第1章一元二次方程重難點檢測卷（滿分120分，考試時間120分鐘，共28題）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：一元二次方程全章內(nèi)容；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（24-25九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義．根據(jù)一元二次方程的定義（整式方程、只含一個未知數(shù)、未知數(shù)最高次數(shù)為2）逐一分析選項．【詳解】解：選項A：，當(dāng)時，方程為一元二次方程，但題目未明確，因此不能確定，不符合題意；選項B：，方程中含項，屬于分式方程，不符合整式方程的要求，不符合題意；選項C：，方程中含兩個未知數(shù)和，不是關(guān)于的一元方程，不符合題意；選項D：，整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，滿足整式方程、只含且的最高次數(shù)為2，符合題意；故選：D．2．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）用配方法解一元二次方程，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的配方法解方程，正確掌握方法是解題關(guān)鍵．使用配方法解方程時，先將常數(shù)項移到右邊，二次項系數(shù)化為1后，再在兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，將左邊配成完全平方式．【詳解】解：，移常數(shù)項：，配方：，左邊化為完全平方：．故選：A．3．（2025·江蘇宿遷·一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)在有序展開，經(jīng)濟開始復(fù)蘇．陽光超市三月份的營業(yè)額為36萬元，五月份的營業(yè)額為49萬元，設(shè)每月的平均增長率為x，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量增長前的量增長率），如果設(shè)每月的平均增長率為，根據(jù)“五月份的營業(yè)額為49萬元”，即可得出方程．【詳解】解：設(shè)每月的平均增長率為x，則可列方程為，故選：D．4．（24-25九年級上·江蘇無錫·期末）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則另一個根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理），熟悉韋達定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．若一元二次方程有兩個實數(shù)根、，則，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系代入數(shù)值即可求解．【詳解】解：設(shè)一元二次方程的兩個根分別是，，由韋達定理可知，，∴．故選：D．5．（24-25九年級上·江蘇鹽城·期中）若是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程，若是其兩個實數(shù)根，則．解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的兩根之和、兩根之積與方程系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，然后代入計算，即可得到答案．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個實數(shù)根∴，將，代入，則故選C．6．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式求解．首先確保二次項系數(shù)不為零，再計算判別式并使其非負．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴二次項系數(shù)，即．令，即，解得．∴且故選：C．7．（24-25八年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，得到，當(dāng)兩個三角形重疊部分為菱形時，則為（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，得出是解題關(guān)鍵．利用菱形的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)得出，進而利用勾股定理得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形是菱形，，∵邊長為6的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，∴，∴，則，∵平行于，∴，∴，∴設(shè)，則，在中，，解得：(不合題意舍去)，∴，∴，故選：D．8．（24-25九年級上·全國·單元測試）關(guān)于的方程的兩個根，滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進而根據(jù)已知條件式推出，，則可得方程，解方程后根據(jù)驗證結(jié)果即可．【詳解】解：，是關(guān)于的方程的兩個根，，，，，，，，，整理得：，解得：或，，，，，故選：C．9．（24-25九年級上·江蘇揚州·期末）若關(guān)于的方程滿足，稱此方程為“賀歲”方程．已知方程是“賀歲”方程，則的值為（

）A． B．2024 C． D．2025【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的解、代數(shù)式求值等知識點，掌握整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．利用新定義得到“賀歲”方程的一個解為，則，即、，然后對原式變形后再整體代入計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得“賀歲”方程的一個解為，∵方程是“賀歲”方程，∴，即、，∴．故選C．10．（24-25九年級·浙江·自主招生）關(guān)于x的方程，給出下列四個題：①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根

②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根

④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根其中假命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】首先將分類討論得到兩個方程，然后根據(jù)根的判別式得出根的個數(shù)即可．【詳解】解:時，或方程化為：①時，方程化為：②當(dāng)，即時，方程①的根為：方程②的根為：分析可得時，即：時，有5個不相等的實根時，則中，不符合題意，故有2個實數(shù)根中，，均不符合題意故時，有2個實數(shù)根共有8個不相等的實數(shù)根當(dāng)，即時，方程①的根為：，方程②的根為：，故共有4個不相等的實數(shù)根當(dāng)，即時，方程沒有實數(shù)根綜上，方程可能有個、個、個、個實數(shù)根故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程跟的情況，相關(guān)知識點有：根的判別式、絕對值、分類思想等，分類討論是本題的解題關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）直接寫出方程的解：，則．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程；利用直接開平方法解一元二次方程，進行計算即可求解．【詳解】解：∴解得：12．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）若是關(guān)于x的一元二次方程的一個解，則m的值為．【答案】4【分析】本題主要考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)題意，把代入方程中，并求得m的值即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程的一個解，∴把代入方程得：，∴，故答案為：4．13．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）低空經(jīng)濟是蘇州近年來重點發(fā)展的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)之一．據(jù)統(tǒng)計，今年第季度低空飛機航線安全運行了架次，預(yù)計第季度低空飛機航線安全運行將達到架次．設(shè)第，第兩個季度安全運行架次的平均增長率為，則可列方程為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)第、第兩個季度安全運行架次的平均增長率為，則第二季度低空飛機航線安全運行了架次，第三季度低空飛機航線安全運行了架次，且第季度低空飛機航線安全運行將達到架次，據(jù)此列出方程即可．【詳解】解：設(shè)第，第兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據(jù)題意可得：，故答案為：．14．（24-25九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為．【答案】9【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，得到，列出方程進行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：；故答案為：9．15．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的兩根記為，．若，則．【答案】【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，代入式子中計算即可求出m值．【詳解】解：∵，是方程的兩根，，∴，解得：，當(dāng)時，方程，∴，當(dāng)時，方程，，∴方程無實數(shù)解，故答案為：．16．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則符合條件的最大整數(shù)值a為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的定義與判別式，一元一次不等式，掌握知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根，得到且，求出a的取值范圍，則a的最大整數(shù)值為，即可解答．【詳解】解：∵一元二次方程有實數(shù)根，∴且，解得且，∴a的最大整數(shù)值為．故答案為：．17．（2025·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形是一個矩形，它由正方形、正方形和矩形拼合而成，若兩個正方形的面積之和為34，矩形是面積為15的長方形，則矩形的面積為．

【答案】40【分析】本題考查了完全平方公式化簡計算，一元二次方程的幾何應(yīng)用，正確建立方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)正方形、正方形的邊長分別為，根據(jù)題意得到方程組，根據(jù)完全平方公式將其轉(zhuǎn)化為，再由代入消元法得到一元二次方程，再求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形、正方形的邊長分別為，由題意得：，∴，∴（舍負），∴，整理得：解得：或（不合題意），∴，∴矩形的面積為，故答案為：40．18．（2024·江蘇南京·中考真題）已知是關(guān)于的方（是有理數(shù)，）的一個根，則該方程的另外兩個根分別是，．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解，根據(jù)中或，再根據(jù)是關(guān)于的方程的根，從而得出的另一個根，關(guān)鍵是掌握一元二次方程解的情況．【詳解】解：關(guān)于的方程（是有理數(shù)，）中，或，即或，，且是有理數(shù)，，中的一個為，也是關(guān)于的方程（是有理數(shù)，）的一個根，該方程的另外兩根分別是2和．故答案為：2，．三、解答題（10小題，共66分）19．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運用配方法進行解方程，即可作答；（2）運用因式分解法進行解方程，即可作答．【詳解】（1）解：，，∴，∴，∴，；（2）解：∵，∴，∴，∴∴，．20．（2025·江蘇無錫·一模）已知，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方的解法是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)因式分解法可進行求解方程；（2）由題意得，然后對原式進行化簡，進而根據(jù)整體思想代入進行求解即可．【詳解】（1）解：，∴，解得：；（2）解：∵，∴，∴．21．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：不論為何值，該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程的兩個實數(shù)根都是正數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查解一元二次方程，根的判別式，熟練掌握公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)根的判別式即可求出答案；（2）通過因式分解法求出方程的兩根，根據(jù)題意列出方程即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵方程，，∴無論為何值，該方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：∵∴，∴或，，，∵該方程的兩個實數(shù)根都是正數(shù)，．22．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）某公司向廠家訂購兩款洗手液共箱．已知購買款洗手液1箱進價為元，在此基礎(chǔ)上，所購買的款洗手液數(shù)量每增加1箱，每箱進價降低2元．廠家為保障盈利，每次最多可訂購箱款洗手液．款洗手液的進價為每箱元，設(shè)該公司購買款洗手液箱，若訂購這批洗手液的總進價為元，則該公司訂購了多少箱款洗手液？【答案】該公司訂購了箱款洗手液【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意由“訂購這批洗手液的總進價為元”列出方程并解答．【詳解】解：設(shè)該公司訂購了x箱款洗手液，根據(jù)題意知，解得，．每次最多可訂購箱款洗手液，符合題意．答：該公司訂購了箱款洗手液．23．（24-25九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，它們分別為．(1)求m的取值范圍；(2)若，求m的值．【答案】(1)(2)1【分析】本題主要考查了一元二次方程的判別式、韋達定理以及方程的求解方法．解題的關(guān)鍵在于利用韋達定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，并解出m的值．（1）利用判別式確定方程有兩個不相等的實數(shù)根，從而得到m的取值范圍；（2）應(yīng)用韋達定理將根的和與積表示出來，并通過給定條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程；最后解出m的值并驗證其合理性，確保滿足初始條件，特別是判別式的條件．【詳解】（1）解：，∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，的取值范圍為；（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根分別為，，，，，解得：（不符合題意，舍去），的值為1．24．（24-25九年級上·江蘇泰州·期末）泰州蟹黃湯包享譽全國，某飯店銷售旺季平均每天賣300份蟹黃湯包禮盒，賣出1份禮盒的利潤是23元．如果每份禮盒的售價下降1元，那么平均每天多賣出20份．(1)如果每份禮盒的售價下降元，那么每份的利潤為_____元，平均每天可賣出禮盒____份（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）；(2)每份禮盒售價下降多少元時，該飯店每天獲得的利潤是6720元？【答案】(1)，(2)每份禮盒售價下降9元時，該飯店每天獲得的利潤為6720元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式即可；（2）設(shè)每份禮盒售價下降x元時，根據(jù)題意得到方程，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：每份禮盒的售價下降元，那么每份的利潤為元，平均每天可賣出禮盒份；（2）解：設(shè)每份禮盒售價下降x元，根據(jù)題意可得：，解得：（負值舍去）故每份禮盒售價下降9元時，該飯店每天獲得的利潤為6720元．25．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄，且中間共留兩個1米的小門，設(shè)柵欄長為米．(1)________米（用含的代數(shù)式表示）；(2)若矩形圍欄面積為210平方米，求柵欄的長；(3)矩形圍欄面積是否有可能達到270平方米？若有可能，求出相應(yīng)的值；若不可能，則說明理由．【答案】(1)(2)籬笆的長為10米；(3)矩形圍欄面積不可能達到270平方米．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及根的判別式．（1）設(shè)籬笆長為x米，根據(jù)籬笆的全長結(jié)合中間共留2個1米的小門，即可用含x的代數(shù)式表示出的長；（2）根據(jù)矩形圍欄面積為210平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)矩形圍欄面積為270平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式，可得出該方程沒有實數(shù)根，進而可得出矩形圍欄面積不可能達到270平方米．【詳解】（1）解：設(shè)柵欄長為x米，∵柵欄的全長為49米，且中間共留兩個1米的小門，∴米，故答案為：；（2）解：依題意，得：，整理，得：，解得：，．當(dāng)時，，不合題意，舍去，當(dāng)時，，符合題意，答：柵欄的長為10米；（3）解：不可能，理由如下：依題意，得：，整理得：，∵，∴方程沒有實數(shù)根，∴矩形圍欄面積不可能達到270平方米．26．（24-25八年級下·江蘇蘇州·期中）定義：如果一個矩形的周長和面積都是矩形的周長和面積的倍，那么我們就稱矩形是矩形的“倍矩形”．【概念辨析】（1）一個矩形的周長是12，面積是8，它的“2倍矩形”的周長為________，面積為________；【深入探究】（2）問題：長為3，寬為2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的長和寬分別為多少？我們可以從函數(shù)的觀點來研究“2倍矩形”，設(shè)“2倍矩形”的長和寬分別為，，由題意，，則，，在圖中的平面直角坐標(biāo)系中作出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像來研究，有交點就意味著存在“2倍矩形”，交點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別對應(yīng)“2倍矩形”的長和寬．請觀察圖像，則長為3，寬為2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的長和寬分別約為________和________（結(jié)果精確到0.1）我們還可以從方程（組）的觀點來研究“2倍矩形”，設(shè)“2倍矩形”的長和寬分別為，，由題意：，，則，，請完成以下解答過程．（結(jié)果保留根號）【答案】（1）24，16；（2）存在，，；，【分析】（1）由新定義即可求解；（2）從兩個函數(shù)圖象看，兩個函數(shù)有交點，故存在“2倍矩形”，結(jié)合圖像取近似數(shù)，即可作答．聯(lián)立方程組，求出，再求出，即可作答．本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，認(rèn)真閱讀理解新定義“矩形B是矩形A的“2倍矩形”，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）依題意，∵一個矩形的周長是12，面積是8，則∴它的“2倍矩形”的周長為24，面積為16；故答案為：24，16；（2）觀察圖像，兩個函數(shù)有交點，則長為3，寬為2的矩形存在“2倍矩形”，∵，∴結(jié)合圖像，則它的長和寬分別約為和，故答案為：存在，，；依題意，整理得∴，∴解得或，∵∴（舍去），∴寬為，即．27．（24-25八年級下·江蘇揚州·階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的3倍，則稱這樣的方程為“3倍根方程”，(1)①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）；②若一元二次方程是“3倍根方程”，則_