5/5專題01集合與常用的邏輯用語

【清單01】元素與集合（1）集合中元素的三個特性：、、.（2）元素與集合的關系：或，數學符號分別記為：和.（3）集合的表示方法：、、.（4）常見數集和數學符號數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集符號特別提醒：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.集合應滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.④列舉法：把集合的元素出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法：用集合所含元素的表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.【清單02】集合間的基本關系（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有，稱，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但，且，我們稱集合是集合的，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做，記作；是任何集合的，是任何非空集合的

【清單03】集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示【清單04】集合的運算性質（1），，．（2），，．（3），，．【解題方法總結】（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【清單05】充分條件與必要條件(1)一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q，這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說，p是q的，q是p的．(2)幾點說明若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件

【清單06】充要條件(1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．(2)如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．【清單07】全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題叫做．全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”．（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做，并用符號“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”．【清單08】含有一個量詞的命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：；(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：．注意：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一．【題型一】集合的三要素【例1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所給對象不能構成集合的是（

）A．一個平面內的所有點 B．某校高一（1）班的高個子學生C．所有大于零的正整數 D．不等于0的偶數【變式1-1】．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各組對象不能構成集合的是（）A．中國古代四大發(fā)明 B．小于5的正整數C．關于方程的實數解 D．中國著名的數學家【變式1-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（多選題）已知非空數集T滿足：對任意的，都有，且集合T中的元素個數不超過4．下列說法正確的是（

）A．T可能為雙元素集合 B．T中元素不可能都大于0C．T中所有元素之積為 D．T中所有元素之和可能為【題型二】元素與集合的關系【例2】．（25-26高一上·遼寧遼陽·期中）若，則（

）A． B．1 C．或1 D．或2【變式2-1】．（25-26高一上·湖南長沙·期中）已知集合，則0與集合A的關系為（

）A． B． C． D．【變式2-2】．（25-26高一上·云南文山·月考）若，則，則稱是伙伴關系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合個數為（

）A．16 B．15 C．14 D．13【型三】集合與集合的關系：子集與真子集【例3】．（25-26高一上·上海·期中）設集合，則滿足的集合的子集最多個數是（

）．A．4 B．8 C．16 D．32【變式3-1】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）若集合，，則集合，之間的關系表示最準確的為（

）A． B． C． D．無法確定【變式3-2】．（2026高三·全國·專題練習）已知集合，若，則實數的取值集合為（）A． B．C． D．【型四】集合的運算：交集、并集與補集【例4】．（25-26高三上·重慶·月考）已知集合，則（

）A． B．C． D．【變式4-1】．（25-26高一上·廣東惠州·月考）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【變式4-2】．（25-26高一上·遼寧大連·期中）已知集合，集合．(1)若，求和．(2)若，求實數的取值范圍．

【型五】含有一個量詞的命題的否定【例5】．（25-26高一上·遼寧大連·期中）命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【變式5-1】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【變式5-2】．（24-25高一上·江蘇南通·月考）命題：“”的否定是（

）A． B．C． D．【題型六】命題真假的判斷【例6】．（25-26高一上·江西贛州·月考）（多選題）下列命題中，是真命題的有（

）．A．已知集合，，則的真子集個數為3B．設集合，，若，則或C．若，，則D．【變式6-1】．（24-25高一上·貴州遵義·月考）（多選題）下面命題正確的是（）A．若且，則，至少有一個大于1B．直角三角形的外心一定不在斜邊上C．如果實數集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值D．任何分數都是有理數【變式6-2】．（23-24高一上·重慶·期中）（多選題）下列命題是真命題的是（

）A．所有平行四邊形的對角線互相平分B．若是無理數，則一定是有理數C．若，則關于的方程有兩個負根D．兩個相似三角形的周長之比等于它們對應的邊長之比【題型七】根據命題的真假求參數的取值范圍【例7】．（25-26高一上·山東聊城·期中）若“，”是真命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式7-1】．（25-26高一上·北京·月考）已知命題p：，；命題q：，，若命題p，q均為假命題，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式7-2】．（24-25高一上·江蘇蘇州·月考）已知命題，都有，命題存在，若與不全為真命題，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型八】充分、必要及充要條件的判斷【例8】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式8-1】．（25-26高一上·廣東深圳·期中）“”是“冪函數在區(qū)間上單調遞減”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【題型九】根據充分、必要及充要條件求參數的取值范圍【例9】．（25-26高三上·廣東梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍為．【變式9-1】．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要條件，則實數的取值范圍是．【變式9-2】．（25-26高一上·江蘇無錫·期中）已知集合，．(1)當時，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．

【易錯題型一】在解含參數集合問題時忽略空集易錯分析：由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集合就有可能忽視了，導致解題結果錯誤．尤其是在解含參數的集合問題時，更應注意到當參數在某個范圍內取值時，所給的集合可能是空集的情況．考生由于思維定式的原因，往往會在解題中遺忘了這個集合，導致答案錯誤或答案不全面．【例1】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）已知命題，命題．(1)已知，命題都是真命題，求的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍．【變式1-1】．（25-26高一上·福建廈門·期中）已知集合，.(1)若，求和；(2)若“”是“”的必要而不充分條件，求實數的取值范圍.

【易錯題型二】在解含參數集合問題時忽略空集易錯分析：(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p