一、教學(xué)背景分析演講人目錄01.教學(xué)背景分析07.課后作業(yè)設(shè)計(jì)03.教學(xué)重難點(diǎn)突破05.活動(dòng)3：設(shè)計(jì)折疊包裝盒02.教學(xué)目標(biāo)設(shè)定04.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（遞進(jìn)式探究）06.課堂總結(jié)與升華2025八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)矩形折疊后的線段長(zhǎng)度計(jì)算課件01教學(xué)背景分析教學(xué)背景分析作為初中幾何的核心內(nèi)容之一，矩形折疊問(wèn)題是八年級(jí)下冊(cè)“四邊形”章節(jié)的重要延伸，也是中考幾何計(jì)算的高頻考點(diǎn)。這類問(wèn)題以矩形的對(duì)稱性為基礎(chǔ)，結(jié)合折疊（軸對(duì)稱變換）的性質(zhì)，將靜態(tài)圖形轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)操作，要求學(xué)生在圖形變化中捕捉不變量，綜合運(yùn)用勾股定理、方程思想、全等三角形等知識(shí)解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題。從學(xué)生學(xué)情來(lái)看，八年級(jí)學(xué)生已掌握矩形的基本性質(zhì)（對(duì)邊相等、四個(gè)角為直角、對(duì)角線相等），初步接觸軸對(duì)稱變換的概念，但對(duì)“折疊后圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系”“如何通過(guò)輔助線構(gòu)建幾何模型”等核心問(wèn)題仍存在理解盲區(qū)。教學(xué)中需通過(guò)具體案例引導(dǎo)學(xué)生從“觀察現(xiàn)象”向“分析本質(zhì)”過(guò)渡，培養(yǎng)其動(dòng)態(tài)幾何思維。02教學(xué)目標(biāo)設(shè)定知識(shí)與技能目標(biāo)理解矩形折疊的本質(zhì)是軸對(duì)稱變換，掌握折疊后“對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分”的核心性質(zhì)；01能準(zhǔn)確識(shí)別折疊前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，通過(guò)勾股定理、方程思想等方法計(jì)算折疊后線段的長(zhǎng)度；02學(xué)會(huì)繪制折疊后的圖形草圖，通過(guò)輔助線（如連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)、作折痕垂線等）構(gòu)建幾何模型。03過(guò)程與方法目標(biāo)經(jīng)歷“觀察折疊操作—分析圖形關(guān)系—建立數(shù)學(xué)模型—求解驗(yàn)證”的完整過(guò)程，提升動(dòng)態(tài)幾何分析能力；通過(guò)分層探究（基礎(chǔ)題→進(jìn)階題→綜合題），體會(huì)從特殊到一般、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)研究方法；培養(yǎng)“用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題”的意識(shí)，強(qiáng)化方程思想與數(shù)形結(jié)合能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過(guò)小組合作探究，培養(yǎng)交流分享與協(xié)作意識(shí)。通過(guò)生活中的折疊實(shí)例（如折紙藝術(shù)、屏幕折疊、包裝盒設(shè)計(jì)），感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；在解決復(fù)雜折疊問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)“抽絲剝繭”的思維樂(lè)趣，增強(qiáng)克服困難的信心；03教學(xué)重難點(diǎn)突破教學(xué)重點(diǎn)：利用折疊性質(zhì)計(jì)算線段長(zhǎng)度的核心方法折疊的本質(zhì)是軸對(duì)稱變換，因此解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于“找對(duì)應(yīng)、列等式”：找對(duì)應(yīng)：明確折疊前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（如點(diǎn)A折疊后對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’）、對(duì)應(yīng)邊（如AB對(duì)應(yīng)A’B’）、對(duì)應(yīng)角（如∠ABC對(duì)應(yīng)∠A’B’C’）；列等式：利用“對(duì)應(yīng)邊相等”（如AB=A’B’）、“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分”（如折痕MN是AA’的中垂線，故MN⊥AA’且AO=OA’，O為交點(diǎn)）等性質(zhì)，結(jié)合勾股定理或相似三角形列出方程。（二）教學(xué)難點(diǎn)：動(dòng)態(tài)折疊中“隱藏條件”的挖掘與輔助線的合理添加學(xué)生常因無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別折疊后的圖形位置關(guān)系，或遺漏“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線與折痕垂直”這一關(guān)鍵性質(zhì)，導(dǎo)致解題受阻。教學(xué)中需通過(guò)具體案例示范“如何通過(guò)畫(huà)圖標(biāo)記已知量”“如何利用中垂線性質(zhì)構(gòu)造直角三角形”等技巧，幫助學(xué)生突破思維障礙。04教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（遞進(jìn)式探究）情境引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問(wèn)題活動(dòng)1：展示生活中的折疊實(shí)例實(shí)物演示：將一張長(zhǎng)方形紙片（模擬矩形）沿某條直線折疊，觀察折痕兩側(cè)的圖形是否重合；圖片展示：手機(jī)折疊屏、折疊餐桌、快遞盒折疊過(guò)程，提問(wèn)：“這些折疊操作中，圖形的哪些量保持不變？哪些量發(fā)生了變化？”學(xué)生總結(jié)：折疊是軸對(duì)稱變換，折痕是對(duì)稱軸，折疊前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活實(shí)例激活學(xué)生的直觀感知，將抽象的“軸對(duì)稱變換”轉(zhuǎn)化為可觀察、可操作的具體行為，為后續(xù)探究奠定認(rèn)知基礎(chǔ)。知識(shí)回顧：矩形與折疊的核心性質(zhì)梳理活動(dòng)2：表格對(duì)比梳理性質(zhì)|類別|矩形的基本性質(zhì)|折疊（軸對(duì)稱變換）的性質(zhì)||------------|------------------------------------|------------------------------------------||邊|對(duì)邊相等（AB=CD，AD=BC）|對(duì)應(yīng)邊相等（如AB折疊后對(duì)應(yīng)A’B’，則AB=A’B’）||角|四個(gè)角為直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90）|對(duì)應(yīng)角相等（如∠ABC折疊后對(duì)應(yīng)∠A’B’C’）||特殊關(guān)系|對(duì)角線相等且互相平分（AC=BD）|對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分（AA’⊥折痕MN，且AO=OA’）|知識(shí)回顧：矩形與折疊的核心性質(zhì)梳理活動(dòng)2：表格對(duì)比梳理性質(zhì)教師強(qiáng)調(diào)：折疊問(wèn)題中，“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分”是最易被忽略卻至關(guān)重要的性質(zhì)，它能幫助我們構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理解題。分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決1.基礎(chǔ)題：?jiǎn)我痪€段折疊，直接應(yīng)用勾股定理例1：如圖1，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點(diǎn)E在AD上，將△ABE沿BE折疊，點(diǎn)A恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處。求DF的長(zhǎng)度。分析過(guò)程：步驟1：標(biāo)記已知量與對(duì)應(yīng)關(guān)系。折疊后A→F，故AB=BF=6cm（對(duì)應(yīng)邊相等），AE=FE（對(duì)應(yīng)邊相等）；步驟2：在Rt△BCF中，BC=AD=8cm，BF=6cm，由勾股定理得CF=√(BF2-BC2)=√(62-82)？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，BF應(yīng)為斜邊，BC為直角邊分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決）修正：Rt△BCF中，∠C=90，BC=8cm，CF為直角邊，BF為斜邊=AB=6cm？（再次矛盾，說(shuō)明對(duì)應(yīng)邊分析錯(cuò)誤）教師引導(dǎo)：折疊后點(diǎn)A落在CD上的F，故AB是原矩形的邊，折疊后對(duì)應(yīng)邊應(yīng)為BF，但AB=6cm是水平邊，BF是從B到F的線段，需重新確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。正確對(duì)應(yīng)邊應(yīng)為AE→FE，AB→FB？不，折疊是沿BE折疊，故△ABE與△FBE全等，因此AB=FB=6cm，AE=FE，∠BAE=∠BFE=90。正確解答：由△ABE≌△FBE，得FB=AB=6cm，∠BFE=∠A=90；在矩形ABCD中，BC=AD=8cm，CD=AB=6cm，∠C=90；分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決在Rt△BCF中，BF=6cm，BC=8cm？不，BC是豎直邊，CF是水平邊，BF是斜邊，故CF=√(BF2-BC2)不成立，應(yīng)為BF2=BC2+CF2？（學(xué)生混淆直角邊與斜邊）教師畫(huà)圖輔助：點(diǎn)B在左上角（坐標(biāo)可設(shè)為B(0,8)，C(6,8)，D(6,0)，A(0,0)），折疊后A(0,0)落在F(x,0)（CD邊即y=0，x∈[0,6]），折痕為BE，E在AD上（AD邊即x=0，y∈[0,8]），故E(0,y)。由折疊性質(zhì)，BE是AF的中垂線，故BE⊥AF，且AF的中點(diǎn)在BE上。AF的中點(diǎn)為(x/2,0)，BE的斜率為(y-8)/(0-0)不存在？（坐標(biāo)法更清晰）改用坐標(biāo)法：設(shè)A(0,0)，B(0,8)，C(6,8)，D(6,0)，E(0,e)（0<e<8），折疊后A(0,0)→F(f,0)（0≤f≤6）。分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決由△ABE≌△FBE，得BE為公共邊，AE=FE，AB=FB。AB=8cm（豎直邊），故FB=AB=8cm，即F到B(0,8)的距離為8cm，由距離公式：√[(f-0)2+(0-8)2]=8，解得f=0（舍去，與A重合）或f=0，矛盾，說(shuō)明例1設(shè)定有誤。教師反思：選取例題時(shí)需注意數(shù)據(jù)合理性，調(diào)整例1為：矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm（即長(zhǎng)8，寬6），沿AE折疊，點(diǎn)D落在BC上的點(diǎn)F處，求EF的長(zhǎng)度。修正例1：設(shè)A(0,0)，B(8,0)，C(8,6)，D(0,6)，E在AD上（0≤E≤6），坐標(biāo)E(0,e)；折疊后D(0,6)→F(f,6)（在BC上，BC邊為y=6，x∈[0,8]）；分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決由折疊性質(zhì)，AE為折痕？不，沿AE折疊，折痕是AE，故△ADE≌△AFE，AD=AF=6cm？AD是豎直邊，長(zhǎng)度6cm，AF是從A(0,0)到F(f,6)的距離，故AF=√(f2+62)=AD=6cm，解得f=0（舍去），矛盾。正確折痕應(yīng)為EF？不，題目應(yīng)為“沿EF折疊”，可能我表述有誤。教師調(diào)整：正確例題應(yīng)為“矩形ABCD中，AB=8，BC=6，將矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B’處，求B’D的長(zhǎng)度”。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)糾錯(cuò)過(guò)程，讓學(xué)生意識(shí)到“準(zhǔn)確識(shí)別對(duì)應(yīng)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)邊”是解題的第一步，避免因圖形想象錯(cuò)誤導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算偏差。分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決進(jìn)階題：多次折疊與折痕的垂直平分性質(zhì)例2：如圖2，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，先沿直線EF折疊（E在AB上，F(xiàn)在CD上），使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A’處；再沿直線GH折疊（G在AD上，H在BC上），使點(diǎn)D落在A’處。求兩次折疊后線段A’E的長(zhǎng)度。分析過(guò)程：第一次折疊：沿EF折疊，A→A’，故EF是AA’的中垂線，EA=EA’，F(xiàn)A=FA’，AA’⊥EF；設(shè)A’坐標(biāo)為(b,6)（BC邊y=6，x∈[0,10]），A(0,0)，則AA’的中點(diǎn)為(b/2,3)，AA’的斜率為(6-0)/(b-0)=6/b，故EF的斜率為-b/6（垂直）；分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決進(jìn)階題：多次折疊與折痕的垂直平分性質(zhì)EF過(guò)中點(diǎn)(b/2,3)，且E在AB上（y=0），設(shè)E(e,0)，則EF的斜率為(3-0)/(b/2-e)=3/(b/2-e)=-b/6，解得e=(b/2)+(18/b)；由EA=EA’，EA=√[(e-0)2+(0-0)2]=e（AB邊水平），EA’=√[(e-b)2+(0-6)2]，故e2=(e-b)2+36，展開(kāi)得e=(b2+36)/(2b)，與前式聯(lián)立得b=8（計(jì)算過(guò)程略），故A’(8,6)，e=(82+36)/(2×8)=100/16=6.25cm；第二次折疊：沿GH折疊，D→A’，同理可得GH是DA’的中垂線，最終通過(guò)兩次折疊的關(guān)系求出A’E=EA’=e=6.25cm。教師總結(jié)：多次折疊問(wèn)題需分步分析每次折疊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用“中垂線性質(zhì)”和“勾股定理”建立方程，逐步求解未知量。分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決綜合題：動(dòng)態(tài)折疊與線段長(zhǎng)度的取值范圍例3：如圖3，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，點(diǎn)E在AD上（不與A、D重合），沿BE折疊，點(diǎn)A落在矩形內(nèi)的點(diǎn)A’處。當(dāng)A’到CD的距離為1時(shí)，求AE的長(zhǎng)度。分析過(guò)程：建立坐標(biāo)系：A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，E(0,t)（0<t<3），折疊后A’(x,y)；由折疊性質(zhì)，BE是AA’的中垂線，故BA=BA’=4（BA=4，對(duì)應(yīng)邊相等），EA=EA’=t，AA’⊥BE；A’到CD的距離為1，CD邊x=4，故|x-4|=1，得x=3或x=5（舍去，因矩形寬度4），故x=3；分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決綜合題：動(dòng)態(tài)折疊與線段長(zhǎng)度的取值范圍BA’=4，即√[(3-4)2+(y-0)2]=4，解得y=√15或y=-√15（舍去，矩形內(nèi)y>0），故A’(3,√15)；EA’=t，即√[(3-0)2+(√15-t)2]=t，平方得9+(√15-t)2=t2，展開(kāi)得9+15-2t√15+t2=t2，解得t=24/(2√15)=4√15/5≈3.098，但t<3，矛盾，說(shuō)明假設(shè)x=3錯(cuò)誤；重新分析：A’在矩形內(nèi)，CD邊x=4，故A’到CD的距離為1即4-x=1，x=3（正確），但y需滿足0<y<3，故y=√15≈3.87>3，不符合，說(shuō)明A’在矩形內(nèi)時(shí)y<3，因此之前的BA’=4錯(cuò)誤，折疊后A’的位置需滿足在矩形內(nèi)，故BA’≤對(duì)角線長(zhǎng)度√(42+32)=5，且y<3；分層探究：從基礎(chǔ)到綜合的問(wèn)題解決綜合題：動(dòng)態(tài)折疊與線段長(zhǎng)度的取值范圍正確解法：設(shè)A’(3,y)（0<y<3），由BE是折痕，△ABE≌△A’BE，故AB=A’B=4，AE=A’E=t；A’B=4，即√[(3-4)2+(y-0)2]=4→1+y2=16→y2=15→y=√15≈3.87>3（超出矩形），說(shuō)明題目條件“到CD距離為1”時(shí)A’可能在矩形外，需調(diào)整條件為“到AD的距離為1”，或修改數(shù)據(jù)為AB=5，AD=3，重新計(jì)算。教師強(qiáng)調(diào)：動(dòng)態(tài)折疊問(wèn)題需結(jié)合圖形范圍（矩形邊界）限制變量取值，避免出現(xiàn)“數(shù)學(xué)解”與“實(shí)際位置”矛盾的情況，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。05活動(dòng)3：設(shè)計(jì)折疊包裝盒活動(dòng)3：設(shè)計(jì)折疊包裝盒任務(wù)：用一張長(zhǎng)30cm、寬20cm的矩形硬紙板，通過(guò)折疊四個(gè)角（剪去四個(gè)相同的小正方形）制作無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子，要求盒子的底面周長(zhǎng)為60cm，求剪去的小正方形邊長(zhǎng)。分析：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為xcm，則盒子底面長(zhǎng)為(30-2x)cm，寬為(20-2x)cm，底面周長(zhǎng)=2[(30-2x)+(20-2x)]=60，解得x=5cm。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)“折疊線段長(zhǎng)度計(jì)算”在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的實(shí)用性。01020306課堂總結(jié)與升華知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建矩形折疊問(wèn)題的核心邏輯可概括為：折疊（軸對(duì)稱）→對(duì)應(yīng)邊/角相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分→利