專題6.1向量的概念與線性運(yùn)算【清單01】向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．3．單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．5．相等向量：長度相等且方向相同的向量．【清單02】向量的加法（1）三角形法則（圖甲）：強(qiáng)調(diào)向量“首尾相接”（2）平行四邊形法則（圖乙）：強(qiáng)調(diào)“共起點(diǎn)”（3）向量加法的運(yùn)算律=1\*GB3①交換律=2\*GB3②結(jié)合律【點(diǎn)撥】=1\*GB3①已知n個(gè)向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即為這n個(gè)向量的和，這稱為向量求和的多邊形法則．=2\*GB3②首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0．【清單03】向量減法1．相反向量：長度相等且方向相反的向量．2.一個(gè)向量減去另一個(gè)向量，等于第一個(gè)向量加上第二個(gè)向量的相反向量【點(diǎn)撥】=1\*GB3①向量減法的三角形法則中，eq\o(BA,\s\up6(→))表示a－b，強(qiáng)調(diào)了差向量的“箭頭”指向被減向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以簡記為“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)指向被減”．=2\*GB3②如圖，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線所對應(yīng)的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.【清單04】向量的數(shù)乘1.定義一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa長度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向與a的方向相同λ＝0λa＝0（零向量?。│?lt;0λa的方向與a的方向相反2.幾何意義：λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小|λ|倍．3.運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．【點(diǎn)撥】對于非零向量a，當(dāng)λ＝eq\f(1,|a|)時(shí)，λa表示a方向上的單位向量．【清單05】向量的線性運(yùn)算1.向量加法與數(shù)乘的混合運(yùn)算λa＋μa＝(λ＋μ)a2.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．【考點(diǎn)題型一】向量的有關(guān)概念【例1】（23-24高一下·黑龍江佳木斯·期末）下列敘述中正確的是（）A．已知向量，，且，則與的方向相同或相反B．若，則C．若，，則D．對任一非零向量，是一個(gè)單位向量【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）、相等向量、零向量與單位向量、平面向量的概念與表示【分析】對A，若，有一個(gè)為零向量即可判斷；對B，向量相等定義即可判斷；對C，若即可判斷；對D，由單位向量的定義判斷.【詳解】對A，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，若或時(shí)，與的方向不是相同或相反，故A錯(cuò)誤；對B，，且，方向相同才可判斷，故B錯(cuò)誤；對C，當(dāng)時(shí)，若，，與是任意向量，故C錯(cuò)誤；對D，對任一非零向量，表示與方向相同且模長為1的向量，故D正確.故選：D【變式1-1】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假、零向量與單位向量、平行向量（共線向量）【分析】根據(jù)零向量的定義及共線向量的定義判斷即可得.【詳解】對①：因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾那伊阆蛄颗c任何向量共線，故當(dāng)與中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的，故為假命題；對②：兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，故為真命題；對③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；對④：向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故為假命題.故選：B.【變式1-2】（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量的大小為0，沒有方向B．C．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同D．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）、相等向量、零向量與單位向量、向量的?！痉治觥扛鶕?jù)零向量特點(diǎn)即可判斷A；根據(jù)向量模的定義即可判斷B，根據(jù)單位向量以及向量共線的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對A，既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯(cuò)誤；對B，由于與方向相反，長度相等，故B正確；對C，起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)不一定相同，故C錯(cuò)誤；對D，若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反，故D錯(cuò)誤．故選：B．【變式1-3】（25-26高一上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，在圓中，向量，，是（

）

A．有相同起點(diǎn)的向量 B．相反向量C．模相等的向量 D．相等向量【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）、相等向量、向量的模、平面向量的概念與表示【分析】根據(jù)向量的幾何表示，可判斷出選項(xiàng)A和C的正誤，再利用相反向量及相等向量的概念，結(jié)合圖形，即可判斷選項(xiàng)B和D的正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)橄蛄?，的起點(diǎn)為，而向量的起點(diǎn)為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，向量，，的模長均為圓的半徑，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)橄嗟认蛄渴欠较蛳嗤?，長度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：C.【變式1-4】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若與共線，則與方向相同或相反C．若為單位向量，則 D．與非零向量共線的單位向量是【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）、零向量與單位向量【分析】由零向量的定義判斷A；通過舉反例判斷B；由單位向量的定義判斷C；直接寫出與非零向量共線的單位向量來判斷D．【詳解】對于A，只有零向量的模為，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，顯然與共線，但零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C錯(cuò)誤；對于D，與非零向量共線的單位向量有兩個(gè)，與方向相同的是，與方向相反的是，故D錯(cuò)誤．故選：A．【考點(diǎn)題型二】向量的加法【例2】（24-25高一下·全國·課堂例題）設(shè)A，B，C，D是平面上的任意四點(diǎn)，試化簡：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的運(yùn)算律【分析】（1）（2）（3）根據(jù)向量線性運(yùn)算的法則化簡求解即可.【詳解】（1）．（2）．（3）．【變式2-1】（23-24高一下·河南鄭州·期末）在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法的平行四邊形法則求解即得.【詳解】在中，，則.故選：C【變式2-2】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）下列三個(gè)結(jié)論：①若，則；②的等價(jià)條件是點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合；③若且，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】零向量與單位向量、相等向量、向量加法的法則【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，結(jié)合向量相等的定義判斷①，根據(jù)向量相等定義判斷②，根據(jù)向量加法和零向量定義判斷③.【詳解】互為相反向量．又互為相反向量，故，故①正確；當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，且由點(diǎn)到點(diǎn)與由點(diǎn)到點(diǎn)的方向相同，但不一定有點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，故②錯(cuò)誤；若且，則，，故③正確．故選：B.【變式2-3】（多選）（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）設(shè)，是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、零向量與單位向量、向量的?！痉治觥扛鶕?jù)向量的線性運(yùn)算，求得，結(jié)合零向量的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，向量，且是一個(gè)非零向量，所以A正確；由，所以B不正確，C正確；由，，所以，所以D正確.故選：ACD.【變式2-4】（24-25高一下·全國·課前預(yù)習(xí)）對于實(shí)數(shù)a，b，c滿足以下運(yùn)算律：（1）；（2）．向量，，是否滿足該類運(yùn)算律？【答案】滿足．【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的運(yùn)算律【詳解】向量，，滿足以下加法的交換律、結(jié)合律，如下：（1），（2）.【考點(diǎn)題型三】向量的減法【例3】（23-24高一下·全國·單元測試）化簡下列各式：(1)；(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、向量減法的法則【分析】（1）（2）（3）由向量的加減法運(yùn)算即可得答案.【詳解】（1）．（2）.（3）.【變式3-1】（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）如圖，四邊形是正方形，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】向量減法的法則【分析】由三角形法則即可求解.【詳解】.故選：B【變式3-2】（21-22高一下·天津·階段練習(xí)）向量，化簡后等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】向量減法的法則、向量加法的法則【分析】利用平面向量的加法與減法可化簡所得向量式.【詳解】.故選：D.【變式3-3】（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）如圖，平行四邊形中，是邊上的一點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】向量減法的法則、向量加法的法則【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算化簡求解即可.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B【變式3-4】（多選）（22-23高二上·貴州黔西·階段練習(xí)）化簡以下各式，結(jié)果為的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】向量減法的法則、向量加法的法則【分析】根據(jù)向量加減法的計(jì)算法則直接可得解.【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.【考點(diǎn)題型四】數(shù)乘向量【例4】（多選）（24-25高一下·全國·課堂例題）（多選）已知，，且，則在以下各命題中，正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的方向與的方向一定相反B．當(dāng)時(shí)，的方向具有任意性C．D．當(dāng)時(shí)，的方向與的方向一定相同【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、平行向量（共線向量）【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算概念判斷ABD,再根據(jù)向量的模長性質(zhì)判斷C.【詳解】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的方向的規(guī)定，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，零向量的方向具有任意性，故B正確；對于D，由可得，同為正或同為負(fù)，所以和或者都是與同向，或者都是與反向，所以與是同向的，故D正確；對于C，，故C錯(cuò)誤．故選：ABD.【變式4-1】（23-24高二下·陜西商洛·期中）已知向量是非零向量，則方向上的單位向量為（

）A． B． C． D．（且）【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、零向量與單位向量【分析】由數(shù)乘向量的運(yùn)算以及單位向量的定義直接判斷即可.【詳解】因?yàn)椋遗c向量方向相同，所以為方向上的單位向量.故選：A【變式4-2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知非零向量，且，則向量的單位向量.（用表示）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、零向量與單位向量【分析】先寫出的單位向量，再由和反向可得.【詳解】由已知，則和反向，又非零向量的單位向量，所以向量的單位向量.故答案為：.【變式4-3】（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）若非零向量，且設(shè)，則實(shí)數(shù)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、向量加法的法則【分析】利用向量的加減法法則對化簡變形，然后結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，故答案為：【變?-4】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D滿足，則.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、向量減法的法則【分析】先對等式進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化為與和有關(guān)的形式，然后再求的值.【詳解】已知，根據(jù)向量的減法法則，則.因?yàn)椋?，所以，移?xiàng)可得.由于，那么，所以.故答案為：.【考點(diǎn)題型五】向量的線性運(yùn)算【例5】（23-24高一·上?！ふn堂例題）化簡下列向量運(yùn)算；(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算【分析】（1）（2）（3）直接由向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）；（2）；（3）.【變式5-1】（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習(xí)）化簡下列各式：(1)．(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、向量減法的法則、向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、平面向量的混合運(yùn)算【分析】（1）應(yīng)用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；（2）應(yīng)用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；（3）應(yīng)用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）.【變式5-2】（22-23高二上·海南·開學(xué)考試）化簡：(1)；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3).【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、平面向量的混合運(yùn)算【分析】（1）（2）（3）直接由向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）；（2）；（3）.【變式5-3】（22-23高一下·廣東汕頭·階段練習(xí)）化簡下列各式：(1)．(2)；【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算、向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、向量減法的運(yùn)算律、向量加法的運(yùn)算律【分析】（1）直接利用向量的加減法的法則求解即可.（2）直接利用向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算化簡即可得出答案.【詳解】（1）.（2）.【變式5-4】（23-24高一·上海·課堂例題）根據(jù)下列條件，求向量：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、向量減法的法則、向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、平面向量的混合運(yùn)算【分析】（1）直接利用平面向量的加減混合運(yùn)算求解；（2）直接利用平面向量的加減混合運(yùn)算求解；（3）直接利用平面向量的加減混合運(yùn)算求解中的．【詳解】（1）由，得，即，；（2）由，得，得；（3）由，得，，可得．【考點(diǎn)題型六】向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用【例6】（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、向量加法法則的幾何應(yīng)用【分析】取的中點(diǎn)，則，進(jìn)而可得.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，則，故，故、、三點(diǎn)共線，故，

故答案為：5【變式6-1】（23-24高一下·江西上饒·期末）已知為的重心，則（