2/24專題4-4數(shù)列求和、不等式歸類題型1分組求和：公式型題型9裂項相消：指數(shù)倍數(shù)型題型2分組求和：分段型題型10裂項相消：分子分母和的倍數(shù)（重點）題型3分組求和：奇偶正負(fù)型（重點）題型11裂項相消：分子分母齊次消去法題型4分組求和：插入數(shù)型題型12裂項相消：分母有理化法題型5倒序求和：函數(shù)中心法（?？键c）題型13裂項相消：冪指同構(gòu)裂項法題型6錯位求和：整數(shù)型題型14求和證明不等式題型7裂項相消：基礎(chǔ)型（難點）題型15先放縮再求和證明不等式題型8裂項相消：分子為分庫差的倍數(shù)（重點）題型16三角函數(shù)型2/24題型一、分組求和型：公式型（共2小題）1．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列的通項分別為，現(xiàn)將和中所有的項，按從小到大的順序排成數(shù)列，則滿足的的最小值為（

）A．21 B．38 C．42 D．432．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，且，則的值為（

）．A． B． C． D．題型二、分組求和型：分段型（共2小題）3．（24-25高二下·廣西欽州·期末）已知數(shù)列滿足，，且，則的前51項的和為（

）A．37 B．40 C．42 D．464．（24-25高二下·海南省直轄縣級單位·期中）已知數(shù)列滿足，，記，則數(shù)列的前100項的和為（

）A． B．25 C． D．50題型三、分組求和型：奇偶正負(fù)型（共2小題）5．（24-25高二下·四川成都·月考）已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．6．（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，某同學(xué)將其前20項中某一項正負(fù)號寫錯，得其前20項和為82，則寫錯之前這個數(shù)為（

）A．64 B． C．100 D．題型四、分組求和型：插入數(shù)型（共2小題）7．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列的前n項和為，且，.在數(shù)列的每相鄰兩項、之間依次插入、、……、，得到數(shù)列：、、、、、、、、、、……，的前22項和為（

）A．34 B．36 C．37 D．398．（24-25高二上·黑龍江綏化·月考）對于任意一個有窮數(shù)列，可以通過在該數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的之和，構(gòu)造一個新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1，5進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，6，5，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，依此類推，第n次得到數(shù)列1，5.記第n次得到的數(shù)列的各項之和為，則的通項公式（

）A． B． C． D．題型五、倒序求和：函數(shù)對稱中心法（共2小題）9．（25-26高二上·福建漳州·月考）德國大數(shù)學(xué)家高斯，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因此，此方法也稱之為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)（），則等于（

）A． B． C． D．10．（24-25高二下·北京西城·月考）數(shù)學(xué)家高斯在年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則（

）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012題型六、錯位求和：整數(shù)型（（共2小題））11．（24-25高二下·廣西崇左·期末）若數(shù)列滿足，，的前項和為，則的整數(shù)部分為（

）A． B． C． D．12．（2025·廣東茂名·二模）已知函數(shù)滿足，，設(shè)，為數(shù)列的前項和，則使得成立的最小整數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11題型七、裂項相消：基礎(chǔ)型（共2大題）13．（25-26高二上·甘肅金昌·月考）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，其中與的前n項和為和．(1)求與的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和；(3)當(dāng)時，若對任意的恒成立，求實數(shù)的最大值．14．（25-26高三上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列的前項和為，若對任意，向量，，有．(1)求數(shù)列的通項公式(2)記，數(shù)列前項和為，求證：．題型八、裂項相消：分子為分母差的倍數(shù)（共2大題）15．（25-26高三上·四川綿陽·月考）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求的值和數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的前n項和為，求證：．16．（2025·河北保定·一模）記數(shù)列的前n項和為，已知，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和.題型九、裂項相消：指數(shù)倍數(shù)型（共2大題）17．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.18．（25-26高二上·甘肅金昌·月考）數(shù)列滿足：，各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，4是的等比中項，且．(1)求，的通項公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項和，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．題型十、裂項相消：分子為分母和的倍數(shù)（共2大題）19．（25-26高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知等差數(shù)列滿足是關(guān)于的方程的兩個根.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（25-26高二上·甘肅·期中）已知數(shù)列中，，前n項和為，且為等差數(shù)列.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)已知，，求數(shù)列的前n項和.題型十一、裂項相消：分子分母齊次消去法（（共2大題））21．（25-26高三上·河北·期中）已知為正項等差數(shù)列，為的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.22．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知首項為1的正項數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)令（），求數(shù)列的前項和．題型十二、裂項相消：分母有理化法（（共2大題））23．（2025高三上·河南洛陽·專題練習(xí)）已知遞增數(shù)列滿足.(1)求；(2)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)令，求數(shù)列的前項和.24．（25-26高三上·河南南陽·期中）已知數(shù)列的前n項和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和；(3)證明：題型十三、裂項相消：冪指同構(gòu)裂項法（共2大題）25．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項公式；(3)記，數(shù)列的前項和為，證明：.26．（25-26高三上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；(3)設(shè)是數(shù)列的前項積，求證：.題型十四、求和證明不等式（（共2小題））27．（2025·海南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，證明：．28．（25-26高三上·貴州遵義·月考）已知函數(shù)，數(shù)列滿足.(1)證明為定值，并求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：.題型十五、先放縮再求和證明不等式（（共2小題））29．（2025高三下·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)，函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)a的值；(3)證明：．30．（24-25高三下·廣東惠州·月考）已知數(shù)列的前項和為，且，(1)證明是等差數(shù)列；(2)求；(3)求證：題型十六、三角函數(shù)型（（共2小題））31．（24-25高二下·湖北·月考）意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”其原理往往運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可表示為雙曲余弦函數(shù)的圖象，現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)，他們之間