專題06統(tǒng)計(jì)案例【清單01】變量間的相關(guān)關(guān)系1、變量之間的相關(guān)關(guān)系當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系．注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2、散點(diǎn)圖將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系．（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示．3、相關(guān)系數(shù)若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測(cè)值為，則變量與的相關(guān)系數(shù)，通常用來(lái)衡量與之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，的范圍為．（1）當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．（2）越接近，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；越接近，表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上．（3）通常當(dāng)時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．【清單02】線性回歸1、線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2、殘差分析對(duì)于預(yù)報(bào)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過(guò)殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過(guò)殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說(shuō)明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說(shuō)明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．【清單03】獨(dú)立性檢驗(yàn)1、分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2、等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3、獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算隨機(jī)變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【考點(diǎn)題型一】線性分析--相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)【例1】.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①線性相關(guān)系數(shù)越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；②獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系；③在回歸分析中，可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高；④甲、乙兩個(gè)模型的決定系數(shù)分別約為0.88和0.80，則模型甲的擬合效果更好．A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；B．用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；C．設(shè)，且，則；D．若變量x和y滿足關(guān)系，則x與y負(fù)相關(guān)．【變式1-2】.已知5個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下，若去掉點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．變量x與變量y呈正相關(guān) B．變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)C．殘差平方和變大 D．樣本相關(guān)系數(shù)r變大【變式1-3】.以下關(guān)于統(tǒng)計(jì)分析的描述，哪一個(gè)是正確的？（

）A．樣本均值越接近總體均值，樣本的代表性越好．B．樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越?。瓹．相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越弱．D．決定系數(shù)R2越接近1，模型的解釋能力越強(qiáng)．【變式1-4】.關(guān)于線性回歸的描述，有下列命題：①回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心；②相關(guān)系數(shù)r越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；③決定系數(shù)越接近1擬合效果越好；④隨機(jī)誤差平方和越小，擬合效果越好．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-5】.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A．B．C． D．【考點(diǎn)題型二】回歸方程【例2】.某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：研發(fā)投入（億元）12345產(chǎn)品收益（億元）3791011(1)計(jì)算，的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)若想收益超過(guò)20（億元），則需研發(fā)投入至少多少億元？（結(jié)果保留一位小數(shù)）參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為，，.參考數(shù)據(jù)：，，.【變式2-1】.在下表的統(tǒng)計(jì)量中，有一個(gè)數(shù)值不清晰，用m表示．x12345y6.37.48.18.7m已知表中數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程同時(shí)滿足：①過(guò)點(diǎn)；②x每增加一個(gè)單位，y增加0.9個(gè)單位，則當(dāng)；時(shí)，．【變式2-2】.（多選）隨機(jī)抽取5家超市，得到其廣告支出（萬(wàn)元）與銷售額（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCD廣告支出24568銷售額3040606070下列說(shuō)法正確的是（

）（參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：）A．經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程為C．樣本點(diǎn)的殘差為 D．預(yù)測(cè)廣告支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為80萬(wàn)元【變式2-3】.某大學(xué)組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間x（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選2天的數(shù)據(jù)，以X表示2天中普及人數(shù)不少于200人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于統(tǒng)計(jì)人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程.參考數(shù)據(jù)：，，.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，），（，），……，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.【變式2-4】.某學(xué)院為了加強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，特推出“校園輕氧打卡”活動(dòng)，以下是前9天的打卡人數(shù)散點(diǎn)圖．(1)求出每天打卡人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程試著預(yù)測(cè)第10天的打卡人數(shù)；附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【考點(diǎn)題型三】獨(dú)立性檢驗(yàn)【例3】.新型冠狀病毒疫情已經(jīng)嚴(yán)重影響了我們正常的學(xué)習(xí)、工作和生活.某市為了遏制病毒的傳播，利用各種宣傳工具向市民宣傳防治病毒傳播的科學(xué)知識(shí).某校為了解學(xué)生對(duì)新型冠狀病毒的防護(hù)認(rèn)識(shí)，對(duì)該校學(xué)生開展防疫知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽活動(dòng)，并從女生和男生中各隨機(jī)抽取30人，統(tǒng)計(jì)答題成績(jī)分別制成如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.規(guī)定：成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)成為“防疫標(biāo)兵”.

名女生成績(jī)頻數(shù)分布表：成績(jī)頻數(shù)101064附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)；男生女生合計(jì)防疫標(biāo)兵非防疫標(biāo)兵合計(jì)(2)以樣本估計(jì)總體，以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校女生中隨機(jī)抽取人，其中“防疫標(biāo)兵”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【變式3-1】.現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認(rèn)可．為了調(diào)查人們對(duì)這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民，得到了一個(gè)市民是否認(rèn)可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：AB總計(jì)認(rèn)可15823不認(rèn)可51217總計(jì)2020400.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879附：．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．沒有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”C．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”D．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”【變式3-2】.某學(xué)校在一次調(diào)查“籃球迷”的活動(dòng)中，獲得了如下數(shù)據(jù)，以下結(jié)論正確的是（

）男生女生籃球迷3015非籃球迷4510附:，0.100.050.012.7063.8416.635A．有的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)B．有的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)【變式3-3】.（多選）為了了解居家學(xué)習(xí)期間性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的22列聯(lián)表：性別鍛煉情況合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生/人14721男生/人81119合計(jì)/人221840臨界值表如下：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)這些數(shù)據(jù)，給出下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響B(tài)．依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響C．根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05D．根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響【變式3-4】.學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個(gè)題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)(1)現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性女性總計(jì)請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．(2)從這名學(xué)生中任選名，記表示這名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【變式3-5】.電動(dòng)車的安全問(wèn)題越來(lái)越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動(dòng)車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對(duì)兩種電池的電動(dòng)車的偏好，在社會(huì)上隨機(jī)調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100女性市民合計(jì)500(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與性別有關(guān)；(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動(dòng)車的市民中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再?gòu)倪@5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來(lái)自偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8281．已知一組數(shù)據(jù)滿足線性回歸關(guān)系，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，則（

）A．30 B．60 C．630 D．12002．高溫可以使病毒中的蛋白質(zhì)失去活性，從而達(dá)到殺死病毒的效果，某科研團(tuán)隊(duì)打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學(xué)模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度x（℃）6810病毒數(shù)量y（萬(wàn)個(gè)）302220由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，可以預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為14℃時(shí)，病毒數(shù)量為（

）參考公式：，A．12 B．10 C．9 D．113．在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，用表示解釋變量與響應(yīng)變量之間的線性相關(guān)程度，則（

）A． B． C．1 D．34．已知變量與變量線性相關(guān)，與的樣本相關(guān)系數(shù)為，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（

）A． B．C． D．5．白術(shù)是常見的大宗藥材，最早記載于《神龍本草經(jīng)》，又叫于術(shù)?片術(shù)，具有補(bǔ)脾健胃，燥濕利水等功效.今年白術(shù)從1月份到5月份每公斤的平均價(jià)格（單位：元）的數(shù)據(jù)如右表：根據(jù)上表可得回歸方程，則實(shí)數(shù)的值為（

）月份12345每公斤平均價(jià)格77109137168199A．46 B．47 C．48 D．496．下列說(shuō)法正確的是（

）A．某班共有學(xué)生50人，現(xiàn)按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為5的樣本，若樣本中男生有2人，則該班女生共有20人B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，的第80百分位數(shù)為8C．線性回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．線性回歸模型分析中，模型的決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越好7．（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，2，3，4，5的極差與眾數(shù)之和為7B．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，則C．X和Y是分類變量，若值越大，則判斷“X與Y獨(dú)立”的把握性越大D．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則8．（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若隨機(jī)變量，則B．殘差平方和越大，模型的擬合效果越好C．若隨機(jī)變量，則當(dāng)減小時(shí)，保持不變D．一組數(shù)據(jù)的極差不小于該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差9．（多選）下列命題正確的是（

）A．線性回歸直線不一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心B．設(shè)，若，，則C．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1D．一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，且10．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與成績(jī)（單位：分）之間的關(guān)系近似于線性相關(guān)關(guān)系.對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如表：151618192210298115120若由表中樣本數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，則實(shí)數(shù).11．一部年代創(chuàng)業(yè)劇《乘風(fēng)踏浪》，讓遼寧葫蘆島成為許多人心馳神往的旅游度假目的地.為了更好地了解游客需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高游客滿意度，隨機(jī)對(duì)1200位游客進(jìn)行了滿意度調(diào)查，結(jié)果如下表：男性女性合計(jì)滿意5605401100不滿意4060100合計(jì)6006001200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到（精確到0.001）；依據(jù)數(shù)據(jù)可作出的判斷是.附：.0.10.050.012.7063.8416.63512．臺(tái)州是全國(guó)三大電動(dòng)車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì).某電動(dòng)車公司為了搶占更多的市場(chǎng)份額，計(jì)劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)（單位：百萬(wàn)元）和年銷售量（單位：百萬(wàn)輛）關(guān)系如圖所示：

令，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)初步處理得：，，，，，，，現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？(2)根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)年廣告費(fèi)為6（百萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少？(3)該公司生產(chǎn)的電動(dòng)車毛利潤(rùn)為每輛200元（不含廣告費(fèi)、研發(fā)經(jīng)費(fèi)）.該公司在加大廣告投入的同時(shí)也加大研發(fā)經(jīng)費(fèi)的投入，年研發(fā)經(jīng)費(fèi)為年廣告費(fèi)的199倍.電動(dòng)車的年凈利潤(rùn)受年廣告費(fèi)和年研發(fā)經(jīng)費(fèi)影響外還受隨機(jī)變量影響，設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且滿足.在（2）的條件下，求該公司年凈利潤(rùn)的最大值大于1000（百萬(wàn)元）的概率.（年凈利潤(rùn)=毛利潤(rùn)×年銷售量-年廣告費(fèi)-年研發(fā)經(jīng)費(fèi)-隨機(jī)變量）.附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.13．隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費(fèi)空間的重要途徑.某媒體為了了解微短劇消費(fèi)者的年齡分布，隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者，得到如下列聯(lián)表：年齡不超過(guò)40歲年齡超過(guò)40歲合計(jì)是微短劇消費(fèi)者3045不是微短劇消費(fèi)者合計(jì)100200(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過(guò)40歲”有關(guān)聯(lián)？(2)記2020~2024年的年份代碼x依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2023年中國(guó)微短劇市場(chǎng)規(guī)模及2024年中國(guó)微短劇預(yù)測(cè)的市場(chǎng)規(guī)模y（單位：億元）與x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份代碼x12345市場(chǎng)規(guī)模y9.436.8101.7373.9m根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求相關(guān)系數(shù)r，并判斷該經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否有價(jià)值.參考公式：，其中，.，相關(guān)系數(shù)..若，則認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．某公司為考核員工，采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成績(jī)以確定員工績(jī)效等級(jí)．該公司統(tǒng)計(jì)了七個(gè)部門測(cè)試的平均成績(jī)（滿分100分）與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計(jì)算得，(1)已知某部門測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0分，估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率；(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成績(jī)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．經(jīng)計(jì)算，求某個(gè)部門績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于的概率．參考公式與數(shù)據(jù)：①．②線性回歸方程中，，．③若隨機(jī)變量，則，，．15.文旅部門統(tǒng)計(jì)了某網(wǎng)紅景點(diǎn)在2022年3月至7月的旅游收入y（單位：萬(wàn)），得到以下數(shù)據(jù)：月份x34567旅游收入y1012111220(1)根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？若可以，求出y關(guān)于x之間的線性回歸方程；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由（精確到0.001）；(2)為調(diào)查游客對(duì)該景點(diǎn)的評(píng)價(jià)情況，隨機(jī)抽查了200名游客，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān)”．喜歡不喜歡總計(jì)男100女60總計(jì)110參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，線性回歸方程：，其中，其中．臨界值表：0.0100.0050.0016.6357.87910.828

專題06統(tǒng)計(jì)案例【清單01】變量間的相關(guān)關(guān)系1、變量之間的相關(guān)關(guān)系當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系．注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2、散點(diǎn)圖將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系．（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示．3、相關(guān)系數(shù)若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測(cè)值為，則變量與的相關(guān)系數(shù)，通常用來(lái)衡量與之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，的范圍為．（1）當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．（2）越接近，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；越接近，表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上．（3）通常當(dāng)時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．【清單02】線性回歸1、線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2、殘差分析對(duì)于預(yù)報(bào)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過(guò)殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過(guò)殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說(shuō)明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說(shuō)明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．【清單03】獨(dú)立性檢驗(yàn)1、分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2、等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3、獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算隨機(jī)變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【考點(diǎn)題型一】線性分析--相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)【例1】.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①線性相關(guān)系數(shù)越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；②獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系；③在回歸分析中，可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高；④甲、乙兩個(gè)模型的決定系數(shù)分別約為0.88和0.80，則模型甲的擬合效果更好．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】線性相關(guān)系數(shù)越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故①正確；獨(dú)立性檢驗(yàn)并不能100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系，故②錯(cuò)誤；回歸分析中，可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高，故③正確；回歸分析中，可用判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，故④正確；故選：C．【變式1-1】.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；B．用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；C．設(shè)，且，則；D．若變量x和y滿足關(guān)系，則x與y負(fù)相關(guān)．【答案】C【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故A正確；對(duì)于B，用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故B正確；對(duì)于C，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，變量x和y滿足關(guān)系，由，得x與y負(fù)相關(guān)，故D正確．故選：C【變式1-2】.已知5個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下，若去掉點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．變量x與變量y呈正相關(guān) B．變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)C．殘差平方和變大 D．樣本相關(guān)系數(shù)r變大【答案】B【詳解】由散點(diǎn)圖可知，去掉點(diǎn)后，與的線性相關(guān)加強(qiáng)，且為負(fù)相關(guān)，所以B正確，A錯(cuò)誤；由于與的線性相關(guān)加強(qiáng)，所以殘差平方和變小，所以C錯(cuò)誤，由于與的線性相關(guān)加強(qiáng)，且為負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大，而相關(guān)系數(shù)為負(fù)的，所以樣本相關(guān)系數(shù)r變小，所以D錯(cuò)誤.故選：B.【變式1-3】.以下關(guān)于統(tǒng)計(jì)分析的描述，哪一個(gè)是正確的？（

）A．樣本均值越接近總體均值，樣本的代表性越好．B．樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越?。瓹．相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越弱．D．決定系數(shù)R2越接近1，模型的解釋能力越強(qiáng)．【答案】D【詳解】對(duì)于A，樣本均值不能完全說(shuō)明樣本的代表性，A錯(cuò)；對(duì)于B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，B錯(cuò)；對(duì)于C，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越強(qiáng)，C錯(cuò)；對(duì)于D，決定系數(shù)R2越接近1，模型的解釋能力越強(qiáng)，D對(duì).故選：D【變式1-4】.關(guān)于線性回歸的描述，有下列命題：①回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心；②相關(guān)系數(shù)r越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；③決定系數(shù)越接近1擬合效果越好；④隨機(jī)誤差平方和越小，擬合效果越好．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】對(duì)于①，回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故①正確；對(duì)于②，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，決定系數(shù)R越接近1擬合效果越好，故③正確；對(duì)于④，隨機(jī)誤差平方和越小，擬合效果越好，故④正確．故選：C．【變式1-5】.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A．B．C． D．【答案】A【詳解】由散點(diǎn)圖可知，相關(guān)系數(shù)所在散點(diǎn)圖呈負(fù)相關(guān)，所在散點(diǎn)圖呈正相關(guān)，所以都為正數(shù)，都為負(fù)數(shù)．所在散點(diǎn)圖近似一條直線上，線性相關(guān)性比較強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近，而所在散點(diǎn)圖比較分散，線性相關(guān)性比較弱，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越遠(yuǎn)離．綜上可得：．

故選：A．【考點(diǎn)題型二】回歸方程【例2】.某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：研發(fā)投入（億元）12345產(chǎn)品收益（億元）3791011(1)計(jì)算，的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)若想收益超過(guò)20（億元），則需研發(fā)投入至少多少億元？（結(jié)果保留一位小數(shù)）參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為，，.參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】(1)，相關(guān)程度較高(2)，9.3億元【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，，，，，，則，故相關(guān)程度較高；（2），，則，，故，令，解得，故研發(fā)投入至少9.3億元.【變式2-1】.在下表的統(tǒng)計(jì)量中，有一個(gè)數(shù)值不清晰，用m表示．x12345y6.37.48.18.7m已知表中數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程同時(shí)滿足：①過(guò)點(diǎn)；②x每增加一個(gè)單位，y增加0.9個(gè)單位，則當(dāng)；時(shí)，．【答案】【詳解】，，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)點(diǎn)，所以，解得，由，可得，則，當(dāng)時(shí)，，故答案為：，．【變式2-2】.（多選）隨機(jī)抽取5家超市，得到其廣告支出（萬(wàn)元）與銷售額（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCD廣告支出24568銷售額3040606070下列說(shuō)法正確的是（

）（參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：）A．經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程為C．樣本點(diǎn)的殘差為 D．預(yù)測(cè)廣告支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為80萬(wàn)元【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，，，故經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，B正確；C選項(xiàng)，將代入中得，故樣本點(diǎn)的殘差為，C正確；D選項(xiàng)，將代入中得，預(yù)測(cè)廣告支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為87萬(wàn)元，D錯(cuò)誤.故選：BC【變式2-3】.某大學(xué)組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間x（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選2天的數(shù)據(jù)，以X表示2天中普及人數(shù)不少于200人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于統(tǒng)計(jì)人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程.參考數(shù)據(jù)：，，.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，），（，），……，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.【答案】(1)分布列見解析，(2)【詳解】（1）普及人數(shù)不少于200人的天數(shù)為4天，則X的所有可能取值為0，1，2，又，，.故X的分布列為：012.（2）去掉第天的數(shù)據(jù)可得統(tǒng)計(jì)表如下：時(shí)間天12346789每天普及的人數(shù)8098129150190258292310設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點(diǎn)為，所以，，，；去掉第5天數(shù)據(jù)后，.所以，，所以剩下的數(shù)據(jù)求得的回歸直線方程為：.【變式2-4】.某學(xué)院為了加強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，特推出“校園輕氧打卡”活動(dòng)，以下是前9天的打卡人數(shù)散點(diǎn)圖．(1)求出每天打卡人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程試著預(yù)測(cè)第10天的打卡人數(shù)；附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【答案】(1)(2)340【詳解】（1）由題得，，，，所以，每天打卡人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，，所以第10天的打卡人數(shù)預(yù)測(cè)為人.【考點(diǎn)題型三】獨(dú)立性檢驗(yàn)【例3】.新型冠狀病毒疫情已經(jīng)嚴(yán)重影響了我們正常的學(xué)習(xí)、工作和生活.某市為了遏制病毒的傳播，利用各種宣傳工具向市民宣傳防治病毒傳播的科學(xué)知識(shí).某校為了解學(xué)生對(duì)新型冠狀病毒的防護(hù)認(rèn)識(shí)，對(duì)該校學(xué)生開展防疫知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽活動(dòng)，并從女生和男生中各隨機(jī)抽取30人，統(tǒng)計(jì)答題成績(jī)分別制成如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.規(guī)定：成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)成為“防疫標(biāo)兵”.

名女生成績(jī)頻數(shù)分布表：成績(jī)頻數(shù)101064附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)；男生女生合計(jì)防疫標(biāo)兵非防疫標(biāo)兵合計(jì)(2)以樣本估計(jì)總體，以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校女生中隨機(jī)抽取人，其中“防疫標(biāo)兵”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)表格見解析，有%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)(2)分布列見解析，【詳解】（1）由頻率分布直方圖，可得名男生中成績(jī)大于等于分的頻率為，故名男生中“防疫標(biāo)兵”人數(shù)為人，“非防疫標(biāo)兵”人數(shù)為人．由頻數(shù)分布表，可得名女生中“防疫標(biāo)兵”人數(shù)為10人，“非防疫標(biāo)兵”人數(shù)為人．男生女生合計(jì)防疫標(biāo)兵1810非防疫標(biāo)兵合計(jì)故，所以有%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)．（2）名女生樣本中有10人成績(jī)?cè)诜忠陨希耘鷺颖局小胺酪邩?biāo)兵”的頻率為.用樣本估計(jì)總體，以頻率估計(jì)概率，從該校女生中隨機(jī)抽取人，則“防疫標(biāo)兵”的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即．X的可能取值為．，，，，．所以隨機(jī)變量的分布列為X01234P數(shù)學(xué)期望為.【變式3-1】.現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認(rèn)可．為了調(diào)查人們對(duì)這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民，得到了一個(gè)市民是否認(rèn)可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：AB總計(jì)認(rèn)可15823不認(rèn)可51217總計(jì)2020400.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879附：．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．沒有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”C．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”D．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”【答案】C【詳解】由對(duì)于A，因，故有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，故沒有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，故可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即C正確；對(duì)于D，因，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下不能認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即D錯(cuò)誤.故選：C.【變式3-2】.某學(xué)校在一次調(diào)查“籃球迷”的活動(dòng)中，獲得了如下數(shù)據(jù)，以下結(jié)論正確的是（

）男生女生籃球迷3015非籃球迷4510附:，0.100.050.012.7063.8416.635A．有的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)B．有的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)【答案】B【詳解】依題意可得列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)籃球迷301545非籃球迷451055合計(jì)7525100所以，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)，即有的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)，又，所以沒有的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān).故選：B.【變式3-3】.（多選）為了了解居家學(xué)習(xí)期間性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的22列聯(lián)表：性別鍛煉情況合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生/人14721男生/人81119合計(jì)/人221840臨界值表如下：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)這些數(shù)據(jù)，給出下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響B(tài)．依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響C．根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05D．根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響【答案】AD【詳解】由表可知，女生有21人，其中經(jīng)常鍛煉的有7人，頻率為，男生有19人，其中經(jīng)常鍛煉的有11人，頻率為，因?yàn)?，依?jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，故A正確，B錯(cuò)誤；，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響，故D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD【變式3-4】.學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個(gè)題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)(1)現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性女性總計(jì)請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．(2)從這名學(xué)生中任選名，記表示這名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)；(2)分布列見解析，.【詳解】（1）這100位學(xué)生中，“公序良俗”達(dá)人有20人，由此補(bǔ)全列聯(lián)表如下：

性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性133043女性75057總計(jì)2080100零假設(shè)：“公序良俗”達(dá)人與性別無(wú)關(guān)，可得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可推斷不成立，即認(rèn)為“公序良俗”達(dá)人與性別有關(guān)．（2）由題意，隨機(jī)變量的可能有，，，，可得，，，，所以的分布列如下：0123所以數(shù)學(xué)期望.【變式3-5】.電動(dòng)車的安全問(wèn)題越來(lái)越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動(dòng)車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對(duì)兩種電池的電動(dòng)車的偏好，在社會(huì)上隨機(jī)調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100女性市民合計(jì)500(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與性別有關(guān)；(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動(dòng)車的市民中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再?gòu)倪@5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來(lái)自偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能(2)(3)分布列見解析，【詳解】（1）被調(diào)查的女性市民人數(shù)為，其中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的女性市民人數(shù)為.偏好石墨烯電池電動(dòng)車的女性市民人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表為：偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100300女性市民80120200合計(jì)280220500零假設(shè)：市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與市民的性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與市民的性別有關(guān).（2）因?yàn)槠檬╇姵仉妱?dòng)車的市民中，男性市民與女性市民的比為，所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，設(shè)“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有一名女性市民參加座談”為事件B，則，，所以.（3）因?yàn)樗袇⒓诱{(diào)查的市民中，男性市民和女性市民的比為，所以由分層抽樣知，隨機(jī)抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人.根據(jù)頻率估計(jì)概率知，男性市民偏好石墨烯電池電動(dòng)車的概率為，偏好鉛酸電池電動(dòng)車的概率為，從選出的5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，則X可能的取值為0，1，2.“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人參加座談”記為事件，則.“參加座談的2名市民中是偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)恰好為m人”記為事件，則，，，，，，所以，，，故X的分布列如下：X012P.1．已知一組數(shù)據(jù)滿足線性回歸關(guān)系，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，則（

）A．30 B．60 C．630 D．1200【答案】D【詳解】易知樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)在回歸直線方程上，易知，所以，即，可得.故選：D2．高溫可以使病毒中的蛋白質(zhì)失去活性，從而達(dá)到殺死病毒的效果，某科研團(tuán)隊(duì)打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學(xué)模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度x（℃）6810病毒數(shù)量y（萬(wàn)個(gè)）302220由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，可以預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為14℃時(shí)，病毒數(shù)量為（

）參考公式：，A．12 B．10 C．9 D．11【答案】C【詳解】y關(guān)于x的線性回歸方程為，直線過(guò)樣本中心點(diǎn)由表格數(shù)據(jù)得，，，，故根據(jù)最小二乘原理知，所以，即線性回歸方程為；將代入方程，得，即可預(yù)測(cè)病毒數(shù)量為.故選：C3．在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，用表示解釋變量與響應(yīng)變量之間的線性相關(guān)程度，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【詳解】由樣本數(shù)據(jù)可知解釋變量與響應(yīng)變量之間具有負(fù)相關(guān)性，所以又因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，故，故A正確.故選：A4．已知變量與變量線性相關(guān)，與的樣本相關(guān)系數(shù)為，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榕c的樣本相關(guān)系數(shù)為，可知與為負(fù)相關(guān)，故A，B錯(cuò)誤；又因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，對(duì)于，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，則，故D正確．故選：D.5．白術(shù)是常見的大宗藥材，最早記載于《神龍本草經(jīng)》，又叫于術(shù)?片術(shù)，具有補(bǔ)脾健胃，燥濕利水等功效.今年白術(shù)從1月份到5月份每公斤的平均價(jià)格（單位：元）的數(shù)據(jù)如右表：根據(jù)上表可得回歸方程，則實(shí)數(shù)的值為（

）月份12345每公斤平均價(jià)格77109137168199A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【詳解】依題意，，又回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，解得.故選：C6．下列說(shuō)法正確的是（

）A．某班共有學(xué)生50人，現(xiàn)按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為5的樣本，若樣本中男生有2人，則該班女生共有20人B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，的第80百分位數(shù)為8C．線性回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．線性回歸模型分析中，模型的決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越好【答案】C【詳解】對(duì)于A，按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為5的樣本，若樣本中男生有2人，則樣本中女生有3人，該班女生共有人，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)據(jù)2，3，3，5，7，8，10，12，共8個(gè)，，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為10，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，線性回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；對(duì)于D，線性回歸模型分析中，模型的決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越差，D錯(cuò)誤.故選：C7．（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，2，3，4，5的極差與眾數(shù)之和為7B．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，則C．X和Y是分類變量，若值越大，則判斷“X與Y獨(dú)立”的把握性越大D．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則【答案】BD【詳解】A：該組數(shù)據(jù)的極差為4，眾數(shù)為2，所以該組數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)之和為6，故A錯(cuò)誤；B：由，得，解得，所以，故B正確；C：值越大，X和Y有關(guān)系的可能性就越大，則“X與Y獨(dú)立”的把握越小，故C錯(cuò)誤；D：由，得，所以，故D正確.故選：BD8．（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若隨機(jī)變量，則B．殘差平方和越大，模型的擬合效果越好C．若隨機(jī)變量，則當(dāng)減小時(shí)，保持不變D．一組數(shù)據(jù)的極差不小于該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差【答案】ACD【詳解】由于，所以A正確；殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，所以B錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)分布的概率分布特點(diǎn)知為定值，C正確；由于，標(biāo)準(zhǔn)差，故D正確.故選：ACD.9．（多選）下列命題正確的是（

）A．線性回歸直線不一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心B．設(shè)，若，，則C．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1D．一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，且【答案】BC【詳解】對(duì)于A，線性回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，，得，解得，故B正確；對(duì)于C，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故C正確；對(duì)于D，由于是不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，所以由超幾何分布的定義知服從超幾何分布，得，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與成績(jī)（單位：分）之間的關(guān)系近似于線性相關(guān)關(guān)系.對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如表：151618192210298115120若由表中樣本數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，則實(shí)數(shù).【答案】115【詳解】依題意，，，而線性回歸方程為，則，所以.故答案為：11511．一部年代創(chuàng)業(yè)劇《乘風(fēng)踏浪》，讓遼寧葫蘆島成為許多人心馳神往的旅游度假目的地.為了更好地了解游客需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高游客滿意度，隨機(jī)對(duì)1200位游客進(jìn)行了滿意度調(diào)查，結(jié)果如下表：男性女性合計(jì)滿意5605401100不滿意4060100合計(jì)6006001200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到（精確到0.001）；依據(jù)數(shù)據(jù)可作出的判斷是.附：.0.10.050.012.7063.8416.635【答案】滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05（或：有的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)）.【詳解】,所以滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于（或：有的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)）故答案為：；滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于（或：有的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)）12．臺(tái)州是全國(guó)三大電動(dòng)車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì).某電動(dòng)車公司為了搶占更多的市場(chǎng)份額，計(jì)劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)（單位：百萬(wàn)元）和年銷售量（單位：百萬(wàn)輛）關(guān)系如圖所示：

令，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)初步處理得：，，，，，，，現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？(2)根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)年廣告費(fèi)為6（百萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多