3/3專題02不等式與基本不等式（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律作差法比大小與不等式的基本性質(zhì)回顧利用作差法比大小以及掌握依據(jù)不等式性質(zhì)進(jìn)行簡單的數(shù)值比較和不等式推導(dǎo)基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題基本不等式的推導(dǎo)與最值定理回顧基本不等式的推導(dǎo)，理解其幾何意義，掌握最值定理的使用要求基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題基本不等式求最值的常用方法回顧“配湊法”“換元法”““1”的代換法”等方法在基本不等式中的應(yīng)用重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題基本不等式的情境應(yīng)用能熟練根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型，并利用基本不等式求解最值重要考點(diǎn)，常出現(xiàn)在解答題一元二次不等式的解法回顧一元二次不等式與方程和函數(shù)之間的聯(lián)系，能熟練運(yùn)用“化正→求根→畫圖→寫解集”的步驟求解基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題含參一元二次不等式的解法能根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)、判別式Δ、根的大小進(jìn)行分類討論重要考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題分式不等式的解法回顧分式不等式與一元二次不等式間的轉(zhuǎn)化規(guī)則，能熟練通過移項(xiàng)、通分化為商的形式，再利用符號(hào)法則轉(zhuǎn)化為整式不等式組求解基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題不等式的恒成立與有解問題能準(zhǔn)確將“恒成立”與“有解”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，并求解參數(shù)范圍重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題，解答題知識(shí)點(diǎn)01作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號(hào)，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號(hào)；（當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）知識(shí)點(diǎn)02不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號(hào)5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識(shí)點(diǎn)03基本不等式（1）重要不等式①若任意，則 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立②公式變形：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（2）基本不等式①如果，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。其中，叫作正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，作正數(shù)的幾何平均數(shù)。因此基本不等式也可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。②變形公式：③用基本不等式求最值時(shí)，要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件)知識(shí)點(diǎn)04最值定理①如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值，積有最大值”.②如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值，和有最小值”.知識(shí)點(diǎn)05糖水不等式、權(quán)方和不等式與柯西不等式1、若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜2、二維形式的柯西不等式（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）3、若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.(注：熟練掌握柯西不等式與權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決考試中的這類型最值問題的秒殺)知識(shí)點(diǎn)06解一元二次不等式判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識(shí)點(diǎn)07解分式不等式與絕對值不等式1、分式不等式的解法①②③④2、絕對值不等式的解法①②；；③含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解知識(shí)點(diǎn)08高次不等式的解法核心解法：數(shù)軸穿根法（序軸標(biāo)根法）步驟1：求根并標(biāo)在數(shù)軸上步驟2：“穿針引線”定區(qū)間符號(hào)①從數(shù)軸最右側(cè)上方開始，按照“奇穿偶回”的原則畫曲線：②“奇穿”：若因式的次數(shù)為奇數(shù)（如一次因式），曲線穿過該根對應(yīng)的點(diǎn)；③“偶回”：若因式的次數(shù)為偶數(shù)（如(x?1)2），曲線接觸該根對應(yīng)的點(diǎn)后返回，不穿過數(shù)軸步驟3：根據(jù)不等號(hào)確定解集知識(shí)點(diǎn)09不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).（5）)對于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立時(shí)，最高次數(shù)的系數(shù)含參要考慮為零情況。2．區(qū)間恒成立問題.函數(shù)在某區(qū)間恒成立時(shí)，若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.題型一不等式比大小解｜題｜技｜巧比較大小的常用方法（1）作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.（4）取特值，舉反例.【典例1】下列命題是真命題的是（

）A．若，則. B．若，則C．若，則 D．若，，則【變式1】（多選）已知，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）若，則下列說法不一定正確的是（

）A． B．C． D．若，則【變式3】從下列三組式子中選擇一組比較大小：①設(shè)，比較的大小；②設(shè)，比較的大??；③設(shè)，比較的大小.注：如果選擇多組分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.題型二利用不等式性質(zhì)求解不等式范圍解｜題｜技｜巧核心解題原則利用不等式性質(zhì)求范圍的核心是遵循性質(zhì)的約束條件，避免因“隨意變形”導(dǎo)致范圍擴(kuò)大或縮小，關(guān)鍵是保持變形的等價(jià)性，優(yōu)先采用“待定系數(shù)法”或“線性組合”的方法?；拘再|(zhì)直接變形法適用于簡單的單變量或雙變量不等式，需嚴(yán)格遵循不等式的基本性質(zhì)：性質(zhì)1（傳遞性）：若a>b且b>c，則a>c，可用于連不等式的范圍推導(dǎo)；性質(zhì)2（加減性質(zhì)）：不等式兩邊同時(shí)加/減同一數(shù)（或式），不等號(hào)方向不變性質(zhì)3（乘除正數(shù)）：兩邊同時(shí)乘/除同一正數(shù)，不等號(hào)方向不變性質(zhì)4（乘除負(fù)數(shù)）：兩邊同時(shí)乘/除同一負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變性質(zhì)5（同向可加）：若a>b,c>d，則a+c>b+d（僅可加不可直接減）性質(zhì)6（同向同正可乘）：若a>b>0,c>d>0，則ac>bd（負(fù)數(shù)不可直接乘）。待定系數(shù)法：適用于雙變量或多變量的線性組合范圍（如求ax+by的范圍），避免分步變形導(dǎo)致范圍偏差：①設(shè)目標(biāo)式（如m=2x+y）為已知不等式的線性組合，即m=p(x+y)+q(x-y)；②聯(lián)立系數(shù)求出p,q的值；③利用不等式同向可加性，分別求出p(x+y)和\q(x-y)的范圍，再相加得目標(biāo)式范圍。端點(diǎn)驗(yàn)證法：用于檢驗(yàn)所求范圍是否準(zhǔn)確，尤其是分步變形后：取已知不等式的端點(diǎn)值，代入目標(biāo)式計(jì)算，判斷目標(biāo)式的最值是否能取到，排除因“不當(dāng)變形”擴(kuò)大的范圍。易錯(cuò)提醒1.禁止“同向相減/異向相乘”：不等式無“同向相減”“異向相乘”的性質(zhì)，強(qiáng)行操作會(huì)導(dǎo)致范圍錯(cuò)誤2.乘除需判斷符號(hào)：對不等式兩邊乘除含參數(shù)的式子時(shí)，必須分“正數(shù)/負(fù)數(shù)/0”討論，避免漏解3.非線性式慎用性質(zhì)：求xy、x2等非線性式范圍時(shí)，不能直接用線性性質(zhì)，需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性【典例1】已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．【變式3】已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為題型三糖水不等式及其應(yīng)用（跨章節(jié)）解｜題｜技｜巧若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜易錯(cuò)提醒1.條件限制：必須滿足0<b<a且m>0，若a<b或m<0，不等式方向會(huì)反轉(zhuǎn)，需先驗(yàn)證條件；2.不可逆用：由不能推出0<b<a且m>0，需結(jié)合具體場景判斷；3.非線性拓展慎用：糖水不等式僅適用于“分子分母同加正數(shù)”的線性分式，對平方、乘積型分式不直接適用?！镜淅?】十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】已知，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【變式2】克糖水中含有克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個(gè)質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設(shè)全部溶解），生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，對應(yīng)的不等式為，這個(gè)不等式趣稱為糖水不等式．根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式3】（多選）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會(huì)更甜，于是得出“糖水不等式”：.根據(jù)“糖水不等式”等知識(shí)判斷，下列命題一定正確的是（

）A．若，，則B．若，且，則C．若，，為三條邊長，則D．若，，為三條邊長，則題型四基本不等式的理解及常見變形解｜題｜技｜巧即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件)易錯(cuò)提醒1.忽略“一正”條件：若變量為負(fù)，需先提取負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化為正數(shù)2.未構(gòu)造“二定”：直接套公式導(dǎo)致最值錯(cuò)誤3.多變量等號(hào)條件矛盾：多個(gè)不等式同時(shí)取等時(shí)，需確保變量取值一致【典例1】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，如圖所示的圖形中，在上取一點(diǎn)C，使得，，過點(diǎn)C作交以為直徑的半圓弧于D，連結(jié)，作，垂足為E，由可以直接證明的不等式是（

）.A． B．C． D．【變式1】下列問題中，a，b是不相等的正數(shù)，比較x，y，z的表達(dá)式．下列選項(xiàng)正確的是（

）問題甲：一個(gè)直徑a寸的披薩和一個(gè)直徑b寸的披薩，面積和等于兩個(gè)直徑都是x寸的披薩；問題乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，這兩圈的平均速度為y；問題丙：將一物體放在兩臂不等長的天平測量，放左邊時(shí)右側(cè)砝碼質(zhì)量為a（天平平衡），放右邊時(shí)左邊砝碼質(zhì)量為b（天平平衡），物體的實(shí)際質(zhì)量為z．A． B． C． D．【變式2】數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫Proofswithoutwords，也稱為無字證明，一般是指僅用圖形語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題．由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理．如圖，在等腰直角中，為斜邊的中點(diǎn)，是斜邊上異于、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明是（

）A． B．C． D．【變式3】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于點(diǎn)D，連接OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為點(diǎn)E，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A．≤(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C．≥(a>0，b>0)D．≥(a>0，b>0)題型五基本不等式求最值之“常值代換法”解｜題｜技｜巧核心原理“常值代換法”（又稱“1的代換”）是基本不等式求最值的高頻技巧，核心是利用已知的“定值條件”（通常為“1”的等式），對目標(biāo)式進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出可使用基本不等式的“積定”或“和定”形式，進(jìn)而求解最值。1.識(shí)別定值條件，鎖定代換核心先從題目中提取“定值等式”，優(yōu)先將其整理為等于1的形式（若為其他定值，可轉(zhuǎn)化為1，2.對目標(biāo)式進(jìn)行“乘1代換”：將目標(biāo)式乘以步驟1中的“1”（即定值等式的變形形式），展開后得到含“分式和”或“整式和”的式子，且展開項(xiàng)中會(huì)出現(xiàn)可利用基本不等式的“積為定值”的項(xiàng)。3.應(yīng)用基本不等式求最值：展開后，對符合“一正二定三相等”條件的項(xiàng)，套用基本不等式求出最值。4.驗(yàn)證等號(hào)成立條件：聯(lián)立“基本不等式取等條件”和“原始定值條件”，驗(yàn)證變量取值是否為正且一致，確保最值可取得。易錯(cuò)提醒1.忽略“一正”條件：代換前需確認(rèn)所有變量均為正，若變量有負(fù)區(qū)間需先限定范圍；2.代換后未構(gòu)造出“定值積”：展開后需確保AB為定值，否則無法用基本不等式3.等號(hào)條件矛盾：需同時(shí)滿足基本不等式取等和原始定值條件，若解得變量為負(fù)或無解，說明不能用此方法，需換用函數(shù)單調(diào)性求解。【典例1】已知，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1】正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．8【變式2】已知，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【變式3】已知，且，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2題型六基本不等式求最值之“換元法”解｜題｜技｜巧核心原理①整體思想②將分式雙換元后，易化成,再分離常數(shù)化簡成可利用基本不等式的結(jié)構(gòu)來求解答案；比如；【典例1】設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例2】已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y≤2且x?y>0，則2【變式1】已知正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，則a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【變式2】設(shè)m，n為正數(shù)，且，則的最小值為.【變式3】已知，，則的最小值.題型七條件等式變形求最值解｜題｜技｜巧核心思路對條件等式和目標(biāo)式同時(shí)進(jìn)行拆項(xiàng)、添項(xiàng)、湊系數(shù)，構(gòu)造出基本不等式要求的“和定”或“積定”形式，再用均值不等式求最值。解題步驟1.分析條件等式的結(jié)構(gòu)：判斷是否可轉(zhuǎn)化為“和為定值”或“積為定值”；2.配湊目標(biāo)式：對目標(biāo)式進(jìn)行變形，使其出現(xiàn)與條件等式相關(guān)的“和/積”項(xiàng)；3.套用基本不等式：滿足“一正二定三相等”后，求出最值并驗(yàn)證等號(hào)條件易錯(cuò)提醒1.消元后定義域遺漏：消元時(shí)需根據(jù)原變量的約束條件（如正數(shù)、實(shí)數(shù)）確定新變量的范圍，否則會(huì)導(dǎo)致最值求解錯(cuò)誤；2.基本不等式等號(hào)條件矛盾：用均值不等式時(shí)，需同時(shí)滿足“一正二定三相等”，若等號(hào)條件與原條件等式無正解，需換用函數(shù)單調(diào)性等方法；3.判別式法忽略二次項(xiàng)系數(shù)：整理一元二次方程時(shí)，需討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，避免漏解（如系數(shù)為0時(shí)為一次方程，需單獨(dú)驗(yàn)證是否有解）?！镜淅?】若正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．【變式1】若正數(shù)滿足，則ab的最小值為（）A．9 B．4 C．3 D．2【變式2】已知，則的最小值是（

）A．1 B．5 C． D．【變式3】已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．4 C．8 D．16題型八權(quán)方和不等式與柯西不等式（拓展）解｜題｜技｜巧柯西不等式（1）二元柯西不等式：對于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．注意等號(hào)取到的條件.權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對于任意的，都有．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立【典例1】函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【典例2】已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．【變式1】為非零常數(shù)，的最小值為.【變式2】已知正實(shí)數(shù)x、y、z的和為1，則的最小值為．【變式3】已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型九利用基本不等式解決恒成立問題解｜題｜技｜巧核心轉(zhuǎn)化邏輯：恒成立不等式f(x)≥k等價(jià)于f(x)min≥k；f(x)≤k等價(jià)于f(x)max≤k，基本不等式用于快速求f(x)的最值。解題三步法：①分離/鎖定函數(shù)：將不等式整理為參數(shù)與函數(shù)分離的形式，確定需最值的目標(biāo)函數(shù)f(x)②用基本不等式求最值：對f(x)配湊“一正二定三相等”的條件，算出其最小/最大值③建立參數(shù)關(guān)系：根據(jù)恒成立邏輯，將最值與參數(shù)聯(lián)立，解出參數(shù)范圍，同時(shí)驗(yàn)證等號(hào)條件的有效性。易錯(cuò)提醒①優(yōu)先分離參數(shù)，避免變量與參數(shù)混雜；配湊“和定/積定”時(shí)，可拆項(xiàng)、用常數(shù)代換②若等號(hào)條件不滿足定義域，改用函數(shù)單調(diào)性求最值③區(qū)分恒成立方向，勿顛倒“最值與參數(shù)”的不等關(guān)系。【典例1】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，有恒成立，則的最大值為（

）A．14 B．15 C．16 D．17【變式1】若正實(shí)數(shù)滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】設(shè)實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．12 B．24 C．32 D．48【變式3】已知，，且若關(guān)于，的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型十解一元二次不等式（不含參）【典例1】不等式的解集是（

）A． B．C． D．【變式1】不等式的解集為【變式2】不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式3】對于實(shí)數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例，那么使得不等式成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十一解一元二次不等式（含參）解｜題｜技｜巧對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.（2）根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).（3）有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.【典例1】解不等式.【變式1】若，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【變式2】設(shè).(1)若，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式.【變式3】已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，（i）解關(guān)于x的不等式；（i）若存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型十二由一元二次不等式的解求系數(shù)解｜題｜技｜巧核心解題邏輯一元二次不等式的解集與對應(yīng)一元二次方程的根、二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)直接相關(guān)，解題核心是“解集定根，根定系數(shù)”，即先由解集反推對應(yīng)方程的根，再結(jié)合韋達(dá)定理或方程根的定義求解參數(shù)，同時(shí)需關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)對解集方向的影響易錯(cuò)提醒①忽略二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)：直接用根代入方程而不判斷a的正負(fù)，會(huì)導(dǎo)致解集方向錯(cuò)誤；②遺漏判別式條件：當(dāng)解集為全體實(shí)數(shù)或空集時(shí)，需同時(shí)滿足a的符號(hào)和Δ<0，不可只關(guān)注Δ；③混淆“解集端點(diǎn)”與“方程根”的關(guān)系：解集的端點(diǎn)一定是對應(yīng)方程的根，但方程的根不一定是解集的端點(diǎn)（需結(jié)合不等號(hào)方向判斷）?！镜淅?】已知不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式1】若不等式的解集為，則（

）A．1 B． C． D．【變式2】（多選）若關(guān)于的不等式的解集為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【變式3】（多選）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為或題型十三解分式不等式與高次不等式解｜題｜技｜巧核心原理（1）①②③④（2）高次不等式可用數(shù)軸穿根法求解.【典例1】“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】解不等式【變式1】解不等式【變式2】關(guān)于的不等式的解集為.【變式3】已知，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型十四一元二次不等式的恒成立與有解問題解｜題｜技｜巧核心原理（1）弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論【典例1】已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式1】若不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型十四不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用解｜題｜技｜巧核心原理（1）利用基本不等式求解實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值（2）一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用關(guān)鍵是能根據(jù)題意建立出不等關(guān)系，從而根據(jù)實(shí)際求解不等式【典例1】兩次購買同一種物品，不考慮物品價(jià)格的升降，有以下兩種方案：甲方案是每次購買這種物品的數(shù)量一定；乙方案是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.對于以下兩種購物方案的優(yōu)惠程度的說法正確的是（

）A．甲方案更優(yōu)惠 B．乙方案更優(yōu)惠C．甲乙一樣優(yōu)惠 D．無法確定【典例2】據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量（單位：百件）與銷售價(jià)格（單位：元/件）滿足關(guān)系式，其中.已知該商品的成本為元/件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【典例3】（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）某主播在直播平臺(tái)上銷售一款成本為每件24元的商品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該主播按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，則銷售單價(jià)定為多少元時(shí)利潤最大？最大利潤是多少？(3)若該主播要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于1280元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？【變式1】據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量（單位：百件）與銷售價(jià)格（單位：元／件）滿足關(guān)系式，其中．已知該商品的成本為10元／件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為元．【變式2】“谷子”經(jīng)濟(jì)發(fā)展越來越快，某公司要生產(chǎn)1000個(gè)玩偶，已知該公司每小時(shí)生產(chǎn)玩偶數(shù)量固定，且每小時(shí)的生產(chǎn)成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與生產(chǎn)速度x（個(gè)∕時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為0.2，固定部分為720元，為使全程生產(chǎn)成本最低，該公司的生產(chǎn)速度是個(gè)∕時(shí)．【變式3】某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬元）與隔熱層的厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元．設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，則的最小值是萬元．1．（24-25高一上·江蘇南通·期末）若a＞b，c＞d，則（

）A． B．a(chǎn)－c＞b－dC．a(chǎn)－d＞b－c D．a(chǎn)c＞bd2．（24-25高一上·江蘇連云港·期末）不等式的解集為（

）A． B．或C． D．3．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）以下命題中是不等式“”成立的充分不必要條件的是（

）A． B． C．且 D．4．（24-25高一上·江蘇·期末）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．5．（24-25高一上·江蘇南通·期末）用總長為的籬笆圍成一塊矩形菜地，其中一邊空出的缺口作