5/5專題03圓錐曲線與方程【清單01】直線與橢圓方程直線與橢圓聯(lián)立，求解步驟：第一步：代入消元，聯(lián)立化簡：第二步：計算判別式；可直接利用結(jié)論：（范圍、最值問題）第三步：根與系數(shù)關(guān)系表達式；，第四步：利用，計算第五步：利用，計算第六步：利用，，計算弦中點第七步：利用,計算弦長和的面積進而計算原點到直線的距離第八步:利用,，計算第九步：利用,計算1、弦長問題（最常用公式，使用頻率最高）2、中點弦問題設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：3、圓錐曲線中的三角形的面積（1）、三角形面積問題直線方程：（2）、焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)【清單02】直線與雙曲線方程直線與雙曲線聯(lián)立，求解步驟：第一步：代入消元，聯(lián)立化簡：第二步：計算判別式可直接利用結(jié)論：（范圍、最值問題）第三步：根與系數(shù)關(guān)系表達式，第四步：利用，計算第五步：利用，計算第六步：利用，，計算弦中點第七步：利用,計算弦長和的面積進而計算原點到直線的距離，【清單03】直線與拋物線方程直線與拋物線聯(lián)立，求解步驟：第一步：代入消元，聯(lián)立化簡：第二步：根與系數(shù)關(guān)系表達式，第三步：一些小結(jié)論點在拋物線的準線上，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為結(jié)論1：的斜率為結(jié)論2：若的中點為，則結(jié)論3：結(jié)論4：過焦點結(jié)論5：【題型一】圓錐曲線的定義及軌跡方程【例1】．（25-26高二上·河北滄州·期中）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則該動圓圓心的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓【變式1-1】．（25-26高二上·四川成都·期中）如圖，已知圓，點，P為圓A上的動點，線段的垂直平分線與線段相交于點M

(1)過點B的直線m被圓A截得的弦長為，求直線m的方程；(2)求動點M的軌跡方程；(3)設(shè)（2）中曲線為C，直線l：與曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求的面積．

【變式1-2】．（25-26高二上·山東青島·期中）已知定點，，是圓上任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，線段的中垂線與直線相交于點，則點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．以上都不是【題型二】直線與橢圓的位置關(guān)系【例2】．（2025高二·全國·專題練習）已知橢圓的離心率為，上的點到其焦點的最大距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)為橢圓上兩點，且，求的最大值．【變式2-1】．（25-26高二上·貴州貴陽·期中）在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率，且短軸長為4.(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，求面積的最大值.

【題型三】直線與雙曲線的位置關(guān)系【例3】．（25-26高二上·重慶·期中）已知雙曲線的實軸長為2，點到雙曲線的漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的動直線交雙曲線于兩點，設(shè)線段的中點為，求點M的軌跡方程．【變式3-1】．（2025高三上·安徽合肥·專題練習）已知雙曲線：的離心率為，實軸長為4.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與的右支交于A，B兩點，O為坐標原點，若直線與y軸交于點P，且，求的面積

【題型四】直線與拋物線的位置關(guān)系【例4】．（25-26高二上·寧夏銀川·月考）已知直線l與橢圓交于兩點，的中點坐標為．(1)求l的方程；(2)若l與拋物線交于M，N兩點，求的面積（O為坐標原點）．【變式4-1】．（25-26高二上·重慶渝北·期中）已知為拋物線的焦點，為上的一點，且，過點的直線與交于兩點．(1)求拋物線的方程；(2)求的最大值．

【題型五】中點弦問題【例5】．（25-26高二上·陜西咸陽·期中）已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為.(1)求雙曲線的方程；(2)若過點的直線與雙曲線相交于兩點，且為線段的中點，求直線的方程.【變式5-1】．（25-26高二上·河北·期末）已知橢圓，過點的直線交橢圓于A，B兩點，且P為線段的中點，則直線的方程為（）A． B． C． D．【變式5-2】．（25-26高二上·江西·期中）若雙曲線的焦距為4，直線與交于兩點，且線段的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．2

【題型六】圓錐曲線中的三角形問題【例6】．（25-26高二上·四川成都·期中）圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓反射后會經(jīng)過另外一個焦點．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，從焦點發(fā)出的光線先后經(jīng)過橢圓上的A，B兩點（非長軸上頂點）反射后回到焦點；過點作的外角的角平分線的垂線l，l交直線于點M，則下列說法正確的是（

）A．面積的最大值為6 B．的最小值為C．M的軌跡方程為 D．的最小值為8【變式6-1】．（25-26高二上·山東青島·期中）吹奏樂器“塤”（如圖1）在古代通常是用陶土燒制的，一種塤的外輪廓的上部是半橢圓，下部是半圓.半橢圓（且為常數(shù)）和半圓組成的曲線如圖2所示，曲線交軸的負半軸于點A，交軸的正半軸于點，點是半圓上任意一點，當點的坐標為時，的面積最大，則半橢圓的方程是（

）A． B．C． D．【變式6-2】．（2025高三·全國·專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為為上關(guān)于原點對稱的兩點，且，的面積為，若為銳角，則（

）A．48 B．96 C．144 D．192

【題型七】求離心率的值或取值范圍【例7】．（25-26高二上·重慶渝北·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【變式7-1】．（25-26高二上·廣東深圳·期中）已知雙曲線的左右兩個焦點分別為、，過右焦點作直線，交右支于、兩點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式7-2】．（25-26高二上·重慶·期中）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段的中垂線過，記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是．【題型八】最值（或范圍）問題【例8】．（2025高二·全國·專題練習）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點．

(1)證明：直線MN過定點；(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點，求面積的最小值．

【變式8-1】．（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）已知拋物線（）過點，其焦點為，若.(1)求的值以及拋物線的方程；(2)過點斜率為的直線交拋物線于，兩點，求面積的取值范圍.【題型九】定點與定值問題【例9】．（2025高二·全國·專題練習）已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)，延長AR，BR分別與橢圓交于C、D兩點，直線CD的斜率為，求的值及直線CD所經(jīng)過的定點坐標．

【變式9-1】．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知橢圓：的左、右焦點分別為，.離心率為，點是橢圓上任意一點，且的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)若點P在第一象限且軸，求的角平分線所在直線的方程；(3)過右焦點的直線交橢圓C于A，B兩點，點A關(guān)于x軸對稱的點為D（異于點B），直線交x軸于點E，記與的面積分別為，.求證：為定值.【題型十】開放性與探索性問題【例10】．（25-26高二上·湖北·期中）已知橢圓過點，且離心率為．(1)求的方程．(2)設(shè)為的右頂點，為上一點，求面積的最大值．(3)若過點，斜率為（為定值且）的直線與交于點，直線上是否存在不同于點的點，使得平分？若存在，求出點的坐標（用含的式子表示）．若不存在，請說明理由．

【變式10-1】．（25-26高二上·廣東中山·月考）已知在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于兩點．①求的取值范圍；②已知點，直線與直線分別交于點，平面內(nèi)是否存在一定點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【題型一】容易直線的斜率不存在的情況致錯【例1】．（2025高二·全國·專題練習）已知橢圓的一個焦點與上、下頂點構(gòu)成直角三角形，以橢圓的長軸長為直徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)過橢圓右焦點且不重合于軸的動直線與橢圓相交于、兩點，探究在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，試求出定值和點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式1-1】．（25-26高二上·寧夏銀川·月考）已知橢圓上的動點到其左焦點距離的最大值是最小值的3倍，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)已知點，過點的直線與橢圓交于不同兩點A，B，證明：；(3)過點斜率為的直線，與橢圓相交于不同兩點E，F(xiàn)，設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為，求面積的最大值.

【題型二】容易圓錐曲線方程的限制條件致錯【例2】．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知平面直角坐標系中不同的三點，，，圓心在軸上的圓經(jīng)過三點，設(shè)點的坐標為，則點的軌跡方程為．【變式2-1】．（2025·廣東廣州·模擬預測）已知點是平面內(nèi)的一個動點，與直線垂直，垂足位于