5/5專題03圓錐曲線與方程【答案】一、1.2.3.二、1.2.3.

【清單01】直線與橢圓方程直線與橢圓聯(lián)立，求解步驟：第一步：代入消元，聯(lián)立化簡(jiǎn)：第二步：計(jì)算判別式；可直接利用結(jié)論：（范圍、最值問題）第三步：根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式；，第四步：利用，計(jì)算第五步：利用，計(jì)算第六步：利用，，計(jì)算弦中點(diǎn)第七步：利用,計(jì)算弦長(zhǎng)和的面積進(jìn)而計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離第八步:利用,，計(jì)算第九步：利用,計(jì)算1、弦長(zhǎng)問題（最常用公式，使用頻率最高）2、中點(diǎn)弦問題設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：3、圓錐曲線中的三角形的面積（1）、三角形面積問題直線方程：（2）、焦點(diǎn)三角形的面積直線過焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)【清單02】直線與雙曲線方程直線與雙曲線聯(lián)立，求解步驟：第一步：代入消元，聯(lián)立化簡(jiǎn)：第二步：計(jì)算判別式可直接利用結(jié)論：（范圍、最值問題）第三步：根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式，第四步：利用，計(jì)算第五步：利用，計(jì)算第六步：利用，，計(jì)算弦中點(diǎn)第七步：利用,計(jì)算弦長(zhǎng)和的面積進(jìn)而計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離，【清單03】直線與拋物線方程直線與拋物線聯(lián)立，求解步驟：第一步：代入消元，聯(lián)立化簡(jiǎn)：第二步：根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式，第三步：一些小結(jié)論點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為結(jié)論1：的斜率為結(jié)論2：若的中點(diǎn)為，則結(jié)論3：結(jié)論4：過焦點(diǎn)結(jié)論5：

【題型一】圓錐曲線的定義及軌跡方程【例1】．（25-26高二上·河北滄州·期中）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則該動(dòng)圓圓心的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】判斷圓與圓的位置關(guān)系、橢圓定義及辨析、軌跡問題——橢圓【分析】由圓與圓的位置關(guān)系確定，，，再利用橢圓的定義可求.【詳解】如圖，設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，如圖，因圓與圓外切，則，圓，即，因與圓內(nèi)切，則，又，因，所以點(diǎn)P在以，為焦點(diǎn)的橢圓上.故選：A.【變式1-1】．（25-26高二上·四川成都·期中）如圖，已知圓，點(diǎn)，P為圓A上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)M

(1)過點(diǎn)B的直線m被圓A截得的弦長(zhǎng)為，求直線m的方程；(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(3)設(shè)（2）中曲線為C，直線l：與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)、軌跡問題——橢圓、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】（1）先根據(jù)圓的方程得出圓心和半徑，利用已知弦長(zhǎng)得出圓心到直線的距離，分直線斜率存在和不存在兩種情況討論求出直線方程；（2）根據(jù)已知條件，利用橢圓的定義求出動(dòng)點(diǎn)的方程；（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出，利用點(diǎn)到直線距離公式求出距離，進(jìn)而利用三角形面積公式求解．【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，已知弦長(zhǎng)為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，而直線過點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，圓心到直線距離，弦長(zhǎng)，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則方程為，即，圓心到直線距離，化簡(jiǎn)得，無解，直線的方程為．（2）由垂直平分線的性質(zhì)可知，，，，，，由橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)M是以為長(zhǎng)軸，以為焦距的橢圓，即，動(dòng)點(diǎn)M的方程為：．（3）如圖，作出符合題意的圖形，

聯(lián)立直線與曲線方程，得，設(shè)，由韋達(dá)定理得，，點(diǎn)到直線的距離為，．【變式1-2】．（25-26高二上·山東青島·期中）已知定點(diǎn)，，是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．以上都不是【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線定義的理解【分析】結(jié)合垂直平分線以及中位線的性質(zhì)，分析計(jì)算出的值，則結(jié)果可知.【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵诰€段的中垂線上，所以，因此，即點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，故選：C.【題型二】直線與橢圓的位置關(guān)系【例2】．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最大距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)為橢圓上兩點(diǎn)，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的弦長(zhǎng)、求橢圓中的最值問題【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）根據(jù)斜率存在與不存在討論，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于的一元二次方程，由，可得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合基本不等式可求出最大值.【詳解】（1）由題意可得，又，解得，，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線，由，得，所以，設(shè)，．所以，．因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí).當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以的最大值．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程可得解得，由,可得,即，由，所以，即，解得，故.因?yàn)?綜上，的最大值為.【變式2-1】．（25-26高二上·貴州貴陽·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率，且短軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)；(2)4.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率的意義求出即可得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線距離公式列出三角形面積，再利用基本不等式求出最大值.【詳解】（1）由橢圓：的短軸長(zhǎng)為4，得，由橢圓的離心率，得，則，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由消去并整理得，，解得，則，，原點(diǎn)到直線的距離，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為4.

【題型三】直線與雙曲線的位置關(guān)系【例3】．（25-26高二上·重慶·期中）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】(1)(2)，其中或．【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求平面軌跡方程【分析】（1）根據(jù)雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)、漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可；（2）法一：設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式進(jìn)行求解即可；法二：利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，由已知，，則．因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為．點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程為；（2）（法一）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)、、，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得，消去，得，由且，得且．由韋達(dá)定理，得，所以，由消去，得．由且，得或，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，其中或．（法二）設(shè)，中點(diǎn)，則：，因?yàn)樵陔p曲線，故，兩式相減（點(diǎn)差法）：，因式分解得：，兩邊除以（直線斜率顯然存在），代入：，又直線過和，故斜率，因此：，整理得軌跡方程（將換為）：，所以點(diǎn)的軌跡方程為，其中或．【變式3-1】．（2025高三上·安徽合肥·專題練習(xí)）已知雙曲線：的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與的右支交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與y軸交于點(diǎn)P，且，求的面積【答案】(1)；(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】(1)利用實(shí)軸長(zhǎng)和離心率求雙曲線的基本量，進(jìn)而得方程；(2)聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合韋達(dá)定理和距離公式求參數(shù)，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，從而求得三角形面積.【詳解】（1）由實(shí)軸長(zhǎng)為，得.離心率，故.由，得.因此雙曲線的方程為.（2）直線與軸交于，聯(lián)立與雙曲線方程得，設(shè)、，雙曲線漸近線方程為，由直線與右支相交于兩點(diǎn)，得.，由韋達(dá)定理，.，同理，故：，解得（）.將代入聯(lián)立方程，得，解得、，對(duì)應(yīng)、.即，因此的面積為：.【題型四】直線與拋物線的位置關(guān)系【例4】．（25-26高二上·寧夏銀川·月考）已知直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求l的方程；(2)若l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，求的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】(1)；(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】拋物線中的三角形或四邊形面積問題、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率、直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題【分析】（1）利用點(diǎn)差法及點(diǎn)斜式計(jì)算即可；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)，的中點(diǎn)為D，則，所以，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，所以l的方程為，即；（2）設(shè)l交橫軸于E點(diǎn)，由上可知，，設(shè)，聯(lián)立，可得，則，所以.【變式4-1】．（25-26高二上·重慶渝北·期中）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題【分析】（1）結(jié)合題中條件和拋物線的定義計(jì)算參數(shù)，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，，聯(lián)立方程組，消元，化簡(jiǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理得到，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)解得最大值.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，已知為上的一點(diǎn)，代入拋物線方程得，因?yàn)閽佄锞€的定義，，將代入得，解得，因此拋物線的方程為（2）由上分析可知，則，即,設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，，聯(lián)立消元得，由韋達(dá)定理得，，，將代入：這是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸將代入得最大值【題型五】中點(diǎn)弦問題【例5】．（25-26高二上·陜西咸陽·期中）已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為.(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而求解即可；（2）分直線斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點(diǎn)差法求解即可.【詳解】（1）由題意知，，解得，故雙曲線的方程為.（2）①當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，這與矛盾；②當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線方程為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵陔p曲線上，所以，則，所以，則所求直線方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意.【變式5-1】．（25-26高二上·河北·期末）已知橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且P為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】判斷點(diǎn)在橢圓內(nèi)，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率即可得其方程．【詳解】橢圓，由，得點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)，則，兩式相減得，而，因此，即直線的斜率為，所以直線的方程為，即．故選：A【變式5-2】．（25-26高二上·江西·期中）若雙曲線的焦距為4，直線與交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、斜率公式的應(yīng)用【分析】根據(jù)焦距為4，求得m的值，利用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的斜率.【詳解】由題可知，解得.所以雙曲線.若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性知，線段的中點(diǎn)均在軸上，不合題意，所以直線的斜率存在.設(shè)，則，整理得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以.所以.直線的斜率為2.故選：D.【題型六】圓錐曲線中的三角形問題【例6】．（25-26高二上·四川成都·期中）圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓反射后會(huì)經(jīng)過另外一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線先后經(jīng)過橢圓上的A，B兩點(diǎn)（非長(zhǎng)軸上頂點(diǎn)）反射后回到焦點(diǎn)；過點(diǎn)作的外角的角平分線的垂線l，l交直線于點(diǎn)M，則下列說法正確的是（

）A．面積的最大值為6 B．的最小值為C．M的軌跡方程為 D．的最小值為8【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓中的最值問題、橢圓中三角形（四邊形）的面積、軌跡問題——圓、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合圓的定義、對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】A：根據(jù)題意可知直線如果存在斜率，斜率一定不為零，由橢圓，設(shè)直線的方程為，于是有，，設(shè)，，，令，，對(duì)鉤函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)鉤函數(shù)單調(diào)遞增，于是由，所以，即，所以當(dāng)，面積有最大值為3，因此本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以本選項(xiàng)不正確；C：因?yàn)檫^點(diǎn)作的外角的角平分線的垂線l，l交直線于點(diǎn)M，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其方程為，所以本選項(xiàng)正確；D：由上可知：，所以，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是橢圓上非長(zhǎng)軸上頂點(diǎn)，所以由橢圓的性質(zhì)可知：，所以沒有最小值，故本選項(xiàng)不正確，故選：C

【變式6-1】．（25-26高二上·山東青島·期中）吹奏樂器“塤”（如圖1）在古代通常是用陶土燒制的，一種塤的外輪廓的上部是半橢圓，下部是半圓.半橢圓（且為常數(shù)）和半圓組成的曲線如圖2所示，曲線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交軸的正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的面積最大，則半橢圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程【分析】點(diǎn)代入半圓上的點(diǎn)，求出的值，寫出的坐標(biāo)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)為與直線平行的直線且此直線與半圓相切于第四象限的切點(diǎn)，求出，設(shè)與直線平行的直線且與半圓相切的直線方程為，求出圓心為到的距離為，與半圓相切，得到，得到關(guān)于的一個(gè)方程，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的面積最大，得到在上，將點(diǎn)代入，得到關(guān)于的另一個(gè)方程，這兩個(gè)的方程聯(lián)立方程組求解即可.【詳解】是半圓上的點(diǎn)，，，，，半橢圓（，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交軸的正半軸于點(diǎn)，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)為與直線平行的直線且此直線與半圓相切于第四象限的切點(diǎn)，，設(shè)與直線平行的直線且與半圓相切的直線方程為，半圓的圓心為，半徑為，圓心為到的距離為，與半圓相切，，，，，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的面積最大，在上，，，聯(lián)立，解得，半橢圓方程為，.故選：D.【變式6-2】．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，的面積為，若為銳角，則（

）A．48 B．96 C．144 D．192【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、雙曲線定義的理解、余弦定理解三角形【分析】雙曲線定義結(jié)合對(duì)稱性，根據(jù)三角形面積公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得.【詳解】由于，則由雙曲線定義知，所以．如圖，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知四邊形為平行四邊形，則，結(jié)合，所以，解得，又為銳角，故，則.在中，由余弦定理可知，則，所以．故選：B【題型七】求離心率的值或取值范圍【例7】．（25-26高二上·重慶渝北·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合在圓中直徑所對(duì)的圓周角為直角、勾股定理、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則，于是有，由橢圓的定義可知：，，在圓中，是直徑，所以，由勾股定理可得：，，代入中，得，故選：B【變式7-1】．（25-26高二上·廣東深圳·期中）已知雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過右焦點(diǎn)作直線，交右支于、兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】利用雙曲線的定義求得，，利用二倍角的余弦公式結(jié)合可求出的值，然后在中，利用余弦定理可得出、的等量關(guān)系，即可解得該雙曲線的離心率的值.【詳解】因?yàn)?，所以?/p>

即，且，所以，解得，所以在△中，由余弦定理可得，即，即，解得.故選：C.【變式7-2】．（25-26高二上·重慶·期中）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的中垂線過，記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是．【答案】【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、雙曲線定義的理解、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，可求得，又根據(jù)中垂線的性質(zhì)，可得，進(jìn)而可求得，代入所求代數(shù)式，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)和不等式，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，焦距都為，根據(jù)橢圓定義，可得①，根據(jù)雙曲線定義，可得，又，所以②，聯(lián)立①②，可求得，又線段的中垂線過，所以，所以，所以，即，所以，所以，又根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，可得，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：【題型八】最值（或范圍）問題【例8】．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)．

(1)證明：直線MN過定點(diǎn)；(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)8【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】拋物線中的三角形或四邊形面積問題、與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì)、拋物線中的直線過定點(diǎn)問題、直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題【分析】（1）分析可得兩直線斜率都存在且不為0，設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式，可得，同時(shí)滿足，，且同時(shí)滿足，根據(jù)兩直線垂直，斜率關(guān)系，可得，代入直線MN的方程，化簡(jiǎn)整理，即可得證.（2）由（1）知，可得直線AB方程，根據(jù)直線AB過點(diǎn)，可得，同理可得，求出直線AE和直線BD的方程，聯(lián)立得：，即為G點(diǎn)橫坐標(biāo)，由于，化簡(jiǎn)計(jì)算，可得MN軌跡方程，過點(diǎn)G作軸，交直線MN于點(diǎn)Q，可得面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，可得，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，證明，綜合即可得答案.【詳解】（1）證明：由，故，由直線AB與直線CD垂直，故兩直線斜率都存在且不為0，設(shè)、、、、、，則，且同時(shí)滿足，同理，且同時(shí)滿足，所以，則，所以，又直線MN方程為，所以，所以直線MN過定點(diǎn).（2）由（1）知，直線AB的方程為，即，又直線AB過點(diǎn)，所以，同理，，又直線DE過點(diǎn)，所以，直線AE的方程為①，直線BD的方程為②，將直線AE的方程轉(zhuǎn)化為，即，和直線BD的方程，聯(lián)立得：．所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，即直線AE與BD的交點(diǎn)在定直線上．由于，故，且，同理，所以MN軌跡方程為，過點(diǎn)G作軸，交直線MN于點(diǎn)Q，

則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，，下證，即證，，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，則點(diǎn)G在x軸上方，點(diǎn)Q亦在x軸上方，有，由直線MN過定點(diǎn)，此時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，有點(diǎn)G在x軸下方，點(diǎn)Q亦在x軸下方，有，故此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故，【變式8-1】．（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）已知拋物線（）過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，若.(1)求的值以及拋物線的方程；(2)過點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】(1)的值為，拋物線的方程為(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線中的三角形或四邊形面積問題【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合拋物線的方程和定義列式求，即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而可求和面積，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，且點(diǎn)在拋物線（）上，則，即，聯(lián)立方程，解得，即，所以的值為，拋物線的方程為.（2）由（1）可知：，，拋物線的方程為，由題意可設(shè)：直線，，，且，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，，則，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，則面積，構(gòu)造函數(shù)，顯然在內(nèi)單調(diào)遞增，且，，可知在內(nèi)的值域?yàn)椋悦娣e的取值范圍為.【題型九】定點(diǎn)與定值問題【例9】．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為，求的值及直線CD所經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，定點(diǎn)為【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的直線過定點(diǎn)問題、橢圓中的定值問題、直線與二次曲線方程及性質(zhì)【分析】（1）依題意得，再由求得，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將橢圓向左平移一個(gè)單位得，進(jìn)而根據(jù)曲線系方程求解即可.【詳解】（1）由題意，得，解得，則，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）將橢圓向左平移一個(gè)單位得：，即：，設(shè)，，，故曲線系方程為：，則的系數(shù)：，常數(shù)項(xiàng)：，的系數(shù)：，的系數(shù)：，則，所以，即，此時(shí)直線，即，則直線CD的方程為，恒過定點(diǎn).

【變式9-1】．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.離心率為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P在第一象限且軸，求的角平分線所在直線的方程；(3)過右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為D（異于點(diǎn)B），直線交x軸于點(diǎn)E，記與的面積分別為，.求證：為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題【分析】(1)由題可得，解方程即可求解.(2)求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)的角平分線所在直線與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)角平分線性質(zhì)可知點(diǎn)到直線和的距離相等即可求解；(3)設(shè)直線的方程為：,,聯(lián)立,由韋達(dá)定理可得,由直線的方程為：,令，可得點(diǎn),由三角形面積公式即可證明.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為3，所以，解得：,則,所以橢圓C的方程為:,（2）由題可得，，因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限且軸，所以,解得：或(舍去)，則點(diǎn)所以，則直線的方程為：，即設(shè)的角平分線所在直線與軸的交點(diǎn)為，顯然則，解得:或(舍去)；所以,則，所以的角平分線所在直線的方程為，即,故的角平分線所在直線的方程為；（3）由題可得直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為：,,則,聯(lián)立,得,所以,,直線的方程為：,令，則,所以,即點(diǎn),則,,所以，則為定值【題型十】開放性與探索性問題【例10】．（25-26高二上·湖北·期中）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．(1)求的方程．(2)設(shè)為的右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，求面積的最大值．(3)若過點(diǎn)，斜率為（為定值且）的直線與交于點(diǎn)，直線上是否存在不同于點(diǎn)的點(diǎn)，使得平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）．若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)答案見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問題、橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）根據(jù)題意可知，結(jié)合離心率可得，即可得橢圓方程；（2）設(shè)平行于直線的直線的方程為，分析可知當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，直線與直線之間的距離有最大值，此時(shí)的面積最大，進(jìn)而運(yùn)算求解；（3）設(shè)，可得過的直線：，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積可得，代入整理可得，進(jìn)而分析求解.【詳解】（1）由題意得：，即，又因?yàn)椋獾茫詸E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知：，則，直線的斜率，則直線的方程為，設(shè)平行于直線的直線的方程為，則當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，直線與直線之間的距離有最大值，此時(shí)的面積最大，聯(lián)立方程，消去y得，則，解得：，當(dāng)時(shí)，直線與直線距離：，此時(shí)面積；當(dāng)時(shí)，直線與直線距離：，此時(shí)面積；所以面積的最大值為.（3）假設(shè)直線上存在點(diǎn)，使得平分，因?yàn)椋芍c(diǎn)在橢圓內(nèi)，則過的直線與橢圓必相交，過的直線：，設(shè)，，聯(lián)立方程，消去y可得，則，，若，則，設(shè)，則，，，可得，，則，即，整理得：，可得，整理可得，即，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q與D重合應(yīng)排除，點(diǎn)不存在；當(dāng)且時(shí)，則，，所以存在點(diǎn)，使得平分，此時(shí).【變式10-1】．（25-26高二上·廣東中山·月考）已知在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于兩點(diǎn)．①求的取值范圍；②已知點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①或；②存在，.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、軌跡問題——橢圓、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問題【分析】（1）利用已知條件可得出關(guān)于、的等式，化簡(jiǎn)可得出軌跡的方程；（2）①直線方程聯(lián)立橢圓方程消元，利用判別式求解可得；②利用直線表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合為平行四邊形求解可得.【詳解】（1）由題得：，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以，軌跡的方程為.（2）①設(shè)，，由，得，由直線與軌跡交于兩點(diǎn)，得，所以或.②存在點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，理由如下：因?yàn)樵跈E圓上，所以易知，設(shè)直線的方程為，令，得，同理，又由①知，所以，所以，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，若四邊形為平行四邊形，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)也為，由于，可得得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【題型一】容易直線的斜率不存在的情況致錯(cuò)【例1】．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)且不重合于軸的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，定值，【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問題、橢圓中的定值問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓與直線相切，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得，進(jìn)而得到，確定定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證成立，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓與直線相切，可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，且，，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，則，要使得為定值，則的值與無關(guān)，所以，解得，此時(shí)為定值，定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，則，，可得，綜上所述，在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值．【變式1-1】．（25-26高二上·寧夏銀川·月考）已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到其左焦點(diǎn)距離的最大值是最小值的3倍，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)A，B，證明：；(3)過點(diǎn)斜率為的直線，與橢圓相交于不同兩