5/5專題01直線與方程【答案】一、1.2.二、1.2.3.4.5.三、相交（垂直）、平行四、1.2.3.

【清單01】直線的傾斜角與斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍，如下圖：的傾斜角為0°，的傾斜角為銳角，的傾斜角為直角，的傾斜角為鈍角.2、直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；3、過兩點(diǎn)的直線斜率公式已知直線上任意兩點(diǎn)，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無關(guān)．（2）若，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°【清單02】直線的方程1、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2、直線的一般式與斜截式、截距式的互化直線的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式不同時(shí)為0)都不為0)直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)任意一條直線.因此在一定條件下，直線的一般式方程可以進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：（1）當(dāng)時(shí),可化為,它表示在y軸上的截距為,斜率為的直線.（2）當(dāng)均不為零時(shí)，可化為，它表示在x軸上的截距為，在y軸上的截距為的直線.【清單03】兩條直線平行與垂直的判定1、兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．2、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.【清單04】三種距離公式1、兩點(diǎn)間的距離（1）平面上兩點(diǎn)的距離公式為．（2）特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離2、點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對應(yīng)系數(shù)要相等．【清單05】直線系方程1、過定點(diǎn)直線系：過已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．2、斜率為定值直線系：斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．3、平行直線系：與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．4、垂直直線系：與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．5、過兩直線交點(diǎn)的直線系：過直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．【清單06】對稱問題1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為秒殺技巧與性質(zhì)1：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．2、點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．秒殺技巧與性質(zhì)2：點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．秒殺技巧與性質(zhì)3：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．秒殺技巧與性質(zhì)4：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．秒殺技巧與性質(zhì)5：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．3、直線關(guān)于點(diǎn)對稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．4、直線關(guān)于直線對稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程

【題型一】直線的傾斜角與斜率【例1】．（25-26高二上·海南·月考）若直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、直線的傾斜角【分析】先由斜率和傾斜角的關(guān)系得到，并判斷出傾斜角為銳角，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，最后由得到答案.【詳解】直線的斜率為，所以，即，且傾斜角為銳角；又因?yàn)?，所以得到；所以；故選：D【變式1-1】．（25-26高二上·陜西西安·期中）已知點(diǎn)，，若直線與線段（包括端點(diǎn)）總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】根據(jù)直線方程可確定直線過定點(diǎn)；求出有公共點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)的斜率，即和；根據(jù)位置關(guān)系可確定的范圍.【詳解】直線經(jīng)過定點(diǎn)，又點(diǎn)，，所以，，又因?yàn)橹本€的斜率為，所以結(jié)合圖形可得的取值范圍為.故選：A.【變式1-2】．（25-26高三上·上海寶山·期末）已知第一象限的點(diǎn)和經(jīng)過直線，若直線的傾斜角為，則的最小值為．【答案】//1.125【難度】0.65【知識點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、直線的傾斜角【分析】由題設(shè)知，根據(jù)目標(biāo)式，結(jié)合基本不等式“1”的代換求最小值即可.【詳解】由題設(shè)知，可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，的最小值為.故答案為：.【變式1-3】．（25-26高二上·山東濟(jì)寧·月考）過點(diǎn)作直線，若與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為，的傾斜角的取值范圍為．【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】斜率與傾斜角的變化關(guān)系、已知兩點(diǎn)求斜率【分析】應(yīng)用斜率的兩點(diǎn)式求端點(diǎn)處直線的斜率，數(shù)形結(jié)合確定直線的斜率范圍，再求傾斜角范圍．【詳解】由題意得，直線的傾斜角為，，直線的傾斜角為．如圖：由圖可知，的斜率的取值范圍為，則的傾斜角的取值范圍為．故答案為：，【題型二】直線方程【例2】．（25-26高二上·天津南開·期中）經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（

）.A． B．或C． D．或【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】直線的斜截式方程及辨析、直線截距式方程及辨析【分析】分為兩種情況：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)．設(shè)出直線的方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得解．【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，所以直線的方程為，此時(shí)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0，滿足題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，設(shè)直線的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，則直線方程，即，綜上所述直線方程為或，故選：B．【變式2-1】．（25-26高二上·內(nèi)蒙古包頭·期中）經(jīng)過點(diǎn)，且在軸和軸上截距相等的直線方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】直線截距式方程及辨析、直線一般式方程與其他形式之間的互化【分析】分別討論截距為0和不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，將點(diǎn)代入求解即可.【詳解】當(dāng)直線在軸和軸上截距都為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入解得，此時(shí)直線方程為，即；當(dāng)直線在軸和軸上截距相等且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入解得，此時(shí)直線方程為，即所以滿足題意的直線方程為或.故選：B.【變式2-2】．（25-26高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）直線過點(diǎn)且與軸，軸分別交于點(diǎn)，若，則直線的方程為．【答案】或【難度】0.65【知識點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、直線截距式方程及辨析、直線的一般式方程及辨析【分析】分和兩種情況討論，可求得直線的方程.【詳解】若，則直線過點(diǎn)與，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即；若時(shí)，設(shè)直線的方程為，由題意可得，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：或.【變式2-3】．（25-26高二上·廣西·月考）若經(jīng)過點(diǎn)的直線在軸上的截距之比為，則與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．【答案】4【難度】0.65【知識點(diǎn)】直線截距式方程及辨析、直線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積問題【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線的截距式方程，進(jìn)而求出該直線方程，再求出直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積.【詳解】依題意，直線不過原點(diǎn)，設(shè)的方程為，由直線過點(diǎn)，得，解得，直線的方程為，則在軸上的截距分別為4，2，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4.故答案為：4【題型三】兩條直線的位置關(guān)系【例3】．（25-26高二上·福建福州·期中）過直線與直線的交點(diǎn)，且與直線平行的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點(diǎn)】由兩條直線平行求方程、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)【分析】先通過直線方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行待定系數(shù)設(shè)直線方程，最后代入點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】由，得，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)與直線平行的直線方程為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，∴所求直線方程為，故選：A.【變式3-1】．（20-21高二上·重慶渝中·期中）已知直線與直線互相垂直，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A． B．C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、已知直線垂直求參數(shù)【分析】先根據(jù)垂直關(guān)系求解出的值，然后聯(lián)立直線方程可求交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)榕c互相垂直，所以，所以，所以，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【變式3-2】．（25-26高二上·江蘇南通·期中）已知三條直線和不能圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B．3 C． D．【答案】BCD【難度】0.65【知識點(diǎn)】求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、三線能圍成三角形的問題、已知直線平行求參數(shù)【分析】利用直線平行以及三條直線交于一點(diǎn)，即可求解.【詳解】聯(lián)立，可得，即兩直線交點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，直線和直線平行，不能圍成三角形;當(dāng)時(shí)，直線和直線平行，不能圍成三角形;當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，三線共點(diǎn)，不能圍成三角形;當(dāng)時(shí)，三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，可以圍成三角形，不符合題意.故選：BCD【變式3-2】．（25-26高二上·福建福州·期中）(多選題)已知直線：，直線：，則（

）A．當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)是 B．直線與都恒過C．若，則 D．若，則或【答案】ABC【難度】0.65【知識點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)、已知直線垂直求參數(shù)、直線過定點(diǎn)問題、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)【分析】對A，直接求交點(diǎn)；對B，轉(zhuǎn)化為兩直線交點(diǎn)求解；對C、D，根據(jù)兩直線垂直、平行的系數(shù)關(guān)系求解.【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)，，由解得，所以的交點(diǎn)是，A正確；對于B：可化為，恒過與的交點(diǎn)，可化為恒過與的交點(diǎn)，B正確；對于C：若，則，解得，C正確；對于D：若，則，解得或，又當(dāng)時(shí)，與重合，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC.【題型四】距離問題【例4】．（25-26高二上·重慶·期中）點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、求點(diǎn)到直線的距離、求平面兩點(diǎn)間的距離【分析】求出直線所過定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【詳解】直線，即，由，解得，所以直線過定點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：C【變式4-1】．（25-26高二上·四川遂寧·期中）坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，直線與直線的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、求平行線間的距離【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式和平行線間距離公式即可求解.【詳解】化一般方程得，所以，故選：D【變式4-2】．（25-26高二上·安徽安慶·期中）已知直線與直線平行，則兩直線間的距離為.【答案】/【難度】0.65【知識點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)、求平行線間的距離【分析】根據(jù)直線平行的判定列方程求參數(shù)值，注意驗(yàn)證，進(jìn)而求平行線的距離.【詳解】由題設(shè)，可得或，當(dāng)，，，顯然重合，不合題意，當(dāng)，，，滿足題意，綜上，，此時(shí)兩直線的距離為.故答案為：【變式4-3】．（25-26高二上·河北邢臺·月考）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到的最大距離為．【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、求點(diǎn)到直線的距離【分析】先求出直線必過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出結(jié)果.【詳解】由直線，得，令解得即直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，最大距離為．故答案為：.【題型五】對稱問題【例5】．（25-26高二上·江西·期中）一條光線從點(diǎn)出發(fā)，與x軸相交于點(diǎn)P，經(jīng)過x軸反射后，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．4 B．5C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】求平面兩點(diǎn)間的距離、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】先求點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，利用對稱得到，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算求解.【詳解】由題意得關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，所以.故選：D.【變式5-1】．（25-26高二上·江蘇連云港·期中）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】設(shè)出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，求出的中點(diǎn)，然后利用的中點(diǎn)在直線上且直線與垂直，列出方程組求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的中點(diǎn)為，則的中點(diǎn)在直線上且直線與垂直，所以，化簡得，則，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為.故選：B【變式5-2】．（25-26高二上·甘肅白銀·期中）已知一束光線通過點(diǎn)，經(jīng)直線反射，如果反射光線通過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為.【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)、光線反射問題(2)——直線關(guān)于直線對稱【分析】求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)后可求反射光線所在直線的方程.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，，則對稱點(diǎn)為.由于反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)和，則反射光線所在直線的斜率為.所以反射光線所在直線的方程為，即.故答案為：.【變式5-3】．（25-26高二上·上?！て谥校┰O(shè)，點(diǎn)在軸上，則的最小值為．【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】求平面兩點(diǎn)間的距離、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】求得關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，可知當(dāng)取最小值即為.【詳解】由題意得：點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），又，則，故答案為：.【題型六】直線方程的綜合應(yīng)用【例6】．（25-26高二上·安徽合肥·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)是.(1)若直線過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，求證：當(dāng)取得最小值直線平分的面積.【答案】(1)或(2)證明見解析【難度】0.65【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、求點(diǎn)到直線的距離、三角形面積公式及其應(yīng)用、直線的點(diǎn)斜式方程及辨析【分析】（1）分別討論當(dāng)直線與平行，當(dāng)直線通過的中點(diǎn)兩種情況下，根據(jù)已知條件分別求出直線的方程.（2）利用基本不等式的性質(zhì)求出取得最小值時(shí)的直線的方程，然后分別計(jì)算兩個(gè)三角形的面積即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以直線與平行或通過的中點(diǎn)，①當(dāng)直線與平行，因?yàn)?，且過點(diǎn)，所以方程為，即；②當(dāng)直線通過的中點(diǎn)，所以，所以的方程為，即．綜上：直線的方程為或．（2）由題意設(shè)，其中為正數(shù)，可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號，此時(shí)直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，，，所以，故當(dāng)取得最小值時(shí)，直線平分的面積.【變式6-1】．（25-26高二上·江蘇南通·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)在直線上，．(1)求直線的方程；(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求證：點(diǎn)在軸上．【答案】(1)(2)證明見解析【難度】0.65【知識點(diǎn)】由兩條直線垂直求方程、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)、直線的點(diǎn)斜式方程及辨析【分析】（1）由，求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出方程；（2）聯(lián)立直線與直線的方程求出點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以直線的斜率為.設(shè)直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所?所以直線的方程，即.（2）因?yàn)椋?，?設(shè)，則，所以，即.因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸上.【變式6-2】．（25-26高二上·貴州畢節(jié)·期中）已知直線，．(1)當(dāng)時(shí)，求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，求的值，并求出此時(shí)直線與之間的距離．【答案】(1)(2)；.【難度】0.65【知識點(diǎn)】求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、求平行線間的距離、已知直線平行求參數(shù)【分析】（1）直接聯(lián)立方程并解方程組可得；（2）由平行可得的值，再由平行線間的距離公式可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與的方程，得解得.所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）當(dāng)時(shí)，，，顯然，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，顯然與不平行，不符合題意，舍去，故直線與的斜率都存在．