高中廣州市第二中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)命題：高一數(shù)學(xué)備課組審校：高一數(shù)學(xué)備課組2025年01月15日本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分為150分.考試用時(shí)150分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào).用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．答選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的，答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”否定為（）A. B.C. D.2.已知集合，集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A7 B.8 C.16 D.323.已知，則（）A. B. C. D.4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.5.已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且，則的值為（）A.2 B. C.或2 D.或6若，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則方程的根個(gè)數(shù)為（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.半徑為3，弧長(zhǎng)為的扇形的面積為B.計(jì)算的值為2C.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是D.已知，則的最小值為10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱11.已知函數(shù).則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.C.函數(shù)定義域上單調(diào)遞增 D.若實(shí)數(shù)a，b滿足，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)，，則__________．13.若，，且，，則______；14.若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)a=________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求不等式解集；（2）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值．17.如圖，某公園有一塊扇形人工湖OAB，其中，千米，為了增加人工湖的觀賞性，政府計(jì)劃在人工湖上建造兩個(gè)觀景區(qū)，其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形，噴泉觀景區(qū)的形狀為，且C在OB上，D在OA上，P在上，記．（1）試用θ分別表示矩形和的面積；（2）若在PD的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用為每千米8萬(wàn)元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)的費(fèi)用為每平方千米16萬(wàn)元，建造荷花池的總費(fèi)用為6萬(wàn)元．求當(dāng)θ為多少時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用．18.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，．（1）若，求A與；（2）證明：函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)；（3）若為的一個(gè)周期，且在上單調(diào)遞減，記的正的零點(diǎn)從小到大依次為，，，…，證明：在區(qū)間上有4048個(gè)需點(diǎn)，且．19.列奧納多達(dá)芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）是意大利文藝復(fù)興三杰之一．他曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達(dá)式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為．（1）證明：；（2）求不等式：的解集；（3）函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

廣州市第二中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)命題：高一數(shù)學(xué)備課組審校：高一數(shù)學(xué)備課組2025年01月15日本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分為150分.考試用時(shí)150分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào).用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．答選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的，答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由命題的否定的定義即可得解.【詳解】命題“”的否定為.故選：B.2.已知集合，集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】【分析】由條件確定結(jié)合中的元素，由此可得集合的子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的和角公式，由可得答案.【詳解】．故選：B.4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義以及函數(shù)單調(diào)性判斷可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，易知的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是偶函數(shù)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知偶函數(shù)，但在上為單調(diào)遞增，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知為偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞減，即C正確；對(duì)于D，易知為偶函數(shù)，但在上不單調(diào)，即D錯(cuò)誤.故選：C5.已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且，則的值為（）A.2 B. C.或2 D.或【答案】D【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義計(jì)算可得；【詳解】由三角函數(shù)定義可得，解得，所以的值為或.故選：D.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出，再利用二倍角變形即可求得.【詳解】，故選：D7.已知函數(shù)，則方程的根個(gè)數(shù)為（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】A【解析】【分析】設(shè)，所以，求出的值，得到或，解方程求解即可.【詳解】令，即根的個(gè)數(shù)，設(shè)，所以，即或，解得或，即或，即或，解得；或或，無(wú)符合題意的解.綜上所述：程的根個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算與換底公式比較，利用中間數(shù)，分別作差比較，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，因，，故，所以，即，又，因，，故，所以，即，所以，?故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.半徑為3，弧長(zhǎng)為的扇形的面積為B.計(jì)算的值為2C.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是D.已知，則的最小值為【答案】BD【解析】【分析】直接利用扇形面積計(jì)算判斷A；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算判斷B；根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷C；結(jié)合指數(shù)運(yùn)算利用基本不等式求解最值判斷D.【詳解】對(duì)于A，扇形的面積為：，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，由于在定義域上為增函數(shù)，圖象連續(xù)不斷，且，，故在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，正確.故選：BD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】AD【解析】【分析】由圖象可看出函數(shù)的周期，并由，可將函數(shù)方程求出，方程為，再求在閉區(qū)間上的值域，以及圖形的變換“左加右減”即可知選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的，最后再求對(duì)稱點(diǎn).【詳解】對(duì)于A：由圖可知：，故A正確，由，知，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以函?shù)為，對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，可得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確.故選：AD.11.已知函數(shù).則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.C.函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增 D.若實(shí)數(shù)a，b滿足，則【答案】ABD【解析】【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得得到，即可判斷A、B；利用對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及對(duì)稱性判斷單調(diào)性，即可判斷C、D.【詳解】，故，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，故A、B對(duì)；由上單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，所以在上遞減，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故在定義域R上遞減，由，結(jié)合C分析結(jié)果知，故，所以C錯(cuò)，D對(duì).故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)，，則__________．【答案】【解析】分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求得，再由奇函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值.【詳解】∵是定義在上的奇函數(shù)，∴，則，∴．故答案為：13.若，，且，，則______；【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知角的范圍確定三角函數(shù)值的正負(fù)，再利用兩角和的余弦公式求出的值，再根據(jù)的范圍確定其具體值.【詳解】因，所以，又，所以.所以，同時(shí)也能確定.因?yàn)?，，，所以，所以因?yàn)?，，所?在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，時(shí)，.故答案為：.14.若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)a=________．【答案】##【解析】【分析】分兩種情況分別化簡(jiǎn)恒成立為等價(jià)不等式組計(jì)算求參即可.【詳解】對(duì)任意的，恒成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的或恒成立，當(dāng)恒成立，令，開口向上，對(duì)稱軸為，在單調(diào)遞增，所以恒成立轉(zhuǎn)化為，所以，得；當(dāng)恒成立，，開口向上，對(duì)稱軸為，在單調(diào)遞增，所以恒成立轉(zhuǎn)化為，所以，得；綜上；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，，開口向上，對(duì)稱軸為，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以不能恒成立，所以無(wú)解；所以上.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解題的思路是分類討論，把不等式應(yīng)用符號(hào)法分為兩部分，分別恒成立計(jì)算求參.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求不等式解集；（2）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，從而求出的解集；（2）換元后得到對(duì)于能成立，利用函數(shù)單調(diào)性求出，得到答案.【小問(wèn)1詳解】，令，則原不等式可化為，解得，即所以，不等式的解集．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，令，可得，原不等式可化為對(duì)于能成立，即可得對(duì)于能成立，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，因此只需即可，得；即的取值范圍是．16.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）最小值為，最大值為【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即求．【小問(wèn)1詳解】由，∴的最小正周期為，由，得，由，得∴函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】由于，所以，所以，故，故函數(shù)的最小值為，函數(shù)的最大值為．17.如圖，某公園有一塊扇形人工湖OAB，其中，千米，為了增加人工湖的觀賞性，政府計(jì)劃在人工湖上建造兩個(gè)觀景區(qū)，其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形，噴泉觀景區(qū)的形狀為，且C在OB上，D在OA上，P在上，記．（1）試用θ分別表示矩形和的面積；（2）若在PD的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用為每千米8萬(wàn)元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)的費(fèi)用為每平方千米16萬(wàn)元，建造荷花池的總費(fèi)用為6萬(wàn)元．求當(dāng)θ為多少時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用．【答案】（1）矩形的面積為；的面積為：（2），萬(wàn)元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，進(jìn)而求得矩形和的面積的表達(dá)式；（2）根據(jù)題意，得到總費(fèi)用為：，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，所以，，所以矩形PCOD的面積為，的面積為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，可得建造觀景區(qū)所需總費(fèi)用為：，設(shè)，則，又由，所以，當(dāng)，即時(shí)，有，所以（萬(wàn)元），即當(dāng)平時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，且最低費(fèi)用為萬(wàn)元．18.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，．（1）若，求A與；（2）證明：函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)；（3）若為的一個(gè)周期，且在上單調(diào)遞減，記的正的零點(diǎn)從小到大依次為，，，…，證明：在區(qū)間上有4048個(gè)需點(diǎn)，且．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值計(jì)算求出余弦函數(shù)的參數(shù)值；（2）應(yīng)用偶函數(shù)定義證明，應(yīng)用周期定義證明；（3）賦值法得出零點(diǎn)結(jié)合對(duì)稱性及周期性即可證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及恒等式.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?/p>

①令，可得，，

因?yàn)?，所以，由，得?/p>

由，得，解得．因?yàn)?，所以?/p>

所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，

①中，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)；令得，，

即有，從而可知，，

故，即．

所以函數(shù)是一個(gè)周期為的周期函數(shù)．【小問(wèn)3詳解】由（1）得，，在中，令，可得，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．中，令，得．所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．，所以在內(nèi)的零點(diǎn)為和．

，，．因此，對(duì)任意，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：，．

在上有4048個(gè)零點(diǎn)：，，，，，，，其中，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：賦值法得出零點(diǎn)結(jié)合對(duì)稱性及周期性即可證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及恒等式.19.列奧納多達(dá)芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）是意大利文藝復(fù)興三杰之一．他曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自