專題05二項式定理（9個考點清單+9類題型解讀）知識點01：.二項式定理一般地，對于任意正整數，都有：，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數，知識點02：二項式的展開式的特點①項數：共有項，比二項式的次數大1；②二項式系數：第項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；③次數：各項的次數都等于二項式的冪指數．字母降冪排列，次數由到；字母升冪排列，次數從到，每一項中，，次數和均為；④項的系數：二項式系數依次是，項的系數是與的系數（包括二項式系數）．知識點03：兩個常用的二項展開式：①（）②知識點04：二項展開式的通項公式二項展開式的通項：公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數是；②字母的次數和組合數的上標相同；③與的次數之和為．注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．知識點05：二項式系數的性質=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個數都等于它“肩上”兩個數的和，即．=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即．=3\*GB3③二項式系數和令，則二項式系數的和為，變形式．=4\*GB3④奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和在二項式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項式的冪指數是偶數，則中間一項的二項式系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，則中間兩項，的二項式系數，相等且最大．知識點06：系數的最大項求展開式中最大的項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為，設第項系數最大，應有，從而解出來．知識點07：賦值法常用賦值舉例：（1）設，二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設為偶數），再結合①可得：．（2）若，則①常數項：令，得．②各項系數和：令，得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結果．【常用結論】奇數項的系數和與偶數項的系數和①5當為偶數時，奇數項的系數和為；偶數項的系數和為．（可簡記為：為偶數，奇數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）②當為奇數時，奇數項的系數和為；偶數項的系數和為．（可簡記為：為奇數，偶數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）若，同理可得．題型一：二項式定理展開及其逆運用 4題型二：二項展開式第k項 5題型三：二項式系數（和） 7題型四：指定項系數（有理項） 9題型五：各項系數和 11題型六：系數最大（小項） 13題型七：三項展開式系數問題 16題型八：兩個二項式相乘展開系數問題 18題型九：楊輝三角 20【題型一：二項式定理展開及其逆應用】一、解答題1．（23-24高二下·新疆省直轄縣級單位·階段練習）計算二項式：(1)化簡：；(2)寫出的展開式并化簡.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據二項式定理逆運算即可得結果；（2）根據二項展開式的通項公式分析求解.【詳解】（1）因為，所以.（2）因為的展開式的通項為，所以.2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）當為偶數時，求證：．【答案】證明見解析【分析】利用二項式展開式，分別令和，，得到方程組，解得即可.【詳解】證明：由二項式定理得，(且)分別令和，，相應得到①，

②．

①＋②得，即．①－②得，所以，當為偶數時有．3．（23-24高二下·江蘇·課前預習）（1）求的展開式.（2）化簡：.【答案】（1）；（2）.【分析】利用二項式定理化簡求值.【詳解】（1）法一:.法二:（2）.【題型二：二項展開式第k項】一、單選題1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中含的項的二項式系數為（

）A．15 B．20 C． D．1215【答案】A【分析】求出的展開式的通項，求出的展開式中含的二項式系數.【詳解】的展開式的通項為，令，則的展開式中含的二項式系數為．故選：A.2．（23-24高二下·陜西渭南·階段練習）二項式的展開式中常數項為（）A．第項 B．第項 C．第項 D．第項【答案】C【分析】利用二項展開式的通項公式求特定的項.【詳解】二項式展開式的通項為：，令，解得，，所以二項式的展開式中常數項為第5項.故選：C.3．（2024·浙江·二模）展開式的常數項為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出二項展開式的通項公式，令的指數為0，得出常數項的項數，即可得常數項．【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項為.故選：A.4．（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）已知，若的展開式中，常數項等于240，則（

）A．3 B．2 C．6 D．4【答案】B【分析】根據二項展開式的通項公式求出常數項，建立方程得解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得，令，解得，即常數項為，解得.故選：B5．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若二項式展開式中含有常數項，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】設二項式通項，待定系數計算即可.【詳解】設的通項為，若有常數項，則只需，而，顯然的最小值為3，此時.故選：A【題型三：二項式系數（和）】一、單選題1．（2024·山東·一模）在的二項展開式中，所有二項式系數之和為64，則展開式的項數是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】先由二項式系數公式求出n，再由二項式展開式定理即可得解.【詳解】由題得，所以二項式的展開式的項數是.故選：A.2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式的第3項的二項式系數為15，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由第3項的二項式系數為15，可列方程，解方程可得的值.【詳解】的展開式的第3項的二項式系數為：，由，解得或（舍去）．故選：C3．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）若的展開式中第2項與第8項的系數相等，則展開式中系數最大的項為（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】C【分析】由的展開式的二項式系數和項的系數相等，因此由題意可得，求出，即可求得展開式中系數最大的項.【詳解】由的展開式中第2項與第8項的系數相等，由的展開式的二項式系數和項的系數相等，所以，所以，則展開式中共有9項，系數最大的項為第5項，故選：C．4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知的展開式的第2項系數的絕對值等于第3項系數的絕對值的3倍，則展開式中的二項式系數最大的項為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】先寫出通項，再結合題意解出，最后求出結果即可；【詳解】的展開式的通項為，依題意可知，解得，所以展開式中的二項式系數最大的項為和．故選：C.5．（23-24高二下·全國·單元測試）已知二項式的展開式奇數項的二項式系數和為，展開式中項的系數為，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件，利用二項式的性質得，再利用二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由展開式奇數項的二項式系數和，可得，則展開式的通項為，令，則，，解得，，.故選：A.【題型四：指定項系數（有理項）】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）的展開式中，常數項為（

）A． B． C．120 D．60【答案】D【分析】由二項式展開式通項公式可得答案.【詳解】的展開式中的第項為：.令，則常數項為.故選：D2．（2024高三·全國·專題練習）已知的展開式中的常數項為15，則（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根據二項式定理，寫出展開式的通項，令字母部分的指數為零，建立方程求得參數，可得答案.【詳解】的展開式的通項為，其中，令，得，故，得，所以，故選：C．3．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習）的展開式中的系數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先寫出展開式的通項公式，根據已知條件確定的值代入展開式即可求解.【詳解】展開式通項，根據題意令，解得，所以含的項為，即的展開式中的系數為.故選：B4．（2024高三·全國·專題練習）的展開式中的整式項系數和是（）A．192 B． C．32 D．【答案】C【分析】根據二項展開式的通項可得，令，運算求解即可.【詳解】展開式的通項公式為，令，則，整式項系數和為.故選：C.5．（2024高三·全國·專題練習）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項的系數和為（）A．43 B． C．27 D．【答案】D【分析】根據題意結合二項展開式解得，，令，運算求解即可.【詳解】展開式的第7項為，由題意可得，，（），解得，，則展開式的通項為，，令，則，所以展開式中的有理項的系數和為.故選：D.【題型五：各項系數和】一、單選題1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習）已知的展開式第3項的系數是60，則展開式所有項系數和是（

）A．-1 B．1 C．64 D．【答案】B【分析】首先根據題意求出的值，然后在中令即可求解.【詳解】由題意，注意到是正整數，所以解得，則展開式所有項系數和是.故選：B.2．（23-24高二下·北京海淀·期末）設，若，則（

）A．80 B．40 C． D．【答案】C【分析】令,求出，結合為的系數，求出這一項即可求出.【詳解】令，則可得，又，則，又為的系數，且，因此.故選：C.3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】賦值法求解即可.【詳解】令，得①，令，得②，①－②，得，即．故選：A．4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用賦值法，先求得的值，再賦值，即可出現所求式子，進而求解即可.【詳解】令，則，易知皆為負值，皆為正值，令，則，故．故選：C5．（2024·四川德陽·一模）設滿足，則（

）A．120 B． C．40 D．【答案】A【分析】利用賦值法令可計算得出，再令求出，構造方程組計算可得.【詳解】因為，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所以.故選：A.【題型六：系數最大（?。╉棥恳?、單選題1．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）在的二項展開式中，系數最大的項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第5項和第6項【答案】B【分析】根據二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】的通項公式為,根據二項式系數的性質可知，第5項和第6項的二項式系數最大，第6項時，展開式的系數為負，因此第5項，展開式系數最大故選：B2．（2023·四川雅安·一模）的展開式中，系數最小的項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【分析】利用二項式定理求得的展開通項公式，結合二項式系數的性質即可得解.【詳解】依題意，的展開通項公式為，其系數為，當為奇數時，才能取得最小值，又由二項式系數的性質可知，是的最大項，所以當時，取得最小值，即第6項的系數最小.故選：C．3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中系數最小的項和二項式系數最大的項分別為（

）A．第1項和第3項 B．第2項和第4項C．第3項和第1項 D．第4項和第2項【答案】B【分析】寫出的二項展開式的通項，進而可知項的系數為，進而可知當取奇數時，系數為負值，因此分別求出、、時的項的系數，進而可知最小值；因為的展開式有7項，因此中間一項的二項式系數最大.【詳解】的展開式的通項為，當取奇數時，系數為負值，當時，，當時，，當時，，所以第2項的系數最小；因為的展開式有7項，所以中間一項的二項式系數最大，即第項的二項式系數最大.故選：B.4．（23-24高三上·全國·階段練習）已知的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二項式定理展開公式，結合系數最大列出不等式即可求解.【詳解】的展開式的通項為，由題可知，解得．故選：A5．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知的展開式中僅第4項的二項式系數最大，則展開式中系數最大的項是第（

）項A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據第4項的二項式系數最大求出，再通過通項公式得出展開式中項的系數為，接著由即可求解.【詳解】由題意二項式系數僅最大，故，所以二項式為，其通項公式為，設二項式展開式中第項的系數最大，則有，，即，故，經經驗符合題意，所以展開式中系數最大的項是第3項.故選：B.6．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）已知的展開式中第9項是常數項，則展開式中系數的絕對值最大的項是（

）A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項【答案】C【分析】先求出展開式的通項，從而依據展開式中第9項是常數項得到，再依據第項的系數絕對值大于或等于第項且大于或等于第項列不等式組即可求解.【詳解】由題意得二項式展開式的通項公式為：，因為展開式中第9項為常數項，故，故第項的系數絕對值為，設展開式中第項的系數絕對值最大，則有，，又因為，故，所以第8項的系數絕對值最大.故選：C.【題型七：三項展開式系數問題】一、單選題1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中所有項的系數之和為（

）A．243 B．240 C．237 D．234【答案】A【分析】根據題意，令，即可求得所有項的系數之和，得到答案．【詳解】由多項式，令，可得所有項的系數之和為．故選：A.2．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）的展開式中的系數為（

）A．120 B．80 C．60 D．40【答案】D【分析】寫出展開式通項，令指數為2，即可求解.【詳解】展開式通項為：，令，即，當時，的系數為；當時，的系數為；所以的系數為，故選：D3．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出通項，令，再求展開式中系數為1時的系數，然后相乘即可；【詳解】，項對應，，項對應系數為，故展開后系數為.故選：D.4．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）的展開式中所有不含的項的系數之和為（

）A． B． C．1 D．243【答案】B【分析】根據二項式的通項公式，運用賦值法進行求解即可.【詳解】展開式的通項公式為，若展開式中的項不含，則，此時符合條件的項為展開式中的所有項，令，得這些項的系數之和為.故選：B5．（23-24高二下·河南鄭州·期中）的展開式中，除含的項之外，剩下所有項的系數和為（

）A． B．299 C． D．301【答案】B【分析】先令，求出展開式中所有項的系數和，然后求出項的系數，從而可得答案.【詳解】令得，所以的展開式中所有項的系數和為，由為個因式相乘，要得到項，則五個因式中有一個因式取，一個因式取，其余三個因式取，然后相乘而得，所有的展開式中含的項為，所以的展開式中，除含的項之外，剩下所有項的系數和為.故選：B.【題型八：兩個二項式相乘展開系數問題】一、單選題1．（22-23高三上·江蘇揚州·期末）的展開式中的系數為（

）A．20 B． C．28 D．【答案】B【分析】根據二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】依題意，的系數為.故選：B2．（24-25高三上·湖南·階段練習）若的展開式中的系數為，則a的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用二項展開式定理，即可求解.【詳解】因為，的展開式的通項公式為所以，的展開式中的系數為，解得，故選：B.3．（2024·江西·一模）的展開式中的常數項為（

）A．147 B． C．63 D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用二項式定理求出展開式中項即可列式計算即得【詳解】二項式展開式中項分別為，所以的展開式中的常數項為．故選：C4．（22-23高三下·河南安陽·開學考試）已知的展開式中，常數項為，則（

）A．?2 B．2 C． D．1【答案】A【分析】根據已知條件，結合二項式定理并分類討論，即可求解.【詳解】由題意，的通項公式為，令，則，令，則不符合題意，所以的常數項為，解得．故選：.5．（23-24高三上·四川內江·階段練習）已知展開式各項系數之和為64，則展開式中的系數為（

）A．31 B．30 C．29 D．28【答案】C【分析】賦值法得到方程，求出，求出展開式通項公式，得到，，從而得到展開式中的系數.【詳解】中令得，解得，展開式通項公式為，，當時，，當時，，故展開式中的系數為.故選：C【題型九：楊輝三角形】一、單選題1．（24-25高二上·全國·隨堂練習）楊輝三角在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個數是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】利用二項式定理求解即可.【詳解】由楊輝三角知：第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，由此可得第行，第個數為，所以第15行第15個數是．故選：B2．（23-24高二下·湖北·期中）如圖，