變式9-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知是函數(shù)的兩個零點，且，則的取值范圍為．【答案】【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】由題意可得是的兩個不等實根，結(jié)合韋達定理可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及，求解即可.【詳解】解：令，得是方程的兩個不等實根，則，且．由及，可得，所以，又因為，可得的取值范圍為．故答案為：【變式9-2】（22-23高一上·湖北咸寧·自主招生）二次函數(shù)的圖象如圖，對稱軸為直線，若關(guān)于的一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，則的取值范圍是．

【答案】【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式、函數(shù)【分析】根據(jù)對稱軸求出的值，從而得到時的函數(shù)值，再根據(jù)一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內(nèi)有解相當于與在內(nèi)有交點，依此求解即可得出結(jié)論.【詳解】∵對稱軸為直線，∴，∴二次函數(shù)解析式為.當時，；當時，；當時，.因為方程的根為圖象與直線的交點的橫坐標，∴當時，在的范圍內(nèi)有解.故答案為：.【變式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則的取值范圍是．【答案】【知識點】函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“的圖象在上有唯一交點”，然后對進行分類討論，根據(jù)值域間的關(guān)系求解出的取值范圍.【詳解】因為對任意的，總存在唯一的，使得成立，即對任意的，方程在上有唯一解，即對任意的，的圖象在上有唯一交點；在同一平面直角坐標系中作出的函數(shù)圖象如下圖，因為的對稱軸為且開口向上，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，當時，，此時與在上有唯一交點，符合條件；當時，，若滿足條件只需，解得；當時，，若滿足條件只需，解得；綜上所述，的取值范圍是.【變式9-4】（24-25高一上·北京·期中）已知二次函數(shù)圖象過點，，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)有兩個不同的正數(shù)零點.（i）求的取值范圍；（ii）若，求的值.【答案】(1).(2)（i）；（ii）.【知識點】求二次函數(shù)的解析式、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍【分析】（1）待定系數(shù)法可求二次函數(shù)解析式.（2）（i）由函數(shù)有兩個不同的正數(shù)零點可得方程gx=0有兩個不相等正實數(shù)根，利用判別式和韋達定理可求的取值范圍，（ii）由可求的值.【詳解】（1）設二次函數(shù)的解析式為，由題意得，，解得，∴函數(shù)解析式為.（2）由（1）知，∴.（i）∵有兩個不同的正數(shù)零點，∴有兩個不相等正實數(shù)根，∴，解得，∴的取值范圍是.（ii）由（i）得，，∴，∴，∵，∴.【考點題型十】函數(shù)與方程、不等式綜合問題【例10】（24-25高一上·天津·階段練習）已知函數(shù)(1)若關(guān)于x的方程有2個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程有4個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】函數(shù)圖象的應用、函數(shù)與方程的綜合應用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，即可根據(jù)圖象求解，（2）將問題轉(zhuǎn)化為或有4個實數(shù)根，進一步轉(zhuǎn)化為有2個實數(shù)根，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】（1）作出的圖象如下：可知在單調(diào)遞增，在0,+∞單調(diào)遞減，要使有2個不同的實根，則（2）由可得，故或，由的圖象可知：有兩個不相等的實數(shù)根，要使x的方程有4個不同的實根，則有兩個不相等的實數(shù)根，故，解得【變式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知，函數(shù)．（1）當時，不等式的解集是（2）若函數(shù)恰有2個零點，則a的取值范圍是【答案】【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、解不含參數(shù)的一元二次不等式、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】（1）分別求解兩個不等式得到兩段上的解集，再求其并集即得；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，可將函數(shù)恰有2個零點分成有1和4兩個零點或有1和3兩個零點兩種情況分別考慮，即得參數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當時，，當時，由可得，則有；當時，由可得，則有.綜上，不等式的解集為；（2）因有一個零點為4，而有兩個零點，分別為1和3.若函數(shù)恰有2個零點,可以分成兩種情況：①當函數(shù)有1和4兩個零點時，如圖1所示，需使；②當函數(shù)有1和3兩個零點時，如圖2所示，需使.綜上可得，.【變式10-2】（24-25高一上·甘肅蘭州·期中）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析(3)答案見解析【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、解含有參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，分情況討論，即可求解；（2）根據(jù)m不同的取值情況，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答；（3）根據(jù)一次函數(shù)不等式和二次函數(shù)不等式的相關(guān)性質(zhì)，分類討論，即可求解.【詳解】（1）①當時，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，符合題意；②當時，對稱軸為，很明顯，在上單調(diào)遞增，不合題意，舍；③當時，在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以.綜上，的取值范圍.（2）當時，函數(shù)有一個零點；當時，，①當即時，解得，所以當時，函數(shù)無零點；②當即時，解得或，所以當或時，函數(shù)有一個零點；③當即時，解得或，所以當時，函數(shù)有兩個零點；綜上，當時，函數(shù)無零點；當或或時，函數(shù)有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點.（3）當時，解得；當時，，①當時，此時，所以x的取值范圍是；②當時，此時，所以x的取值范圍是；③當時，此時，所以x的取值范圍是.當時，，x的取值范圍是；綜上，當時，x的取值范圍是；當時，x的取值范圍是；當時，x的取值范圍是；當時，x的取值范圍是；當時，x的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：在求解二次函數(shù)不等式時，要注意二次項系數(shù)與的大小關(guān)系，應分情況討論.【變式10-3】（24-25高一上·北京·期中）已知二次函數(shù)的最小值為1，且.(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點】根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍、求二次函數(shù)的解析式【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，求得對稱軸，由最值與己知點，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由題意可得對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，建立不等式，可得答案；（3）整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用分類討論思想，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，可得答案.【詳解】（1）由，則二次函數(shù)的對稱軸，由二次函數(shù)的最小值為，則其頂點為，可設二次函數(shù)，由，則，所以.（2）由題意可得，則，解得.（3）由不等式，整理可得，令，則其對稱軸，①當，即時，在上單調(diào)遞增，則，令，解得，可得；②當，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，解得，可得；③當，時，在上單調(diào)遞減，，令，解得，此時無解；綜上所述，.【變式10-4】（24-25高一上·遼寧遼陽·期中）已知函數(shù)，的定義域均為0,4．

(1)請在所給的圖中畫出的圖像；(2)若不等式的解集為0,4，求a的取值范圍；(3)討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】(1)圖象見解析(2)(3)當或時，函數(shù)的零點個數(shù)為0；當時，函數(shù)的零點個數(shù)為1；當時，函數(shù)的零點個數(shù)為2.【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、二次函數(shù)的圖象分析與判斷、畫出具體函數(shù)圖象【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出圖象即可；（2）利用函數(shù)圖象可以解決恒成立問題；（3）將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合函數(shù)圖像，分類討論，即可解決.【詳解】（1）由題意知，所以其函數(shù)圖象如下所示：

（2）因為不等式的解集為0,4，所以在上恒成立，函數(shù)圖象的對稱軸為：，函數(shù)和的圖象如下：

所以，由圖可知：，故的取值范圍為：.（3）因為，所以函數(shù)和圖象的交點個數(shù)即為函數(shù)?x的零點個數(shù)，由（2）可知，①當，或時，函數(shù)和圖象的交點個數(shù)為0，此時函數(shù)?x的零點個數(shù)為0，此時或，②當，且時，函數(shù)和圖象的交點個數(shù)為2，此時函數(shù)?x的零點個數(shù)為2，此時，③當，即時，函數(shù)和圖象的交點個數(shù)為1，此時函數(shù)?x的零點個數(shù)為1，綜上所述：當或時，函數(shù)?x的零點個數(shù)為0；當時，函數(shù)?x的零點個數(shù)為1；當時，函數(shù)?x的零點個數(shù)為2.【考點題型十一】構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題【例11】（24-25高一上·廣東·期中）某游樂場需要修建一間背面靠圍墻的矩形母嬰室，地面面積為5平方米，地面費用總價為五千元．現(xiàn)需要對母嬰室外墻正面和屋頂進行帶有游樂場主題特色的裝修，因此外墻正面每平方米造價為1500元，屋頂造價一萬元；母嬰室外墻側(cè)面普通裝修即可，每平方米造價600元；母嬰室墻高3米，不計母嬰室背面費用．(1)若游樂場母嬰室正面長設為x米，請用x表示該游樂場母嬰室的總造價元(2)如何設計能使得該游樂場母嬰室的總造價最低？最低總造價為多少？【答案】(1)(2)底面長寬分別為，；最低價格為元【知識點】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應用【分析】（1）根據(jù)題意，母嬰室底面長為x米，寬為米，則，即可列出方程；（2）由得，利用基本不等式即可得出．【詳解】（1）如圖所示，根據(jù)題意，母嬰室底面長為x米，寬為米，則，

該游樂場母嬰室的總造價（2）由得，當且僅當即時，等號成立，所以當該游樂場母嬰室的底面長寬分別為，時總造價最低，最低總造價為元.【變式11-1】（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）常熟“叫花雞”，又稱“富貴雞”，既是常熟的特產(chǎn)，也是聞名四海的佳肴，以其鮮美、香噴、酥嫩著稱.雙十一購物節(jié)來臨，某店鋪制作了300只“叫花雞”，若每只“叫花雞”的定價是40元，則均可被賣出；若每只“叫花雞”在定價40元的基礎上提高（）元，則被賣出的“叫花雞”會減少只.要使該店鋪的“叫花雞”銷售收入超過12495元，則該店鋪的“叫花雞”每只定價應為（

）A．48元 B．49元 C．51元 D．50元【答案】D【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、一元二次不等式的實際應用【分析】根據(jù)題意列出不等式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，整理得，解得，又，所以，該店鋪的“叫花雞”每只定價應為.故選：D.【變式11-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間滿足，若小球飛到最高處時用了2s，則小球的飛行高度不低于15m的時長為s．【答案】2【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得，即得函數(shù)解析式，再由求解集，根據(jù)所得解集區(qū)間長度即可得答案.【詳解】小球的飛行高度與飛行時間之間滿足二次函數(shù)，二次函數(shù)的對稱軸方程為，又小球飛到最高處時用了2s，所以，解得，故，令，即，解得，故小球的飛行高度不低于15米的時長為．故答案為：2【變式11-3】（24-25高一上·廣東揭陽·階段練習）中國芯片產(chǎn)業(yè)崛起，出口額增長迅猛，展現(xiàn)強勁實力和競爭力.中國自主創(chuàng)新，多項技術(shù)取得突破，全球布局加速，現(xiàn)有某芯片公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入98萬元購進一套生產(chǎn)設備.預計使用該設備后，第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該設備使用后，每年的總收入為50萬元，設使用年后該設備的盈利額為萬元.(1)寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，該設備開始盈利（盈利額為正值）；(3)使用若干年后，對設備的處理方案有兩種：①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設備；②當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該設備.請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由.（注：年平均盈利額為，）【答案】(1)(2)從第3年開始盈利(3)方案①比較合理【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、利用二次函數(shù)模型解決實際問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根據(jù)題目描述得到函數(shù)關(guān)系，化簡即可.（2）根據(jù)題意列出不等關(guān)系，解不等式得到結(jié)果，向上取整即可.（3）①先表示出年平均盈利額，利用基本不等式求出去年平均盈利額最大年份，求出總獲利；②由二次函數(shù)的性質(zhì)求出盈利額最大年份，求出總獲利；比較獲利金額，金額相同比較時間，即可得到合理方案.【詳解】（1）依題得：，（2）解不等式，得：，，，故從第3年開始盈利.（3）①，當且僅當時，即時等號成立，故第七年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利萬元，②，當時，，故第十年，盈利額達到最大值，工廠獲利萬元，盈利額達到的最大值相同，而方案①所用的時間較短，故方案①比較合理.【變式11-4】（24-25高一上·黑龍江牡丹江·期中）一家貨物公司計劃租地建造倉庫存儲貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月庫存貨物費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：km）成正比；每月土地占地費用（單位：萬元）與（單位：km）成反比，當在距離車站5km處建倉庫時，和的費用分別為1萬元和8萬元．(1)若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，則倉庫到車站的距離（單位：km）應該在什么范圍？(2)這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使得兩項費用之和最??？并求出最小值．【答案】(1)(2)15km，最小值為7萬元．【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再由題意列不等式求解；（2）利用基本不等式求最值.【詳解】（1）設，，由題知：當時，和的費用分別為1萬元和8萬元，即，，解得，，所以，．若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，即，解得，所以若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，則倉庫到車站的距離的取值范圍為（單位：km）．（2）由，當且僅當時，即時，等號成立，所以倉庫到車站的距離為15km時，兩項費用之和最小，最小值為7萬元．【考點題型十二】已知函數(shù)模型解決實際問題【例12】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）某種新產(chǎn)品投放市場的100天中，前40天價格呈直線上升，而后60天價格呈直線下降，現(xiàn)統(tǒng)計出其中4天的價格如下表：時間第4天第32天第60天第90天價格/元2330227(1)寫出價格關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式（表示投放市場的第天）；(2)銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系式為，則該產(chǎn)品投放市場第多少天銷售額最高？最高為多少元