期末全冊復(fù)習(xí)專題（8大考點20類題型）目錄TOC\o"1-2"\h\u一.基礎(chǔ)篇 2【考點一】概念與定義判斷 2【★題型1】一元二次方程（定義、一般形式、系數(shù)識別） 2【★題型2】圓的基本概念（圓心、半徑、弦與弧、圓周角與圓心角） 3【★題型3】數(shù)據(jù)統(tǒng)計概念（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義） 5【★題型4】概率概念（等可能性、隨機(jī)事件、概率的取值范圍） 7【考點二】基礎(chǔ)運算與求解 9【★題型5】一元二次方程解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法） 9【★題型6】圓的計算（弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積與全面積） 13【★題型7】統(tǒng)計量計算（利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差進(jìn)行判斷） 15【★題型8】一元二次方程根的判別式 18【考點四】核心性質(zhì)應(yīng)用 21【★題型9】圓的性質(zhì)（垂徑定理求弦長、圓周角定理求角度） 21二綜合篇 27【考點五】章內(nèi)綜合 27【★★題型10】用樹狀圖或列表法求概率 27【★★題型11】一元二次方程綜合（根的定義+代數(shù)式化簡求值） 30【★★題型12】圓的綜合（垂徑定理+圓周角定理+弧長計算） 33【★★題型13】圓的綜合（切線性質(zhì)與判定+圓周角定理+弧長與面積運算） 38【考點六】跨章綜合 44【★★題型14】一元二次方程+圓（用方程求圓的半徑或弦長） 44【★★題型15】概率+統(tǒng)計（用頻率估計概率的統(tǒng)計應(yīng)用） 47【考點七】實際應(yīng)用 53【★★題型15】一元二次方程應(yīng)用（增長率、利潤、幾何面積） 53【★★題型16】圓的應(yīng)用（拱橋、滾輪行程、扇形統(tǒng)計圖） 56【★★題型17】統(tǒng)計應(yīng)用（用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差做決策） 56【★★題型18】概率應(yīng)用（幾何概率、游戲公平性判斷、抽獎概率計算） 61三培優(yōu)篇 65【考點八】壓軸題 65【★★★題型19】一元二次方程與幾何綜合 65【★★★題型20】圓的動態(tài)探究 74【題型】帶“★”表示基礎(chǔ)題，帶“★★”表示綜合題，帶“★★★”表示壓軸題一.基礎(chǔ)篇【考點一】概念與定義判斷【★題型1】一元二次方程（定義、一般形式、系數(shù)識別）1．（25-26九年級上·遼寧葫蘆島·月考）下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即形如的整式方程叫做一元二次方程判斷．本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．解：A.，不一定是一元二次方程，不符合題意；B.，是一元二次方程，符合題意；C.，有兩個未知數(shù)，不符合題意；

D.，分母有未知數(shù)，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；故選：B．2．（25-26九年級上·安徽黃山·期中）如果是一元二次方程的一個根，那么多項式的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是求解代數(shù)式的值，一元二次方程的解的含義，由m是方程的根，可得，代入多項式化簡即可．解：∵m是方程的根，∴，∴，∴．∴的值為2023．故選：C3．（25-26九年級上·北京·期中）已知關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式為（其中）.根據(jù)二次項系數(shù)不為零的條件求解即可.解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，∴二次項系數(shù)，解得：.故答案為：.4．（25-26九年級上·廣東江門·期中）一元二次方程化成一般形式是；一次項系數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了將一元二次方程化為一般形式．先將方程右邊的括號展開，然后移項使方程右邊為0，合并同類項化為一般形式，再根據(jù)一般形式識別一次項系數(shù)．解：．，．可知一次項系數(shù)為．故答案為：，．【★題型2】圓的基本概念（圓心、半徑、弦與弧、圓周角與圓心角）1．（25-26九年級上·廣東汕頭·月考）下列說法正確的是（

）A．直徑是弦，弦是直徑 B．無論過圓內(nèi)哪一點，只能作一條直徑C．相等的弦所對的弧相等 D．在同圓中直徑的長度是半徑的2倍【答案】D【分析】本題考查圓的基本概念，包括弦、直徑、弧和半徑的關(guān)系．根據(jù)圓的定義和性質(zhì)逐一判斷選項的正確性即可．解：A．直徑是經(jīng)過圓心的弦，但弦不一定是直徑（如非直徑的弦），故該選項錯誤，不符合題意；B．過圓內(nèi)一點，若該點是圓心，可作無數(shù)條直徑；若該點不是圓心，只能作一條直徑（連接該點與圓心并延長），故該選項錯誤，不符合題意；C．相等的弦所對的弧不一定相等，因為弧有優(yōu)弧和劣弧之分，只有在同圓或等圓中且對應(yīng)同類型弧時才相等，故該選項錯誤，不符合題意；D．在同圓中，直徑的長度是半徑的2倍，故該選項正確，符合題意；．故選：D．2．（25-26九年級上·浙江紹興·期中）下列語句中，正確的有（

）①相等的圓心角所對的弧相等；②等弧對等弦；③平分弦的直徑垂直于弦；④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)圓的性質(zhì)，判斷每個語句的正確性，考慮同圓或等圓的條件以及弦是否為直徑，然后問題可求解．解：∵①相等的圓心角所對的弧相等，必須在同圓或等圓中才成立，故①錯誤；∵②等弧對等弦，故②正確；∵③平分弦的直徑垂直于弦，當(dāng)弦為直徑時不一定垂直，故③錯誤；∵④經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸，故④正確；∴正確的有②④，共2個；故選B．3．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在圖中標(biāo)出的4個角中，圓周角有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了圓周角的定義，頂點在圓周上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角，由此即可得出答案，熟練掌握圓周角的定義是解此題的關(guān)鍵．解：由圖可得：和符合圓周角的定義，頂點不在圓周上，的一邊和圓不想交，故圖中的圓周角有和，共個，故選：B．4．（24-25九年級上·北京順義·期末）《左傳》記載，夏朝初，奚仲創(chuàng)造了世界上第一輛用馬牽引的木質(zhì)車輛．對于現(xiàn)代社會而言，車仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，車輪通常的形狀是圓形．下列選項中，能說明圓形的車輪可以保證車輛平穩(wěn)（不上下顛簸）行駛的是（填寫所有正確選項的序號）．①圓是軸對稱圖形；②圓的圓心到圓周上任意一點的距離相等；③圓沿一條直線滾動，圓心始終在平行于這條直線的一條直線上；④圓中垂直于弦的直徑平分弦．【答案】②③【分析】本題考查了圓的認(rèn)識，根據(jù)圓可以看作是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合解答即可．解：由圓的定義可得，圓的圓心到圓周上任意一點的距離相等且圓沿一條直線滾動，圓心始終在平行于這條直線的一條直線上，∴能說明圓形的車輪可以保證車輛平穩(wěn)（不上下顛簸）行駛的是②③．故答案為：②③．【★題型3】數(shù)據(jù)統(tǒng)計概念（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義）1．（25-26九年級上·河北石家莊·期中）如圖，下列四個溫度計顯示度數(shù)的平均數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是平均數(shù)的計算，根據(jù)四個溫度計顯示度數(shù)分別是，直接計算平均數(shù)即可．解：由圖知，四個溫度計顯示度數(shù)分別是，∴四個溫度計顯示度數(shù)的平均數(shù)為，故選：D．2．（25-26八年級上·全國·單元測試）某男子足球隊隊員的年齡分布如圖所示，這些隊員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)是（

）A．歲和歲 B．歲和歲 C．歲和歲 D．歲和歲【答案】D【分析】本題考查眾數(shù)與中位數(shù)的概念及統(tǒng)計圖分析，利用眾數(shù)（出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)）和中位數(shù)（排序后中間位置數(shù)）的定義求解，關(guān)鍵是準(zhǔn)確統(tǒng)計人數(shù)并確定中位數(shù)位置，易錯點是未排序或數(shù)錯總?cè)藬?shù)；解題思路為：從條形圖得各年齡人數(shù)，找出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)得眾數(shù)，統(tǒng)計總?cè)藬?shù)確定中位數(shù)位置得中位數(shù)．解：從圖中可知：21歲3人、22歲1人、23歲2人、24歲5人、25歲1人；眾數(shù)：24歲（出現(xiàn)次數(shù)最多）；總?cè)藬?shù)：，中位數(shù)是第6、7個數(shù)的平均數(shù)，排序后第6、7個數(shù)平均數(shù)為歲，故中位數(shù)為歲；故選D．3．（25-26八年級上·黑龍江齊齊哈爾·月考）已知一組數(shù)據(jù)：、、、、，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是．【答案】【分析】本題考查了求平均數(shù)和方差．先根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式計算方差即可．解：這組數(shù)據(jù)為、、、、，共個數(shù)據(jù)，故平均數(shù)；方差．故答案為：，．4．（25-26八年級上·山東煙臺·期中）實驗中學(xué)規(guī)定學(xué)生的學(xué)期體育成績滿分100分，其中健康知識考試成績、課外體育活動情況、體育技能考試成績按的比例確定最終體育成績，小明本學(xué)期這三項成績（百分制）依次為95、90、94，則小明這學(xué)期的體育成績?yōu)椋敬鸢浮?3【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)的計算，根據(jù)比例，將各項成績乘以相應(yīng)權(quán)重后求和．解：健康知識考試成績、課外體育活動情況、體育技能考試成績的比例為，因此權(quán)重分別為、、，小明的成績依次為95、90、94，故體育成績?yōu)楣蚀鸢笧?3．【★題型4】概率概念（等可能性、隨機(jī)事件、概率的取值范圍）3．（24-25九年級上·廣東清遠(yuǎn)·期中）下列說法錯誤的是（

）A．同時拋兩枚普通正方體骰子，點數(shù)都是4的概率為B．不可能事件發(fā)生的概率為0C．買一張彩票會中獎是隨機(jī)事件D．連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若5次都是正面朝上，則第6次是正面朝上【答案】D【分析】本題考查了概率是反映事件發(fā)生機(jī)會的大小的概念，解題的關(guān)鍵是掌握概率只是表示發(fā)生的機(jī)會的大小，機(jī)會大不一定發(fā)生，機(jī)會小也有可能發(fā)生．必然發(fā)生的事件就是一定發(fā)生的事件，因而概率是1．不可能發(fā)生的事件就是一定不會發(fā)生的事件，因而概率為0．不確定事件就是隨機(jī)事件，即可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率并且．解：A.同時拋兩枚普通正方體骰子，點數(shù)都是4的概率，第一個出現(xiàn)4的機(jī)會是，第二個出現(xiàn)4的機(jī)會也是，因而點數(shù)都是4的概率為，故選項正確，不符合題意；B.不可能事件發(fā)生機(jī)會為0，正確，不符合題意；C.買一張彩票會中獎是隨機(jī)事件，正確，不符合題意；D.連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若5次都是正面朝上，則第6次不一定是正面朝上，故選項錯誤，符合題意．故選：D．7．（25-26九年級上·浙江杭州·月考）一個密碼箱的密碼，每個數(shù)位上的數(shù)都是從到的自然數(shù)，若要使不知道密碼的人一次就撥對密碼的概率小于則密碼的位數(shù)至少需要位．【答案】四/4【分析】本題考查了概率，分別求出取一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)時一次就撥對密碼的概率，再根據(jù)所在的范圍解答即可求解，掌握概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．解：因為取一位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為；取兩位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為；取三位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為；取四位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為；所以密碼的位數(shù)至少需要四位，故答案為：四．8．（20-21八年級下·江蘇常州·期中）在名男生和名女生的班級，隨機(jī)抽簽確定一名學(xué)生代表，則做代表的可能性較大（填寫“男生”或“女生”）．【答案】男生【分析】依題意，分別求出男生作代表和女生做代表的概率，比較之即可求得答案．解：選男生做代表的概率為：，選女生作代表的概率為：，．男生做代表的可能性較大．故答案為：男生．【點撥】本題考查了概率的應(yīng)用，掌握概率的簡單計算是解題的關(guān)鍵．9．（2020·福建泉州·二模）一個盒子中有白球m個，紅球5個，黑球n個（每個球除了顏色外都相同）．如果從中任取個球，取得是紅球的概率和不是紅球的概率相同，那么m+n=．【答案】5【分析】取得紅球的概率與不是紅球的概率相同，球的總數(shù)目是相同的，那么紅球數(shù)與不是紅球的球數(shù)相等．解：取得是紅球的概率與不是紅球的概率相同，即紅球數(shù)目與不是紅球的數(shù)目相同，而已知白球m個，紅球5個，黑球n個，必有m+n=5．故答案為：5．【點撥】本題考查了概率的公式，用到的知識點為：在總數(shù)相同的情況下，概率相同的部分的具體數(shù)目相等．【考點二】基礎(chǔ)運算與求解【★題型5】一元二次方程解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）12．（25-26九年級上·新疆昌吉·月考）解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法求解；（2）利用因式分解法求解；（3）利用直接開平方法求解；（4）利用因式分解法求解．解：（1）解：或∴；（2）解：或，∴；（3）解：或∴（4）解：或∴．13．（25-26九年級上·湖南衡陽·期中）解方程（1） （2）【答案】（1），；（2），【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法并靈活選用是解答的關(guān)鍵．（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．解：（1）解：，，，∴，∴，∴，；（2）解：原方程化為∴∴或∴，．14．（25-26八年級上·上海·期中）解方程：（1） （2）【答案】（1），；（2）【分析】本題考查了一元二次方程與分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是整式方程通過展開化簡后因式分解求解，分式方程需去分母轉(zhuǎn)整式方程并檢驗增根．（1）將方程展開化簡為一元二次方程，因式分解求解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)整式方程，化簡求解后檢驗增根，即可解答．解：（1）解：解得，；（2）解：或檢驗：當(dāng)時，，（舍去）．∴方程的解為．15．（25-26九年級上·江蘇常州·期中）解下列方程：（1） （2）（3） （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊同時除以3，再把方程兩邊同時開平方即可得到答案；（2）利用公式法解方程即可；（3）把方程左邊利用平方差公式分解因式，再解方程即可得到答案；（4）先把原方程化為一般式，再把方程左邊利用十字相乘法分解因式，最后解方程即可得到答案．解：（1）解：∵，∴，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴，解得；（3）解：∵，∴，∴或，解得；（4）解：∵，∴，∴，∴或，解得．【★題型6】圓的計算（弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積與全面積）4．（25-26九年級上·浙江溫州·期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，若的半徑為5．則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求弧長．連接，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，然后弧長公式計算即可．解：連接，∵，，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴，∵的半徑為5，∴的長為．故選：C10．（25-26九年級上·湖北荊門·期中）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則這個圓錐的側(cè)面積是．【答案】【分析】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式，掌握圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．直接運用圓錐的側(cè)面積公式求解即可．解：∵圓錐的底面半徑為，母線長為，∴這個圓錐的側(cè)面積是．故答案為．11．（23-24九年級下·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C三個點均在格點上，連接，并作，過點B．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，弓形面積的計算，先證明，，再證明，再利用割補法求解陰影部分的面積即可．解：如圖，連接，由勾股定理可得：，，∴，∴，∴為直徑，∵，∴，∵，，∴；故答案為：．16．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）如圖，四邊形的面積為，扇形的半徑為4，圓心角為，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和）【答案】【分析】本題考查了扇形的面積公式，不規(guī)則圖形的面積，先根據(jù)扇形面積公式：求出扇形的面積，然后根據(jù)陰影部分的面積=四邊形的面積-扇形的面積求解即可．解：∵扇形的半徑為4，圓心角為，∴扇形的面積為，又四邊形的面積為，∴陰影部分的面積為．【★題型7】統(tǒng)計量計算（利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差進(jìn)行判斷）1．（25-26八年級上·全國·單元測試）二中為了招聘一批優(yōu)秀教師，對入選的三名候選人進(jìn)行技能與專業(yè)知識兩項考核，最終李老師、于老師、王老師三人的考核成績統(tǒng)計如下：如果視教學(xué)技能與專業(yè)知識水平同等重要，那么候選人將被錄?。蝗绻暯虒W(xué)技能水平比專業(yè)知識水平重要，并且賦予它們6和4的權(quán)重，則將被錄?。蜻x人百分制教學(xué)技能考核成績專業(yè)知識考核成績李老師8592于老師9185王老師8090【答案】李老師于老師【分析】此題考查平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的計算．當(dāng)兩項考核同等重要時，計算算術(shù)平均數(shù)；當(dāng)賦予不同權(quán)重時，計算加權(quán)平均數(shù)，再比較大小以決定錄取．解：當(dāng)視教學(xué)技能與專業(yè)知識水平同等重要時，計算各候選人的算術(shù)平均數(shù)：李老師：于老師：王老師：比較得，故李老師將被錄?。?dāng)視教學(xué)技能水平比專業(yè)知識水平重要，并賦予它們6和4的權(quán)重時，計算各候選人的加權(quán)平均數(shù)：李老師：于老師：王老師：比較得，故于老師將被錄?。⒔獯痤}2．（2025·江蘇·中考真題）為角逐市校園“音樂達(dá)人”大賽，小紅和小麗參加了校內(nèi)選拔賽，10位評委的評分情況如下（單位：分）．表1評委評分?jǐn)?shù)據(jù)評委評委評分小紅7878777879小麗7768888878表2評委評分?jǐn)?shù)據(jù)分析選手平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)小紅7小麗8根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表2中______，______，______；（2）你認(rèn)為小紅和小麗誰的成績較好？請說明理由．【答案】（1）；7；8；（2）小麗的成績較好，理由見分析【分析】本題主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，熟知平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）兩人平均成績相同，而小麗的中位數(shù)和眾數(shù)大，據(jù)此可得結(jié)論．解：（1）解：由題意得，；把小紅的10位評委的評分按照從低到高排列為：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，∴小紅的10位評委的評分的中位數(shù)為分，即；∵小麗的10位評委的評分中，評分為8分的人數(shù)最多，∴小麗的10位評委的評分的眾數(shù)為8，即；（2）解：小麗的成績較好，理由如下：從平均數(shù)來看，兩人的平均成績相同，從中位數(shù)和眾數(shù)來看，小麗的中位數(shù)和眾數(shù)均大于小紅的中位數(shù)和眾數(shù)，故小麗的成績較好．3．（2025·廣東潮州·模擬預(yù)測）為了弘揚和傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，東北育才學(xué)校舉辦了一場名為“經(jīng)典文化傳承大賽”的初賽，比賽設(shè)定滿分為10分，參賽學(xué)生的得分均為整數(shù)．以下是甲、乙兩組（每組10人）學(xué)生在初賽中的成績記錄（單位：分）：甲組：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙組：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．根據(jù)甲、乙兩組學(xué)生的成績，得到以下的統(tǒng)計表：組別平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲組762.6乙組72（1）在以上成績統(tǒng)計表中，=_______，=______，=______．（2）小明同學(xué)說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中屬于中游略偏上的水平．”根據(jù)上面的統(tǒng)計表，判斷小明是哪個組的學(xué)生，并解釋原因．（3）從平均數(shù)和方差看，若從甲、乙兩組學(xué)生中選擇一個小組參加決賽，應(yīng)選哪個組？并說明理由．【答案】（1）6，7，7；（2）小明可能是甲組的學(xué)生，解釋原因見分析；（3）選乙組參加決賽，理由見分析【分析】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)及方差的意義，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用特征數(shù)做決策．（1）根據(jù)方差、中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行解答即可得出答案；（2）根據(jù)中位數(shù)的意義即可得出答案；（3）根據(jù)平均數(shù)與方差的意義即可得出答案．解：（1）解：∵甲組數(shù)據(jù)重新排列為：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．∴中間兩個數(shù)的平均數(shù)是，則中位數(shù)；∵乙組數(shù)據(jù)重新排列為：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．∴，∵乙組學(xué)生成績中，數(shù)據(jù)7出現(xiàn)了四次，次數(shù)最多，∴眾數(shù)．故答案為：6，7，7（2）小明可能是甲組的學(xué)生，理由如下：∵甲組的中位數(shù)是6分，而小明得了7分，∴小明在小組中屬中游略偏上．（3）選乙組參加決賽．理由如下：∵甲、乙兩組學(xué)生平均數(shù)相同，而，∴乙組的成績比較穩(wěn)定，故選乙組參加決賽．【★題型8】一元二次方程根的判別式1．（25-26九年級上·廣東潮州·期中）已知關(guān)于x的方程．（1）若該方程的一個根為1，求m的值和該方程的另一個根；（2）求證：不論m取何值時，該方程都有兩個不等實數(shù)根．【答案】（1），另一根為；（2）見分析【分析】本題考查了一元二次方程的求解，根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法．（1）將代入方程求出m的值，再求解方程即可得到另一個根即可；（2）證明一元二次方程的根的判別式恒為正即可．解：（1）解：將代入方程得，解得：，此方程為，因式分解為，∴，，解得：，，∴方程的另一個根為；（2）解：，∵，∴不論m取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．2．（25-26九年級上·廣西南寧·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）當(dāng)時，求方程的實數(shù)根；（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），；（2）【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程；（1）把代入方程中，解方程即可；（2）根據(jù)題意得到，對計算求解即可．解：（1）解：當(dāng)時，，．（2）解：方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，，．3．（25-26九年級上·江蘇揚州·期中）已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）．（1）求證：無論取何值，方程總有實數(shù)根；（2）若、為該方程的兩個實數(shù)根，且滿足，求的值．【答案】（1）證明見分析；（2）【分析】本題考查了根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）整理，即可證明無論取何值，方程總有實數(shù)根；（2）理解題意，得出，再結(jié)合，進(jìn)行列式計算，即可作答．解：（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程∴；∴無論取何值，方程總有實數(shù)根；（2）解：∵、為該方程的兩個實數(shù)根，∴，∵，∴，解得．4．（25-26九年級上·湖北武漢·期中）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）若該方程有一個根為，求方程的另一個根；（2）若該方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值．【答案】（1）另一個根是；（2）【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解．解：（1）解：設(shè)方程的另一個根為，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，∴，即方程的另一個根是；（2）解：該方程有兩個相等的實數(shù)根，，．【考點四】核心性質(zhì)應(yīng)用【★題型9】圓的性質(zhì)（垂徑定理求弦長、圓周角定理求角度）1．（25-26九年級上·浙江·課后作業(yè)）如圖，在中，弦與半徑垂直于點D，連接、．點E為的中點，連接．（1）若，求的長；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）3；（2）【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到，則，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到的長；2.利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和計算出，然后利用得到．解：（1）解：∵，∴，，∴，∵點E為的中點，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵點E為的中點，∴，∴．【點撥】本題考查了垂徑定理：直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．2．（2025九年級上·浙江·專題練習(xí)）如圖，是⊙O的直徑，是⊙O的弦，．（1）求證：；（2）如果弦的長為8，與間的距離是3，求的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．（1）過點O作，延長交⊙O于點E，根據(jù)題意可得：，推出，即可證明；（2）根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)勾股定理求出，即可求解．解：（1）證明：如圖，作垂足為點，延長交⊙O于點E，∵是⊙O的直徑，，∴，，∴，∴；（2）解：∵，則，∵，與間的距離是3，即，∴，∴，∴．3．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點是邊的中點，以為直徑的經(jīng)過點，點是邊上一點（不與點重合）．請僅用無刻度直尺按要求作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．（1）過點作一條直線，將分成面積相等的兩部分；（2）在邊上找一點，使得．【答案】（1）作圖見詳解；（2）見分析【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握中線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形中線平分三角形面積作圖即可；（2）根據(jù)直徑或半圓所對圓心角為直角，可得，結(jié)合可得是線段的垂直平分線，如圖所示，連接交于點，連接并延長交于點，可證，可得，由此即可求解．解：（1）解：∵點是邊的中點，∴，∴根據(jù)三角形中線平分三角形面積，作圖如下，∴（2）解：∵以為直徑的經(jīng)過點，∴，即，又∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，平分，即，如圖所示，連接交于點，連接并延長交于點，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴．4．（2025·河南·三模）如圖，三角形內(nèi)接于，，連接并延長交于點D，連結(jié)，，．（1）求證：；（2）猜想與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見分析；（2），理由見分析【分析】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，證明；（2）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理得到，得到，根據(jù)平行線的判定證明即可．解：（1）證明：∵，∴，由圓周角定理得：，∴；（2）解：，理由如下：∵，即∴，∴，∵，∴，∴，由圓周角定理得：，∴，∴．5．（25-26九年級上·北京密云·期中）已知A、B、C、D是上的點，為直徑，過點D作的垂線交延長線于點E．（1）求證：；（2）若，當(dāng)時，求半徑的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，同角的余角相等，垂徑定理，勾股定理，對于（1），連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得，

再根據(jù)同角的余角相等得，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等得，即可得出答案；

對于（2），連接，先說明，再根據(jù)垂徑定理得，然后根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)勾股定理得出方程，求出解即可.解：（1）證明：連接，

∵為直徑∴，

∴，

∵，∴，

∴，

∴，

∵，

∴；（2）解：連接，

∵，∴，

∴，∵為直徑，，∴，

在中，，

∴，

設(shè)的半徑為x，，∵，∴，解得，∴的半徑為.二綜合篇【考點五】章內(nèi)綜合【★★題型10】用樹狀圖或列表法求概率1．（2025·江蘇·中考真題）一個不透明的盒子里裝有四張卡片，分別寫有“美”“好”“淮”“安”四個字，卡片除文字外都相同，并將四張卡片充分?jǐn)噭颍?）從盒子中隨機(jī)抽取1張卡片，恰好抽到“淮”的概率是；（2）一次從盒子中隨機(jī)抽取2張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的卡片恰好1張為“美”、1張為“好”的概率．【答案】（1）；（2），見分析【分析】本題考查利用概率公式計算概率，掌握樹狀圖或列表法求概率是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式即可解題；（2）運用樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果，找出符合條件的結(jié)果數(shù)量，利用公式解題即可．解：（1）解：盒子里裝有四張卡片，從盒子中隨機(jī)抽取1張卡片，恰好抽到“淮”的概率是，故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的卡片恰好1張為“美”，1張為“好”的結(jié)果有2種，∴抽取的卡片恰好1張為“美”、1張為“好”的概率為：．2．（2025·江蘇徐州·中考真題）如圖，甲、乙為兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，它們分別被分成了4等份與3等份，每份內(nèi)均標(biāo)有字母．轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，若指針落在兩個區(qū)域的交線上，則重轉(zhuǎn)一次．（1）轉(zhuǎn)動甲盤，待其停止轉(zhuǎn)動后，指針落在A區(qū)域的概率為_______；（2）轉(zhuǎn)動甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤，用列表或畫樹狀圖的方法，求轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后甲盤指針落在C區(qū)域且乙盤指針未落在Q區(qū)域的概率．【答案】（1）；（2）轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后甲盤指針落在C區(qū)域且乙盤指針未落在Q區(qū)域的概率為【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）直接由概率公式求解即可；（2）列舉出所有情況，乙盤指針落在C區(qū)域未落在Q區(qū)域的情況數(shù)，再進(jìn)一步求解即可．解：（1）解：旋轉(zhuǎn)甲轉(zhuǎn)盤一次，指針落在“A”區(qū)域的概率是．（2）解：列表如下：由表知，所有的情況數(shù)有12種，其中轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后甲盤指針落在C區(qū)域且乙盤指針未落在Q區(qū)域的情況數(shù)有2種，∴轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后甲盤指針落在C區(qū)域且乙盤指針未落在Q區(qū)域的概率為．3．（2025·江蘇宿遷·中考真題）某校建議學(xué)生利用周末時間積極參加社會實踐活動．某一周末有兩個項目供學(xué)生選擇：A文明交通勸導(dǎo)志愿行，B鄉(xiāng)村教育關(guān)愛行，每名學(xué)生只能選擇其中一個項目．（1）甲同學(xué)選擇A項目的概率為___________；（2）請用畫樹狀圖的方法，求甲、乙、丙三位同學(xué)恰好選擇同一項目的概率．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了概率的基本計算，畫樹狀圖法求概率，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）直接由概率公式求解即可；（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．解：（1）解：∵有兩個項目供學(xué)生選擇，∴甲同學(xué)選擇A項目的概率為，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖為：

由樹狀圖可知一共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙、丙三位同學(xué)恰好選擇同一項目的結(jié)果數(shù)有2種，∴甲、乙、丙三位同學(xué)恰好選擇同一項目的概率是．4．（2025·江西·中考真題）校園數(shù)學(xué)文化節(jié)期間，某班開展多輪開盲盒做游戲活動．每輪均有四個完全相同的盲盒，分別裝著寫有“幻方”、“數(shù)獨”、“華容道”、“魯班鎖”游戲名稱的卡片，每位參與者只能抽取一個盲盒，盲盒打開即作廢．（1）若隨機(jī)抽取一個盲盒并打開，恰好裝有“數(shù)獨”卡片的事件是（

）A．必然事件

B．隨機(jī)事件

C．不可能事件（2）若某輪只有小賢與小藝兩位同學(xué)參加開盲盒游戲，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人恰好抽中裝著寫有“華容道”和“魯班鎖”卡片盲盒的概率．【答案】（1）B；（2）【分析】本題主要考查了隨機(jī)事件、列表法求概率等知識點，正確列表成為解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)隨機(jī)事件的定義即可解答；（2）將“幻方”、“數(shù)獨”、“華容道”、“魯班鎖”四個游戲分別記作A、B、C、D，然后列表確定所有等可能結(jié)果數(shù)以及符合題意的結(jié)果數(shù)，然后運用概率公式求解即可．解：（1）解：∵隨機(jī)抽取一個盲盒并打開，四個游戲均有可能，∴隨機(jī)抽取一個盲盒并打開，恰好裝有“數(shù)獨”卡片的事件是隨機(jī)事件．故選B．（2）解：“幻方”、“數(shù)獨”、“華容道”、“魯班鎖”四個游戲分別記作A、B、C、D，根據(jù)題意列表如下：ABCDAA，BA，CA，DBB，AB，CB，DCC，AC，BC，DDD，AD，BD，C則共有12種結(jié)果，兩人恰好抽中裝著寫有“華容道”和“魯班鎖”卡片盲盒的情況數(shù)為2．所以兩人恰好抽中裝著寫有“華容道”和“魯班鎖”卡片盲盒的概率為．【★★題型11】一元二次方程綜合（根的定義+代數(shù)式化簡求值）1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且則．【答案】或【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，再代入得，然后解方程并檢驗即可，解題的關(guān)鍵是熟悉：一元二次方程的兩個根為，則，．解：∵是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵，即把，，代入整理得，解得，∵方程有兩個實數(shù)根，∴∴，解得：，∵都滿足，∴．2．（2025·四川南充·一模）已知方程的兩根分別為m、n，則的值為．【答案】﹣1【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，再整體代入求值即可得到答案；解：由條件可知：，，∴，∴．故答案為：．3．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則．【答案】13【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，代入，即可解答．解：已知，，，，，，∴．故答案為：13．4．（2025·四川成都·一模）方程的全體實數(shù)根的積為．【答案】【分析】用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的分式方程．先求，再求檢驗后求它們的積即可．本題主要考查了換元法解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟以及解分式方程的方法和步驟．解：原方程變形為：，設(shè)，于是原方程變?yōu)?，整理，得，解得，，?dāng)時，則，即，解得，；當(dāng)時，則，即，，無解，經(jīng)檢驗，，是原方程的根，．故答案為：．【★★題型12】圓的綜合（垂徑定理+圓周角定理+弧長計算）1．（25-26九年級上·廣東東莞·期中）如圖，是的外接圓，是的直徑，半徑，垂足為點，連接．（1）求證：平分；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見分析；（2）．【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用及利用勾股定理建立方程求解線段長度是解題的關(guān)鍵．（1）利用垂徑定理得，再結(jié)合同弧所對的圓周角相等，證明．（2）先由垂徑定理得的長度，設(shè)圓的半徑為，用表示的長度，再在中利用勾股定理列方程求解．解：（1）證明：∵，∴，∴，∴平分；（2）解：∵，，∴，設(shè)的半徑為，則，，在中，由勾股定理得，即，解得：．2．（23-24九年級上·浙江杭州·期中）已知：如圖，是的直徑，弦于點，是弧上一動點，，的延長線交于點．連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【答案】（1）25°；（2）2【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．（1）利用垂徑定理和圓周角定理即可解決問題；（2）連接．證明是等邊三角形，利用所對的直角邊是斜邊的一半，勾股定理，即可解決問題．解：（1）解：如圖，連接．，是的直徑，．，．，，，．．（2）如圖，連接．，．，是等邊三角形，，∵，，，，，是的直徑，．3．（25-26九年級上·河北滄州·期中）如圖1，圖2，在中，為直徑，為圓上的兩個動點，連接．（1）如圖1，當(dāng)點與點位于同側(cè)時，連接，若于點．①若，求的度數(shù)；②若，求的半徑；（2）如圖2，當(dāng)點與點位于異側(cè)（點不與點重合）時，連接．若，直接寫出的值．【答案】（1）①，②；（2）【分析】（1）①連接，如圖所示，先由垂徑定理得到，再由題中已知條件，有，從而有，最后根據(jù)圓周角定理求角度即可得到答案；②由垂徑定理可知，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案；（2）延長至點，使，連接，如圖所示，先由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到，進(jìn)而證得，再由全等三角形的性質(zhì)得到，最后由等腰直角三角形的判定與性質(zhì)求解即可得到答案．解：（1）解：①連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴，是的直徑，∴，，；②∵，，設(shè)的半徑為，，，在中，由勾股定理可知，即，解得，的半徑為；（2）解：的值為．延長至點，使，連接，如圖所示：四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，，在和中，，，，是的直徑，，，，，為等腰直角三角形，，．【點撥】本題考查圓綜合，涉及垂徑定理、圓中弦與弧的關(guān)系、圓周角定理、勾股定理、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟記圓的相關(guān)性質(zhì)及幾何性質(zhì)，并靈活運用是解決問題的關(guān)鍵．4．（25-26九年級上·河北廊坊·期中）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點是這段弧所在圓的圓心，，是上一點，，垂足為，．（1）求這段彎路的半徑；（2）若m，，在不計公路寬度的前提下，計算該段公路的展直長度．（結(jié)果保留）【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了垂徑定理，弧長公式，勾股定理等知識．（1）設(shè)該段彎路的半徑為，由垂直定理得出，再利用勾股定理得出，代入數(shù)值計算即可得出答案．（2）根據(jù)該段公路的展直長度為計算即可．解：（1）解：設(shè)該段彎路的半徑為，∵，，∴，在中，，解得：（米）．（2）解：根據(jù)題意：，∴展直長度為：【★★題型13】圓的綜合（切線性質(zhì)與判定+圓周角定理+弧長與面積運算）1．（25-26九年級上·江蘇揚州·期中）如圖，是的外接圓，是直徑，作與過點A的切線交于點D，連接并延長交的延長線于點E．（1）求證：；（2）若，，求線段的長度．【答案】（1）證明見分析；（2）【分析】本題考查切線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等知識，熟練掌握圓相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵．（1）連接，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，然后證明可得結(jié)論；（2）先根據(jù)切線性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)半徑為，利用勾股定理求得，進(jìn)而可求解．解：（1）證明：連接，，，，，，且，，，；（2）解：是的切線，，，設(shè)半徑為，則，，，解得，．2．（25-26九年級上·廣東惠州·期中）如圖，在中，，為的外接圓，，為的直徑，連接并延長交于點E．（1）求證：為的切線；（2）求證：；（3）若，，求的半徑．【答案】（1）見分析；（2）見分析；（3）【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理：（1）連接，由，得到，結(jié)合，推出，再根據(jù)為的直徑，得到，進(jìn)而得到即，即可證明結(jié)論；（2）延長交于點，連接，易證垂直平分，圓周角定理，切線的性質(zhì)，推出四邊形為矩形，即可得證；（2）由（2）可知，勾股定理求出的長，設(shè)的半徑為，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．解：（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴即，∵是的半徑，∴為的切線；（2）證明：延長交于點，連接，∵，，∴垂直平分，∴，，∵為的切線，∴，∵為的直徑，∴，∴四邊形為矩形，∴；（3）解：由（2）知四邊形為矩形，，，∴，∴，設(shè)的半徑為，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；即：的半徑為．3．（25-26九年級上·廣東汕頭·期中）如圖，以點O為圓心，長為直徑作圓，在上取一點C，延長至點D，連接，，過點A作交的延長線于點E．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）證明見詳解；（2）3【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定定理及勾股定理．（1）連接，根據(jù)為直徑得出，由已知條件推得，從而證得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）利用勾股定理得出，根據(jù)已知條件得出，解得的值，進(jìn)而得到的半徑．解：（1）證明：如圖，連接，∵為直徑，∴，即，又∵，，∴，∴，即，又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，在中，由勾股定理得，，∵，，，∴，∴，∴的半徑為3．4．（25-26九年級上·江蘇南京·期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點，過點作，與的延長線交于點（1）求證：是的切線；（2）若是的直徑，的半徑為，則陰影部分的面積為______．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）設(shè)交于點，由是的直徑，是的中點，得，，所以，，推導(dǎo)出，則，由，得，即可證明是的切線；（2）根據(jù)題意先證明四邊形是正方形，再根據(jù)計算即可求解．解：（1）證明：如圖1，設(shè)交于點，是的直徑，是的中點，，，，，，，，，平分，，，，是的半徑，且，是的切線．（2）解：如圖2，是的直徑，且的半徑為2，，，∴四邊形是矩形又∵∴四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，故答案為：【點撥】本題考查圓周角定理及其推論、等腰三角形的“三線合一”、平行線的性質(zhì)、切線的判定、扇形的面積公式等知識，推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．【考點六】跨章綜合【★★題型14】一元二次方程+圓（用方程求圓的半徑或弦長）1．（23-24九年級上·山東德州·期末）已知，的半徑為一元二次方程的根，圓心O到直線l的距離，則直線l與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查了解一元二次方程以及直線與圓的位置關(guān)系：當(dāng)，直線與圓相交，當(dāng)，直線與圓相切，當(dāng)，直線與圓相離，據(jù)此即可作答．解：∵∴故的半徑為，∵，∴直線與圓相離故選：C．二、填空題2．（25-26八年級上·江蘇無錫·月考）已知的兩直角邊分別是一元二次方程的兩根，則此的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和是．【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的問題．解出方程，可得兩直角邊是3或4，再由勾股定理可得的長，可求出的外接圓的半徑；設(shè)的內(nèi)切圓圓心為點O，與三邊的切點分別為點D，E，F(xiàn)，連接，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，結(jié)合切線長定理可求出內(nèi)切圓的半徑，即可求解．解：解方程，得：，即兩直角邊是3或4，根據(jù)勾股定理得：斜邊長為：，即的外接圓直徑為5，∴的外接圓的半徑為．如圖，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為點O，與三邊的切點分別為點D，E，F(xiàn)，連接，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，∴，，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，即內(nèi)切圓的半徑為1，此的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和是．故答案為：三、解答題3．（24-25九年級上·江蘇宿遷·期中）定義：若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，分別以為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點，則點為該一元二次方程的衍生點．（1）若一元二次方程，寫出該方程的衍生點的坐標(biāo)______．（2）若關(guān)于的一元二次方程為．①求該方程的衍生點的坐標(biāo)．②若以點為圓心，為半徑的與軸、軸都相切，求的值．（3）是否存在b，c，使得不論為何值，關(guān)于的方程的衍生點始終在直線的圖像上？若有，請求出b，c的值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）；；（2）①；②；（3）有，【分析】（1）利用因式分解法求解方程的解，然后根據(jù)定義即可求解；（2）①利用因式分解法解方程，再根據(jù)衍生點的定義求解；②由條件得出圓心到坐標(biāo)軸的距離相等，建立等式即可求解；（3）求出直線的恒過定點，將其視為衍生點，再利用根數(shù)系數(shù)的關(guān)系建立等式求解即可．解：（1）解：，解得：，點為該一元二次方程的衍生點，故答案為：．（2）①，，解得：，該方程的衍生點的坐標(biāo)為：；②當(dāng)以點為圓心，為半徑的與軸、軸都相切，，解得：；（3）解：，該直線過定點：，根據(jù)定義，滿足，當(dāng)為，會使得不論為何值，關(guān)于的方程的衍生點始終在直線的圖像上，由得；，．【點撥】本題考查了求一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)圖象恒過定點問題、圓等問題，解題的關(guān)鍵是讀懂衍生點的定義，根據(jù)定義進(jìn)行求解衍生點，再解決問題（3）時，需要將定點視為衍生點才是解題的突破口．【★★題型15】概率+統(tǒng)計（用頻率估計概率的統(tǒng)計應(yīng)用）1．（2025·河北唐山·三模）“推進(jìn)全民閱讀，培育時代新人”．某學(xué)校為了更好地開展學(xué)生讀書活動，隨機(jī)調(diào)查了九年級50名學(xué)生最近一周的讀書時間，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：時間（小時）678910人數(shù)58121510（1）寫出這50名學(xué)生讀書時間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；（2）根據(jù)上述表格補全條形統(tǒng)計圖；（3）學(xué)校欲從這50名學(xué)生中，隨機(jī)抽取1名學(xué)生參加上級部門組織的讀書活動，其中被抽到學(xué)生的讀書時間不少于8小時的概率是多少？【答案】（1）平均數(shù)為，眾數(shù)是9，中位數(shù)為；（2）見分析；（3）【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)以及中位數(shù)，用樣本估計總體的知識，解題的關(guān)鍵是牢記概念及公式．（1）先得出50名學(xué)生讀書的總時間，除以50即可求出平均數(shù)；在這組樣本數(shù)據(jù)中，9出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以求出了眾數(shù)；將這組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個數(shù)是8和9，從而求出中位數(shù)是8.5；（2）根據(jù)題意直接補全圖形即可．（3）從表格中得知在50名學(xué)生中，讀書時間不少于8小時的有37人再除以50即可得出結(jié)論．解：（1）解：觀察表格，可知這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；∵這組樣本數(shù)據(jù)中，9出現(xiàn)了15次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是9；∵將這組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個數(shù)是8和9，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為；（2）補全圖形如圖所示，（3）∵讀書時間是8小時的有12人，讀書時間是9小時的有15人，讀書時間是10小時的有10人，∴讀書時間不少于8小時的有（人），∴被抽到學(xué)生的讀書時間不少于8小時的概率是．2．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）為做好青少年安全教育工作，某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識競賽（共20題，每題5分，滿分100分）．該校從學(xué)生成績都不低于80分的八年級（1）班和（3）班中，各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績進(jìn)行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖及分析表．【收集數(shù)據(jù)】八年級（1）班20名學(xué)生成績：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年級（3）班20名學(xué)生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述數(shù)據(jù)】八年級（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計表分?jǐn)?shù)80859095100人數(shù)33ab3【分析數(shù)據(jù)】八年級（1）班和（3）班20名學(xué)生成績分析表統(tǒng)計量班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差八年級（1）班9541.5八年級（3）班919026.5【應(yīng)用數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，回答下列問題．（1）請補全條形統(tǒng)計圖：（2）填空：______，______；（3）你認(rèn)為哪個班級的成績更好一些？請說明理由；（4）從上面5名得100分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級知識競賽．請用列表法或畫樹狀圖法求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個班級的概率．【答案】（1）見詳解；（2）91，92.5；（3）八年級（1）班成績較好，理由見詳解；（4）【分析】（1）由八年級（3）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補全條形統(tǒng)即可；（2）由八年級（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計可得，，根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行計算即可；（3）從平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)綜合分析得八年級（1）班成績較好；（4）設(shè)八年級（1）班的三名100分的學(xué)生用A、B、C表示，八年級（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能結(jié)果，再從中找出2名學(xué)生恰好在同一個班級的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率的計算公式進(jìn)行計算即可．解：（1）解：由八年級（3）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：（2）解：由八年級（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計可得，，∴，一共20名學(xué)生，中位數(shù)應(yīng)該為第10名與第11名的平均數(shù)，．（3）解：八年級（1）班和八年級（3）班的平均成績相同，但八年級（1）班的中位數(shù)和眾數(shù)都比八年級（3）班高，即八年級（1）班高分段人數(shù)較多．因此八年級（1）班成績較好．（4）解：設(shè)八年級（1）班的三名100分的學(xué)生用A、B、C表示．八年級（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、Y表示，則隨機(jī)抽兩名學(xué)生的所有情況如下：（1）班（3）班ABCXYAABACAXAYBBABCBXBYCCACBCXCYXXAXBXCXYYYAYBYCYX一共有20種情況．其中兩名同學(xué)在同一個班級的有共8種，∴所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個班級的概率為：．【點撥】本題考查讀統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力以及中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)，以及概率的計算．利用統(tǒng)計表獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．3．（2025·貴州黔東南·二模）某校舉辦“歌唱祖國”演唱比賽，十位評委對每位同學(xué)的演唱進(jìn)行現(xiàn)場打分．對參加比賽的甲、乙、丙三位同學(xué)得分的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲、乙兩位同學(xué)得分的折線圖：b．丙同學(xué)得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同學(xué)得分的平均數(shù)：同學(xué)甲乙丙平均數(shù)m根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）求表中m的值；（2）在參加比賽的同學(xué)中，如果某同學(xué)得分的10個數(shù)據(jù)的方差越小，則認(rèn)為評委對該同學(xué)演唱的評價越一致．據(jù)此推斷：在甲、乙兩位同學(xué)中，評委對______的評價更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果學(xué)校打算從甲、乙、丙三位同學(xué)中選擇2人參加學(xué)校開放日活動的表演，請用列表法或畫樹狀圖法計算選擇甲的概率是多少．【答案】（1）；（2）甲；（3）【分析】本題主要考查列表法或樹狀圖法求概率折線統(tǒng)計圖、平均數(shù)、方差等知識點，理解平均數(shù)、方差的意義和計算方法是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平均數(shù)的定義即可解答；（2）計算甲、乙兩同學(xué)的方差，即可求解；（3）通過列表法列出所有結(jié)果，再求概率即可．解：（1）解：．（2）解：甲同學(xué)的方差：，乙同學(xué)的方差：，，∴評委對甲同學(xué)演唱的評價更一致．故答案為：甲．（3）解：列表如下：甲乙丙甲（甲，乙）（甲，丙）乙（乙，甲）（乙，丙）丙（丙，甲）（丙，乙）總共有6種等可能的結(jié)果，選擇甲的結(jié)果有4種，則P（選擇甲）．【考點七】實際應(yīng)用【★★題型15】一元二次方程應(yīng)用（增長率、利潤、幾何面積）1．（2025·遼寧·模擬預(yù)測）新能源汽車是指采用非常規(guī)車用燃料（如電能、氫能等）作為動力來源，或使用新型車載動力裝置的汽車，其核心特點是通過先進(jìn)技術(shù)實現(xiàn)節(jié)能減排，推動汽車行業(yè)的綠色轉(zhuǎn)型．某品牌新能源汽車年的銷售量為萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，年的銷售量比年增加了萬輛．若設(shè)從年到年該品牌新能源汽車銷售量的年平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)從年到年該品牌新能源汽車銷售量的年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)從年到年該品牌新能源汽車銷售量的年平均增長率為，由題意得，，故選：．2．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔10月份到12月份的銷量，該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷售72個，10月份到12月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，商家經(jīng)過調(diào)查統(tǒng)計，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為500個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到8000元，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應(yīng)定為多少元？【答案】（1）；（2）50【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷售72個列出方程求解即可；（2）設(shè)該品牌頭盔每個售價為y元，根據(jù)利潤（售價進(jìn)價）銷售量列出方程求解即可．解：（1）解；設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得解得，（不合題意，舍去）答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為．（2）解：設(shè)該品牌頭盔每個售價為y元，依題意，得整理，得解得因盡可能讓顧客得到實惠所以不合題意，舍去．所以．答：該品牌頭盔每個售價應(yīng)定為50元．3．（2024·安徽蚌埠·二模）【觀察思考】如圖，春節(jié)期間，廣場上用紅梅花（黑色圓點）和黃梅花（白色圓點）組成“中國結(jié)”圖案．【規(guī)律總結(jié)】請用含n的式子填空：（1）第n個圖案中黃梅花的盆數(shù)為；（2）第n個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為；【問題解決】（3）已知按照上述規(guī)律擺放的第n個“中國結(jié)”圖案中紅梅花比黃梅花多68盆，結(jié)合圖案中紅梅花和黃梅花的排列方式及上述規(guī)律，求n的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點并靈活運用，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．（1）觀察圖案中黃梅花的盆數(shù)，得出規(guī)律即可；（2）觀察圖案中紅梅花的盆數(shù)，得出規(guī)律即可；（3）根據(jù)題意列出方程，求解即可．解：（1）第1個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，第2個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，第3個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，第4個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，…；第n個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為；故答案為：；（2）第1個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第2個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第3個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第4個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，…；第n個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為；故答案為：；（3）根據(jù)題意得，整理得，即，解得（舍去）或．4．（2025·山東臨沂·一模）在我國，端午節(jié)作為傳統(tǒng)佳節(jié)，歷來有吃粽子的習(xí)俗．某食品加工廠擁有，兩條不同的粽子生產(chǎn)線，生產(chǎn)線每小時加工粽子個，生產(chǎn)線每小時加工粽子個．（1）若生產(chǎn)線，一共加工小時，且生產(chǎn)粽子總數(shù)量不少于個，則B生產(chǎn)線至少加工多少小時？（2）原計劃，生產(chǎn)線每天均工作小時．由于改進(jìn)了生產(chǎn)工藝，在實際生產(chǎn)過程中，生產(chǎn)線每小時比原計劃多生產(chǎn)個（），生產(chǎn)線每小時比原計劃多生產(chǎn)個．若生產(chǎn)線每天比原計劃少工作小時，生產(chǎn)線每天比原計劃少工作小時，這樣一天恰好生產(chǎn)粽子個，求的值．【答案】（1）B生產(chǎn)線至少加工6小時；（2）a的值為2【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給的數(shù)量關(guān)系列出不等式和方程求解．設(shè)生產(chǎn)線加工小時，則生產(chǎn)線加工小時，根據(jù)生產(chǎn)線，一共加工小時，且生產(chǎn)粽子總數(shù)量不少于個，列不等式求解即可；根據(jù)一天恰好生產(chǎn)了個粽子，可列關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求出的值．解：（1）解：設(shè)生產(chǎn)線加工小時，則生產(chǎn)線加工小時，根據(jù)題意可得：，

解得：答：生產(chǎn)線至少加工小時；（2）解：由題意可得：，

整理得：，

解得，（不符合題意，舍去），

答：的值為．【★★題型16】圓的應(yīng)用（拱橋、滾輪行程、扇形統(tǒng)計圖）【★★題型17】統(tǒng)計應(yīng)用（用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差做決策）1．（2025·廣東廣州·中考真題）為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校開展主題為“多彩非遺，國韻傳揚”的演講比賽．評委從演講的內(nèi)容、能力、效果三個方面為選手打分，各項成績均按百分制計．進(jìn)入決賽的前兩名選手需要確定名次（不能并列），他們的單項成績?nèi)缦卤硭荆哼x手內(nèi)容能力效果甲乙（1）分別計算甲、乙兩名選手的平均成績（百分制），能否以此確定兩人的名次？（2）如果評委認(rèn)為“內(nèi)容”這一項最重要，內(nèi)容、能力、效果的成績按照的比確定，以此計算兩名選手的平均成績（百分制），并確定兩人的名次；（3）如果你是評委，請按你認(rèn)為各項的“重要程度”設(shè)計三項成績的比，并解釋設(shè)計的理由．【答案】（1）甲、乙的平均成績均為90分，不能以此確定兩人的名次；（2）甲排名第一，乙排名第二；（3）設(shè)計三項成績的比為，理由內(nèi)容是演講的核心，占比最高，效果直接影響觀眾，次之，能力是基礎(chǔ)，占比最低．（答案不唯一）【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，權(quán)重等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）利用算術(shù)平均數(shù)即可求解；（）利用加權(quán)平均數(shù)即可求解；（）改變權(quán)重即可．解：（1）解：不能以此確定兩人的名次，甲的平均成績：（分），乙的平均成績：（分），∴，∴不能以此確定兩人的名次；（2）解：甲的平均成績：（分），乙的平均成績：（分），∴，∴甲排名第一，乙排名第二；（3）解：設(shè)計三項成績的比為，理由，內(nèi)容是演講的核心，占比最高，效果直接影響觀眾，次之，能力是基礎(chǔ)，占比最低．（答案不唯一）2．（2024·四川攀枝花·中考真題）每年中考結(jié)束后，老師要對每道試題作分析．2023年全市有12180名學(xué)生參加中考，數(shù)學(xué)選擇題共設(shè)置了12道單選題，每題5分，其中第10題每一位學(xué)生在A、B、C、D四個選項中都選擇了其中一個答案，該題正確答案為B，學(xué)生答題情況不完整統(tǒng)計如表：選項ABCD人數(shù)365448721218占參考人數(shù)比（）302010根據(jù)表格繪制了圖1、圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)信息解答下列問題：（1）補全條形統(tǒng)計圖；（2）求扇形統(tǒng)計圖中選B答案的學(xué)生人數(shù)占比所對的圓心角的度數(shù)；（3）本次中考，第10題全市平均分是多少？【答案】（1）見分析；（2）；（3）分【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，平均數(shù)等，掌握數(shù)據(jù)分析能力是解題的關(guān)鍵．（1）先利用總?cè)藬?shù)減去選項A，B，D的人數(shù)，得到選項C的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖；（2）用選項B的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以，得到圓心角的度數(shù)；（3）用選項B的人數(shù)乘以5，再除以總?cè)藬?shù)，得到平均分．解：（1）解：，則補全條形統(tǒng)計圖為：（2）解：，∴選B答案的學(xué)生人數(shù)占比所對的圓心角的度數(shù)為；（3）解：（分），答：本次中考，第10題全市平均分是分．3．（2025·河北·中考真題）某工廠生產(chǎn)，，，四種產(chǎn)品．為提升產(chǎn)品的競爭力，該工廠計劃對部分種類的產(chǎn)品優(yōu)化生產(chǎn)流程，降低成本；對其他種類的產(chǎn)品增加研發(fā)投入，提升品質(zhì)．經(jīng)研究，該工廠做出了甲、乙兩種調(diào)整方案，這兩種方案將對四種產(chǎn)品的成本產(chǎn)生不同的影響．下面是該工廠這四種產(chǎn)品的部分信息：a．調(diào)整前，各產(chǎn)品年產(chǎn)量的不完整的條形統(tǒng)計圖（圖1）和扇形統(tǒng)計圖（圖2）．b．各產(chǎn)品單件成本的核算情況統(tǒng)計表及說明．說明：對于統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同．根據(jù)以上信息，解答下列問題：產(chǎn)品數(shù)據(jù)

類別調(diào)整前單價成本（元/件）調(diào)整后單價成本（元/件）方案甲方案乙（1）求調(diào)整前產(chǎn)品的年產(chǎn)量；（2）直接寫出，的值；（3）若調(diào)整后這四種產(chǎn)品的年產(chǎn)量均與調(diào)整前的相同，請通過計算說明甲、乙兩種方案哪種總成本較低．【答案】（1）萬件；（2），；（3）甲種方案總成本較低【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，求平均數(shù)與中位數(shù)，從統(tǒng)計圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵；（1）先求得總產(chǎn)量，然后求得的年產(chǎn)量，最后求得產(chǎn)品的年產(chǎn)量；（2）根據(jù)方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，即可求解；（3）分別計算甲、乙兩種方案的成本，比較大小，即可求解．解：（1）萬件，產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：萬件，∴調(diào)整前產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：萬件（2）∵方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，∴解得：，∵方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，調(diào)整前，中位數(shù)為調(diào)整后為，∴（3）解：方案甲的總成本為：（萬元）方案乙的總成本為：（萬元）∴甲種方案總成本較低4．（2025·福建·中考真題）甲、乙兩人是新華高級中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員．以下是他們在參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊員集訓(xùn)期間的測試成績及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息．信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測試成績（單位：分）日期隊員2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成績的平均數(shù)分別是；方差分別是．信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎分?jǐn)?shù)線（單位：分）年份20202021202220232024獲獎分?jǐn)?shù)線9089908990試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，解決以下問題：（1）計算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對甲、乙的成績進(jìn)行評價；（2）計算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，選誰更合適；（3）若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰更合適？為什么？【答案】（1），見分析；（2）甲，見分析；（3）選甲更合適．理由見分析【分析】本小題考查平均數(shù)、方差，正確求出乙的方差是解答本題的關(guān)鍵．（1）先求出乙的方差，然后比較即可；（2）先求出五年獲獎的平均數(shù)，然后根據(jù)甲、乙十次測試成績達(dá)到平均成績的頻數(shù)多少判斷即可；（3）根據(jù)甲乙成績的變化趨勢分析即可．解：（1），即．因為，所以，所以甲、乙兩人的整體水平相當(dāng)，但乙的成績比甲穩(wěn)定．（2）由已知得，獲獎分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)為，從信息一可知，在集訓(xùn)期間的十次測試成績中，甲達(dá)到獲獎分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)的頻數(shù)為4，而乙的頻數(shù)為1，所以甲獲獎的可能性更大，故選甲參加更合適．（3）選甲更合適．理由：在集訓(xùn)期間的十次測試成績中，甲呈上升趨勢，而乙基本穩(wěn)定在原有的水平，故從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，選甲更合適．【★★題型18】概率應(yīng)用（幾何概率、游戲公平性判斷、抽獎概率計算）1．（2025·廣東·中考真題）如圖，在直徑為的圓內(nèi)有一個圓心角為的扇形．隨機(jī)地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，過點A作于點D，證明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分別求出和，然后根據(jù)概率公式求解即可．解：如圖所示，過點A作于點D∵是直徑∴∵∴是等腰直角三角形∵∴，∴∴，∴該粒米落在扇形內(nèi)的概率為．故選：D．【點撥】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．2．（2025·河南鄭州·模擬預(yù)測）如圖，用六塊全等的含的灰色直角三角形拼成一個大的正六邊形，內(nèi)部留下一個小的正六邊形空隙，現(xiàn)在向大正六邊形內(nèi)部投擲飛鏢，則飛鏢射中灰色部分的概率為．【答案】【分析】本題考查幾何概率的求解，勾股定理，設(shè)直角三角形中所對的直角邊邊長均為1，則斜邊為2，利用勾股定理求出另一條直角邊，分別求出小正六邊形，大正六邊形的面積，再求概率即可．解：設(shè)直角三角形中所對的直角邊邊長均為1，則斜邊為2，所以另一條直角邊為，小正六邊形的邊長為，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，飛鏢射中灰色部分的概率為，故答案為：．3．（2024·山東青島·中考真題）學(xué)校擬舉辦慶祝“建國75周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和小紅都想?yún)⒓?，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機(jī)摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機(jī)摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復(fù)上述過程．（1）小明從三張紙牌中隨機(jī)摸出一張，摸到“1”的概率是______；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．【答案】（1）；（2）樹狀圖見分析，該游戲?qū)﹄p方公平【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率：（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）畫出樹狀圖得到所有符合題意的等可能性的結(jié)果數(shù)，再分別找到兩次數(shù)字之和大于4和小于4的結(jié)果，再依據(jù)概率計算公式計算出兩人獲勝的概率即可得到結(jié)論．解：（1）解：∵一共有3張牌，其中寫有數(shù)字1的牌有1張，且每張牌被摸到的概率相同，∴小明從三張紙牌中隨機(jī)摸出一張，摸到“1”的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，一共有6種（和為4的不符合題意）等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到的數(shù)字之和大于4的結(jié)果數(shù)有3種，兩次摸到的數(shù)字之和小于4有3種，∴小明獲勝的概率為，小紅獲勝的概率為，∴小明和小紅獲勝的概率相同，∴該游戲?qū)﹄p方公平．4．（2024·甘肅·中考真題）在一只不透明的布袋中，裝有質(zhì)地、大小均相同的四個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．甲乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則為：兩人同時從袋中隨機(jī)各摸出1個小球，若兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；若兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝．（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率．（2）這個游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎？請說明理由．【答案】（1）；（2）這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平，理由見分析【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，游戲的公平性：（1）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，最后利用概率計算公式求解即可；（2）同（1）求出乙獲勝的概率即可得到結(jié)論．解：（1）解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)有8種，∴甲獲勝的概率為；（2）解：這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平，理由如下：由（1）中的樹狀圖可知，兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)有4種，∴乙獲勝的概率為，∵，∴甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，∴這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平．三培優(yōu)篇【考點八】壓軸題【★★★題型19】一元二次方程與幾何綜合1．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）如圖，在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別在邊上．連接，若平分，四邊形是平行四邊形，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點F作于H，的延長線于的延長線交于T，連接，設(shè)，則，證明四邊形為菱形，則，在中由勾股定理得，即，整理得，由此解出x即可得出答案．解：過點F作于H，的延長線于