湘教版（2024）數(shù)學(xué)8年級上冊第1章

因式分解1.2.1提單項式公因式1.能準(zhǔn)確地找出各項的公因式，并注意各種變形的符號問題；（重點）2.能簡單運用提公因式法進(jìn)行因式分解.（難點）豆包幫我寫作AI創(chuàng)作應(yīng)用生成云盤更多歷史對話內(nèi)容由AI生成1.2.1提單項式公因式1.2.1提單項式公因式（七年級數(shù)學(xué)課件+教案）一、幻燈片分頁內(nèi)容（可直接復(fù)制粘貼制作PPT）第1頁：標(biāo)題頁標(biāo)題：1.2.1提單項式公因式副標(biāo)題：——因式分解的基礎(chǔ)方法作者：XXX（教師姓名）班級：七年級（X）班日期：XXXX年XX月XX日第2頁：學(xué)習(xí)目標(biāo)理解公因式、提公因式法的定義，能準(zhǔn)確識別單項式公因式掌握提單項式公因式的基本步驟，能熟練分解多項式體會“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想，提升代數(shù)運算能力第3頁：復(fù)習(xí)回顧什么是因式分解？把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解（分解因式）計算：2a(3b+c)=______（答案：6ab+2ac）思考：這個運算的逆過程是什么？（引出因式分解）第4頁：情境導(dǎo)入問題1：觀察多項式6ab+2ac，它的各項有什么共同特點？各項都含有的公共因式：2a問題2：如何將6ab+2ac化成幾個整式的積的形式？6ab+2ac=2a·3b+2a·c=2a(3b+c)第5頁：核心概念公因式：多項式各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式例：多項式4x2y-6xy2

中，公因式是2xy提公因式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個整式的積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法第6頁：如何找單項式公因式？（重點）分三步找公因式：找系數(shù)的最大公約數(shù)（各項系數(shù)均取正數(shù)）例：多項式-8x3y+12x2y2-4xy3

中，系數(shù)-8、12、-4的最大公約數(shù)是4找相同字母的最低次冪例：上述多項式中，相同字母有x、y，x的最低次冪是x1（即x），y的最低次冪是y1（即y）組合：將系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次冪相乘，即為公因式例：上述多項式的公因式是4xy即時練習(xí)：找出下列多項式的公因式3x+6y→

公因式：35a2-10ab→

公因式：5a7x2y-14xy2

→

公因式：7xy-9m2n+15mn2-3mn→

公因式：3mn（注意：系數(shù)取最大公約數(shù)，符號可先忽略，后續(xù)提公因式時處理）第7頁：提單項式公因式的步驟（難點）步驟：“一找、二提、三驗”一找：找出多項式各項的公因式二提：將公因式提到括號外面，括號內(nèi)為原多項式的各項分別除以公因式所得的商注意：括號內(nèi)的各項符號要與原多項式一致，若公因式帶負(fù)號，括號內(nèi)各項要變號三驗：檢驗分解結(jié)果是否正確（用單項式乘多項式法則展開，看是否與原多項式相等）例題1：分解因式8a3b2+12ab3c步驟1：找公因式：系數(shù)8和12的最大公約數(shù)是4；相同字母a、b，a的最低次冪是a1，b的最低次冪是b2；無其他相同字母，故公因式是4ab2步驟2：提公因式：8a3b2

÷4ab2=2a2，12ab3c÷4ab2=3bc所以8a3b2+12ab3c=4ab2(2a2+3bc)步驟3：檢驗：4ab2?2a2+4ab2?3bc=8a3b2+12ab3c，與原多項式相等，分解正確例題2：分解因式-24x3-12x2+28x步驟1：找公因式：系數(shù)24、12、28的最大公約數(shù)是4；相同字母x的最低次冪是x，故公因式是4x（原多項式首項為負(fù)，可將公因式定為-4x，方便后續(xù)括號內(nèi)首項為正）步驟2：提公因式：-24x3

÷(-4x)=6x2，-12x2

÷(-4x)=3x，28x÷(-4x)=-7所以-24x3-12x2+28x=-4x(6x2+3x-7)步驟3：檢驗：-4x?6x2+(-4x)?3x+(-4x)?(-7)=-24x3-12x2+28x，分解正確第8頁：易錯點警示漏提系數(shù)的最大公約數(shù)（如將6x2y-9xy2

分解為3x(2xy-3y2)，漏提y）漏提相同字母的最低次冪（如將7x3y-14x2y2

分解為7xy(x2-2xy)，x的最低次冪是x2，應(yīng)為7x2y(x-2y)）提公因式后括號內(nèi)漏寫“1”或“-1”例：分解因式3x2-6x+3，正確結(jié)果是3(x2-2x+1)，而非3(x2-2x)（漏寫+1）符號錯誤（如將-a2+ab分解為a(-a+b)，更簡便的是提取-a，得-a(a-b)）第9頁：課堂練習(xí)（分層）基礎(chǔ)題（必做）分解因式：（1）15x2-10xy（2）-8m2n+2mn（3）2a(b+c)-3(b+c)（拓展：公因式為多項式，初步感知）下列因式分解正確的是（

）A.3x2-6x=3x(x-2)B.2x2+4x=x(2x+4)C.-x2+xy=-x(x+y)D.7x2y-14xy2=7xy(x-14y)提升題（選做）分解因式：3x2y-6xy2+3xy已知x+y=5，求代數(shù)式2x(x+y)+2y(x+y)的值（提示：先因式分解，再代入求值）第10頁：課堂小結(jié)核心概念：公因式、提公因式法關(guān)鍵技能：找公因式：系數(shù)最大公約數(shù)+相同字母最低次冪提公因式：一找、二提、三驗，注意符號和漏寫1的問題數(shù)學(xué)思想：化繁為簡、逆向思維（單項式乘多項式的逆運算）第11頁：布置作業(yè)課本習(xí)題1.2第1、2題（基礎(chǔ)鞏固）分解因式：（1）12a2b-18ab2-24a3b3（2）-5x2+10xy-15x思考題：多項式3(x-y)2-6(x-y)的公因式是什么？如何分解？（預(yù)習(xí)多項式公因式）第12頁：結(jié)束頁感謝觀看！疑問解答：XXX（教師聯(lián)系方式）二、配套教案（詳細(xì)教學(xué)過程）課題：1.2.1提單項式公因式教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：理解公因式和提公因式法的定義，掌握找單項式公因式的方法和提公因式法分解因式的步驟，能熟練分解不含常數(shù)項的多項式過程與方法：通過觀察、類比、歸納等活動，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和抽象概括能力，體會因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學(xué)知識的連貫性和實用性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣教學(xué)重難點：重點：找單項式公因式的方法，提公因式法分解因式的步驟難點：提公因式時符號的處理，避免漏提公因式（尤其是漏提“1”或“-1”）教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件（上述幻燈片內(nèi)容）課堂練習(xí)單（打印基礎(chǔ)題和提升題）教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入（5分鐘）提問：什么是因式分解？請舉例說明（引導(dǎo)學(xué)生回憶因式分解的定義，強調(diào)“整式的積”的形式）計算：2a(3b+c)=______，3x(2x-y)=______（學(xué)生口答，教師板書）追問：如果已知結(jié)果，如何反推原來的兩個整式？比如6ab+2ac可以寫成哪兩個整式的積？（引導(dǎo)學(xué)生思考整式乘法的逆運算，自然引出課題）板書課題：1.2.1提單項式公因式二、探究新知（20分鐘）（一）認(rèn)識公因式（7分鐘）出示情境問題：觀察多項式6ab+2ac，各項有什么共同特點？（學(xué)生分組討論，發(fā)言）教師總結(jié)：各項都含有因式2a，這個公共的因式就是公因式出示定義：公因式是多項式各項都含有的公共的因式，提公因式法是將公因式提出來分解因式的方法即時練習(xí)：找出多項式4x2y-6xy2

的公因式（學(xué)生獨立完成，指名回答，教師點評）（二）找單項式公因式的方法（8分鐘）教師引導(dǎo)：如何系統(tǒng)地找出一個多項式的公因式？以多項式-8x3y+12x2y2-4xy3

為例，分步講解：第一步：找系數(shù)的最大公約數(shù)（忽略符號，取正數(shù)計算）第二步：找相同字母的最低次冪（不同字母不計入）第三步：組合系數(shù)和字母，得到公因式板書步驟：系數(shù)最大公約數(shù)+相同字母最低次冪=公因式小組競賽：找出下列多項式的公因式（課件出示題目），每組派代表回答，正確率高的小組加分（1）3x+6y（2）5a2-10ab（3）7x2y-14xy2

（4）-9m2n+15mn2-3mn（三）提公因式法分解因式的步驟（5分鐘）出示例題1：分解因式8a3b2+12ab3c（教師板書完整步驟，強調(diào)“一找、二提、三驗”）重點講解：提公因式時，括號內(nèi)的商如何計算（用原項除以公因式），符號如何處理（公因式帶負(fù)號，括號內(nèi)各項變號）出示例題2：分解因式-24x3-12x2+28x（針對符號問題專項講解，對比不同公因式選擇的優(yōu)劣）學(xué)生模仿練習(xí)：分解因式12x2y-18xy2（指名板演，教師糾錯）三、鞏固練習(xí)（15分鐘）基礎(chǔ)題（全體學(xué)生必做）：分解因式：（1）15x2-10xy（2）-8m2n+2mn學(xué)生獨立完成，教師巡視，批改部分作業(yè)，針對共性錯誤講解提升題（學(xué)有余力學(xué)生選做）：分解因式：3x2y-6xy2+3xy代數(shù)式求值：已知x+y=5，求2x(x+y)+2y(x+y)的值（引導(dǎo)學(xué)生先因式分解再代入，簡化計算）易錯點辨析：判斷下列因式分解是否正確，若不正確請改正（1）3x2-6x=3x(x-2)（正確）（2）2x2+4x=x(2x1.2.2提多項式公因式問題：整數(shù)18，42，60的最大公因數(shù)是什么？18=6×342=6×760=6×106思考：多項式z2+yz

中每一項的因式分別是什么？你發(fā)現(xiàn)什么？每一項中均有因式

zz2的因式是

z

和zyz

的因式是

y

和zpa+pb+pc提單項式公因式分解因式幾個多項式的相同因式稱為它們的公因式.相同因式

p問題1

觀察下列多項式，它們有什么共同特點？x2＋

x相同因式

x1(a+b+c)pa+pb+pcp=

像上面這樣，如果一個多項式的各項有公因式，從右到左使用多項式的乘法對加法的分配律，可以把所有公因式提到括號外面，這種把多項式因式分解的方法叫作提公因式法.找3x2–6xy

的公因式.系數(shù)：最大公因數(shù)3字母：相同的字母x

所以公因式是

3x指數(shù)：相同字母的最低次數(shù)1問題2

如何確定一個多項式的公因式？正確找出多項式的公因式的步驟：3.定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項中最小的一個，即相同字母的最低次數(shù).1.定系數(shù)：對于整數(shù)系數(shù)的多項式來說，公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公因數(shù)；2.定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母；找一找：下列各多項式的公因式是什么？3aa23mn-2xy(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2

-

a3(4)9m2n

-

6mn

(5)

-

6x2y

-

8xy2

典例精析例1

把4x2－6x3因式分解．分析：

1.定系數(shù)：多項式由4x2和

－6x3

這兩項組成，它們的系數(shù)分別為4，－6，不考慮其符號，則4與6的最大公因數(shù)是2；2.定字母：這兩項都含有字母

x，3.定指數(shù)：

x

的最低次數(shù)為2.

因此，可提出公因式2x2.解：4x2－6x3=2x2(2－3x).例2把

8x2y4－12xy2z因式分解．解：

8x2y4－12xy2z＝

4xy2·2xy2－4xy2·3z＝4xy2(2xy2－3z).議一議三名同學(xué)對多項式

2x2＋4x進(jìn)行因式分解，結(jié)果如下：(1)2x2+4x=2(x2+2x)；(2)2x2+4x=x(2x+4)；(3)2x2+4x=2x(x+2).上述結(jié)果正確嗎？用提公因式法分解因式時，你認(rèn)為應(yīng)注意什么？注意：公因式要提盡.(1)錯誤.理由：公因式?jīng)]有提盡，還可以提出公因式

x.(2)錯誤.理由：公因式?jīng)]有提盡，還可以提出公因式

2.(3)正確.注意：某項提出莫漏1.例3

把多項式

5x2－3xy＋x

因式分解.分析：

1.定系數(shù)：多項式由5x2，－3xy

和

x

這三項組成，它們的系數(shù)分別為

5，－3，1，不考慮其符號，則5，3，1的最大公因數(shù)是

1；2.定字母：這三項都含有字母

x，3.定指數(shù)：

x

的最低次數(shù)為1.因此，可提出公因式x.解：5x2－3xy＋x＝x(5x－3y＋1).例4

把多項式

－3x2＋6xy－3xz

因式分解.注意：首項有負(fù)常提負(fù).分析：多項式

－3x2＋6xy－3xz的首項系數(shù)為負(fù)數(shù)，一般先將負(fù)號提取出來，此時括號內(nèi)各項都要改變符號，然后進(jìn)行因式分解.解：－3x2＋6xy－3xz=－(3x2－6xy＋3xz)=－3x(x－2y＋z).1.因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；

(2)3a2－9ab；(3)－5a2+25a.解：(1)3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).練一練(2)3a2－9ab=3a(а－3b).(3)－5a2+25a=－5a(a－5).2.

已知

a＋b＝7，ab＝4，求

a2b＋ab2的值.所以

原式＝ab(a＋

b)＝4×7＝28.解：因為

a＋b＝7，ab＝4，方法總結(jié)：含

a±b，ab的求值題，通常要將所求代數(shù)式進(jìn)行因式分解，將其變形為能用

a±b和

ab表示的式子，然后將

a±b，ab的值整體代入即可.1.多項式

15m3n2

+

5m2n-

20m2n3

的公因式是（）A．5mn

B．5m2n2

C．5m2nD．5mn2

2.下列多項式的因式分解，正確的是（）A．12xyz-

9x2y2

=

3xyz（4

-

3xyz）B．3a2y

-

3ay+

6y=

3y（a2

-

a+

2）C．-

x2

+

xy

-

xz=

-

x（x2

+

y

-

z）D．a(chǎn)2b+

5ab

-

b=

b（a2

+

5a）BC3.把下列各式分解因式：(1)8m2n+2mn=_____________；(2)12xyz

-

9x2y2=_____________；(3)-

x3y3

-

x2y2

-

xy=_________________.2mn(4m+1)3xy(4z

-

3xy)

-

xy(x2y2+xy+1)4.把-

24x3