應(yīng)用泛函考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.泛函分析主要研究的是（）A.函數(shù)的運(yùn)算B.函數(shù)空間及其上的算子C.多元函數(shù)D.數(shù)列答案：B2.設(shè)X是賦范線性空間，x,y∈X，若||x+y||=||x||+||y||，則（）A.x=0或y=0B.x=λy(λ>0)C.x與y線性無(wú)關(guān)D.x=-y答案：B3.下列空間不是完備的是（）A.實(shí)數(shù)空間RB.有理數(shù)空間QC.l2空間D.L2[a,b]答案：B4.設(shè)T是從賦范線性空間X到Y(jié)的線性算子，若T在某一點(diǎn)連續(xù)，則（）A.T在X上一致連續(xù)B.T在X上有界C.T在X上無(wú)界D.T只在某區(qū)間連續(xù)答案：B5.希爾伯特空間是（）A.內(nèi)積空間B.賦范線性空間C.線性空間D.度量空間答案：A6.設(shè){en}是希爾伯特空間H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，若對(duì)任意x∈H，有∑|(x,en)|2收斂，則（）A.{en}完備B.{en}不完備C.與{en}無(wú)關(guān)D.不能確定答案：A7.對(duì)于線性算子T，其伴隨算子T滿足（）A.(Tx,y)=(x,Ty)B.(Tx,y)=(Ty,x)C.(x,Ty)=(Ty,x)D.(x,Ty)=(y,Tx)答案：A8.在巴拿赫空間中，下列說(shuō)法正確的是（）A.每個(gè)柯西列都收斂B.只有部分柯西列收斂C.柯西列不一定收斂D.收斂列不是柯西列答案：A9.設(shè)X是線性空間，p是X上的泛函，若p(x+y)≤p(x)+p(y)且（），則稱p為次線性泛函。A.p(λx)=λp(x)(λ≥0)B.p(λx)=|λ|p(x)C.p(λx)=λp(x)(λ>0)D.p(λx)=-λp(x)(λ<0)答案：A10.設(shè)X,Y是賦范線性空間，T:X→Y是線性算子，若T是雙射且T和T?1都是連續(xù)的，則稱T是（）A.開(kāi)映射B.閉映射C.同構(gòu)映射D.等距映射答案：C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.賦范線性空間的范數(shù)需滿足（）A.||x||≥0，||x||=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0B.||λx||=|λ|||x||C.||x+y||≤||x||+||y||D.||x-y||=||y-x||答案：ABC2.以下屬于希爾伯特空間性質(zhì)的有（）A.具有內(nèi)積B.由內(nèi)積誘導(dǎo)出范數(shù)C.是完備的D.是有限維空間答案：ABC3.設(shè)T是線性算子，以下關(guān)于T有界的等價(jià)說(shuō)法有（）A.存在M>0，使得||Tx||≤M||x||B.T將有界集映為有界集C.T在某點(diǎn)連續(xù)D.T在整個(gè)空間連續(xù)答案：ABCD4.下列關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交系的說(shuō)法正確的有（）A.線性無(wú)關(guān)B.可以用來(lái)表示空間中的元素C.張成的子空間是閉的D.是有限集答案：AB5.在泛函分析中，常見(jiàn)的空間有（）A.L?空間B.l?空間C.索伯列夫空間D.拓?fù)淇臻g答案：ABC6.設(shè)X是賦范線性空間，X是其對(duì)偶空間，以下關(guān)于對(duì)偶空間的說(shuō)法正確的有（）A.X也是賦范線性空間B.存在從X到X的自然映射C.對(duì)偶空間中的元素是X上的線性泛函D.對(duì)偶空間的維數(shù)一定比X的維數(shù)大答案：ABC7.對(duì)于線性算子T，以下關(guān)于T的核（Ker(T)）和值域（R(T)）說(shuō)法正確的有（）A.Ker(T)是X的子空間B.R(T)是Y的子空間C.Ker(T)={x∈X|Tx=0}D.R(T)={y∈Y|存在x∈X，使得Tx=y}答案：ABCD8.以下關(guān)于巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理說(shuō)法正確的有（）A.要求映射是壓縮映射B.存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)C.在完備度量空間中成立D.可用于求解方程的解答案：ABCD9.設(shè)X是內(nèi)積空間，對(duì)于內(nèi)積(x,y)，以下性質(zhì)成立的有（）A.(x,y)=(y,x)的共軛B.(λx,y)=λ(x,y)C.(x+y,z)=(x,z)+(y,z)D.(x,x)≥0，(x,x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0答案：ABCD10.泛函分析在以下哪些領(lǐng)域有應(yīng)用（）A.物理學(xué)B.工程學(xué)C.經(jīng)濟(jì)學(xué)D.計(jì)算機(jī)科學(xué)答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.賦范線性空間一定是度量空間。（）答案：對(duì)2.線性算子如果在一點(diǎn)連續(xù)，則在整個(gè)空間連續(xù)。（）答案：對(duì)3.所有的內(nèi)積空間都是希爾伯特空間。（）答案：錯(cuò)4.有限維賦范線性空間都是完備的。（）答案：對(duì)5.線性算子的核一定是閉子空間。（）答案：錯(cuò)6.設(shè){en}是希爾伯特空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，則對(duì)任意x∈H，∑(x,en)en一定收斂。（）答案：對(duì)7.在巴拿赫空間中，柯西列一定有界。（）答案：對(duì)8.若T是從賦范線性空間X到Y(jié)的線性算子，T是有界的當(dāng)且僅當(dāng)T是連續(xù)的。（）答案：對(duì)9.兩個(gè)賦范線性空間同構(gòu)，則它們的維數(shù)一定相同。（）答案：對(duì)10.希爾伯特空間中的內(nèi)積是唯一確定的。（）答案：錯(cuò)四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述賦范線性空間和度量空間的關(guān)系。答案：賦范線性空間是一種特殊的度量空間。在賦范線性空間中，可以通過(guò)范數(shù)定義度量d(x,y)=||x-y||。但度量空間不一定是賦范線性空間，度量空間中的度量不一定由范數(shù)誘導(dǎo)而來(lái)。2.什么是線性算子的有界性？答案：設(shè)X,Y是賦范線性空間，T:X→Y是線性算子。若存在M>0，使得對(duì)任意x∈X，有||Tx||≤M||x||，則稱T是有界的。即線性算子將有界集映為有界集。3.簡(jiǎn)述希爾伯特空間中標(biāo)準(zhǔn)正交系的作用。答案：標(biāo)準(zhǔn)正交系是線性無(wú)關(guān)的，可用于表示希爾伯特空間中的元素。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正交系，可將空間中的元素展開(kāi)成級(jí)數(shù)形式，在研究空間的結(jié)構(gòu)、函數(shù)逼近等方面有重要作用。4.什么是巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理？答案：在完備度量空間(X,d)中，若映射T:X→X是壓縮映射（即存在0<k<1，使得d(Tx,Ty)≤kd(x,y)），則T在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x，即Tx=x。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論泛函分析在物理學(xué)中的應(yīng)用。答案：在量子力學(xué)中，希爾伯特空間用來(lái)描述量子態(tài)。泛函分析中的算子理論可用于描述物理量的觀測(cè)等。例如，線性算子可對(duì)應(yīng)物理中的可觀測(cè)量，其本征值等概念與物理現(xiàn)象相關(guān)。2.如何判斷一個(gè)線性算子是否連續(xù)？答案：可以從以下方面判斷。一是若線性算子在某一點(diǎn)連續(xù)，則它在整個(gè)空間連續(xù)。二是若存在M>0，使得||Tx||≤M||x||，則線性算子是連續(xù)的，即線性算子有界等價(jià)于連續(xù)。3.闡述賦范線性空間完備性的重要性。答案：完備性保證了空間中的柯西列收斂。在很多