大題精做4統(tǒng)計(jì)概率：統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

[2024?開封一模]高校先修課程，是在中學(xué)開設(shè)的具有高校水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的中學(xué)生早接受高

校思維方式、學(xué),習(xí)方法的訓(xùn)練，為高校學(xué)習(xí)乃至將來的職業(yè)生涯做好打算.某中學(xué)勝利開設(shè)高校先修課程已有

兩年，共有250人參與學(xué)習(xí)先修課程.

（1）這兩年學(xué)校共培育出優(yōu)等生150人，依據(jù)下圖等高條形圖，填寫相應(yīng)列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表檢驗(yàn)?zāi)芊裨?/p>

犯錯(cuò)的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？

U1優(yōu)等生

Q4?

19???

5

優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)

學(xué)習(xí)高校先修課程250

沒有學(xué)習(xí)高校先修課程

總計(jì)150

（2）某班有5名優(yōu)等生，其中有2名參與了高校生先修課程的學(xué)習(xí)，在這5名優(yōu)等生中任選3人進(jìn)行測試,

求這3人中至少有1名參與了高校先修課程學(xué)習(xí)的概率.

參考數(shù)據(jù)：

尸(y4)0.150.100.050.0250.0100.005

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.879

參考公式：,K=（〃+蟲+4）（"加+4），其中…+"c+〃.

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)系；（2）2.

10

【解析】（1）列聯(lián)表如下：

優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)

學(xué)習(xí)高校先修課程50200250

沒有學(xué)習(xí)高校先修課程1009001G00

總/p>

1250x(50x900-200xl00)2

由列聯(lián)表可得A=*18.939>6.635

250x1000x150x1100

因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.

（2）在這5名優(yōu)等生中，記參與了高校先修課程的學(xué)習(xí)的2名學(xué)生為4,A2,

記沒有參與高校先修課程學(xué)習(xí)的3名學(xué)生為多，

則全部的抽樣狀況如下：叫，4用｝,｛4出,82｝,｛4,4，用｝，｛A，M，&｝，｛條4,易｝，

{A'Bz'B?}，{4,81,82},{4，瓦,/},{4，々，與},{用,與,易},共io種,

其中沒有學(xué)生參與高校先修課程學(xué)習(xí)的狀況有1種，為｛BiBB｝.

記事務(wù)為至少有1名學(xué)生參與了高校先修課程的學(xué)習(xí)，則?⑷印4得

1.［2024?駐馬店期末］某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)狀況，隨機(jī)在這兩條流水線上各

抽取40件產(chǎn)品作為樣本，并稱出它們的重量（單位：克），重量道落在［495,510）內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則.為

不合格品.注：表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.

產(chǎn)品重量（克）頻數(shù)

[490,495)6

[495,500)8

[500,505)14

1505,510)8

[510,515]4

圖2

（1）依據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖;

（2）若以頻率作為概率，試估計(jì)從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少;

（3）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線

的選擇有關(guān).

甲流水線乙流水線合計(jì)

合格

不合格

合計(jì)

n^ad-be)'

參考公式：k2=,其中〃=a+/?+c、+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2M)0.150.100.05.0.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

3.[2024?衡水中學(xué)]為提高玉米產(chǎn)量，某種植基地對單位面積播種數(shù)與每棵作物的產(chǎn)量之間的關(guān)系進(jìn)行了探

討，收集了11塊試驗(yàn)田的數(shù)據(jù)，得到下表:

試驗(yàn)田編號(hào)12345678911

（棵/）3.545.15.76.16.97.589.11011.2

（斤/棵）0.330.320.30.280.270.250.250.240.220.250.15

技術(shù)人員選擇模型），=」=作為），與x的回來方程類型，令=相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:

a+bx-y

nnn

1=11=1i=l/=l

60044272145642

由表中數(shù)據(jù)得到回來方程后進(jìn)行殘差分析，殘差圖如圖所示:

nr

0.(*

005

OiM

003

002

OOI

0

0.01

VO；

003

0(M

005

n(M

（1）依據(jù)殘差圖發(fā)覺一個(gè)可疑數(shù)據(jù)，請寫出可疑數(shù)據(jù)的編號(hào)（給出推斷即可，不必說明理由）；

（2）剔除可疑數(shù)據(jù)后，由最小二乘法得到關(guān)于的線性回來方程￡=加+日中的力=0.03,求），關(guān)于人?的回來方

程；

（3）利用（2）得出的結(jié)果，計(jì)算當(dāng)單位面積播種數(shù)x為何值時(shí)，單位面積的總產(chǎn)量卬=外的預(yù)報(bào)值最大？（計(jì)

算結(jié)果精確到0.01）

附：對于一組數(shù)據(jù)（州,可），（”2，為），…，（〃“,%）其回來直線丫=。+夕"的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別

e:"瀉一疝

為/=&="而，回=5.48.

1.【答案】(1)見解析；

(2)從甲流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.75,

從乙流水線上任取1件產(chǎn)品.，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.9；

(3)見解析.

【解析】(1)甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：

(2)由表1知甲流水線樣本中合格品數(shù)為8+14+8=30,

故甲流水線樣本中合格品的頻率為的=0.75,

40

由圖1知乙流水線樣本中合格品的頻率為(0.06+0.09+0.03)x5=0.9,

據(jù)此可估計(jì)從甲流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.75；

從乙流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.9.

(3)由.(2)知甲流水線樣本中合格品數(shù)為30,乙流水線樣本中合格品數(shù)為0.9x40=36.

2x2列聯(lián)表如下：

甲流水線乙流水線合計(jì)

合格303666

不合格10414

合計(jì)404080

80x(120-360)2

3.117>2.706,

-66x14x40x40

???有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān).

2.【答案】(1)p=—；

10

(2)(i)利用模型①，預(yù)料值為226.1億元，利用模型②，預(yù)料道為256.5億元；(ii)見解析.

【解析】(1)從條形圖中可知，2011年到2015年這五年的投資額分別為122億、129億、148億、171億、184

億，設(shè)2011年到2015年這五年的年份分別用a,b,c,d,e表示，

則從中隨意選取兩年的全部基本領(lǐng)件有：

,(a,c),?e),(b,c),也d),(b,e),(c,d),(d,e),共10種，

具中滿怠兩年的投資額的平均數(shù)不少于140億元的全部基本領(lǐng)件有：

(a,d),(a,e),(byd),(bye),(cd),(je),(d,e),共7種,

???從2011年到2015年的五年中，隨意選取兩年，則這兩年的投資額的平均數(shù)不少于140億元的概率為〃='.

(2)(i)利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為^=-30.4+13.5x19=226.1(億元).

利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為$=99+17.5x9=256.5(億元).

(ii)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.

理由如下：畫出2001年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額)，(單位：億元)的散點(diǎn)圖

2001200220032004200520C6200720082009201020111012201320142015：0162017年份,

(i)從散點(diǎn)圖可以看出，2001年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線§，=-30.4+13.5/上下.

這說明利用2001年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢.

2011年相對2010年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，

2011年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的旁邊，

這說明從2011年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，

利用2011年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型$，=99+17.5,可以較好地描述2011年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資

額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.

(ii)從計(jì)算結(jié)果看，相對于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，

由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理.

說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.

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