專題07指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（易錯(cuò)必刷43題10種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化指數(shù)函數(shù)的特征及解析式指數(shù)函數(shù)的定義域指數(shù)函數(shù)的值域指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)及指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象判斷指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用指數(shù)函數(shù)綜合題一．有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化1．（2023秋?洛龍區(qū)校級(jí)期末）可化為A． B． C． D．【解析】．故選：．2．（2023秋?河北區(qū)期末）已知，則化為A． B． C． D．【解析】原式．故選：．3．（2022秋?金山區(qū)期末）將化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為．【解析】，故答案為：．二．指數(shù)函數(shù)的特征及解析式4．（2023秋?潁上縣校級(jí)期末）已知指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則A．4 B．1 C．2 D．【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，所以．故選：．5．（2023秋?相山區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A． B．1 C． D．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，解得或．故選：．6．（2023秋?昆明期末）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的解析式及的值．【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且，，，．綜上所述，，．三．指數(shù)函數(shù)的定義域7．（2023秋?上饒期末）函數(shù)的定義域?yàn)锳．， B．， C．， D．，【解析】函數(shù)有意義則必有，解得，所以定義域?yàn)椋蔬x：．8．（2023秋?威海期末）函數(shù)的定義域?yàn)锳． B． C．， D．，【解析】由，得，即．函數(shù)的定義域?yàn)?，．故選：．9．（2023秋?漳州期末）函數(shù)的定義域?yàn)锳． B． C． D．【解析】要使有意義，則，解得，的定義域?yàn)椋海蔬x：．10．（2022秋?農(nóng)安縣校級(jí)期末）函數(shù)的定義域?yàn)锳．， B．，， C．， D．【解析】，，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故選：．11．（2023秋?赤峰期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋窘馕觥恳购瘮?shù)有意義，則，解得．函數(shù)的定義域?yàn)椋海蚀鸢笧椋海模笖?shù)函數(shù)的值域12．（2023秋?利辛縣校級(jí)期末）函數(shù)，，，則的值域是A．， B．， C． D．【解析】因?yàn)樵?，上單調(diào)遞減，所以在，上的值域?yàn)椋蔬x：．13．（2022秋?新邵縣期末）已知函數(shù)，，，則函數(shù)的值域?yàn)锳．， B．， C．， D．，【解析】設(shè)，當(dāng)，時(shí)，，，則等價(jià)為，，，時(shí)，函數(shù)取得最小值3，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值4，即函數(shù)的值域?yàn)?，，故選：．14．（2022秋?北海期末）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知，，，求的值域．【解析】（1）由題意可得，解得；（2）由（1）可得，因?yàn)?，，令，，令，則（1），（4），因此函數(shù)的值域?yàn)椋?5．（2022秋?鐵嶺期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋á瘢┰O(shè)，求的取值范圍；（Ⅱ）求函數(shù)的值域．【解析】（Ⅰ）在上單調(diào)遞增，（Ⅱ）函數(shù)可化為：在，上單減，在，上單增比較得，（1），函數(shù)的值域?yàn)?，五．指?shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系16．（2022秋?內(nèi)江期末）函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，，，，分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則，，，的值分別是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【解析】直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為，，，，由，故選：．17．（2023秋?官渡區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，函數(shù)圖像①②③④⑤⑥⑦⑧中不屬于函數(shù)：，，，的是A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，①②③④為指數(shù)函數(shù)圖像，且③④為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，取可知，③④分別對(duì)應(yīng)，，又①④圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則①對(duì)應(yīng)，即②不屬于；由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，⑤⑥⑦⑧為對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，其中⑦⑧為單調(diào)遞減的對(duì)數(shù)函數(shù)，由“底大圖低”可知⑧對(duì)應(yīng)，⑦對(duì)應(yīng)，且⑤⑧圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則⑤對(duì)應(yīng)，即⑥不屬于．故選：．18．【多選】（2023秋?周至縣校級(jí)期末）若，，則以下結(jié)論正確的是A． B． C． D．【解析】，，對(duì)于，，正確；對(duì)于，函數(shù)是上的減函數(shù)，則，正確；對(duì)于，取，，顯然錯(cuò)誤；由可得，則，錯(cuò)誤．故選：．19．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）若實(shí)數(shù)、滿足，則A． B． C． D．【解析】不等式可化為，設(shè)，則是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，由得，所以，選項(xiàng)正確．故選：．20．（2023秋?南昌期末）如圖，指數(shù)函數(shù)，，與直線分別交于點(diǎn)，，，若，，的橫坐標(biāo)分別為，，，滿足，則，．【解析】由題意知，，所以，，，所以，所以，又因?yàn)椋?，且，，所以，．故答案為?；4．六．指數(shù)函數(shù)及指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象21．（2023秋?故城縣校級(jí)期末）函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．【解析】，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，，，，在上單調(diào)遞增．又（1），結(jié)合選項(xiàng)可知，選項(xiàng)符合題意．故選：．22．（2023秋?南山區(qū)校級(jí)期末）指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，其中，，則二次函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】由圖知指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，則，又點(diǎn)，在圖象的下方，故，解得，由可知拋物線的對(duì)稱軸為：直線，故得二次函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．故選：．23．（2022秋?西昌市期末）函數(shù)一定不過A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限【解析】函數(shù)的圖象是把的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的，其圖象如圖：由圖可知，函數(shù)一定不過第四象限．故選：．24．【多選】（2023春?會(huì)寧縣校級(jí)期末）已知函數(shù)且的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【解析】由圖象可知，函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時(shí)，，可得．對(duì)于選項(xiàng)，，對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)，，對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)，，錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，由題意可知，，則，所以，，對(duì)．故選：．25．【多選】（2022秋?海港區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足（a）（b），則A． B．，，使得 C． D．【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖知，則，故錯(cuò)，對(duì)，由基本不等式可得，所以，則，故錯(cuò)，對(duì)．故選：．26．（2023秋?新市區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)．【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，函數(shù)當(dāng)指數(shù)即時(shí)，函數(shù)的圖象過故答案為：．27．（2023春?水富市期末）當(dāng)且時(shí)，函數(shù)過定點(diǎn)．【解析】對(duì)于當(dāng)且時(shí)，函數(shù)，令，求得，所以，所以函數(shù)過定點(diǎn)．故答案為：．28．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)．【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，總有，所以必過點(diǎn)，故答案為：．七．判斷指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性29．（2023春?漢中期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由于在上是減函數(shù)，故項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由于在上單調(diào)遞增，故項(xiàng)正確；對(duì)于，由于是對(duì)稱軸為，開口向上的二次函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．30．（2022秋?周村區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：．【解析】令，，，，故的減區(qū)間為，，函數(shù)的增區(qū)間為，．八．指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用31．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若指數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．32．（2022秋?通遼期末）指數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．，， B．，， C． D．【解析】由于指數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，故有，求得則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：．33．（2022秋?豐城市期末）已知偶函數(shù)，則滿足（2）的實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，，【解析】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，又由函數(shù)為偶函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，若（2），則，解得：，故選：．34．（2022秋?定州市期末）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【解析】，，，又，，故選：．35．（2023春?梁園區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】設(shè)，對(duì)稱軸為，拋物線開口向上，是的增函數(shù)，要使在區(qū)間單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞減，即，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．36．（2022秋?南開區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】在上單調(diào)遞增，，解得，的取值范圍是，．故答案為：，．九．指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用37．（2022秋?佛山期末）在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，已知經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，那么經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的A．18倍 B．24倍 C．36倍 D．48倍【解析】某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，設(shè)湖泊中原來藍(lán)藻數(shù)量為，則，經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量為：．經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的36倍．故選：．38．（2024春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為A．60 B．63 C．66 D．69【解析】由已知可得，解得，兩邊取對(duì)數(shù)有，解得，故選：．39．（2023秋?平谷區(qū)期末）在早高峰，某路口通過的車輛與時(shí)間的關(guān)系近似地符合，，，在早高峰這段時(shí)間內(nèi)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①通過該路口的車輛數(shù)隨著時(shí)間逐漸增多；②早上6時(shí)和早上7時(shí)通過通過該路口的車輛數(shù)相等；③在任意時(shí)刻，通過路口的車輛不會(huì)超過35輛；④在任意時(shí)刻，通過路口的車輛不會(huì)低于14輛．依據(jù)上述關(guān)系式，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，，，令，，；則在，內(nèi)單調(diào)遞減，在，內(nèi)單調(diào)遞增，所以先增后減，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是，所以（6）（7），所以（6）（7），命題②正確；對(duì)于③，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最大值為，即在任意時(shí)刻，通過路口的車輛不會(huì)超過35輛，命題③正確；對(duì)于④，因?yàn)椋?），（9），且（5）（9），所以的最小值為（9），即在任意時(shí)刻，通過路口的車輛不會(huì)低于14輛，命題④正確．綜上，所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③．故答案為：②③④．十．指數(shù)函數(shù)綜合題40．（2022秋?黃埔區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，為常數(shù)且，的圖象經(jīng)過點(diǎn)，（1）試求，的值；（2）若不等式在，時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)，（其中，為常數(shù)且，的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，解得，，．（2）設(shè)，若不等式在，時(shí)恒成立，則當(dāng)，時(shí)，，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）．，即的取值范圍是，．41．（2023春?鯉城區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，且．（1）求；（2），求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，或．又因?yàn)?，且，所以．?）由（1）得，所以，因?yàn)楹驮谏鲜窃龊瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)，又因?yàn)?，所以為奇函?shù)，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍是?2．（2021秋?黃石期末）已知定義在上的奇函數(shù)．在時(shí)，．（1）試求的表達(dá)式；（2）用定義證明在上是減函數(shù)；（3）若對(duì)于上的每一個(gè)值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）是定義在