2/24專題04排列組合的解題技巧題型1分類加法與分步乘法的綜合題型9正難則反間接法題型2數(shù)字的排列問題題型10相同元素隔板法（難點(diǎn)）題型3圖形的染色問題題型11完全平均分組問題題型4特殊元素/特殊位置優(yōu)先法（重點(diǎn)）題型12部分平均分組問題（重點(diǎn)）題型5相鄰問題捆綁法（重點(diǎn)）題型13先分組再分配問題（重點(diǎn)）題型6不相鄰問題插空法（重點(diǎn)）題型14圓桌排列問題題型7相鄰與不相鄰綜合（重點(diǎn)）題型15配套問題題型8定序問題倍縮法題型16多條件疊加綜合復(fù)雜題型（難點(diǎn)）題型一分類加法與分布乘法的綜合（共3小題）1．將五張標(biāo)有1，2，3，4，5的卡片擺成下圖，若逐一取走這些卡片時(shí)，每次取走的一張卡片與剩下的卡片中至多一張有公共邊，則把這樣的取卡順序稱為“和諧序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的順序是“和諧序”），現(xiàn)依次不放回地隨機(jī)抽取這5張卡片，則取卡順序是“和諧序”的概率為.123452．(25-26高三上·重慶第十一中學(xué)校教育集團(tuán)·)中國的四大名著是《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》這四部經(jīng)典文學(xué)作品．小明和他的兩位同學(xué)共3人計(jì)劃閱讀其中一部，每人選一部作品，則（

）A．3人選擇的作品均不同的方法總數(shù)為24B．恰有2人選同一部作品的方法總數(shù)為27C．恰有1人選《紅樓夢》的概率是27D．若小明已選擇讀《西游記》，其余兩位同學(xué)至少有一人選擇讀《西游記》的概率為73．4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動隊(duì)，則不同的報(bào)名方法種數(shù)是（

）A．12 B．24 C．64 D．81題型二數(shù)字的排列問題（共3小題）4．(25-26高三上·四川成都郫都區(qū)·)【多選】用數(shù)字0,1,2,3,4組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，下列說法正確的有（

）A．一共可以組成96個(gè)數(shù) B．一共可以組成120個(gè)數(shù)C．一共可以組成偶數(shù)60個(gè) D．一共可以組成72個(gè)大于2000的數(shù)5．(24-25高二下·湖北孝感高級中學(xué)·)用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．(1)比20000大的五位偶數(shù)共有多少個(gè)；(2)從小到大排列所有的五位數(shù)，問35214是第幾位？(3)能被6整除的五位數(shù)有多少個(gè)．6．將1，2，3，4，5，6，7這7個(gè)數(shù)字排成一排，則相鄰數(shù)字互質(zhì)的排法有（

）．A．576種 B．720種 C．864種 D．900種題型三圖形的染色問題（共3小題）7．(25-26高二上·黑龍江哈爾濱第一二二中學(xué)校·月考)如圖所示，現(xiàn)要給固定位置的四棱錐P?ABCD的五個(gè)面涂上顏色，要求相鄰的面涂不同的顏色，可供選擇的顏色共有5種，則不同的涂色方案共有（

）

A．360 B．420 C．480 D．6608．(24-25高二下·湖南衡陽·期末)某社區(qū)廣場有一個(gè)如圖所示的花壇，花壇有1，2，3，4四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種植同一種花卉，中間圓圈區(qū)域不種植花卉.若從所有種植方案中任意選一種，則這種方案中花壇區(qū)域1和區(qū)域3種植的是同一種花卉的概率為（

）A．413 B．521 C．5139．(24-25高二下·江蘇南京雨花臺中學(xué)·期中)用n種不同的顏色為下面的廣告牌圖則，要求在①②③④這四個(gè)區(qū)域中相鄰的區(qū)域（有公共邊界）涂不同的顏色，若涂色共有840種不同的方法，則n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8題型四特殊元素/特殊位置優(yōu)先法（共3小題）10．（廣西柳州市2026屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之間恰好有2人，且甲不在兩端，則不同排法共有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種11．(25-26高三上·上海中學(xué)東校·)將a,b,c,d,e,f排成一列，a不在首位且b不在末位的不同排法共有種.12．(25-26高三上·遼寧大連部分高中學(xué)?！?某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生依次參加接力跑的4×100m接力比賽，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，則可能的安排排列順序有（

A．8種 B．14種 C．18種 D．24種題型五相鄰問題捆綁法（共3小題）13．(25-26高二上·陜西渭南瑞泉中學(xué)·期中)有4名護(hù)士和2名醫(yī)生站在一排，兩名醫(yī)生相鄰，則不同的排法總數(shù)為．14．(25-26高三上·云南曲靖會澤縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校·期中)若甲?乙?丙?丁?戊隨機(jī)站成一排，則甲?乙相鄰的種數(shù)為（

）A．48 B．60 C．72 D．9015．(25-26高三上·江蘇鎮(zhèn)江·)某數(shù)學(xué)興趣小組的6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩名同學(xué)必須彼此相鄰，丙不在隊(duì)伍兩頭的安排方式共有（用數(shù)字作答）種.題型六不相鄰問題插空法（共3小題）16．(25-26高二上·上海宜川中學(xué)·期中)5人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是．17．(25-26高三上·廣東佛山順德區(qū)北滘鎮(zhèn)莘村中學(xué)·月考)現(xiàn)將2本不同的數(shù)學(xué)書、3本不同的物理書、1本化學(xué)書放在一個(gè)單層的書架上，且同類的書各不相鄰，則不同的放法有（

）A．120種 B．144種 C．96種 D．160種18．（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2026屆高三10月一診數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)有3名男生和3名女生要與班主任站成一排合影，班主任站中間，則3名女生有且僅有2名相鄰的站法總數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)字作答）.題型七相鄰與不相鄰綜合（共3小題）19．(25-26高三上·貴州部分學(xué)校·)中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動，每“藝”安排一次講座，共開展六次．講座次序要求“射”和“御”必須相鄰，“禮”和“書”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有種．20．(25-26高三上·重慶兼善中學(xué)·月考)6名同學(xué)排成一排，已知甲與乙不相鄰，則丙與丁必須相鄰的概率是．21．(25-26高一上·北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)·期中)某學(xué)校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個(gè)班各有2名同學(xué)獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學(xué)相鄰，且乙班的2名同學(xué)不相鄰的站法種數(shù)共有種.（用數(shù)字作答）題型八定序問題倍縮法（共3小題）22．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)育才學(xué)校校慶要編制一張演出節(jié)目單，5個(gè)舞蹈節(jié)目已排定順序，要再插入4個(gè)歌唱節(jié)目，則共有種插入方法（用數(shù)字作答）.23．7名同學(xué)站成一排，甲身高最高，排在中間，其他6名同學(xué)身高均不相等，甲的左邊和右邊均由高到低排列，共有種排法．24．5人參加百米賽跑，若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況，則甲比乙先到有種情況.題型九正難則反間接法（共3小題）25．(25-26高一上·上海向明中學(xué)·期中)某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)任選2名代表，則至少有一位女生當(dāng)選的選法有種．26．(25-26高三上·內(nèi)蒙古部分學(xué)?！?某公司的一個(gè)部門有6名男員工和4名女員工，從該部門選3人組成一個(gè)項(xiàng)目組，要求該項(xiàng)目組男、女員工都有，則不同的選法種數(shù)為（

）A．84 B．90 C．96 D．10027．(24-25高二下·新疆烏魯木齊第101中學(xué)·期末)已知某車庫有一類車庫a,b,c,d四個(gè)，二類車庫e,f兩個(gè)，（1）若從這6個(gè)庫中挑3個(gè)不同的庫，至少有1個(gè)二類庫的概率是；（2）若這6個(gè)車庫每個(gè)庫至多可停2部車，現(xiàn)有4輛車需同時(shí)停在庫中，有種不同停車方案（用數(shù)字作答）.題型十相同元素隔板法（共3小題）28．10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級，每個(gè)班級至少一個(gè)名額，有（

）種不同分配方案．A．9 B．36C．84 D．12029．不定方程x1+x2+30．（1）某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成的籃球隊(duì)，這12人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少1人，名額分配方案共有種.（2）某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成的籃球隊(duì)，這12人由8個(gè)班的學(xué)生組成，名額分配方案共有種.題型十一完全平均分組問題（共3小題）31．（廣東省部分學(xué)校2026屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某戶外探險(xiǎn)俱樂部組織10名成員（6名男性，4名女性）前往某無人島進(jìn)行野外生存挑戰(zhàn)．為了便于管理和保障安全，需將這10人平均分成兩組（不區(qū)分兩組的順序），且4名女性不能在同一組，則不同的分組方法共有（

）A．60種 B．120種 C．180種 D．720種32．現(xiàn)有登山運(yùn)動員10人，要平均分為兩組，其中熟悉道路的有4人，每組都需分配到2人，那么不同的分組方法有種.33．（湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣第二中學(xué)2025屆高三下學(xué)期高考押題卷數(shù)學(xué)試題）將6個(gè)不同的球分給3個(gè)不同的盒子（每個(gè)盒子至少有一個(gè)球），則不同的分配方法的種數(shù)為．題型十二部分平均分組問題（共3小題）34．(25-26高三上·重慶巴蜀中學(xué)?！ぴ驴?某班5名學(xué)生負(fù)責(zé)校內(nèi)3個(gè)不同地段的衛(wèi)生工作.每名學(xué)生都要參與且只負(fù)責(zé)某個(gè)地段的衛(wèi)生工作，每個(gè)地段至少有1名學(xué)生的分配方案共有（

）A．300種 B．90種 C．240種 D．150種35．（2025屆新高考數(shù)學(xué)原創(chuàng)卷（5））2025年1月7日9時(shí)5分，西藏自治區(qū)日喀則市定日縣發(fā)生6.8級地震．現(xiàn)從各省共抽派7支搶險(xiǎn)工作隊(duì)前往5個(gè)災(zāi)區(qū)縣救援，要求每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì)的方法種數(shù)共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．2520036．(24-25高二下·陜西咸陽永壽縣中學(xué)·期末)六本不相同的書發(fā)給4個(gè)人，每人至少一本，且書全部分完，則所有不同的分配方法種數(shù)為.題型十三先分組再分配問題（共3小題）37．(24-25高二下·新疆烏魯木齊第101中學(xué)·期末)某醫(yī)院派6名醫(yī)生到3個(gè)社區(qū)進(jìn)行義診，每個(gè)社區(qū)至少一名醫(yī)生，其中甲乙兩人必須在一起，則不同的方案有（

）種A．150 B．180 C．360 D．54038．(24-25高二下·江蘇啟東中學(xué)·月考)某市為了實(shí)施教育振興計(jì)劃，依托本市一些優(yōu)質(zhì)教育資源，每年都對本市所有在高校就讀的定向師范生實(shí)施教育教學(xué)技能培訓(xùn)，以提高定向師范生的畢業(yè)質(zhì)量.現(xiàn)有5名即將畢業(yè)的定向師范生擬分配到3所學(xué)校進(jìn)行跟崗培訓(xùn)，每名師范生只能跟崗1所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配1名師范生，則不同的跟崗分配方案共有（）A．90種 B．150種 C．300種 D．360種39．(24-25高二下·貴州貴陽清鎮(zhèn)博雅實(shí)驗(yàn)學(xué)?！て谀?4月15日，人工智能模型OpenAI推出參數(shù)規(guī)模達(dá)10萬億級的GPT-5，支持20萬字長文本理解，推理速度較GPT-4提升3倍．小明等5位同學(xué)組成人工智能調(diào)研小組，準(zhǔn)備對OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和騰訊元寶等4種人工智能模型展開學(xué)習(xí)研究，每位同學(xué)只調(diào)研一種模型，每個(gè)模型至少由一位同學(xué)調(diào)研，則不同的總方案數(shù)為（

）A．180 B．240 C．288 D．360題型十四圓桌排列問題（共3小題）40．（遼寧省部分示范性高中2025屆高三下學(xué)期4月模擬聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知甲、乙、丙以及其他9個(gè)人圍坐在圓桌旁，則甲和乙之間相隔的人數(shù)不超過3個(gè)人且甲和丙之間相隔的人數(shù)不超過2個(gè)人的概率是.41．（2025屆高三數(shù)學(xué)信息檢測原創(chuàng)卷（二））現(xiàn)有9位同學(xué)圍著圓桌坐成一圈，他們的衣服上分別標(biāo)有號碼1，2，3，…，9，若任意相鄰兩個(gè)號碼之積不小于4，則不同的坐法有種．42．(24-25高二下·湖北云學(xué)部分重點(diǎn)高中·月考)某學(xué)校圖書室內(nèi)，有10位同學(xué)圍著一張圓桌坐成一圈，共有多少種不同的坐法（

）A．A1010 B．A99 C．題型十五配套問題（共2小題）43．（山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)校2024屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）某人家的抽屜里有4雙不同花色的襪子，從中隨機(jī)任取3只，則這3只襪子中恰有2只花色相同的概率為（

）A．37 B．38 C．2744．（廣東省江門市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（

）A．25 B．45 C．815題型十六多條件疊加綜合復(fù)雜題型（共3小題）45．(25-26高三上·福建福州臺江區(qū)九?！て谥?來自國外的博主A，B，C三人決定來中國旅游，計(jì)劃打卡北京故宮、西安兵馬俑等5個(gè)著名景點(diǎn)．他們約定每人至少選擇1個(gè)景點(diǎn)打卡，每個(gè)景點(diǎn)都有且僅有一人打卡，其中A在北京故宮、西安兵馬俑中至少選擇1個(gè)，則不同的打卡方案種數(shù)為．46．(24-25高二下·廣東深圳大學(xué)附屬中學(xué)·期末)