西南大學附中2026屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知a，b為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．在中，內角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.3．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則=（）A.8 B.16C.32 D.644．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關系不確定5．若雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）A.2 B.3C.4 D.66．數(shù)列中，滿足，，設，則（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的右焦點為F,雙曲線C的右支上有一點P滿是(點O為坐標原點),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.8．已知圓與拋物線的準線相切，則實數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或69．若命題p為真命題，命題q為假命題，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.10．已知向量，，則等于（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.12．已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，若數(shù)列的前項和為，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線M的中心在原點，以坐標軸為對稱軸.從以下三個條件中任選兩個條件，并根據所選條件求雙曲線M的標準方程.①一個焦點坐標為；②經過點；③離心率為.你選擇的兩個條件是___________，得到的雙曲線M的標準方程是___________.14．過點，且周長最小的圓的標準方程為______15．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣（如圖）：按照以上排列的規(guī)律，第9行從左向右的第2個數(shù)為__________.16．若“”是真命題，則實數(shù)的最小值為_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，，的前項和為，且數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列.（1）求；（2）若，數(shù)列前項和為.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，直線垂直于平面分別為的中點，直線與相交于點.（1）證明：與不垂直；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知數(shù)列，，其中，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，且（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知橢圓的焦距為，點在橢圓上.過點的直線l交橢圓于A，B兩點.（1）求該橢圓的方程；（2）若點P為直線上的動點，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.22．（10分）已知橢圓的短軸長為2，左、右焦點分別為，，過且垂直于長軸的弦長為1（1）求橢圓C的標準方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側的兩點，且，共線，求四邊形的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】構造新函數(shù)，以函數(shù)單調性把不等式轉化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數(shù)為單調增函數(shù).由可得故選：A2、A【解析】因為，那么結合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點：正弦定理與余弦定理點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題.3、B【解析】由等比數(shù)列的下標和性質即可求得答案.【詳解】由題意，，所以.故選：B.4、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關系.【詳解】因為平面，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因為，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C5、A【解析】根據雙曲線方程確定焦點位置，再根據漸近線方程為求解.【詳解】因為雙曲線所以焦點在x軸上，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.6、C【解析】由遞推公式可歸納得，由此可以求出的值【詳解】因為，，所以，，，因此故選C【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應用，意在考查學生合情推理的意識和數(shù)學建模能力7、D【解析】分析焦點三角形即可【詳解】如圖,設左焦點為,因為,所以不妨設,則離心率故選:D8、D【解析】由拋物線準線與圓相切，結合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標準方程為：，故當時，有或，所以或，得或6故選：D9、B【解析】根據邏輯聯(lián)結詞“且”，一假則假，對四個選項一一判斷直接即可判斷.【詳解】邏輯聯(lián)結詞“且”，一假則假.因為命題p為真命題，命題q為假命題，所以為假命題，為真命題.所以，為假，故A錯誤；為真，故B正確；為假，故C錯誤；為假，故D錯誤.故選：B10、C【解析】根據題意，結合空間向量的坐標運算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.11、A【解析】根據數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數(shù)列中的數(shù)從開始循環(huán),數(shù)列的周期是，所以.故選：A.12、A【解析】函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，利用導函數(shù)的幾何含義可以求出，轉化求解數(shù)列的通項公式，進而由數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法求和即可【詳解】解：∵函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，由求導得：，由導函數(shù)得幾何含義得：，可得，∴，所以，∴數(shù)列的通項為，所以數(shù)列的前項的和即為，則利用裂項相消法可以得到：所以數(shù)列的前2021項的和為：.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.①②或①③或②③②.或或【解析】選①②，根據焦點坐標及頂點坐標直接求解，選①③，根據焦點坐標及離心率求出即可得解，選②③，可由頂點坐標及離心率得出，即可求解.【詳解】選①②，由題意則，，，雙曲線的標準方程為，故答案為：①②；，選①③，由題意，，，，雙曲線的標準方程為，選②③，由題意知，，，雙曲線的標準方程為.故答案為：①②；或①③；或②③；.14、【解析】方法一：根據當線段為圓的直徑時，圓周長最小，由線段的中點為圓心，其長一半為半徑求解；方法二：根據當線段為圓的直徑時，圓周長最小，根據以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段的中點，半徑則所求圓的標準方程為方法二：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標準方程為15、38【解析】根據數(shù)陣的規(guī)律求得正確答案.【詳解】數(shù)陣第行有個數(shù)，第行有個數(shù)，并且數(shù)字從開始，每次遞增.前行共有個數(shù)，第行從左向右的最后一個數(shù)是，所以第行從左向右的第個數(shù)為.故答案為：16、1【解析】若“”是真命題，則大于或等于函數(shù)在的最大值因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上的最大值為1，所以，，即實數(shù)的最小值為1.所以答案應填:1.考點：1、命題；2、正切函數(shù)的性質.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由條件先求出通項公式，得出，再由可得出答案.(2)由（1）可知,由裂項相消法可得答案.【小問1詳解】由，則由數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則所以當時，當時，符合上式所以【小問2詳解】由（1）可知則18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，求出點的坐標，計算得出，即可證得結論成立；或利用反證法；（2）利用空間向量法即求.【小問1詳解】方法一：如圖以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、設，因為，，因為，所以，得，即點，因為，，所以，故與不垂直方法二：假設與垂直，又直線平面平面，所以.而與相交，所以平面又平面，從而又已知是正方形，所以與不垂直，這產生矛盾，所以假設不成立，即與不垂直得證.【小問2詳解】設平面的法向量為，又，因為，所以，令，得.設平面的法向量為，因為，所以，令，得.因為.顯然二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值是.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）令，求導得到函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故，得到證明.（2），討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調區(qū)間得到，解得答案.【詳解】（1）令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，故有.（2）由①當時，，此時函數(shù)的減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；②當時，令可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若函數(shù)有兩個零點，必須且，可得，此時，又由，當時，由(1)有，取時，顯然有，當時，故函數(shù)有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了利用導數(shù)證明不等式，根據零點求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和應用能力.20、（1），（2）【解析】（1）利用公式法，基本量代換求出數(shù)列，的通項公式；（2）利用錯位相減法求和.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，所以．所以，所以，所以．所以，所以，【小問2詳解】，所以，，所以.所以21、（1）;（2）證明見解析.【解析】（1）根據焦點坐標及橢圓上的點，利用橢圓的定義求出a，再由關系求b，即可得解；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計算出，根據等差中項計算，即可證明成等差數(shù)列.【小問1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點坐標分別為，又點在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問2詳解】設.當直線l的斜率為0時，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數(shù)列.當直線l的斜率不為0時，設其方程為，由，消去x得.即，成等差數(shù)列，綜上可得，，成等差數(shù)列.22、（1）（2）2【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）延長，交橢圓C于點．設出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，根據對稱性求得四邊形的面積的表達式，利用換元法，結合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問1詳解】由題可知，即，因為過且垂直于