專題05函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及其綜合（易錯必刷60題11種題型專項訓(xùn)練）函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值由函數(shù)的最值求解函數(shù)或參數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)的判斷函數(shù)奇偶性的應(yīng)用奇偶函數(shù)圖象的對稱性奇偶性與單調(diào)性的綜合抽象函數(shù)的奇偶性一．函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明1．（2024春?順義區(qū)期末）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是A． B． C． D．【解析】項，，在上不是減函數(shù)；項，在上為減函數(shù)；項，，如圖，在上不是減函數(shù)；項，，反比例函數(shù)在上沒有單調(diào)性．故選：．2．（2024春?海南期末）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的是A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，是二次函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對于，是冪函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對于，，是反比例函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對于，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意．故選：．3．【多選】（2023秋?肥東縣校級期末）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故正確；對于，是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故錯誤；對于，，（1），故在其定義域上不單調(diào)遞減，故錯誤；對于，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故正確．故選：．4．【多選】（2023秋?官渡區(qū)校級期末）若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有；②對于定義域上的任意，，當(dāng)時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列四個函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的是A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有，則為奇函數(shù)，若②對于定義域上的任意，，當(dāng)時，恒有，則在定義域上單調(diào)遞減，依次分析選項：對于，滿足要求，正確；對于，，故為偶函數(shù)，錯誤；對于，滿足要求，正確；對于，，故不是奇函數(shù)，錯誤．故選：．5．（2023秋?周至縣校級期末）已知函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）試判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明．【解析】（1）根據(jù)題意，函數(shù)，且定義域為，又為奇函數(shù)，則，所以．（2）在上遞增，證明：令，則，又由，，故，所以在上遞增．6．（2023秋?漢中期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）判斷并用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，且當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意，可得，則，所以．（2）單調(diào)遞增，證明如下：由（1）知，，令，則，而，，，所以，故單調(diào)遞增．（3）由題意可知，當(dāng)時，恒成立，而，所以，故實數(shù)的取值范圍為，．7．（2023秋?許昌期末）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)奇偶性，并用定義法證明；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明某一個區(qū)間的單調(diào)性；（3）求函數(shù)在，上的最大值和最小值．【解析】（1）為奇函數(shù)，證明：的定義域為，有，則為奇函數(shù)；（2），在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，證明：在上為減函數(shù)，設(shè)，，又由，則，，故，則在上為減函數(shù)，（3）根據(jù)題意，由（2）的結(jié)論，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，則（9），（2），（3），故在，上的最大值為10，最小值為6．8．（2023秋?西寧期末）已知函數(shù)，且．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法證明；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）由已知得，，，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，，，又，，，，即，，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；（2）由（1）知函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，由可得，，解得或，故不等式的解集為或．二．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間9．（2022秋?中原區(qū)校級期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A． B． C． D．【解析】依題意，，解得，即定義域為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：．10．（2023秋?上饒期末）函數(shù)的遞減區(qū)間是．【解析】二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：．11．（2022秋?望花區(qū)校級期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．【解析】由，得或，為增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，故答案為：，．12．（2022秋?汕尾期末）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為．【解析】當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故答案為：．三．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用13．（2023秋?濱海新區(qū)校級期末）若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．【解析】函數(shù)單調(diào)遞增，由指數(shù)函數(shù)以及一次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，可得且．但應(yīng)當(dāng)注意兩段函數(shù)在銜接點處的函數(shù)值大小的比較，即，可以解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，．故選：．14．（2023秋?沈陽期末）已知函數(shù)，是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A．， B． C．， D．，【解析】，是上的減函數(shù)，，解得．故選：．15．（2023秋?西安期末）若函數(shù)是上的減函數(shù)，，則下列不等式一定成立的是A．（a） B． C．（a） D．【解析】時，，，，都錯誤；，，是上的減函數(shù)，（a），即錯誤；，，且是上的減函數(shù)，，即正確．故選：．16．（2023秋?新化縣期末）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則有：，解得：，故選：．17．（2024春?懷仁市校級期末）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．【解析】因為是定義在上的增函數(shù)，所以，解得．故選：．18．（2024春?桃城區(qū)校級期末）已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，則（3）的值為A．3 B．5 C．7 D．9【解析】由，且是單調(diào)函數(shù)可知必是常數(shù)，設(shè)為常數(shù)），得，且，解得，，（3）．故選：．19．（2023秋?邯鄲期末）已知函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，因為在，上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則有，解得．故選：．20．（2023秋?南昌期末）以下函數(shù)中滿足，，，都有的是A． B． C． D．【解析】因為函數(shù)滿足，，，都有，所以函數(shù)的圖象在上凸的，即函數(shù)在時的圖象上任意兩點，，，的連線在函數(shù)圖象的下方，：當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，是下凸的，不符合題意；：當(dāng)時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，是直線型的，不符合題意；：當(dāng)時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，是下凸的，不符合題意；：當(dāng)時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，是上凸的，符合題意．故選：．21．（2023秋?金安區(qū)校級期末）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，那么的取值范圍是A．， B． C．， D．，【解析】函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，，解得：，，故選：．22．（2023秋?永城市校級期末）已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解析】令，則，由得，因為在上單調(diào)遞增，且，所以為奇函數(shù)，由得，所以，解得．故選：．23．（2023秋?都江堰市校級期末）已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【解析】為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，，，，根據(jù)在上單調(diào)遞增得．故選：．24．（2023秋?羅莊區(qū)校級期末）定義在上的奇函數(shù)滿足：任意，都有，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【解析】因為定義在上的奇函數(shù)滿足：任意，都有，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，，即．故選：．25．（2023秋?灌云縣校級期末）函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)，則不等式（1）的解集為．【解析】根據(jù)題意，為定義在的減函數(shù)，若（1），則有，即，即不等式（1）的解集為．故答案為：．四．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性26．（2023秋?開福區(qū)校級期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．，【解析】由，得或，設(shè)，函數(shù)在為增函數(shù)，此時為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，即的單調(diào)增區(qū)間為．故選：．27．（2023秋?那曲市期末）已知函數(shù)，則的增區(qū)間為A． B． C． D．【解析】令，，又的增區(qū)間為，在上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為．故選：．28．（2024春?沈陽期末）函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，令，則，其中，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則滿足，即，解得，分析選項：的一個充分不必要條件是．故選：．29．（2023秋?龍華區(qū)期末）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是A．單調(diào)增區(qū)間為，，值域為， B．單調(diào)減區(qū)間是，，值域為， C．單調(diào)增區(qū)間為，，值域為， D．單調(diào)減區(qū)間是，，值域為，【解析】令，則，由，知，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，所以（1），所以函數(shù)的值域為，．故選：．30．（2024春?晉安區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，必有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，．故選：．31．（2023秋?鹿邑縣期末）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是A． B． C．， D．，【解析】令，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，解得，且在上恒成立，則，解得．所以，的取值范圍是．故選：．五．求函數(shù)的最值32．（2024春?滁州期末）若，則A．最大值為 B．最小值為 C．最大值為6 D．最小值為6【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為．故選：．33．（2024春?海淀區(qū)期末）函數(shù)在上的最大值為．【解析】令，則，即，所以可化為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，解得（負(fù)根舍去），所以此時，所以此時最大值為1，當(dāng)時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，得到，所以所以，所以，綜上所述，函數(shù)在上的最大值為1．故答案為：1．34．（2024春?興慶區(qū)校級期末）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，最小值為，則．【解析】記，顯然的定義域，關(guān)于原點對稱，且，所以是區(qū)間，上的奇函數(shù)，設(shè)的最大值為，則的最小值為，所以．故答案為：2．35．【多選】（2022秋?銀川期末）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則A． B．在上單調(diào)遞減 C．的最大值為81 D．的最小值為【解析】由題意可得（3），即，解得，故正確，所以，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯誤，所以當(dāng)時，，故正確，錯誤，故選：．六．由函數(shù)的最值求解函數(shù)或參數(shù)36．（2024春?嶗山區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為A．1 B． C． D．【解析】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時無最小值，不合題意；當(dāng)時，，當(dāng)時，（2），又時，，存在最小值0，滿足題意；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則（2），解得，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則（a），不等式無解；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，，則的最大值為1．故選：．37．（2022秋?寧都縣校級期末）函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為10，則實數(shù)的最大值為A．6 B．8 C．9 D．10【解析】令，，，則函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，所以在，上的最大值為10，①當(dāng)時，，所以，，舍去；②當(dāng)時，，此時命題成立；③當(dāng)時，，此時命題成立；④當(dāng)時，，所以，解得，此時命題成立；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是，即實數(shù)的最大值為8．故選：．38．（2022秋?聊城期末）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差為，則的值為A．2 B． C．2或 D．3或【解析】當(dāng)時，則與在，上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以（2），（1），所以，所以，即，解得；當(dāng)時，則與在，上均為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，所以（2），（1），所以，所以，即，解得；綜上，．故選：．39．（2023秋?道里區(qū)校級期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在，的最小值為1，則實數(shù)的值為．【解析】令，則當(dāng)，時，，，函數(shù)可化為，對稱軸為，當(dāng)，即時，在，上單調(diào)遞增，（1），解得：（舍；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍或；當(dāng)，即時，在，上單調(diào)遞減，（4），解得：（舍；綜上所述：．故答案為：．40．（2022秋?棗莊期末）已知函數(shù)在，上的最大值為3，則實數(shù)的值為．【解析】，顯然，當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則，解得；當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則，解得（舍；綜上，．故答案為：3．41．（2022秋?簡陽市校級期末）函數(shù)在，上的最大值為13，則實數(shù)的值為．【解析】令，則原函數(shù)可化為，對稱軸為，顯然該函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，（a），解得或（舍；當(dāng)時，，，，解得或，綜上可知：的取值為3或．故答案為：3或．42．（2022秋?海淀區(qū)校級期末）函數(shù)在區(qū)間，上的最小值是，則的值是．【解析】由已知，設(shè)，原函數(shù)可化為，該函數(shù)在，上單調(diào)遞減，①當(dāng)時，，，此時函數(shù)遞減，，解得，所以或（舍，解得（負(fù)值舍去）；②當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減，，即，解得或（舍去），所以；綜上，的取值為或．故答案為：或．七．奇函數(shù)偶函數(shù)的判斷43．【多選】（2022秋?蕉城區(qū)校級期末）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是A． B． C． D．【解析】選項，函數(shù)定義域為，，它不關(guān)于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)；選項，函數(shù)定義域為，且，是一個奇函數(shù)；選項，函數(shù)定義域為，且，是一個偶函數(shù)；選項，函數(shù)定義域為，且，是一個偶函數(shù)．故選：．44．（2022秋?克州期末）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）的定義域為，它關(guān)于原點對稱，，故為偶函數(shù)；（2）的定義域為，它關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)；（3）的定義域為，，，，它關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)．45．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）求不等式的解集．【解析】（1）根據(jù)題意，函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)，則有，解可得，即函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為奇函數(shù)；（2）根據(jù)題意，不等式即，則有，必有，解可得，即不等式的解集為．八．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用46．（2022秋?濟(jì)南期末）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則A． B． C．5 D．7【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，，則（1），又由為奇函數(shù)，則（1），故選：．47．（2023春?滁州期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)，時，，則A． B． C．0 D．1【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，若函數(shù)滿足，則有，則有，可得，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，所以（6），因為，所以（6）（2），因為當(dāng)，時，，所以（6）（2），即．故選：．48．（2023秋?錫山區(qū)校級期末）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集為A．，， B． C．，， D．，，【解析】因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，又，則可轉(zhuǎn)化或，解得，或．故選：．49．（2024春?新鄉(xiāng)期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則A．0 B．1 C． D．2【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)是奇函數(shù)，得，則，解得，函數(shù)定義域為，，，是奇函數(shù)，所以．故選：．50．（2022秋?元寶區(qū)校級期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上的解析式為．【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，設(shè)，有，則，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則；故答案為：．51．（2022秋?延邊州期末）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．【解析】函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（2），故答案為：3．九．奇偶函數(shù)圖象的對稱性52．（2024春?廈門期末）函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為，有，則為奇函數(shù)，排除、，當(dāng)時，函數(shù)和都是增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，排除．故選：．53．（2023秋?海淀區(qū)校級期末）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是A． B．的圖像關(guān)于原點對稱 C．在定義域內(nèi)是增函數(shù) D．存在最大值【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，（2），，錯誤；對于，，其定義域為，有，則為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，正確；對于，（1），，則在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)，錯誤；對于，函數(shù)，其圖象大致如圖：故不存在最大值，錯誤．故選：．54．（2024春?渭濱區(qū)期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，若函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點為，，，，，，則A． B． C． D．【解析】，關(guān)于點對稱，由函數(shù)，得函數(shù)關(guān)于點對稱，與的交點也關(guān)于點對稱，．故選：．十一．奇偶性與單調(diào)性的綜合55．（2023秋?張家港市校級期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，（3），對，，，且有，則關(guān)于的不等式的解集為A． B． C．，， D．，，【解析】對，，，且有，可得函數(shù)在，上單調(diào)遞增，因為（3），又函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，設(shè)，則為偶函數(shù)，且在，遞增，所以不等式可得（3），即（3），可得，解得，故選：．56．（2023秋?蒙城縣期末）定義在上的偶函數(shù)在，上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是A．，，B．， C．， D．，，