3/3專題01直線與方程（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律直線傾斜角和斜率回顧直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意義，掌握數(shù)形結(jié)合思想解決傾斜角和斜率的動態(tài)變化問題基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題直線的五種方程及相互轉(zhuǎn)化回顧直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程的推導(dǎo)，掌握五種直線的相互轉(zhuǎn)化并能熟練運(yùn)用點(diǎn)斜式與斜截式重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題兩條直線平行與垂直回顧直線的平行、垂直與斜率、截距之間的關(guān)系，能應(yīng)用兩條直線平行或垂直規(guī)律解決相關(guān)問題重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題直線交點(diǎn)回顧直線的交點(diǎn)與方程組的解內(nèi)在聯(lián)系，能熟練運(yùn)用兩條直線相交的性質(zhì)求待定參數(shù)?；A(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題平面上的距離回顧平面內(nèi)點(diǎn)與直線的距離，兩點(diǎn)之間的距離，兩平行線間的距離公式推導(dǎo)，并能解決與距離有關(guān)的平面幾何問題。重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題知識點(diǎn)01直線傾斜角的定義定義在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時，所轉(zhuǎn)過的最小正角α稱為這條直線的傾斜角規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0范圍{α|0≤α<π}作用(1)用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度；(2)確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可知識點(diǎn)02直線的斜率(1)直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為____k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)_______.知識點(diǎn)03斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在知識點(diǎn)04直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點(diǎn)斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點(diǎn)式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個定點(diǎn)；②已知兩個截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點(diǎn)的直線①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程知識點(diǎn)05兩條直線平行與垂直1.兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時，l1與l2的傾斜角都是90°，則l1∥l2.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.2.兩條直線垂直：如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：l1⊥l2?k1·k2＝－1或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零知識點(diǎn)06直線系方程1．平行直線系方程把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設(shè)中另一個條件來確定的值.2．垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個條件來確定的值.知識點(diǎn)07兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1，l2的公共點(diǎn)個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1，l2的位置關(guān)系相交重合平行知識點(diǎn)08：兩點(diǎn)間的距離平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.知識點(diǎn)09點(diǎn)到直線的距離1.點(diǎn)到直線的距離定義：點(diǎn)到直線的垂線段的長度2.點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))知識點(diǎn)10兩條平行線間的距離1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱后得到點(diǎn)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得.2．直線關(guān)于點(diǎn)對稱求直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線（1）法一：在所求直線上任取一點(diǎn)，則它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，代入已知直線中，則所求直線的方程為；（2）法二：在已知直線上任取一點(diǎn)（一般取整數(shù)點(diǎn)），求它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)，利用然后關(guān)于點(diǎn)對稱的兩直線與斜率相等，求出斜率，再用點(diǎn)斜式求出的方程.3．點(diǎn)關(guān)于直線對稱求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)（1）法一：直接列方程組，解出；（2）法二：先求出線段所在直線（點(diǎn)斜式），再求出線段的中點(diǎn)（兩條直線的交點(diǎn)），利用交點(diǎn)關(guān)于中點(diǎn)對稱求出點(diǎn).4．直線關(guān)于直線對稱求直線關(guān)于直線對稱的直線（1）法一：在已知直線上任取一點(diǎn)，然后關(guān)于的對稱點(diǎn)，再結(jié)合與交點(diǎn)聯(lián)立求解；（2）法二：利用兩條相交直線的到角公式求解①直線到的角（方向角），，當(dāng)時，.②直線與的夾角，，當(dāng)時，.題型一直線的傾斜角與斜率解｜題｜技｜巧1、我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即2、如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時調(diào)換；（3）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平3、斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在【典例1】（23-24高二上·江蘇泰州·期末）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致如圖，一座斜拉橋共有對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距、均為，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·江蘇·月考）已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）過兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（

）A．或 B． C． D．【變式3】（23-24高二上·江蘇無錫·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知動點(diǎn)到兩直線與的距離之和為，則的最大值為.題型二根據(jù)直線與線段的相交關(guān)系求斜率取值范圍解｜題｜技｜巧斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在【典例1】（24-25高二上·江蘇·期中）已知三點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時，直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1】已知直線l經(jīng)點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2】已知兩點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．題型三求直線方程解｜題｜技｜巧①點(diǎn)斜式方程形式：②斜截式方程形式：③兩點(diǎn)式方程形式：④截距式方程形式：⑤一般式：定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.【典例1】（25-26高二上·江蘇·期末）已知菱形中，，，邊所在直線過點(diǎn)，求：(1)邊所在直線的方程；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式1】已知直線過點(diǎn)，且在兩個坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（

）A． B．或C． D．或【變式2】（24-25高二上·江蘇常州·期末）若的三個頂點(diǎn)為，則邊上的高所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（25-26高二上·江蘇鹽城·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為．(1)若邊上的高所在的直線方程為，求直線的方程；(2)若的平分線所在的直線方程為，求邊所在的直線方程．題型四直線過定點(diǎn)問題解｜題｜技｜巧直線系過定點(diǎn)問題核心解題技巧是分離參數(shù)法，同時可結(jié)合特殊值法輔助驗(yàn)證。1.將直線方程中含參數(shù)的項(xiàng)與不含參數(shù)的項(xiàng)分離開，整理為參數(shù)×含參代數(shù)式+不含參代數(shù)式=0的形式，即λ?f(x,y)+g(x,y)=0（其中λ為參數(shù)，f(x,y)、g(x,y)為關(guān)于x、y的代數(shù)式）。2.聯(lián)立方程：由于參數(shù)λ可取任意實(shí)數(shù)，要使等式恒成立，需滿足含參項(xiàng)和不含參項(xiàng)同時為0，即聯(lián)立方程組后解方程組即可求解【典例1】已知直線：.則直線經(jīng)過定點(diǎn)【變式1】（23-24高二上·江蘇南通·期末）直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.【變式2】（23-24高二上·江蘇南京·期末）方程所表示的直線（

）A．恒過點(diǎn) B．恒過點(diǎn)C．恒過點(diǎn)和點(diǎn) D．恒過點(diǎn)和點(diǎn)題型五根據(jù)兩條直線平行或垂直關(guān)系求參數(shù)解｜題｜技｜巧1、若兩條直線的方程為，有(1)且;(2)與重合且;(3)與相交；(4);2、特別指出:上述給出的為斜截式方程，其斜率心定存在，在一般情況下有：(1)兩條直線或均不存在，直線或中一個為零，另一個不存在.3.若直線不為零)，有：(1)且;(2);(3)與相交;(4)與重合且.【典例1】（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知直線，若，則的值為（）A． B．3 C．-1 D．3或-1【變式1】已知直線與，則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【變式2】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知，若，則a的值為（

）A． B． C．1 D．或1【變式3】（多選）（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知直線直線則（

）A．在y軸上的截距為 B．恒過點(diǎn)C．當(dāng)時 D．當(dāng)時，題型六兩直線的交點(diǎn)問題解｜題｜技｜巧直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解【典例1】直線與直線相交，則m的取值范圍為．【變式1】（24-25高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若直線：與：的交點(diǎn)在第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是.【變式2】下面三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則的集合是（

）A． B． C． D．題型七平面中點(diǎn)線距離公式及其應(yīng)用解｜題｜技｜巧1、平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為2、點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))3、兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【典例1】（24-25高二上·江蘇徐州·期末）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B． C． D．【變式1】已知點(diǎn)P?2,?1和直線l:1+2λx+1?3λy+λ?2=0，則點(diǎn)P【變式2】當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時，直線到直線的距離的最大值是______.【變式3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．4題型八平面內(nèi)點(diǎn)與直線間的對稱問題解｜題｜技｜巧1、點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題步驟：求點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將代入直線：：中；②整理得：2.（1）直線：：（）和：：（）相交,求關(guān)于直線的對稱直線①求出與的交點(diǎn)②在上任意取一點(diǎn)(非點(diǎn)），求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)③根據(jù)，，兩點(diǎn)求出直線（2）直線：：（）和：：（）平行,求關(guān)于直線的對稱直線①②在直線上任取一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求直線.【典例1】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．【變式1】點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式2】已知直線：關(guān)于直線的對稱直線為軸，則的方程為.【變式3】（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知的一條內(nèi)角平分線所在直線的方程為，兩個頂點(diǎn)為．(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求第三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式4】直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（

）A． B． C． D．【變式5】（25-26高二上·江蘇南通·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)在直線上，．(1)求直線的方程；(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求證：點(diǎn)在軸上．題型九直線方程與面積的綜合應(yīng)用解｜題｜技｜巧對于直線，令；令，則面積（1）解題時注意很容易忽略絕對值而造成錯誤；（2）常設(shè)計(jì)基本不等式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)等方法求面積最值或范圍【典例1】已知一條動直線，直線l過動直線的定點(diǎn)P，且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．(2)當(dāng)取得最小值時，求直線l的方程．【變式1】（24-25高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知直線l：．（1）若直線不經(jīng)過第二象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸正半軸于A，交y軸負(fù)半軸于B，的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．【變式2】（25-26高二上·江蘇淮安·月考）已知直線.(1)當(dāng)時，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后過原點(diǎn)，求反射光線所在直線的方程；(2)求證：直線恒過定點(diǎn)；(3)若直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：45分鐘）1．（24-25高二上·江蘇淮安·期末）已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，，則直線l的斜率是（

）A．2 B． C． D．－22．（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知直線與直線垂直，則（

）A． B． C．或 D．或3．（24-25高二上·江蘇南通·期末）以為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形4．若過點(diǎn)，的直線的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·江蘇無錫·期末）若直線和直線平行，則直線與直線間距離為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·江蘇·期末）若點(diǎn)A?3,?4,B6,3到直線l:ax+y+1=0的距離相等，則實(shí)數(shù)aA．79 B．C．?79或?13 7．（多選）（24-25高一下·江蘇南京·期末）下列說法錯誤的是（

）A．在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程表示B．方程表示的直線斜率一定存在C．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程為8．（多選）（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知直線，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A．若，則斜率不存在 B．若不經(jīng)過第三象限，則C．若，則或 D．若，則9．（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）若直線與垂直，則．10.（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知點(diǎn)在直線上的運(yùn)動，則的最小值是______11．（24-25高二上·江蘇鹽城·期末）（1）求過，且與直線平行的直線的方程.（2）已知的三個頂點(diǎn)，，，求邊上的高所在的直線方程.12．（24-25高二上·江蘇泰州·期末）已知直線：（a為實(shí)數(shù)），與相交于點(diǎn)M．(1)若過點(diǎn)M，求a的值；(2)設(shè)直線過定點(diǎn)N，求．期