高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為A.3B.-3C.2D.-2答案：A2.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=2且arg(z)=π/3，則z的代數(shù)形式為A.2(cos(π/3)+isin(π/3))B.2(cos(π/3)-isin(π/3))C.2(cos(2π/3)+isin(2π/3))D.2(cos(2π/3)-isin(2π/3))答案：A3.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18答案：A4.圓x^2+y^2=4與直線y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)個(gè)答案：C5.函數(shù)f(x)=e^x-x在(-∞,+∞)上的單調(diào)性為A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增答案：A6.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=1，公差d=2，則a_5的值為A.9B.11C.13D.15答案：C7.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則角C的大小為A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D8.已知函數(shù)f(x)=log_a(x)，若f(2)=1，則a的值為A.2B.1/2C.4D.1/4答案：A9.已知直線l1:y=kx+b和直線l2:y=mx+c，若l1與l2平行，則必有A.k=m且b=cB.k=m且b≠cC.k≠m且b=cD.k≠m且b≠c答案：B10.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，則f(x)的最小正周期為A.πB.2πC.π/2D.4π答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有A.f(x)=x^2B.f(x)=e^xC.f(x)=-xD.f(x)=log_2(x)答案：BD2.下列命題中，正確的有A.若a>b，則a^2>b^2B.若a>b，則√a>√bC.若a>b，則1/a<1/bD.若a>b，則-a<-b答案：CD3.下列復(fù)數(shù)中，模長(zhǎng)為1的有A.1+iB.iC.-1-iD.1答案：BD4.下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的有A.a_n=n^2B.a_n=2n-1C.a_n=3n+1D.a_n=n^3答案：BC5.下列函數(shù)中，在x=0處取得極值的函數(shù)有A.f(x)=x^3B.f(x)=x^4C.f(x)=x^2D.f(x)=x答案：AC6.下列命題中，正確的有A.若A是集合B的子集，則A的補(bǔ)集是B補(bǔ)集的子集B.若A是集合B的子集，則B的補(bǔ)集是A補(bǔ)集的子集C.若A是集合B的子集，則A與B的交集等于AD.若A是集合B的子集，則A與B的并集等于B答案：AD7.下列不等式中，成立的有A.2^100>100^10B.10^10>2^100C.log_2(100)>log_2(50)D.log_2(50)>log_2(100)答案：AC8.下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的有A.f(x)=sin(x)B.f(x)=cos(x)C.f(x)=tan(x)D.f(x)=x^2答案：ABC9.下列命題中，正確的有A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有界B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有最大值和最小值C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)且單調(diào)，則f(x)在區(qū)間I上必有反函數(shù)D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有零點(diǎn)答案：CD10.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有A.a_n=2^nB.a_n=3^nC.a_n=(-1)^nD.a_n=n^n答案：AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)=x^3在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。答案：正確2.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則z的平方也滿足|z^2|=1。答案：正確3.拋擲三個(gè)均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個(gè)正面一個(gè)反面的概率為1/8。答案：正確4.圓x^2+y^2=1與直線y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。答案：正確5.函數(shù)f(x)=x^2在(-1,1)上單調(diào)遞減。答案：錯(cuò)誤6.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2，公差d=3，則a_10的值為29。答案：正確7.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=5，b=12，c=13，則△ABC是直角三角形。答案：正確8.已知函數(shù)f(x)=log_a(x)，若f(3)=1，則a的值為3。答案：正確9.已知直線l1:y=kx+b和直線l2:y=mx+c，若l1與l2垂直，則必有km=-1。答案：正確10.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，則f(x)的最大值為√2。答案：正確四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。答案：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。計(jì)算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。因此，最大值為2，最小值為-4。2.求等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，其中a_1=2，公差d=3。答案：S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)=n/2(4+3(n-1))=3n^2+n。3.求函數(shù)f(x)=e^x-x在x=0處的導(dǎo)數(shù)。答案：f'(x)=e^x-1，因此f'(0)=e^0-1=0。4.求圓x^2+y^2=4與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)。答案：聯(lián)立方程組x^2+y^2=4和y=x，代入得2x^2=4，解得x=±√2，因此交點(diǎn)坐標(biāo)為(√2,√2)和(-√2,-√2)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的單調(diào)性。答案：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。2.討論復(fù)數(shù)z=a+bi的模長(zhǎng)|z|的性質(zhì)。答案：|z|=√(a^2+b^2)，模長(zhǎng)總是非負(fù)的，且當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b=0時(shí)，|z|=0。模長(zhǎng)具有非負(fù)性、齊次性和三角不等式等性質(zhì)。3.討論等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的性質(zhì)。答案：S_n=n/2(2