章末復(fù)習(xí)

請(qǐng)你帶著下面的問(wèn)題，進(jìn)入本課的復(fù)習(xí)吧！

1．三角形的三邊之間有怎樣的關(guān)系？得出這個(gè)結(jié)論的依據(jù)是什么？

2．三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有怎樣的關(guān)系？如何證明這個(gè)結(jié)論？

3．直角三角形的兩個(gè)銳角有怎樣的關(guān)系？三角形的一個(gè)外角與和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角有怎樣的關(guān)系？這些結(jié)論能由三角形內(nèi)角和定理得出嗎？

例

1

在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．（1）求x的取值范圍；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)，則△ABC的周長(zhǎng)為多少？

解：（1）由題意，知9－2＜x＜9＋2，即7＜x＜11．（2）∵7＜x＜11，且△ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)，

∴x的值是8或9或10．

∴△ABC的周長(zhǎng)為9＋2＋8＝19（舍去）或9＋2＋9＝20

或9＋2＋10＝21（舍去）．

∴△ABC的周長(zhǎng)為20．考點(diǎn)一三角形的三邊關(guān)系

跟蹤訓(xùn)練1已知等腰三角形

ABC有兩邊的長(zhǎng)度分別為6和12，求它的周長(zhǎng)．

解：∵△ABC為等腰三角形，且有兩邊的長(zhǎng)度分別為6和12，

∴△ABC第三邊的長(zhǎng)度為6或12．

若第三邊的長(zhǎng)度為6，則6＋6＝12，不滿足三角形的三邊關(guān)系，∴第三邊的長(zhǎng)度為12．

∴它的周長(zhǎng)為6＋12＋12＝30．考點(diǎn)一三角形的三邊關(guān)系

三角形三邊關(guān)系的兩個(gè)應(yīng)用（1）判斷三條線段能否組成三角形：將兩條較短線段之和與最長(zhǎng)線段進(jìn)行比較，若兩條較短線段之和大于第三條線段的長(zhǎng)度，則能組成三角形；反之不能．

（2）利用三角形的三邊關(guān)系：構(gòu)造不等式（組），確定某一字母的取值范圍或具體數(shù)值．常列不等式組為：兩邊之差＜第三邊（未知邊）＜兩邊之和．考點(diǎn)一三角形的三邊關(guān)系

例

2

如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）．

A．BF＝CF

B．∠C＋∠CAD＝90°

C．∠BAF＝∠CAF

D．S△ABC＝2S△ABFC考點(diǎn)二三角形的中線、角平分線與高DCEFBA

解析：∵AF是△ABC的中線，∴BF＝CF，選項(xiàng)A不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C＋∠CAD＝90°，選項(xiàng)B不符合題意；

∵AE是角平分線，∴∠BAE＝∠CAE，選項(xiàng)C符合題意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，選項(xiàng)D不符合題意．DCEFBA考點(diǎn)二三角形的中線、角平分線與高

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在△ABC中，AM是中線，AN是高，如果BM＝3.5cm，AN＝4cm，求△ABC的面積．

解：∵AM是中線，且BM＝3.5cm，∴BC＝2BM＝7cm．

∵AN是高，且AN＝4cm，∴S△ABC＝

×BC×AN＝

×7×4＝14（cm2）．BMNCA考點(diǎn)二三角形的中線、角平分線與高

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE

平分∠BAC

交BC

于點(diǎn)E．（1）若∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD

的大?。?）若∠B＜∠C，則2∠EAD

與∠C－∠B是否相等？若相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．BEDCA考點(diǎn)二三角形的中線、角平分線與高

解：（1）因?yàn)椤螧＝30°，∠C＝70°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°．因?yàn)锳E是∠BAC的平分線，所以∠EAC＝

∠BAC＝40°．因?yàn)锳D

是高，所以∠ADC＝90°．又因?yàn)椤螩＝70°，所以∠DAC＝90°－∠C＝20°，所以∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝40°－20°＝20°．ABEDC考點(diǎn)二三角形的中線、角平分線與高

解：（2）相等．理由如下：由（1），知

∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝

∠BAC－(90°－∠C)．①把∠BAC＝180°－∠B－∠C代入①，整理得∠EAD＝

∠C－∠B．所以2∠EAD＝∠C－∠B．ABEDC考點(diǎn)二三角形的中線、角平分線與高

三角形的高、中線與角平分線的主要應(yīng)用（1）依據(jù)三角形的高可求三角形的面積；（2）三角形的中線把三角形的面積分為相等的兩部分；（3）三角形的角平分線通常結(jié)合三角形的內(nèi)、外角進(jìn)行有關(guān)角度的計(jì)算．考點(diǎn)二三角形的中線、角平分線與高

（1）解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°－30°－60°＝90°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝45°．

例

3

如圖，在△ABC

中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．（1）求∠ACE的度數(shù)；（2）若CD⊥AB于點(diǎn)D，∠CDF＝75°．求證：△CFD是直角三角形．考點(diǎn)三三角形的內(nèi)角與外角BACDEF

（2）證明：∵CD⊥AB，∠B＝60°，∴∠BCD＝90°－60°＝30°．∵∠BCE＝∠ACE＝45°，∴∠DCF＝∠BCE－∠BCD＝15°．∵∠CDF＝75°，∴∠DCF＋∠CDF＝15°＋75°＝90°．∴△CFD是直角三角形．BACDEF考點(diǎn)三三角形的內(nèi)角與外角

跟蹤訓(xùn)練4如圖，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P．若∠A＝70°，求∠P的度數(shù)．ABCDP考點(diǎn)三三角形的內(nèi)角與外角

解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠ABC＝70°＋∠ABC．∵CP是∠ACD的平分線，∴∠DCP＝∠ACD＝

(70°＋∠ABC)＝35°＋∠ABC．∵BP是∠ABC的平分線，∴∠CBP＝∠ABC．∵∠DCP是△BCP的外角，∴∠DCP＝∠CBP＋∠P＝

∠ABC＋∠P＝∠ABC＋35°，∴∠P