2/24專(zhuān)題4-4數(shù)列求和、不等式歸類(lèi)題型1分組求和：公式型題型9裂項(xiàng)相消：指數(shù)倍數(shù)型題型2分組求和：分段型題型10裂項(xiàng)相消：分子分母和的倍數(shù)（重點(diǎn)）題型3分組求和：奇偶正負(fù)型（重點(diǎn)）題型11裂項(xiàng)相消：分子分母齊次消去法題型4分組求和：插入數(shù)型題型12裂項(xiàng)相消：分母有理化法題型5倒序求和：函數(shù)中心法（?？键c(diǎn)）題型13裂項(xiàng)相消：冪指同構(gòu)裂項(xiàng)法題型6錯(cuò)位求和：整數(shù)型題型14求和證明不等式題型7裂項(xiàng)相消：基礎(chǔ)型（難點(diǎn)）題型15先放縮再求和證明不等式題型8裂項(xiàng)相消：分子為分庫(kù)差的倍數(shù)（重點(diǎn)）題型16三角函數(shù)型2/24題型一、分組求和型：公式型（共2小題）1．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列的通項(xiàng)分別為，現(xiàn)將和中所有的項(xiàng)，按從小到大的順序排成數(shù)列，則滿(mǎn)足的的最小值為（

）A．21 B．38 C．42 D．43【答案】D【分析】利用分組求和列出關(guān)于和的不等式，求出其解后可得的最小值【詳解】因?yàn)?，故，若，則，由可得，若，則，故，不合題意，舍；故，故，故此時(shí).若，其中，其中，，由可得，而，故即，故，當(dāng)時(shí)，由可得，此時(shí)，故.綜上，故選：D2．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】成首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列，成首項(xiàng)為3公比為3的等比數(shù)列，由分組求和、等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，所以成首?xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列，成首項(xiàng)為3公比為3的等比數(shù)列，所以.故選：D.題型二、分組求和型：分段型（共2小題）3．（24-25高二下·廣西欽州·期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，且，則的前51項(xiàng)的和為（

）A．37 B．40 C．42 D．46【答案】B【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)討論，分組求和得到答案.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，也是奇數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，令，則，令，則，令，則，令，則，以此類(lèi)推，偶數(shù)項(xiàng)為和交替，前項(xiàng)中有項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)，和為，有項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)，有個(gè)、個(gè)，和為，所以的前51項(xiàng)的和為.故選：B.4．（24-25高二下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，記，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A． B．25 C． D．50【答案】B【分析】先由遞推關(guān)系式得到數(shù)列的周期為2，再利用并項(xiàng)求和法計(jì)算前100項(xiàng)的和即可.【詳解】由題意得，，，，，…，所以數(shù)列的周期為2，所以數(shù)列的前100項(xiàng)的和為．故選：B題型三、分組求和型：奇偶正負(fù)型（共2小題）5．（24-25高二下·四川成都·月考）已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用并項(xiàng)求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，所以，故，對(duì)任意的，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：D.6．（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，某同學(xué)將其前20項(xiàng)中某一項(xiàng)正負(fù)號(hào)寫(xiě)錯(cuò)，得其前20項(xiàng)和為82，則寫(xiě)錯(cuò)之前這個(gè)數(shù)為（

）A．64 B． C．100 D．【答案】A【分析】由并項(xiàng)求和及等差數(shù)列的求和公式即可直接求得答案．【詳解】，則其前20項(xiàng)和為．設(shè)寫(xiě)錯(cuò)項(xiàng)為，則，解得，故寫(xiě)錯(cuò)之前這個(gè)數(shù)為．故選：A．題型四、分組求和型：插入數(shù)型（共2小題）7．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)、之間依次插入、、……、，得到數(shù)列：、、、、、、、、、、……，的前22項(xiàng)和為（

）A．34 B．36 C．37 D．39【答案】C【分析】根據(jù)題意先求，根據(jù)數(shù)列的形成規(guī)律，分組即可求解.【詳解】由題意有：當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列：設(shè)，所以，又，所以，所以的前22項(xiàng)是由7個(gè)1與15個(gè)2組成．所以的前22項(xiàng)的和為：，故選：C.8．（24-25高二上·黑龍江綏化·月考）對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，可以通過(guò)在該數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的之和，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列.現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，5進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，6，5，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，依此類(lèi)推，第n次得到數(shù)列1，5.記第n次得到的數(shù)列的各項(xiàng)之和為，則的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意構(gòu)造數(shù)列，分析規(guī)律，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】依題意，，，，，，，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，所以的通項(xiàng)公式.故選：A題型五、倒序求和：函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心法（共2小題）9．（25-26高二上·福建漳州·月考）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因此，此方法也稱(chēng)之為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)（），則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定，再利用倒序相加法求和即可.【詳解】由題意得，設(shè)，，設(shè)，倒序得，兩式相加得到，解得，故只有A正確.故選：A10．（24-25高二下·北京西城·月考）數(shù)學(xué)家高斯在年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱(chēng)為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則（

）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012【答案】D【分析】根據(jù)給定函數(shù)，得，再利用倒序相加法求和即可.【詳解】由函數(shù)，得，令，則，兩式相加得，解得.故選：D.題型六、錯(cuò)位求和：整數(shù)型（（共2小題））11．（24-25高二下·廣西崇左·期末）若數(shù)列滿(mǎn)足，，的前項(xiàng)和為，則的整數(shù)部分為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推關(guān)系式變形可構(gòu)造出數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，得到，再利用分組求和及錯(cuò)位相減法求和即可得到，再取的整數(shù)部分即可.【詳解】，，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得：，解得，所以，所以，故的整數(shù)部分為.故選：A.12．（2025·廣東茂名·二模）已知函數(shù)滿(mǎn)足，，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使得成立的最小整數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由題意可得是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可得，利用錯(cuò)位相減法可求得，可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以是以為首?xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以所以，所以，所以，又，，所以使得成立的最小整數(shù)為.故選：B.題型七、裂項(xiàng)相消：基礎(chǔ)型（共2大題）13．（25-26高二上·甘肅金昌·月考）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，其中與的前n項(xiàng)和為和．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，結(jié)合等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入已知條件解出，從而得到與的通項(xiàng)公式；（2）由（1），利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）由（1）求，，條件可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，利用不等式法求數(shù)列的最小值，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，由，可得，解得（舍去），所以，.（2）由（1）知，可得，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和．（3）由（1），，由，，則，即對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列在第項(xiàng)取得最小值，則解得，而，則，此時(shí)取得最小值，由于，則數(shù)列在時(shí)取最小值，所以，則實(shí)數(shù)的最大值為．14．（25-26高三上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，向量，，有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)記，數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由向量的數(shù)量積得，根據(jù)與的關(guān)系得到遞推關(guān)系，再由累乘法求出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列前項(xiàng)和為，再證明.【詳解】（1）因?yàn)?，即：①?dāng)時(shí)，，又，所以．當(dāng)時(shí)，，②由①-②整理得：整理得，由累乘法得：，代入比值：當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由，得，所以．因?yàn)?，所以，，所以．題型八、裂項(xiàng)相消：分子為分母差的倍數(shù)（共2大題）15．（25-26高三上·四川綿陽(yáng)·月考）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)；，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由遞推關(guān)系求出，再給出數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），由裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和為，即可求證．【詳解】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，而，則；當(dāng)時(shí)，，所以．，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，整理，得．又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，即．（2）因?yàn)椋?6．（2025·河北保定·一模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，得到，即可求解；（2）由（1）可得，從而有，再利用裂項(xiàng)相消法，即可求解.【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，①則，②由①②整理得，，所以；又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，滿(mǎn)足，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為.（2）由（1）可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，則，所以.題型九、裂項(xiàng)相消：指數(shù)倍數(shù)型（共2大題）17．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)和等比數(shù)列的定義求出是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消法即可求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，由，可得，兩式相減得，即時(shí)，，所以，所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，所以，即.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（25-26高二上·甘肅金昌·月考）數(shù)列滿(mǎn)足：，各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，4是的等比中項(xiàng)，且．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；，(2)【分析】（1）由題干等式關(guān)系可得，通過(guò)兩式作差即可求解的通項(xiàng)公式；再根據(jù)4是的等比中項(xiàng)，得：，然后利用基本量的運(yùn)算求解及公差，進(jìn)而求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）首先代入并求解出的通項(xiàng)公式，然后通過(guò)裂項(xiàng)相消法求解出，由于，進(jìn)而根據(jù)求解即可.【詳解】（1）令，得：.又①②由①②得到即：，經(jīng)檢驗(yàn)，，也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式，.由于是，的等比中項(xiàng)，因此可得：，即得：，又由，得：，即由，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意舍去；當(dāng)時(shí)，，由此可得：，.（2），則.由于，所以，因此可得若恒成立，則，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍為．題型十、裂項(xiàng)相消：分子為分母和的倍數(shù)（共2大題）19．（25-26高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足是關(guān)于的方程的兩個(gè)根.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）由題意可知.不妨設(shè)的公差為d，則，作差得，所以.又，所以，所以.（2）由上可知：，所以.20．（25-26高二上·甘肅·期中）已知數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)已知，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，然后利用得到，最后根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，故，又為等差?shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，，又，所以數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；（2）由于，結(jié)合（1）知，，，所以.題型十一、裂項(xiàng)相消：分子分母齊次消去法（（共2大題））21．（25-26高三上·河北·期中）已知為正項(xiàng)等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的角標(biāo)和性質(zhì)解方程得，再求公差與通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，再根據(jù)錯(cuò)位相減法求解即可；（3）由（2）知，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)求和求解即可證明.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)樗裕允顷P(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，故，所以，所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，所以，所以，，兩式作差得，所以.（3）由（2）得，所以因?yàn)?，所以，所?22．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令（），求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可．【詳解】（1）令，，又由有，則有，所以．又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以．（2）由，知．題型十二、裂項(xiàng)相消：分母有理化法（（共2大題））23．（2025高三上·河南洛陽(yáng)·專(zhuān)題練習(xí)）已知遞增數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求；(2)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）利用遞推關(guān)系，賦值首項(xiàng)和第二項(xiàng)的方程組求解，再通過(guò)單調(diào)性確定一組解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，來(lái)求解通項(xiàng)公式，即可證明等差數(shù)列；（3）利用裂項(xiàng)相消法來(lái)求和即可.【詳解】（1）由可得：，代入消元得：，解得或，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足遞增數(shù)列，故舍去，而當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足遞增數(shù)列，所以；（2）由可得：，又因?yàn)?，所以是方程的兩個(gè)根，而解方程可得：，根據(jù)遞增數(shù)列，所以即，所以數(shù)列為等差數(shù)列；（3）由，可得，所以.24．（25-26高三上·河南南陽(yáng)·期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)證明：【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用即可求解；（2）由（1）知，得，利用錯(cuò)位相減法即可求解；（3）由（2）知，，又，利用裂項(xiàng)相消法即可得證.【詳解】（1）在中令，得，即，解得．當(dāng)時(shí)，，又，所以，即又，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知，所以．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，兩邊同時(shí)乘以4，得，兩式相減，得，所以；（3）證明：由（2）知，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，綜上所述，．題型十三、裂項(xiàng)相消：冪指同構(gòu)裂項(xiàng)法（共2大題）25．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列定義推理得證.（2）由（1）求得，再利用累加法求出通項(xiàng).（3）由（2）求得，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】（1）在數(shù)列中，由，得，由，得，所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，所以的通項(xiàng)公式為.（3）由（2）得，，則，顯然是遞增數(shù)列，因此，又，則，所以.26．（25-26高三上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)積，求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知可得，與原式相減，可得到，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消法，可求出數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得對(duì)恒成立，進(jìn)而得，從而可得，計(jì)算可證結(jié)論,【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，得，兩式相減得，所以，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），，所以數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，即對(duì)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，，，，，兩邊分別相加得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.題型十四、求和證明不等式（（共2小題））27．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）令，求出的值，對(duì)任意的，由可得，兩式作差可得，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)棰伲?，解得，?duì)任意的，②，②-①得，即，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即．28．（25-26高三上·貴州遵義·月考）已知函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足.(1)證明為定值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先證明，再利用倒序相加法即可求出；（2）裂項(xiàng)得，再求和即可證明.【詳解】（1）由題意得，則，得到，兩式相加得，即.（2）由題意得，則，當(dāng)時(shí)，無(wú)限趨近于0且大于0，則，且小于，而，在上單調(diào)遞增，故得證.題型十五、先放縮再求和證明不等式（（共2小題））29．（2025高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；(3)證明：．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，(2)實(shí)數(shù)a的值為1(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求最值；（2）若對(duì)任意的恒成立，即對(duì)a>0恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的值；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得到，對(duì)不等式每一項(xiàng)進(jìn)行放縮，再結(jié)合裂項(xiàng)相消計(jì)算即可.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，若，得函數(shù)在上是增函數(shù)；若，得函數(shù)在上是減函數(shù)．則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．即在處取得極小值且為最小值，最小值為．（2）若對(duì)任意的恒成立，等價(jià)為，由（1）知，，設(shè)，則，由，得，由，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，在處取得最大值，即，因此的解為．所以實(shí)數(shù)a的值為1．（3）證明：由（2）可知時(shí)恒成立，即，則．，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)關(guān)鍵是根據(jù)前問(wèn)得到，再進(jìn)行適當(dāng)放縮，結(jié)合數(shù)列求和證明.30．（24-25高三下·廣東惠州·月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)證明是等差數(shù)列；(2)求；(3)求證：【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明.（2）先根據(jù)等差數(shù)列的定義得出和是等差數(shù)列；再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，及；最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可解答.（3）先變形得出；再根據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)樵跀?shù)列中，，，所以，所以是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列,，所以.同理由，可得.又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故，則.所以.（3）證明：因?yàn)?，所?因?yàn)樗?，?題型十六、三角函數(shù)型（（共2小題））31．（24-25高二下·湖北·月考）意大利畫(huà)家達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線(xiàn)是什么？這就是著名的“懸鏈線(xiàn)問(wèn)題”其原理往往運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線(xiàn)可表示為雙曲余弦函數(shù)的圖象，現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)，他們之間具有類(lèi)似于三角函數(shù)的性質(zhì)．（