北京海淀區(qū)一零一中學(xué)2026屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，則函數(shù)的最小值為（）A.4 B.2C.-2 D.-42．函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.3．設(shè)，且，則的最小值為（）A.4 B.C. D.64．已知，若不等式恒成立，則的最大值為（）A.13 B.14C.15 D.165．已知，且，則A. B.C. D.6．函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)C.若，則方程在區(qū)間內(nèi)，最多有4個不同的根D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)，共有6個零點(diǎn)8．已知函數(shù)則的值為（）A. B.0C.1 D.29．下列說法錯誤的是（）A.球體是旋轉(zhuǎn)體 B.圓柱的母線垂直于其底面C.斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形 D.用正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺10．盡管目前人類還無法精準(zhǔn)預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系式為．年月日，日本東北部海域發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是年月日我國四川九寨溝縣發(fā)生里氏級地震的（）A.倍 B.倍C.倍 D.倍二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，，，是三個邊長為1的等邊三角形，且有一條邊在同一直線上，邊上有2個不同的點(diǎn)，則__________12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若時，，則時，__________13．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的值為_________；若函數(shù)，如果對于，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________14．將函數(shù)的圖象先向下平移1個單位長度，在作關(guān)于直線對稱的圖象，得到函數(shù)，則__________.15．已知樣本，，…，的平均數(shù)為5，方差為3，則樣本，，…，的平均數(shù)與方差的和是_____16．已知扇形周長為4，圓心角為，則扇形面積為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，（1）分別求，；（2）已知，若，求實(shí)數(shù)的取值集合18．已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的取值范圍；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19．某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，54，58為了預(yù)測以后各月的患病人數(shù)，甲選擇的了模型，乙選擇了模型，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)，結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為66，82，115，1你認(rèn)為誰選擇的模型較好？需說明理由2至少要經(jīng)過多少個月患該傳染病的人數(shù)將會超過2000人？試用你選擇的較好模型解決上述問題20．給出以下定義：設(shè)m為給定的實(shí)常數(shù)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”；（2）若函數(shù)為“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）已知為“函數(shù)”，設(shè).若對任意的，，當(dāng)時，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．已知關(guān)于的函數(shù).（1）若，求在上的值域;（2）存在唯一的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】因?yàn)榧?，所以，設(shè)，則，所以，且對稱軸為，所以最小值為，故選D2、A【解析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用上的函數(shù)值的正負(fù)即可判斷；【詳解】解：因?yàn)?，定義域?yàn)?，且所以為偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故排除、；又當(dāng)時，，，所以，則，所以，所以，即可排除C；故選：A3、C【解析】利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C4、D【解析】用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為恒成立，只需，再利用基本不等式求出的最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以恒成立，只需因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.所以.即的最大值為16.故選：D5、A【解析】由條件利用兩角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式，求得的值【詳解】解：∵tan（α），則tanα，∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），可得sinα∴2sinα＝2（）故選A點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】令,可判斷出g(x)的圖象就是將h(x)的圖象向上平移一個單位，由圖像的對稱性即可得到答案.【詳解】令則,即g(x)的圖象就是將h(x)的圖象向上平移一個單位即可.因?yàn)閔(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x),即函數(shù)h(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以的圖象關(guān)于(0,1)對稱.故選：C7、B【解析】A.由時，判斷；B.易知是偶函數(shù)，作出其圖象判斷；C.在同一坐標(biāo)系中作出的圖象判斷；D.根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，利用其圖象，判斷的零點(diǎn)個數(shù)即可.【詳解】A.當(dāng)時，，而，上遞減，故正確；B.因?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時，，作出其圖象如圖所示：由圖象知；函數(shù)不是周期函數(shù)，故錯誤；C.在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：當(dāng)，方程在區(qū)間內(nèi)，最多有4個不同的根，故正確；D.因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，只求的零點(diǎn)個數(shù)即可，如圖所示：由函數(shù)圖象知，在區(qū)間內(nèi)共有3個，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)，共有6個零點(diǎn)，故正確；故選：B8、C【解析】將代入分段函數(shù)解析式即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，故選：C.9、C【解析】利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得.【詳解】由旋轉(zhuǎn)體的概念可知，球體是旋轉(zhuǎn)體，故A正確；圓柱的母線平行于圓柱的軸，垂直于其底面，故B正確；斜棱柱的側(cè)面中可能有矩形，故C錯誤；用正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺，故D正確.故選：C.10、C【解析】設(shè)里氏級和級地震釋放出的能量分別為和,可得出，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)里氏級和級地震釋放出的能量分別為和,由已知可得，則，故故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)三個點(diǎn)坐標(biāo)分別為，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加法、向量的數(shù)量積運(yùn)算；考查平面幾何坐標(biāo)法的思想方法.由于題目給定三個全等的三角形，而的位置不確定，故考慮用坐標(biāo)法來解決.在利用坐標(biāo)法解題時，首先要選擇合適的位置建立平面直角坐標(biāo)系，建立后用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，最后根據(jù)題目的要求計算結(jié)果.12、【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，則，，故答案為.13、①.0②.【解析】由，可得，設(shè)在的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，根?jù)題意轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)和的值域，結(jié)合集合的運(yùn)算，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，可得，即，經(jīng)檢驗(yàn)，b=0成立，設(shè)在值域?yàn)?，在上的值域?yàn)椋瑢τ?，，使得，等價于，又由為奇函數(shù)，可得，當(dāng)時，，，所以在的值域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得的最小值為，最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.14、5【解析】利用平移變換和反函數(shù)的定義得到的解析式，進(jìn)而得解.【詳解】函數(shù)的圖象先向下平移1個單位長度得到作關(guān)于直線對稱的圖象，即的反函數(shù)，則，，即，故答案為：5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圖像的平移變換和反函數(shù)的應(yīng)用，利用反函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、23【解析】利用期望、方差的性質(zhì)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)的期望和方差求新數(shù)據(jù)的期望和方差.【詳解】由題設(shè)，，，所以，.故平均數(shù)與方差的和是23.故答案為：23.16、1【解析】利用扇形的弧長公式求半徑，再由扇形面積公式求其面積即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則，可得，而扇形的弧長為，所以扇形面積為.故答案為：1.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）兩集合的交集為兩集合的相同的元素構(gòu)成的集合，兩集合的并集為兩集合所有的元素構(gòu)成的集合；（2）由兩集合的子集關(guān)系得到兩集合邊界值的大小關(guān)系，從而解不等式得到的取值范圍試題解析：（1），（2）由可得考點(diǎn)：集合運(yùn)算及集合的子集關(guān)系18、（1）（2）【解析】（1）首先利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）依題意可得，再由（1）及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)榧础?，∴，∴，∴，故的取值范圍為【小?詳解】解：∵，∴由（1）知，∵有兩個不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，由正弦函數(shù)圖象可知，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是19、（1）應(yīng)將作為模擬函數(shù),理由見解析；（2）個月.【解析】根據(jù)前3個月的數(shù)據(jù)求出兩個函數(shù)模型的解析式，再計算4，5，6月的數(shù)據(jù)，與真實(shí)值比較得出結(jié)論；由（1），列不等式求解，即可得出結(jié)論【詳解】由題意，把，2，3代入得：，解得，，，所以，所以，，；把，2，3代入，得：，解得，，，所以，所以，，；、、更接近真實(shí)值，應(yīng)將作為模擬函數(shù)令，解得，至少經(jīng)過11個月患該傳染病的人數(shù)將會超過2000人【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，以及指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，正確理解題意，求解函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.20、（1）是（2）（3）【解析】（1）根據(jù)定義判得時，滿足，進(jìn)而判斷；（2）根據(jù)題意得，，進(jìn)而整理得存在實(shí)數(shù)使得，再結(jié)合和討論求解即可；（3）由題知，故不妨設(shè)，進(jìn)而得，故構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【小問1詳解】解：的定義域?yàn)?，假設(shè)函數(shù)是“函數(shù)，則存在定義域內(nèi)的實(shí)數(shù)使得，所以，所以，所以，所以函數(shù)“函數(shù)【小問2詳解】解：函數(shù)有意義，則，定義域?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)為“函數(shù)”，所以存在實(shí)數(shù)使得成立，即存在實(shí)數(shù)使得，所以存在實(shí)數(shù)使得成立，即，所以當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，即，解得且，所