專題06概率與統(tǒng)計(jì)（12個(gè)考點(diǎn)清單+11類題型解讀）知識(shí)點(diǎn)01：條件概率（1）一般地，設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．知識(shí)點(diǎn)02：條件概率性質(zhì)應(yīng)用（1）由條件概率的定義，對任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（2）如果和是兩個(gè)互斥事件，則；知識(shí)點(diǎn)03：全概率公式及其應(yīng)用一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.知識(shí)點(diǎn)04：貝葉斯公式及其應(yīng)用（1）設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，，則對任意的事件,，有，.知識(shí)點(diǎn)05：離散型隨機(jī)變量分布列均值，方差知識(shí)點(diǎn)06：均值和方差的性質(zhì)①若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.②若與相互獨(dú)立，則.③若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.知識(shí)點(diǎn)07：二項(xiàng)分布1.定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式各對應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3.二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．知識(shí)點(diǎn)08：超幾何分布1.定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2.超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．知識(shí)點(diǎn)09：正態(tài)分布一、正態(tài)曲線1.定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2.正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙二、正態(tài)分布1.定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2.原則若，則對于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡稱之為原則．知識(shí)點(diǎn)10：線性回歸模型1.線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2.殘差分析對于預(yù)報(bào)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．題型六】線性回歸模型知識(shí)點(diǎn)11：非線性回歸模型解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤．1.建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．知識(shí)點(diǎn)12：獨(dú)立性檢驗(yàn)1.分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2.等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3.獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟如下：①計(jì)算隨機(jī)變量的觀測值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．題型一：條件概率 7題型二：全概率公式 10題型三：貝葉斯公式 13題型四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差 16題型五：獨(dú)立事件的乘法公式 20題型六：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 27題型七：超幾何分布 31題型八：正態(tài)分布 38題型九：線性回歸方程 43題型十：非線性回歸方程 48題型十一：獨(dú)立性檢驗(yàn) 52【題型一：條件概率】一、單選題1．（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【詳解】由條件概率公式、古典概型概率公式可知，所求為.故選：B.2．（23-24高二下·上海·期末）將一枚硬幣連續(xù)拋擲三次，每次得到正面或反面的概率均為，且三次拋擲的結(jié)果互相獨(dú)立．記事件為“至少兩次結(jié)果為正面”，事件為“第三次結(jié)果為正面”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，先計(jì)算，再利用條件概率的公式，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，則.故選：C3．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算，注意在時(shí)，．【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，，故選：C．4．（2024·山西太原·二模）某校高二年級學(xué)生中有60%的學(xué)生喜歡打籃球，40%的學(xué)生喜歡打排球，80%的學(xué)生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，若該學(xué)生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)在該校高二年級的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，若該學(xué)生喜歡打籃球?yàn)槭录嗀,在該校高二年級的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，則他也喜歡打排球?yàn)槭录﨎,,.故選：A.5．（23-24高二下·安徽馬鞍山·期末）假設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)以及條件概率公式即可判斷ABC；舉例判斷D.【詳解】對于A，由于，則，A正確；對于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，，而，則，C錯(cuò)誤；對于D，不妨舉例拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A：向上點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，B：向上點(diǎn)數(shù)不小于4，則，，則，D錯(cuò)誤，故選：A6．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個(gè)地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)A，B，C地區(qū)分別有的人患過流感，且A，B，C三個(gè)地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過流感的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，則，且彼此互斥，然后根據(jù)條件依次得到、、、、、的值，然后根據(jù)全概率公式公式求解即可.【詳解】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，則，且彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得.故選：A.【題型二：全概率公式】一、單選題1．（23-24高二下·湖北·期末）隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復(fù)興號列車，且和諧號列車的列次為復(fù)興號列車的列次的3倍，和諧號列車的正點(diǎn)率為0.98，復(fù)興號列車的正點(diǎn)率為0.99，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為（

）A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.9875【答案】A【分析】利用全概率公式可得答案.【詳解】依題意，設(shè)到達(dá)該車站列車為和諧號列車的概率為，為復(fù)興號列車的概率為，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為.故選：A.2．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知某羽毛球小組共有20名運(yùn)動(dòng)員，其中一級運(yùn)動(dòng)員4人，二級運(yùn)動(dòng)員6人，三級運(yùn)動(dòng)員10人.現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，若一級、二級、三級運(yùn)動(dòng)員能夠晉級的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運(yùn)動(dòng)員中任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級的概率為（

）A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62【答案】B【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件B為“選出的運(yùn)動(dòng)員能晉級”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是一級運(yùn)動(dòng)員”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是二級運(yùn)動(dòng)員”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是三級運(yùn)動(dòng)員”，則，，，又根據(jù)題意可得，，，由全概率公式可得：，任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級的概率為0.46.故選：B.3．（24-25高二上·四川眉山·階段練習(xí)）在5張彩票中有2張有獎(jiǎng)，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計(jì)算即得.【詳解】記甲中獎(jiǎng)的事件為，乙中獎(jiǎng)的事件為，則，，，所以.故選：B4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某醫(yī)院針對某種疾病研制了新的特效藥，可有效減輕癥狀，縮短病程．現(xiàn)將該藥品投入臨床試驗(yàn)，若不使用新藥，病人3天可痊愈的概率為0.3，若使用新藥，則3天痊愈的概率為0.9，假設(shè)臨床病人有0.7的概率選擇新藥，若某病人3天痊愈，則該病人未使用新藥的概率為（

）A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】記事件使用新藥，則不使用新藥，病人3天病愈，依題意，，所以.故選：C5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）無人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感．去某地旅游的游客有無人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機(jī)選擇一種酒店入住，如果第一天入住無人酒店，那么第二天還入住無人酒店的概率為0.8，如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無人酒店的概率為（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5【答案】B【分析】由題意記事件第一天入住無人酒店，第二天入住無人酒店，第一天入住常規(guī)酒店，得到和，再由全概率公式求解即可；【詳解】記事件第一天入住無人酒店，第二天入住無人酒店，第一天入住常規(guī)酒店，根據(jù)題意可知，，則由全概率公式可得．故選：B.【題型三：貝葉斯公式】一、單選題1．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識(shí)別支付系統(tǒng)后臺(tái)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用貝葉斯概率公式求解即可.【詳解】記小孔同學(xué)周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，則本題所求．故選：A．2．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺(tái)車床加工同一型號的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺(tái)車床加工的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全概率公式找出，再由貝葉斯公式求解.【詳解】記取到“第1，2，3臺(tái)車床加工的零件”分別為事件,“取到次品”為事件，故,,由全概率公式可得：,由貝葉斯公式：,故選:B.3．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:35到5:395:40到5:445:45到5:495:50到5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車回家，結(jié)果他是5:47到家的，則他乘地鐵回家的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用全概率、貝葉斯公式求乘地鐵回家的概率即可.【詳解】若表示乘地鐵，表示乘汽車，則，若表示5:45到5:49到家，則，所以，所以.故選：C4．（23-24高二下·廣東廣州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學(xué)，其中參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生分別有10人和8人，現(xiàn)從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，若抽到的是參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生，則他來自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)事件后根據(jù)題干得到，，，，由全概率公式求得，由乘法公式得到，由條件概率公式得到.【詳解】設(shè)事件為“抽到的學(xué)生來自高三（1）班”，事件為“抽到的學(xué)生來自高三（2）班”，事件為“抽到的學(xué)生參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)”，則，，，，由全概率公式得，由乘法公式得，由條件概率公式得，故選：B.5．（23-24高二下·福建廈門·期中）現(xiàn)有編號為1，2，3的三個(gè)口袋，其中1號口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號球，一個(gè)2號球和一個(gè)3號球；2號口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號球，一個(gè)3號球；3號口袋內(nèi)裝有三個(gè)1號球，兩個(gè)2號球；第一次先從1號口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，下列說法不正確的是（

）A．在第一次抽到3號球的條件下，第二次抽到1號球的概率是B．第二次取到1號球的概率C．如果第二次取到1號球，則它來自1號口袋的概率最大D．如果將5個(gè)不同小球放入這3個(gè)口袋內(nèi)，每個(gè)口袋至少放1個(gè)，則不同的分配方法有150種【答案】B【分析】對于A選項(xiàng)利用條件概率公式求解；對于B選項(xiàng)利用全概率公式求解，對于C選項(xiàng)利用貝葉斯公式求解，對于D選項(xiàng)，不同元素的分配問題，先分類再分配即可求解.【詳解】對于A選項(xiàng)，記事件分別表示第一次、第二次取到號球,，則第一次抽到號球的條件下，第二次抽到號球的概率，故A正確；對于B選項(xiàng)，記事件分別表示第一次、第二次取到號球,,依題意兩兩互斥,其和為,并且，，，，應(yīng)用全概率公式,有，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，依題設(shè)知,第二次的球取自口袋的編號與第一次取的球上的號數(shù)相同,則，，，故在第二次取到1號球的條件下,它取自編號為的口袋的概率最大，故C正確；對于D選項(xiàng)，先將5個(gè)不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三個(gè)不同的口袋，則不同的分配方法有，故D正確.故選：B.【題型四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差】一、單選題1．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的特征計(jì)算即可.【詳解】由題意得，則．故選：.2．（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知，若，則（

）A． B．4 C． D．9【答案】B【分析】由題意，由期望的性質(zhì)可知，求解即可.【詳解】由已知服從二項(xiàng)分布，，.故選：B.3．（23-24高二下·湖北武漢·期末）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則女生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則可能取值為0，1，2，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出期望.【詳解】設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則可能取值為0，1，2，，，，所以.故選：C4．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表，離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【答案】A【分析】由概率分布列的性質(zhì)求出，然后得到離散型隨機(jī)變量Y的概率分布列，求即可.【詳解】由題意可知：，所以解得，所以離散型隨機(jī)變量Y的概率分布列為：Y-1135P所以.故選：A.5．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知X的分布列為01且，，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)求的值，可求出，，進(jìn)而可求.【詳解】由可得，所以，，所以.故選：D6．（23-24高二下·全國·期末）離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（

）1234560.210.200.100.10A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65【答案】B【分析】根據(jù)概率之和為1得到方程組，求出，得到答案.【詳解】由題意得，解得，，解得，故.故選：B7．（23-24高二下·甘肅·期末）隨機(jī)變量的概率分布列為，其中是常數(shù)，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．35【答案】A【分析】運(yùn)用概率分布列的性質(zhì)求出參數(shù)，結(jié)合方差公式和結(jié)論即可解題.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以，所以，故．故選：A．8．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知兩個(gè)盒子中分別裝有形狀、大小、質(zhì)量均相同的小球．其中，盒中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球；盒中有1個(gè)紅球，3個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中同時(shí)各取走一個(gè)小球，一共取三次，此時(shí)記盒中的紅球個(gè)數(shù)為盒中的紅球個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】得到與的所有可能取值及其對應(yīng)概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望與方差.【詳解】由已知，，，則的分布列為：01可得，；由已知，，，則的分布列為：01可得，；所以.故選：A.【題型五：獨(dú)立事件的乘法公式】一、單選題1．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）某乒乓球隊(duì)在長春訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式集訓(xùn)，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．則該局打4個(gè)球甲贏的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于連勝兩局者贏，則可寫出四局的結(jié)果，計(jì)算即可.【詳解】由于連勝兩局者贏，甲先發(fā)球可分為：該局：第一個(gè)球甲贏、第二個(gè)球乙贏、第三個(gè)球甲贏、第四個(gè)球甲贏，則概率為；故選：C.2．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.【詳解】因?yàn)榧s定連勝兩場者贏得比賽，所以比賽6場后甲贏得比賽的情況為：第一場甲勝，第二場乙勝，第三場甲勝，第四場乙勝，第五場甲勝，第六場甲勝，所以所求概率為.故選：C.3．（24-25高二上·吉林長春·期中）2024年斯諾克武漢公開賽前夕，肖國棟與斯佳輝兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)肖國棟在每局中獲勝的概率為，斯佳輝在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意得到的可能取值，再根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式和加法概率公式求出對應(yīng)的概率即可.【詳解】依題意知，的所有可能值為2，4，6，設(shè)每兩局比賽為一輪，可以得到該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為如果該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，那么肖國棟與斯佳輝在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有故選：D.4．（24-25高二上·山東淄博·階段練習(xí)）對于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．事件A與事件互斥 B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件計(jì)算，判斷B選項(xiàng)，再根據(jù)判斷C選項(xiàng)，通過計(jì)算D選項(xiàng)，通過判斷A選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，，所以，又，則，所以，B正確；因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，C正確；所以，D正確；因?yàn)?，所以事件與事件不是互斥事件，A錯(cuò)誤.故選：A5．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑這四個(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加.設(shè)事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項(xiàng)目”，則（

）A．A與C是對立事件 B．C與D相互獨(dú)立C．A與D相互獨(dú)立 D．B與D不互斥【答案】C【分析】列舉出甲、乙兩名同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的所有情況，計(jì)算每個(gè)事件的概率，可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由相互獨(dú)立的定義可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；由互斥事件的概念可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑分別為1，2，3，4，則甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的情況有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36種，其中A有24種情況，B有6種情況，C有6種情況，D有9種情況，則，，，.由可得A與C不是對立事件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.，C與D不相互獨(dú)立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，A與D相互獨(dú)立，選項(xiàng)C正確.由B與D不可能同時(shí)發(fā)生可知B與D互斥，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.二、解答題6．（23-24高二下·江蘇南通·期中）為普及安全知識(shí)，某單位舉辦了一場安全知識(shí)競賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，有甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)三人）進(jìn)入決賽，決賽規(guī)則如下：共進(jìn)行三輪比賽，每輪比賽中每人各答一題，每答對一題得10分，答錯(cuò)不得分.假設(shè)甲隊(duì)每人答題正確的概率均為，乙隊(duì)三人答題正確的概率分別.(1)若決賽中三輪總得分大于70分就能獲得特別獎(jiǎng)，求乙隊(duì)獲得特別獎(jiǎng)的概率;(2)因兩隊(duì)在決賽中得分相同，現(xiàn)進(jìn)行附加賽.規(guī)則如下：甲，乙兩隊(duì)抽簽決定誰先答題，每隊(duì)每人各答題一次為一輪，有兩人及以上答對就算成功答題，并繼續(xù)下一輪答題，否則換另一隊(duì)答題，連續(xù)兩輪成功答題的隊(duì)伍獲勝，比賽結(jié)束.求附加賽中甲隊(duì)恰好在第5輪結(jié)束時(shí)獲勝的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由獨(dú)立乘法、互斥加法公式先求出、，進(jìn)一步即可求解；（2）分別求出甲、乙兩隊(duì)成功答題的概率，分甲先答第一輪、乙先答第一輪兩種情形討論即可求解.【詳解】（1）設(shè)乙隊(duì)每輪得分為，，，三輪積分超過70分，.（2）其中甲隊(duì)成功答題的概率為，其中乙隊(duì)成功答題的概率為，若甲先答第一輪：甲（勝）甲（負(fù)）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝）

，甲（負(fù)）乙（勝）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝），若乙先答第一輪：乙（負(fù)）甲（負(fù)）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝），，甲隊(duì)恰好在第5輪結(jié)束獲勝的概率為.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)某電子元件制造廠有甲、乙、丙、丁4條生產(chǎn)線，現(xiàn)有40個(gè)該廠生產(chǎn)的電子元件，其中由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)的電子元件分別為5個(gè)、10個(gè)、10個(gè)、15個(gè)，且甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)該電子元件的次品率依次為．(1)若將這40個(gè)電子元件按生產(chǎn)線生產(chǎn)的分成4箱，現(xiàn)從中任取1箱，再從中任取1個(gè)電子元件，求取到的電子元件是次品的概率．(2)若將這40個(gè)電子元件裝入同一個(gè)箱子中，再從這40個(gè)電子元件中任取1個(gè)電子元件，取到的電子元件是次品，求該電子元件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助相互獨(dú)立事件的概率乘法公式與全概率公式計(jì)算即可得；（2）借助全概率公式與條件概率公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）記“電子元件分別由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)”為事件、、、，“取到的電子元件是次品”為事件，由題意得，又，所以；（2）由題意，得，又，所以，所以，故若取到的電子元件是次品，則該電子元件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率為．8．（24-25高二上·四川成都·期中）中國乒乓球隊(duì)是中國體育軍團(tuán)的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習(xí)慣地稱為“夢之隊(duì)”.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國乒乓球隊(duì)包攬全部五枚金牌.其中團(tuán)體賽由四場單打和一場雙打比賽組成，采用五場三勝制.每個(gè)隊(duì)由三名運(yùn)動(dòng)員組成，當(dāng)一個(gè)隊(duì)贏得三場比賽時(shí)，比賽結(jié)束.2024年8月10日，中國隊(duì)對戰(zhàn)瑞典隊(duì)，最終以取得團(tuán)體賽冠軍，賽前某乒乓球愛好者對賽事情況進(jìn)行分析，根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國隊(duì)在每場比賽中獲勝的概率均為.(1)求中國隊(duì)以的比分獲勝的概率；(2)求中國隊(duì)在已輸一場的情況下獲勝的概率；(3)求至多進(jìn)行四場比賽的概率.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)事件“中國隊(duì)在已輸一場的情況下獲勝”，則有兩類情況：①設(shè)事件“中國隊(duì)從第二場開始連勝三場”，②設(shè)事件“中國隊(duì)在二到四場中勝兩場，再勝第五場”，分別求出兩種情況的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率.（3）設(shè)中國隊(duì)進(jìn)行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，瑞典隊(duì)進(jìn)行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，至多進(jìn)行四場比賽為事件，分別求出、、、的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率.【詳解】（1）設(shè)事件“中國隊(duì)以的比分獲勝”，中國隊(duì)在每一場中獲勝的概率均為，，中國隊(duì)以的比分獲勝的概率為；（2）設(shè)事件“中國隊(duì)在已輸一場的情況下獲勝”，則有兩類情況：①設(shè)事件“中國隊(duì)從第二場開始連勝三場”，，②設(shè)事件“中國隊(duì)在二到四場中勝兩場，再勝第五場”，，與是互斥事件，，中國隊(duì)在已輸一場的情況下獲勝的概率為；（3）設(shè)中國隊(duì)進(jìn)行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，瑞典隊(duì)進(jìn)行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，至多進(jìn)行四場比賽為事件，，，，，，，，是互斥事件，，至多進(jìn)行四場比賽的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解互斥事件的加法公式和獨(dú)立事件的乘法公式.【題型六：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用】一、單選題1．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，此人連續(xù)射擊三次，至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二項(xiàng)分布計(jì)算公式可求得結(jié)果為.【詳解】記“至少有兩次擊中目標(biāo)”為事件，連續(xù)射擊三次擊中目標(biāo)的次數(shù)為，由每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，則未擊中目標(biāo)的概率均為；則.故選：D2．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式列式求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，且，整理可得，解得或.故選：D.二、填空題3．（23-24高二下·江蘇南通·期末）設(shè)隨機(jī)變量，且，則；若，則的方差為．【答案】/【分析】(1)用二項(xiàng)分布的概率公式可解；(2)用二項(xiàng)分布的方差結(jié)論即可解決.【詳解】(1),則，則，解得(2)，由(1)得，則．，則故答案為：；．三、解答題4．（23-24高二下·安徽合肥·期中）某大學(xué)為豐富學(xué)生課余生活，舉辦趣味知識(shí)競賽，分為“個(gè)人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：①個(gè)人賽規(guī)則：每位學(xué)生需要從“歷史類、數(shù)學(xué)類、生活類”問題中隨機(jī)選1道試題作答，其中“歷史類”有8道，“數(shù)學(xué)類”有6道，“生活類”有4道，若答對將獲得一份獎(jiǎng)品.②對抗賽規(guī)則：兩位學(xué)生進(jìn)行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時(shí)兩位參賽者同時(shí)回答這一個(gè)問題，若一人答對且另一人答錯(cuò)，則答對者獲得1分，答錯(cuò)者得分；若兩人都答對或都答錯(cuò)，則兩人均得0分，對抗賽共設(shè)3輪，每輪獲得1分的學(xué)生會(huì)獲得一份獎(jiǎng)品，且兩位參賽者答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響.(1)學(xué)生甲參加個(gè)人賽，若學(xué)生甲答對“歷史類”“數(shù)學(xué)類”“生活類”的概率分別為，，，求學(xué)生甲答對所選試題的概率；(2)學(xué)生乙和學(xué)生丙參加對抗賽，若每道題學(xué)生乙和學(xué)生丙答對的概率分別為，，求三輪結(jié)束學(xué)生乙僅獲得一份獎(jiǎng)品的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意可知分三類求解：選題為歷史類并且答對，選題為數(shù)學(xué)類且答對，選題為生活類且答對，由條件概率和全概率計(jì)算即可；（2）可先求出乙同學(xué)每輪獲得1分的概率，然后由二項(xiàng)分布概率模型計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)學(xué)生甲選1道“歷史類”試題為事件A，選1道“數(shù)學(xué)類”試題為事件B，選1道“生活類”試題為事件C，答對試題為事件D，則，，，，，，所以：，故學(xué)生甲答對所選試題的概率為.（2）由題可知每一輪中學(xué)生乙得1分的概率為，在3輪比賽后，學(xué)生乙得1分的概率為，故三輪結(jié)束學(xué)生乙僅獲得一份獎(jiǎng)品的概率為：.5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）隨著生活水平的提高，家用小轎車進(jìn)入千家萬戶，在給出行帶來方便的同時(shí)也給交通造成擁堵．交通部門為了解決某十字路口的擁堵問題，安裝了紅綠燈．通過測試后發(fā)現(xiàn)，私家車在此路口遇到紅燈的概率為．(1)若遇到紅燈的概率為，求不同時(shí)刻的5輛私家車在該路口有3輛車遇到紅燈的概率；(2)當(dāng)私家車遇到紅燈的方差達(dá)到最大時(shí)，求5輛私家車遇到紅燈的車輛數(shù)的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由獨(dú)立重復(fù)事假概率計(jì)算公式即可求解；（2）由題意確定私家車遇到紅燈的概率是，由二項(xiàng)分布即可求解.【詳解】（1）由題設(shè)，路口遇到紅燈私家車數(shù)量，則．（2）由題設(shè)，路口遇到紅燈私家車數(shù)量，一輛私家車遇到紅燈的方差為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)方差達(dá)到最大，此時(shí)私家車遇到紅燈的概率是．由題可得，的可能取值為，則，，．所以其分布列為：012345．6．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列．為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅(jiān)突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X（單位：nm）．(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個(gè)，其中直徑大于10nm的有4個(gè)．現(xiàn)從這7個(gè)零件中隨機(jī)抽取3個(gè)．記ξ表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)技術(shù)攻堅(jiān)突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個(gè)零件是否合格相互獨(dú)立．現(xiàn)任取6個(gè)零件進(jìn)行檢測，若合格的零件數(shù)η超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅(jiān)成功．求技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率及η的方差；【答案】(1)分布列見解答，；(2)，；【分析】（1）由題意可知的可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布的概率公式求出相應(yīng)的概率，得到的分布列，再結(jié)合期望公式求解；（2）由題意可知，服從二項(xiàng)分布，再利用二項(xiàng)分布的概率公式和方差公式求解；【詳解】（1）由題意，可知可取0，1，2，3．則有；；；．所以的分布列為：0123因此的數(shù)學(xué)期望；（2）由題意，可取的值為0，1，2，3，4，5，6．則有；；．技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率．，的方差；【題型七：超幾何分布】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場答題的方式進(jìn)行．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，設(shè)甲答對的試題數(shù)為X，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知：隨機(jī)抽出3道題有2題答對，1題打錯(cuò)，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：表示答對2題，即隨機(jī)抽出3道題有2題答對，1題打錯(cuò)，所以.故選：D.2．（23-24高二下·浙江寧波·期末）袋子中有n個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中4個(gè)為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知摸出的2個(gè)球都是紅球的概率為，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用超幾何分布求解.【詳解】設(shè)事件“依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知摸出的2個(gè)球都是紅球”為事件,即解得設(shè)事件“兩次摸到的球顏色不相同”為事件B,故選：C.二、解答題3．（23-24高二下·北京懷柔·期末）某學(xué)校對食堂飯菜質(zhì)量進(jìn)行滿意度調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲取數(shù)據(jù)如下：滿意度性別滿意不滿意棄權(quán)男生803010女生502010(1)用頻率估計(jì)概率，該校學(xué)生對食堂飯菜質(zhì)量滿意的概率；(2)用分層抽樣的方法從上表中不滿意的50人中抽取5人征求整改建議，再從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取2人參與食堂的整改監(jiān)督，則抽取的2人中女生的人數(shù)X，求X的分布列和期望．【答案】(1).(2)分布列見解析；期望為.【分析】（1）根據(jù)已知，計(jì)算該校學(xué)生對食堂飯菜質(zhì)量滿意的頻率即可.（2）根據(jù)已知，利用超幾何分布計(jì)算公式、期望的計(jì)算公式求解.【詳解】（1）設(shè)“對食堂飯菜質(zhì)量滿意”為事件A．在200人中對飯菜質(zhì)量滿意的有130人，.（2）分層抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人數(shù)X的所有可能為0，1，2

-

-

-X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某試驗(yàn)機(jī)床生產(chǎn)了12個(gè)電子元件，其中8個(gè)合格品，4個(gè)次品.從中隨機(jī)抽出4個(gè)電子元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個(gè)數(shù).(1)若有放回的抽取，求X的分布列；(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對值不超過的概率.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）依題意可得X的可能取值為0、1、2、3、4，求出對應(yīng)的概率，即可列出分布列、求出數(shù)學(xué)期望.（2）總體中合格品的比例為，樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對值不超過，即樣品中合格品的比例大于等于且小于等于，即樣本中合格品的個(gè)數(shù)為2或3，求出對應(yīng)概率，相加即可得所求概率.【詳解】（1）有放回的抽取時(shí)，P（取到合格品）（取到次品），根據(jù)題意可得X的所有可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，.X的分布列為X01234P（2）由題意得總體中合格品的比例為，因?yàn)闃颖局泻细衿返谋壤c總體中合格品的比例之差的絕對值不超過，所以樣本中合格品的比例大于等于且小于等于，即樣本中合格品的個(gè)數(shù)為2或3，，，所以P（樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對值不超過）.5．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市為促進(jìn)消費(fèi)推出優(yōu)惠活動(dòng)，為預(yù)估活動(dòng)期間客戶投入的消費(fèi)金額，采用隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了200名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示頻率分布直方圖：活躍客戶非活躍客戶總計(jì)男20女60總計(jì)(1)若把消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“活躍客戶”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，求列聯(lián)表中的值，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“活躍客戶”與性別有關(guān)？(2)為感謝客戶，該超市推出免單福利，方案如下：從“活躍客戶”中按分層抽樣的方法抽取12人，從中抽取2人進(jìn)行免單，試寫出免單總單金額的分布列及其期望．（每一組消費(fèi)金額按該組中點(diǎn)值估計(jì)，期望結(jié)果保留至整數(shù)）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)40；80；有關(guān)(2)分布列見解析，1933【分析】（1）先完善列聯(lián)表，再求卡方,即可作出判斷；（2）先用分層抽樣，然后用超幾何分布的概率公式計(jì)算，即可得分布列與期望.【詳解】（1）消費(fèi)金額不低于800元的人數(shù)為：人，則活躍客戶共有60人，所以，，列聯(lián)表如下活躍客戶非活躍客戶總計(jì)男2080100女4060100總計(jì)60140200計(jì)算，因此有的把握與性別有關(guān)．（2）從“活躍客戶”中用分層抽樣，抽出消費(fèi)900元：人，消費(fèi)1100元：人，從中抽取2人免單總金額的取值有：，則，，，所以的分布列為：即.6．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：h），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，求日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)0.20．(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比計(jì)算的人生，即可根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解，（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式,結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，，解得，所以日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.20．（2）由頻率分布直方圖得，這500名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為．若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則X的所有可能取值為0，1，2，3，，，所以X的分布列為X0123P（3），理由如下：由頻率分布直方圖得抽取的學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.50，所以從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的分布列大致服從二項(xiàng)分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)最大．【題型八：正態(tài)分布】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，甲、乙、丙三所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績分別服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的曲線，利用正態(tài)分布的密度曲線的特征判斷即得.【詳解】觀察曲線知，.故選：D2．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】由于服從正態(tài)分布，則，故.故選：B3．（23-24高二下·陜西西安·期末）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為四個(gè)等級.若某同學(xué)考試成績的等級為，則該同學(xué)的考試成績可能為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．120 B．90 C．80 D．60【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可知，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性分析求解即可.【詳解】數(shù)學(xué)測試成績服從正態(tài)分布，則，，由于等級的概率之和為，所以，又因?yàn)?，即，故為A等級，為等級，為等級，為等級，結(jié)合選項(xiàng)可知：該同學(xué)的考試成績可能為90.故選：B.二、解答題4．（23-24高二下·山西長治·期中）某種香梨的重量（單位：）服從正態(tài)分布，將該種香梨按照其重量及對應(yīng)的售價(jià)進(jìn)行分揀，分為4類依次記為.已知，售價(jià)最高，為10元；，售價(jià)為8元；，售價(jià)為6元；其余的為，售價(jià)為5元.(1)任選1個(gè)香梨，求其重量大于的概率；(2)以表示香梨的售價(jià)（單位：元），寫出的分布列，并估計(jì)該種香梨售價(jià)的平均值.附：若，則，，.【答案】(1)(2)分布列見解析，元【分析】（1）依題意，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可得解；（2）依題意的所有可能取值為，，，，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出所對應(yīng)的概率，即可求出分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，即任選1個(gè)香梨，其重量大于的概率約為；（2）由題意可知，的所有可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為：10865所以，即估計(jì)該種香梨售價(jià)的平均值為元．5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某企業(yè)的產(chǎn)品正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品尺寸（單位：）服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取400件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)绫懋a(chǎn)品尺寸/件數(shù)85454160724012根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實(shí)際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件，一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品.(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測費(fèi)為20元/件，次品檢測費(fèi)為30元/件，記這3件產(chǎn)品檢測費(fèi)為隨機(jī)變量X，求X的均值及方差.附：.【答案】(1)生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，理由見解析(2)均值為，方差為【分析】（1）借助正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算可得小概率事件多次發(fā)生，故可視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常；（2）計(jì)算出次品率后可得，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式可得、，結(jié)合期望與方差的性質(zhì)即可得X的均值及方差.【詳解】（1）依題意，有，所以正常產(chǎn)品尺寸的范圍為，生產(chǎn)線正常工作，次品不能多于（件），而實(shí)際上，超出正常范圍以外的零件數(shù)為，故生產(chǎn)線出現(xiàn)異常；（2）依題意，尺寸在以外的就是次品，故次品率為，記這3件產(chǎn)品中次品件數(shù)為Y，則Y服從二項(xiàng)分布，則，因?yàn)?，所以X的均值（元），方差.6．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年級有750人，某次考試不同成績段的人數(shù)，且所有得分都是整數(shù)．(1)求該校高三年級本次考試的平均成績及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)計(jì)算本次考試得分超過141的人數(shù)；（精確到整數(shù)）(3)本次考試中有一類多項(xiàng)選擇題，每道題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對得6分，部分選對得部分分（正確答案有三個(gè)選項(xiàng)的，則每個(gè)選項(xiàng)2分；正確答案是2個(gè)選項(xiàng)的，則每個(gè)選項(xiàng)為3分），有選擇錯(cuò)誤的得0分．小明同學(xué)在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知某個(gè)多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，小明在完全不知道四個(gè)選項(xiàng)正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇，記小明做這道多項(xiàng)選擇題所得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則；；．【答案】(1)平均成績，標(biāo)準(zhǔn)差為(2)17(3)分布列見解析；期望為【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布可得；（2）應(yīng)用正態(tài)分布的概率性質(zhì)計(jì)算求解；（3）先求出概率再寫出分布列最后求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意得：平均成績，標(biāo)準(zhǔn)差為（2）因?yàn)?，，所以所以超過141的人數(shù)為：人（3）設(shè)事件A，表示“小明選擇了i個(gè)選項(xiàng)”（，2，3），事件B表示“選擇的選項(xiàng)是正確的”．由題知，可取6，4，2，0．因?yàn)?，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：6420P于是，【題型九：線性回歸方程】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）下列命題是真命題的是（

）A．經(jīng)驗(yàn)回歸方程至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，，…，中的一個(gè)B．可以用相關(guān)系數(shù)r來刻畫兩個(gè)變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，r的絕對值越小，說明兩個(gè)變量線性相關(guān)程度越強(qiáng)C．線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好D．殘差點(diǎn)分布在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好【答案】D【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程、相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)、殘差等知識(shí)確定正確答案.【詳解】對于A，經(jīng)驗(yàn)回歸方程是由最小二乘法計(jì)算出來的，它不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，一定經(jīng)過，所以A錯(cuò)誤；對于B，由相關(guān)系數(shù)的意義，當(dāng)越接近1時(shí)，表示變量y與x之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以B錯(cuò)誤；對于C，用決定系數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，所以C是錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)樵跉埐畹纳Ⅻc(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，表明數(shù)據(jù)越集中，模型的擬合效果越好，故D正確.故選：D.2．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用/萬元4235銷售額/萬元49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為（

）A．9.1萬元 B．9.2萬元C．67.7萬元 D．65.5萬元【答案】D【分析】線性回歸方程一定過樣本中心，得到線性回歸方程，然后帶值求結(jié)果.【詳解】，，∵線性歸回方程經(jīng)過樣本中心，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，故選：D.3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，增加兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新樣本的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．在新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程下，樣本的殘差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算增加樣本點(diǎn)后的新的樣本中心點(diǎn)，代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程可求得；根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程可求得，由殘差定義可得結(jié)果.【詳解】，增加兩個(gè)樣本點(diǎn)后的平均數(shù)為；，，增加兩個(gè)樣本點(diǎn)后的平均數(shù)為，，解得：，新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，則當(dāng)時(shí)，，樣本的殘差為.故選：D.4．（23-24高二下·廣東珠海·階段練習(xí)）一唱片公司欲知唱片費(fèi)用（十萬元）與唱片銷售量（千張）之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機(jī)抽選了10張，得如下的資料：，則與的相關(guān)系數(shù)的絕對值為（

）（相關(guān)系數(shù)：）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】D【分析】運(yùn)用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，故選：D.二、解答題5．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·開學(xué)考試）如圖是某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的某地區(qū)2016年至2022年生活垃圾無害化處理量y（單位：萬噸）的折線圖．注：年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2016-2022．求y關(guān)于t的回歸直線方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測2024年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量．參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小乘估計(jì)公式分別為，．【答案】回歸方程為，預(yù)測2024年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量將約萬噸【分析】根據(jù)最小二乘法計(jì)算出回歸方程，進(jìn)而代入預(yù)測值，即可求解．【詳解】，，，得，又，，y關(guān)于t的回歸方程為．，將2024對應(yīng)的代入回歸方程得：，預(yù)測2024年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量將約萬噸．6．（23-24高二下·河北滄州·期中）2023年全國競走大獎(jiǎng)賽（第1站）暨世錦賽及亞運(yùn)會(huì)選拔賽3月4日在安徽黃山開賽．重慶隊(duì)的賀相紅以2小時(shí)22分55秒的成績打破男子35公里競走亞洲紀(jì)錄．某田徑協(xié)會(huì)組織開展競走的步長和步頻之間的關(guān)系的課題研究，得到相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：步頻（單位：）0.280.290.300.310.32步長（單位：）909599103117(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長近似為線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的回歸直線方程，并利用回歸方程預(yù)測，當(dāng)步長為時(shí)，步頻約是多少？(2)記，其中為觀測值，為預(yù)測值，為對應(yīng)的殘差，求（1）中步長的殘差的和，并探究這個(gè)結(jié)果是否對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．【答案】(1)，0.27秒，；(2)成立，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件求得回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程，將代入回歸方程，即可得到答案；（2）結(jié)合題中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可求得步長的殘差和，從而可得結(jié)論，結(jié)合回歸方程系數(shù)的計(jì)算公式即可證明.?！驹斀狻浚?），，，，所以回歸直線方程為，將代入得，解得，所以當(dāng)步長為時(shí)，步頻約是0.27秒．（2）根據(jù)（1）得到，；，；，；，；，，所以，即步長殘差和為0．對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立，證明如下：．7．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）某學(xué)校對高三（1）班50名學(xué)生的第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績的方差為，化學(xué)成績的方差為，，其中（，且）分別表示這50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績，關(guān)于的線性回歸方程為.(1)求與的樣本相關(guān)系數(shù)；(2)從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律來看，本次考試高三（1）班學(xué)生數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本方差作為的估計(jì)值，試估計(jì)該校共1600名高三學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間的人數(shù).附：①回歸方程中，；②樣本相關(guān)系數(shù)；③；④若，則.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的求法求得正確答案.（2）先求得，然后根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【詳解】（1）由關(guān)于的線性回歸方程為知，即，又由，可得，所以與的樣本相關(guān)系數(shù)：.（2）由，解得，所以，又由，及可得：，于是估計(jì)該校1600名高三學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間的人數(shù)約為人.【題型十：非線性回歸方程】一、解答題1．（23-24高二下·寧夏石嘴山·期中）紅鈴蟲（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)）和溫度（）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：252.964616842268850.470308表中；；；(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，哪種模型比較合適？(2)根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出關(guān)于的回歸方程．附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，【答案】(1)①；(2).【分析】（1）根據(jù)殘差點(diǎn)的分布情況分析即可；（2）取對數(shù)，將非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸，然后根據(jù)所給數(shù)據(jù)代入公式即可得回歸方程.【詳解】（1）模型①更合適．模型①殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會(huì)越高，故選模型①比較合適．（2）令與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，則．，則關(guān)于的線性回歸方程為，即，產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為．2．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）網(wǎng)絡(luò)直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會(huì)各界的追捧.某直播間開展地標(biāo)優(yōu)品帶貨直播活動(dòng)，其主播直播周期次數(shù)x（其中10場為一個(gè)周期）與產(chǎn)品銷售額y（千元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：直播周期數(shù)x12345產(chǎn)品銷售額y（千元）37153040根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理.如下表：3.75538265978101其中(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(2)乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？（精確到0.01）附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，相關(guān)指數(shù)：.【答案】(1)；(2)乙建立的回歸模型擬合效果更好.【分析】（1）對兩邊取對數(shù)得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回歸方程；（2）根據(jù)公式計(jì)算可得相關(guān)指數(shù)，由此可得結(jié)論；【詳解】（1）將兩邊取對數(shù)得：，令，則，因?yàn)?，所以根?jù)最小二乘估計(jì)可知：，所以，所以回歸方程為，即.（2）甲建立的回歸模型的.所以乙建立的回歸模型擬合效果更好.3．（23-24高二下·湖北·期末）某鄉(xiāng)村企業(yè)希望通過技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，根據(jù)市場調(diào)研，技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)（單位：萬元）和增加收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：46810122742555660為了進(jìn)一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)對增加收益的影響，通過對表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別提出了兩個(gè)回歸模型：①，②．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算模型①中與的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)若，則選擇模型①；否則選擇模型②．根據(jù)（1）的結(jié)果，試建立增加收益關(guān)于技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)的回歸模型，并預(yù)測時(shí)的值（結(jié)果精確到0.01）．附：i）回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計(jì)以及相關(guān)系數(shù)分別為：，，ii）參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，，，．【答案】(1)(2)，約為萬元【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出，，，，，即可求出相關(guān)系數(shù)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可判斷選擇模型②，令，求出關(guān)于的線性回歸方程，即可求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)方程，再代入計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，，模型①中，相關(guān)系數(shù)，（2）因?yàn)?，所以選擇模型②，令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，即，當(dāng)時(shí)，（萬元），所以若投入經(jīng)費(fèi)萬元，收益約為萬元.【題型十一：獨(dú)立性檢驗(yàn)】一、解答題1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告（2022）》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長的營銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)1720線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)合計(jì)45請完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)？附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.【答案】列聯(lián)表見解析，有關(guān)【分析】由題意確定列聯(lián)表，求得，對比數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】由題意分析可得，簽約企業(yè)共45家，線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，那么線上銷售時(shí)間少于8小時(shí)的企業(yè)有25家，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，共有.完成列聯(lián)表如下：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)17320線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)101525合計(jì)271845所以.對應(yīng)的參數(shù)為6.635.而，所以可判斷贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān).2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）中國大學(xué)先修課程，是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備.某高中開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，兩年共招收學(xué)生2000人，其中有300人參與學(xué)習(xí)先修課程，兩年全校共有優(yōu)等生200人，學(xué)習(xí)先修課程的優(yōu)等生有60人.這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了考試，并且都參加了某高校的自主招生考試，結(jié)果如下表所示：分?jǐn)?shù)人數(shù)20551057050參加自主招生獲得通過的概率0.90.80.60.50.4填寫列聯(lián)表，并畫出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過圖形判斷學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生是否有關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程總計(jì)參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中.【答案】答案見解析【分析】先補(bǔ)全聯(lián)表，再應(yīng)用計(jì)算得出值與邊界值比較,得出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.【詳解】列聯(lián)表如下：優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程60240300沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課計(jì)20018002000等高條形圖如圖：通過圖形可判斷學(xué)習(xí)先修課與優(yōu)等生有關(guān)系，又，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）微生物生態(tài)學(xué)的研究表明，水生生物中存在大量的有益微生物，這些有益水生微生物對于維持水質(zhì)平衡具有非常重要的作用．研究人員為了研究某種有益水生微生物在特定營養(yǎng)物質(zhì)濃度下的增長速率與水體類型