用公式法分解因式（第2課時(shí)）

1．提公因式法

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有_______，可以把這個(gè)_______提取出來，將_______寫成_______與另一個(gè)因式的______的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法．

2．運(yùn)用平方差公式分解因式

兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的___與這兩個(gè)數(shù)的___的___．

a2－b2＝___________．公因式公因式多項(xiàng)式公因式乘積和差積(a＋b)(a－b)多項(xiàng)式a2＋2ab＋b2與

a2－2ab＋b2

有什么特點(diǎn)？思考

這兩個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)數(shù)的平方和加上或減去這兩個(gè)數(shù)的積的2倍．我們把a(bǔ)2＋2ab＋b2

和a2－2ab＋b2

這樣的式子叫作完全平方式．你能將a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2

分解因式嗎？思考利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項(xiàng)式分解因式．把整式乘法的完全平方公式

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2的等號(hào)兩邊互換，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，

a2－2ab＋b2＝(a－b)2．

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方．

下列式子能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（）．

A．a(chǎn)2＋4a＋4

B．a(chǎn)2－3a＋9

C．a(chǎn)2＋4a－4

D．

a2－4a－4問題

解析：選項(xiàng)A，a2＋4a＋4

＝(a＋2)2，符合題意；

選項(xiàng)B，C，D均無法運(yùn)用完全平方公式分解因式，

故選A．A歸納

可套用完全平方公式的式子的特點(diǎn)（1）含有三部分；

（2）有兩部分可以分別寫成某個(gè)數(shù)（或式子）的平方，并且這兩部分的符號(hào)相同；

（3）第三部分是這兩個(gè)數(shù)（或式子）的乘積的2倍．

例1分解因式：（1）x2＋4x＋4

；（2）16x2－24x＋9．

分析：在（1）中，由于4＝22，4x＝2·x·2，所以x2＋4x＋4是一個(gè)完全平方式，即

x2＋4x＋4＝x2＋2·x·2＋22．a(chǎn)2＋2·a·b＋b2

在（2）中，由于16x2＝(4x)2，9＝32，

24x＝2·4x·3，所以16x2－24x＋9是一個(gè)完全平方式．

解：（1）x2＋4x＋4

＝x2＋2·x·2＋22

＝(x＋2)2；

例1分解因式：（1）x2＋4x＋4

；（2）16x2－24x＋9．（2）

16x2－24x＋9＝(4x)2－2·4x·3＋32＝(4x－3)2．

分析：在（1）中，將a＋b看作一個(gè)整體，設(shè)a＋b＝m，則原式化為完全平方式m2－12m

＋36

；

例2分解因式：（1）(a＋b)2－12(a＋b)

＋36

；（2）－x2＋4xy－4y2

．

對(duì)于（2），可通過添括號(hào)將原式寫成－(x2－4xy＋4y2)

，括號(hào)內(nèi)的式子為完全平方式．

解：（1）

(a＋b)2－12(a＋b)

＋36

＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62

＝(a＋b－6)2；

例2分解因式：（1）(a＋b)2－12(a＋b)

＋36

；（2）－x2＋4xy－4y2

．（2）

－x2＋4xy－4y2

＝－(x2－4xy＋4y2)＝－［x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2．歸納

可以看出，把乘法公式的等號(hào)兩邊互換，就可以得到把某些特殊形式的多項(xiàng)式分解因式的公式．運(yùn)用公式把多項(xiàng)式分解因式的方法叫作公式法．

例3分解因式：（1）x4－y4；（2）a3b－ab．

分析：在（1）中，x4－y4可以寫成(x2)2－(y2)2的形式，可用公式法分解因式；

對(duì)于（2），a3b－ab的兩項(xiàng)有公因式ab，可以先提出公因式，再進(jìn)一步分解因式．

例3分解因式：（1）x4－y4；（2）a3b－ab．

解：（1）x4－y4

＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；（2）a3b－ab

＝ab(a2－1)

＝ab(a＋1)(a－1)．分解因式，要進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止．歸納對(duì)于一些復(fù)雜的因式分解問題，有時(shí)需要多次運(yùn)用公式法，有時(shí)還需要綜合運(yùn)用提公因式法和公式法．

分析：（1）中需先提取公因式_____，再用________公式分解因式；（2）中x4＝_____，整理后滿足_________公式，注意因式分解要徹底；（3）中需先提出公因式____，再用_________公式分解因式；（4）中需先將b－a變?yōu)開_______，再提出公因式______，最后用_______公式分解因式．

例4

把下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：（1）4x3y－36xy3；（2）x4－2x2＋1；

（3）x3y＋2x2y2＋xy3；（4）9x2(a－b)＋y2(b－a)

．平方差完全平方完全平方平方差(x2)24xyxy－(a－b)a－b

解：（1）4x3y－36xy3＝4xy(x2－9y2)＝4xy(x＋3y)

(x－3y)．（2）x4－2x2＋1＝(x2－1)2＝［(x＋1)

(x－1)]

2＝(x＋1)

2(x－1)

2．

（3）x3y＋2x2y2＋xy3＝xy(x2＋2xy＋y2)＝xy(x＋y)

2．

（4）9x2(a－b)＋y2(b－a)

＝9x2(a－b)－y2(a－b)＝(a－b)(9x2－y2)

＝(a－b)(3x

＋y)

(3x

－y)．

例4

把下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：（1）4x3y－36xy3；（2）x4－2x2＋1；

（3）x3y＋2x2y2＋xy3；（4）9x2(a－b)＋y2(b－a)

．歸納

因式分解的步驟

一“提”：看有無公因式，若有，則提取公因式；

二“套”：考慮是否可用公式法分解，兩項(xiàng)考慮平方差公式，三項(xiàng)考慮完全平方公式；

三“檢查”：檢查分解因式是否徹底，若不徹底則繼續(xù)分解．

例5求證：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1

的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．∵

n為正整數(shù)，

∴n2＋3n＋1為正整數(shù)，∴原代數(shù)式的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．

證明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1

＝(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2．

例6我們?cè)谶^去的學(xué)習(xí)中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了如下的運(yùn)算規(guī)律：

15×15＝225＝1×2×100＋25，

25×25＝625＝2×3×100＋25，

35×35＝1225＝3×4×100＋25，

……

你能寫出一般的規(guī)律嗎？你能用所學(xué)知識(shí)證明你的結(jié)論嗎？