高中2023~2024學年廣東省廣州市各區(qū)高一上學期數(shù)學期末試題匯編：解答題（原卷版）集合與常用邏輯用語1.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）已知集合，全集．（1）求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．2.（2024年廣東省廣州市九區(qū)）設全集為，集合，（1）若，求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.一元二次函數(shù)、方程和不等式1.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）求不等式的解集．2.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.設箱體的長度為米，高度為米.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當，各為多少米時，該沉淀箱的體積最大，并求體積的最大值.3.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）某呼吸機生產企業(yè)本年度計劃投資固定成本2300（萬元）引進先進設備，用于生產救治新冠患者的無創(chuàng)呼吸機，每生產（單位：百臺）另需投入成本（萬元），當年產量不足50(百臺)時，（萬元；當年產量不小于50（百臺）時，(萬元)，據(jù)以往市場價格，每百臺呼吸機的售價為600萬元，且依據(jù)疫情情況，預測該年度生產的無創(chuàng)呼吸機能全部售完.（1）求年利潤(萬元)關于年產量（百臺）的函數(shù)解析式；(利潤銷售額一投入成本固定成本)（2）當年產量為多少時，年利潤最大?并求出最大年利潤.4.（2024年廣東省廣州市九區(qū)）某食品企業(yè)為了提高其生產的一款食品的收益，擬在下一年度開展促銷活動，已知該款食品年銷量噸與年促銷費用萬元之間滿足函數(shù)關系式（為常數(shù)），如果不開展促銷活動，年銷量是1噸.已知每一年生產設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1噸食品需再投入32萬元的生產費用，通過市場分析，若將每噸食品售價定為：“每噸食品平均生產成本的1.5倍”與“每噸食品平均促銷費的一半”之和，則當年生產的該款食品正好能銷售完.（1）求值；（2）將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數(shù)；（3）該食品企業(yè)下一年的促銷費投入多少萬元時，該款食品的利潤最大？（注：利潤銷售收入生產成本促銷費，生產成本固定費用生產費用）5.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）某地建設了一個文化館，該文化館對外開放后第1年參觀人數(shù)為12萬人，第2年參觀人數(shù)為14萬人．某課外興趣小組綜合各種因素進行預測：①該文化館每年的參觀人數(shù)會逐年增加；②該文化館每年參觀人數(shù)都不超過16萬人．該興趣小組想找一個函數(shù)來擬合該文化館對外開放后第年與當年參觀人數(shù)y（單位：萬人）之間的關系．（1）若選函數(shù)，試確定的值，并判斷該函數(shù)是否符合預測①與預測②；（2）若選函數(shù)，要使得該函數(shù)同時符合預測①與預測②，試確定的取值范圍．函數(shù)的概念與性質1.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，.（1）畫出函數(shù)的圖象，并寫出的單調區(qū)間；（2）求出的解析式.2.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并根據(jù)定義證明；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上單調性，并根據(jù)定義證明．3.（2024年廣東省廣州市九區(qū)）已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在內的單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明你的結論.4.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）討論函數(shù)在上的單調性，并加以證明．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）（1）根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減；（2）比較下列三個值的大?。?，，.函數(shù)類壓軸題1.（2024年廣東省廣州市九區(qū)）已知函數(shù)圖象的對稱軸與對稱中心之間的最小距離為，且滿足.（1）求的解析式；（2）已知函數(shù)，若有且只有一個實數(shù)，對于，，使得，求實數(shù)的值.2.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）定義在上的奇函數(shù)，當時，，其中，且，其中是自然對數(shù)的底，．（1）求的值；（2）當時，求函數(shù)的解析式；（3）若存在，滿足，求的取值范圍．3.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知函數(shù)的定義域為，，，且在區(qū)間上單調遞減．（1）求證：；（2）求的值；（3）當時，求不等式的解集．4.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）已知函數(shù)（），.（1）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）若對任意，存在，使得，求的取值范圍.

2023~2024學年廣東省廣州市各區(qū)高一上學期數(shù)學期末試題匯編：前四個解答題（解析版）集合與常用邏輯用語1.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）已知集合，全集．（1）求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再由補集的定義求解即可；（2）根據(jù)子集的關系建立不等式求解即可.【小問1詳解】由題意，解得：，則.【小問2詳解】由題意，可知因為，所以，解得：，即，實數(shù)的取值范圍.2.（2024年廣東省廣州市九區(qū)）設全集為，集合，（1）若，求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出集合，，再利用交并補運算求解即可；（2）討論和兩種情況，再利用交并補運算求解即可.【小問1詳解】，當時，，，，；【小問2詳解】，當時，，即，符合；當時，或解得，綜上或.實數(shù)的取值范圍為.一元二次函數(shù)、方程和不等式1.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）借助基本不等式即可得；（2）解一元二次不等式即可得.【小問1詳解】，當且僅當，即時，等號成立，故函數(shù)的最大值為；【小問2詳解】，，即，解得或，又，故或，即不等式的解集為或.2.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.設箱體的長度為米，高度為米.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當，各為多少米時，該沉淀箱的體積最大，并求體積的最大值.【答案】米，米；立方米【解析】【分析】根據(jù)面積列出方程，據(jù)此條件利用均值不等式解出的范圍即可得解.【詳解】由題意，，即，，所以，即，解得，當且僅當，即時等號成立，因為，所以.即當，各為6米，3米時，該沉淀箱的體積最大，最大為36立方米.3.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）某呼吸機生產企業(yè)本年度計劃投資固定成本2300（萬元）引進先進設備，用于生產救治新冠患者的無創(chuàng)呼吸機，每生產（單位：百臺）另需投入成本（萬元），當年產量不足50(百臺)時，（萬元；當年產量不小于50（百臺）時，(萬元)，據(jù)以往市場價格，每百臺呼吸機的售價為600萬元，且依據(jù)疫情情況，預測該年度生產的無創(chuàng)呼吸機能全部售完.（1）求年利潤(萬元)關于年產量（百臺）的函數(shù)解析式；(利潤銷售額一投入成本固定成本)（2）當年產量為多少時，年利潤最大?并求出最大年利潤.【答案】（1）（2）當年產量為75百臺時，年利潤最大，最大年利潤為1950萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分與兩種情況，求出年利潤(萬元)關于年產量（百臺）的函數(shù)解析式；（2）在第一問的基礎上，分別求出與時的年利潤最大值，通過比較，最終求得結果.【小問1詳解】當時，；當時，，綜上：【小問2詳解】當時，，當時，取得最大值為1700萬元，當時，，當且僅當，即時，等號成立，此時最大利潤為1950萬元，因，所以當年產量為75百臺時，年利潤最大，最大年利潤為1950萬元.4.（2024年廣東省廣州市九區(qū)）某食品企業(yè)為了提高其生產的一款食品的收益，擬在下一年度開展促銷活動，已知該款食品年銷量噸與年促銷費用萬元之間滿足函數(shù)關系式（為常數(shù)），如果不開展促銷活動，年銷量是1噸.已知每一年生產設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1噸食品需再投入32萬元的生產費用，通過市場分析，若將每噸食品售價定為：“每噸食品平均生產成本的1.5倍”與“每噸食品平均促銷費的一半”之和，則當年生產的該款食品正好能銷售完.（1）求值；（2）將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數(shù)；（3）該食品企業(yè)下一年的促銷費投入多少萬元時，該款食品的利潤最大？（注：利潤銷售收入生產成本促銷費，生產成本固定費用生產費用）【答案】（1）（2）（3）該食品企業(yè)下一年的促銷費投入6萬元時，該款食品的利潤最大為萬元.【解析】【分析】（1）依題意當時，代入計算可得；（2）依題意求出當年生產噸時，求出年生產成本和為年銷售收入，從而可表示出食品的利潤；（3）由（2）可得，利用基本不等式計算可得.【小問1詳解】由題意可知，當時，，所以，解得；【小問2詳解】由于，故，由題意知，當年生產噸時，年生產成本為：，當銷售噸時，年銷售收入為：，由題意，，即.【小問3詳解】由（2）知：，即，當且僅當，又，即時，等號成立.此時，.該食品企業(yè)下一年的促銷費投入6萬元時，該款食品的利潤最大為萬元.5.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）某地建設了一個文化館，該文化館對外開放后第1年參觀人數(shù)為12萬人，第2年參觀人數(shù)為14萬人．某課外興趣小組綜合各種因素進行預測：①該文化館每年的參觀人數(shù)會逐年增加；②該文化館每年參觀人數(shù)都不超過16萬人．該興趣小組想找一個函數(shù)來擬合該文化館對外開放后第年與當年參觀人數(shù)y（單位：萬人）之間的關系．（1）若選函數(shù)，試確定的值，并判斷該函數(shù)是否符合預測①與預測②；（2）若選函數(shù)，要使得該函數(shù)同時符合預測①與預測②，試確定的取值范圍．【答案】（1），函數(shù)符合預測①與預測②，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別將“第1年參觀人數(shù)為12萬人，第2年參觀人數(shù)為14萬人”代入解析式，可求得的值，進而判斷函數(shù)是否符合預測①與預測②即可；（2）同樣把“第1年參觀人數(shù)為12萬人，第2年參觀人數(shù)為14萬人”代入解析式，可求得，再結合對數(shù)函數(shù)的性質分兩種情況判斷函數(shù)是否符合預測①與預測②，進而求得的取值范圍.【小問1詳解】由于函數(shù)，第1年參觀人數(shù)為12萬人，即；第2年參觀人數(shù)為14萬人，即；聯(lián)立可得：，所以，設，，且，得，，所以，即，所以在區(qū)間上單調遞增，符合預測①，同時，，符合預測②；【小問2詳解】由于函數(shù)，第1年參觀人數(shù)為12萬人，即；第2年參觀人數(shù)為14萬人，即；聯(lián)立可得：，由指數(shù)函數(shù)的性質可知：當時，函數(shù)在上單調遞減；當時，函數(shù)在上單調遞增；若符合預測①，則或，當時，，符合預測①，此時，，，，再符合預測②，只需即可，由，且，得：；當時，，符合預測①，此時函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，同時，，解方程，可得，其中，，，即當時，，不符合預測②；綜上所述，的取值范圍是：.函數(shù)的概念與性質1.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，.（1）畫出函數(shù)的圖象，并寫出的單調區(qū)間；（2）求出的解析式.【答案】（1）圖象見解析；增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）先作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，結合奇函數(shù)的對稱性可得出該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）設，可得出，由奇函數(shù)的性質得出，可得出函數(shù)在上的解析式，進而可得出該函數(shù)在上的解析式.【小問1詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，且當時，，則函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象知，增區(qū)間為，減區(qū)間為【小問2詳解】設，則，則.因此，時，，所以函數(shù)在上的解析式為.2.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并根據(jù)定義證明；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上單調性，并根據(jù)定義證明．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析.（2）減函數(shù)，證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷與證明即可；（2）根據(jù)單調性的定義，取值、作差（變形）、定號、下結論等步驟進行證明即可.【小問1詳解】為奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)定義域為R，所以，，則.所以為奇函數(shù).【小問2詳解】在上單調遞減，證明如下：任取，且，則因為，所以，，所以，即，故函數(shù)在上是減函數(shù).3.（2024年廣東省廣州市九區(qū)）已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在內的單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明你的結論.【答案】（1）（2）函數(shù)在內單調遞減，證明見解析【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義，通過變形即可求解；（2）任取，可證，從而得出結論.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，由得，整理可得；【小問2詳解】函數(shù)在內單調遞減；證明如下：由（1）知，在上任取，，且，，由，得，，，所以，即，所以函數(shù)在內單調遞減.4.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）討論函數(shù)在上的單調性，并加以證明．【答案】（1）為奇函數(shù)，理由見解析（2）當時，單調遞減，當時，單調遞增，理由見解析【解析】【分析】（1）求出定義域，計算出，得到答案；（2）利用定義法判斷函數(shù)單調性步驟，取點，作差，判號，下結論.【小問1詳解】為奇函數(shù)，理由如下：的定義域為R，又，故為奇函數(shù)；【小問2詳解】當時，單調遞減，當時，單調遞增，，且，則，因為，且，所以，當時，，即，故單調遞減，當時，，即，故單調遞增，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）（1）根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減；（2）比較下列三個值的大?。?，，.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調性的定義及對數(shù)函數(shù)的單調性證明即可；（2）分析所給式子的正負，再由對數(shù)的運算及（1）的性質判斷即可.【詳解】（1）設任意且，則，由，可知，所以，，又，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減.（2）因為，，，所以只需比較，的大小即可，因為，而由（1）可知，所以，即，所以.函數(shù)類壓軸題1.（2024年廣東省廣州市九區(qū)）已知函數(shù)圖象的對稱軸與對稱中心之間的最小距離為，且滿足.（1）求的解析式；（2）已知函數(shù)，若有且只有一個實數(shù)，對于，，使得，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結合“五點法”作圖求出即可.（2）求出函數(shù)在上的值域，再根據(jù)給定條件，借助集合的包含關系分類討論求解.【小問1詳解】依題意，函數(shù)的周期，則，由，得函數(shù)圖象的一個對稱中心為，即有，而，則，所以的解析式為.【小問2詳解】由（1）知，，當時，，因此在上單調遞增，函數(shù)值集合為，值域為，由有且只有一個實數(shù)，對于，，使得，得函數(shù)在上的值域包含，并且實數(shù)唯一，當時，函數(shù)在上單調遞增，的值域為，由，得，解得，顯然符合條件的實數(shù)不唯一；當時，函數(shù)的圖象對稱軸為，當，即時，在上單調遞增，的值域為，于是，解得，顯然，當且僅當時，且唯一，因此；當，即時，，，，當是最小值時，而，不滿足函數(shù)在上的值域包含，則不是最小值，必有，得，于是，解得，當時，且，此時且唯一，并且當時，，，實數(shù)不唯一，因此，所以實數(shù)的值是或.【點睛】結論點睛：函數(shù)，，若，，有，則的值域是值域的子集．2.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）定義在上的奇函數(shù)，當時，，其中，且，其中是自然對數(shù)的底，．（1）求的值；（2）當時，求函數(shù)的解析式；（3）若存在，滿足，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求得的值；（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解析式；（3）由函數(shù)解析式，根據(jù)x的范圍分類討論，分別得出的關系，把化為的函數(shù)，從而得其范圍.小問1詳解】∵，是奇函數(shù)，∴，則；【小問2詳解】當時，，，又是奇函數(shù)，則，當時，，，又是奇函數(shù)，則，因為是定義在R上的奇函數(shù)，則，故；【小問3詳解】若，則由，有，且，從而有，若，則由，有，而，所以等式不成立；若，則由，有，即，且，從而有，綜上：的取值范圍為3.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知函數(shù)的定義域為，，，且在區(qū)間上單調遞減．（1）求證：；（2）求的值；（3）當時，求不等式的解集．【答案】（1）證明見解析（2）（3）