5/5專題04冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【答案】一、1.一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).二、1.①，，；②，，；③，，；④，，．2.函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)三、1.①；；其中且；②(其中且，)；③對(duì)數(shù)換底公式：；④；⑤；2.函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．【清單01】指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)、正整數(shù)指數(shù)冪；(2)、零指數(shù)冪；(3)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；(4)、的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(5)、，，；(6)、(6)、，，；(7)、，，；(8)、，，．(9)、【清單02】指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【清單03】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1)、常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；(2)、；；其中且；(3)、(其中且，)；(4)、對(duì)數(shù)換底公式：；變形；(5)、；(6)、；(7)、，；(8)、和；【清單04】對(duì)數(shù)函數(shù)(1)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)【清單05】?jī)绾瘮?shù)常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)冪函數(shù)常用技巧：冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．【題型一】指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪化簡(jiǎn)及求值【例1】．（25-26高一上·北京順義·期中）化簡(jiǎn)下列各式，并求值．(1)(2)【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、指數(shù)冪的化簡(jiǎn)、求值、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【分析】（1）利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可得到答案；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】（1）.（2）【變式1-1】．（25-26高一上·寧夏銀川·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)6(2)【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、指數(shù)冪的化簡(jiǎn)、求值、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算得解.（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】（1）原式.（2）原式【變式1-2】．（25-26高一上·浙江嘉興·期中）計(jì)算下列各式：(1)；(2)已知，求的值.【答案】(1)(2)【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、指數(shù)冪的化簡(jiǎn)、求值、根式的化簡(jiǎn)求值【分析】（1）利用根式的運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得所求代數(shù)式的值；（2）利用平方關(guān)系可求出的值.【詳解】（1）原式.（2）因?yàn)?，故，所以，因?yàn)?，?【題型二】函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例2】．（25-26高一上·重慶·期中）如圖是指數(shù)函數(shù)的部分圖象，已知取這四個(gè)值，則曲線相對(duì)應(yīng)的依次為（）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍【分析】令，結(jié)合圖象即可得到.【詳解】當(dāng)時(shí)，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值.故選：D.【變式2-1】．（25-26高三上·湖南長(zhǎng)沙·月考）函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、函數(shù)圖像的識(shí)別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀【分析】先分段得出函數(shù)解析式，再應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】依題意可得，又，當(dāng)，；當(dāng)，，只有選項(xiàng)B符合.故選：B.【變式2-2】．（2025高一上·重慶永川·專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】判斷對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、函數(shù)圖像的識(shí)別【分析】由函數(shù)定義域、單調(diào)性和奇偶性即可判斷.【詳解】由解析式可得函數(shù)定義域需滿足，解得或故排除AC，當(dāng),，可知其單調(diào)遞增，排除B，又，偶函數(shù)，只有D符合.故選：D【題型三】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)【例3】．（25-26高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知函數(shù)，滿足對(duì)任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】由對(duì)任意，都有成立，即在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)單調(diào)性問題分段求解即可.【詳解】由對(duì)任意，都有成立成立，即在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故有：，解得，故選：C.【變式3-1】．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)的定義域是A，則函數(shù)的最大值是（

）A． B． C．0 D．8【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、具體函數(shù)的定義域、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)題意，求得，令，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，又由函?shù)，令，可得且，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像開口向上，且對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又由，所以函數(shù)的最大值為，即函數(shù)的最大值為.故選：C.【變式3-2】．（25-26高一上·湖南·期中）已知命題，，命題，．(1)若為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)、根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題【分析】（1）由為真命題求出實(shí)數(shù)的取值范圍，則其補(bǔ)集就是為假命題實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分真假、假真兩種情況求解.【詳解】（1）若為真命題，則當(dāng)，不等式變?yōu)榻饧癁?，滿足；若，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以當(dāng)為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）若命題為真，即，，令，則，不等式變?yōu)椋?，設(shè)，的圖象開口向下，對(duì)稱軸為，在單調(diào)遞減，所以，所以，即命題為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.若真假，則，解得；若假真，則或，解得綜上，若，中有且僅有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型四】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)【例4】．（25-26高三上·寧夏中衛(wèi)·月考）設(shè)函數(shù)，且對(duì)于任意的，有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】由題可知單調(diào)遞增，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求解即可．【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意的，有，所以在上單調(diào)遞增，，解得．故選：B．【變式4-1】．（25-26高一上·黑龍江哈爾濱·月考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由對(duì)數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列式求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【變式4-2】．（25-26高三上·陜西渭南·期中）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在[0,2]上的最大值.【答案】(1)(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域解不等式組即可求出函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出時(shí)函數(shù)在[0，2]上的最大值.【詳解】（1）依題意有解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，，其中，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又是減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)在[0,2]上的最大值為.【題型五】?jī)绾瘮?shù)型復(fù)合函數(shù)【例5】．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值【分析】由冪函數(shù)的定義與性質(zhì)求解即可.【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則，且，解得或（舍），故選：B.【變式5-1】．（25-26高一上·山東濟(jì)寧·期中）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．為奇函數(shù) D．為減函數(shù)【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性、判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、求冪函數(shù)的解析式【分析】首先求出冪函數(shù)解析式，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，所以，所以，定義域?yàn)?，值域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，即為奇函?shù)，故C正確；由可知在定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：C．【題型六】指對(duì)冪比較大小【例6】．（25-26高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小【分析】由，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較與的大小，又，利用不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，又在上單調(diào)遞增，又，所以，即，又，所以，故選：D.【變式6-1】．（25-26高三上·江西贛州·期中）若，，，則，，之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】比較對(duì)數(shù)式的大小、比較指數(shù)冪的大小【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，借助中間量進(jìn)行比大小.【詳解】因?yàn)?，即；，即；，即，所?故選：D【變式6-2】．（25-26高一上·山東棗莊·期中）若，記，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小【分析】分別代入求值表示，對(duì)于，結(jié)合根式以及二次函數(shù)求出取值范圍，最后借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以，故選：A.【題型七】利用函數(shù)的基本性質(zhì)求參數(shù)及參數(shù)范圍【例7】．（24-25高二下·廣西南寧·期末）已知定義在上的偶函數(shù)，對(duì)有，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出的值，確定函數(shù)的定義域，再由已知條件判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，最后利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性來求解不等式.【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，解得，的定義域?yàn)?又對(duì)有，在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減.由，不等式可化為，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，不等式可化為，由以上推出的條件可得，解得.故選：A.【變式7-1】．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、由奇偶性求參數(shù)【分析】應(yīng)用函數(shù)是奇函數(shù)，通過賦值法計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域上的奇函數(shù)，定義域?yàn)樗?，所以，所以函?shù)，滿足，滿足題意，則.故選：A.【變式7-2】．（23-24高三上·山東日照·開學(xué)考試）若是奇函數(shù)，則.【答案】【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求即可得解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,由,可得,所以且,所以,解得,所以的定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，又,即,解得,此時(shí),則，所以，符合題意.所以.故答案為：.【題型八】函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例8】．（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（

）附：A．10% B．20% C．50% D．100%【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】根據(jù)題意，計(jì)算出的值即可；【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樗詫⑿旁氡葟?000提升至4000，則大約增加了20%，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的運(yùn)用.【變式8-1】．（2019·北京·高考真題）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.【變式8-2】．（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)間的關(guān)系為已知五分記錄法的評(píng)判范圍為，設(shè)，五分記錄法中，最大值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，最小值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】由已知結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【詳解】由題意，五分記錄法的評(píng)判范圍為，令，則，得，令，則，得，五分記錄法中最大值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為最小值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)的倍數(shù)為:，設(shè)，則，則．故選：D．【題型九】綜合性質(zhì)【例9】．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若函數(shù)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、求二次函數(shù)的值域或最值、求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【分析】（1）先化簡(jiǎn)解析式，得到關(guān)于的復(fù)合函數(shù)，通過換元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求最值，由于對(duì)稱軸不確定需進(jìn)行分類討論；（2）化簡(jiǎn)，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題求解.【詳解】（1）令，，則于是變?yōu)?，?duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在處取得最大值，即；當(dāng)，即時(shí)，在處取得最大值，即.（2）；令，則，，令，整理可得①.，作出簡(jiǎn)圖，如下，當(dāng)時(shí)，，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以①式有兩個(gè)根，且一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)；設(shè)，則有，解得，或，無解.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是根的分布問題，二次方程根的分布，通常是先作出簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖象，從開口方向，對(duì)稱軸位置，區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，判別式的符號(hào)來列出限制條件，求出參數(shù)范圍.【變式9-1】．（20-21高一上·全國·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)，且，．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值．（2）為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)．【答案】（1）lg12；（2）.【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、簡(jiǎn)單的指數(shù)方程【分析】（1）根據(jù)條件先求出，再求最大值即可；（2）先換元，再轉(zhuǎn)化為二次方程問題就可以得出結(jié)果.【詳解】（1），且，，，，解得：，；所以得：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值lg12.（2）若函數(shù)的圖象與的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)．則有兩個(gè)解，令，則，則有兩個(gè)正解；則，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)．【變式9-2】．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈．若對(duì)于任意，且，都有，則稱函數(shù)為“凸函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)①，②與③是“凸函數(shù)”的序號(hào)是（只需寫出結(jié)論）；（2）若函數(shù)（a，b為常數(shù)）是“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；（3）寫出一個(gè)定義在上的“凸函數(shù)”，滿足．（只需寫出結(jié)論）．【答案】（1）③；（2）；（3）.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異【解析】（1）根據(jù)題意可依次算出①②③三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的的關(guān)系式，然后判斷是否為負(fù)，即滿足“凸函數(shù)”的定義.（2）根據(jù)函數(shù)定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的且，可知，解不等式，可求出的范圍.（3）根據(jù)定義域，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可確定一個(gè)復(fù)合函數(shù)滿足“凸函數(shù)”的定義，如.【詳解】（1）③（2）函數(shù)定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的且，根據(jù)題意，因?yàn)椋?（3）（注：答案不唯一）【點(diǎn)睛】對(duì)于新定義的題型，重點(diǎn)在理解定義，確定知識(shí)點(diǎn).本題的思路為：要計(jì)算出的關(guān)系式，然后根據(jù)“凸函數(shù)”的定義，可知.

【題型一】容易記混指對(duì)冪的運(yùn)算公式【例1】．（25