1/3專題04排列組合二項式定理（期末復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律1：兩大計數(shù)原理（排列組合基礎核心）1.能通過關鍵詞（“或”“且”）快速判斷計數(shù)場景適用的原理；2.熟練應用兩大原理解決無復雜限制的基礎計數(shù)問題（如“選課程、分任務”）；3.建立“先判斷原理，再列式計算”的解題習慣，杜絕重復或遺漏計數(shù).1.題型：以選擇題、填空題為主（占該考點考查頻次的90%以上）；2.難度：基礎題（占比80%），極少涉及難題；3.命題特點：常結合生活場景（如選課、購票、分配任務），直接考查原理應用，不與其他模型復雜結合.2：排列與組合的定義及計算（排列組合核心工具）1.牢記排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)性質，無需推導直接快速計算；2.能根據(jù)“是否有序”準確判斷用排列或組合列式；3.熟練運用組合數(shù)性質化簡計算（如），提升解題效率.1.題型：選擇題、填空題為主（占比70%），部分解答題第一問涉及（占比30%）；2.難度：基礎題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點：直接考查公式計算（如“計算的值”）或性質化簡（如“化簡求k”），極少設置復雜背景.3：常見計數(shù)模型（排列組合高頻應用題）1.能通過題干關鍵詞（“相鄰”“不相鄰”“平均分配”“甲不站XX位”）快速識別對應模型；2.掌握各模型解題步驟（如捆綁法“先捆后排”、插空法“先排無限制再插空”），能獨立列式求解；3.突破均勻分組重復計算的易錯點（記住“均勻分組需除以組數(shù)階乘”）.1.題型：選擇題、填空題（占比50%），解答題（占比50%）；2.難度：中檔題（占比80%），少量基礎題（20%）；3.命題特點：常結合排隊、分配任務、選代表等場景，單個模型考查（如純捆綁問題）或兩個模型簡單綜合（如“部分人相鄰+部分人不相鄰”），不涉及三個及以上模型疊加.4：排列組合綜合應用（排列組合能力提升）1.能解決“先選后排”的混合計算問題（如“從6人中選4人排成一列，有多少種排法”）；2.掌握“排列組合求基本事件數(shù)，再算概率”的解題邏輯；3.能處理含1-2個簡單限制條件的綜合題（如“選3人排成一排，甲不站末位，求排法數(shù)”）.1.題型：解答題為主（占比70%），少量填空題（30%）；2.難度：中檔題（占比90%），極少難題（10%）；3.命題特點：部分地區(qū)期末考查，常以“概率背景”呈現(xiàn)（如“從5件正品2件次品中選2件，求恰好1件次品的概率”），核心是排列組合計算基本事件數(shù).5：二項式定理的展開式（二項式基礎核心）1.熟練默寫二項式展開式核心公式及通項公式；2.明確通項公式中“k的含義”（從0開始），避免“第m項”與“k值”的對應錯誤（如第3項對應k=2）；3.能根據(jù)通項公式快速寫出任意指定項的表達式.1.題型：選擇題、填空題為主（占比80%）；2.難度：基礎題（占比70%）、中檔題（30%）；3.命題特點：直接考查通項公式書寫（如“寫出的第2項”）或展開式前3項展開（如“展開的前3項”），下標對應是高頻易錯點考查.6：二項式系數(shù)與項的系數(shù)（二項式高頻區(qū)分點）1.能通過定義快速區(qū)分“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”（如中，第2項的二項式系數(shù)是，項的系數(shù)是）；2.牢記二項式系數(shù)之和的結論，能直接應用計算；3.避免“二項式系數(shù)之和”與“項的系數(shù)之和”的混淆.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：基礎題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點：高頻考查“區(qū)分與計算”（如“求中第3項的二項式系數(shù)和項的系數(shù)”），二項式系數(shù)之和常結合賦值法間接考查.7：特定項求解（二項式期末必考題）1.掌握“通項公式+指數(shù)方程”的解題邏輯（如求常數(shù)項：令通項中x的指數(shù)=0，解k值，再計算系數(shù)）；2.能快速求解常數(shù)項、指定次數(shù)項的系數(shù)，準確判斷有理項的個數(shù)；3.熟練處理含分式、根式的二項式特定項問題（如求有理項）.1.題型：選擇題、填空題（占比60%），解答題（占比40%）；2.難度：中檔題（占比90%）；3.命題特點：期末必考題，背景簡潔（多為、形式），核心是通項公式的應用，計算量不大但需細心.8：賦值法的應用（二項式系數(shù)和核心方法）1.掌握賦值法的核心邏輯（通過代入特殊值簡化展開式，快速求系數(shù)和）；2.能根據(jù)所求“系數(shù)和類型”選擇對應賦值（如求全項系數(shù)和用）；3.能解決含負號、系數(shù)的二項式系數(shù)和問題（如的所有項系數(shù)和）.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：中檔題（占比80%）；3.命題特點：高頻考點，常直接設問（如“求的所有項系數(shù)和”），偶爾結合二項式系數(shù)和綜合考查（如“求的奇數(shù)項系數(shù)和”）.知識點1：兩大計數(shù)原理（排列組合基礎核心）基礎知識：解決計數(shù)問題的根本方法，區(qū)分“獨立選擇”與“連續(xù)操作”場景.核心概念：1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事有類互斥方案，每類有種方法，總方法數(shù)為各類方法數(shù)之和（“或”關系，互斥無重疊）；2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需個關聯(lián)步驟，每步有種方法，總方法數(shù)為各步方法數(shù)之積（“且”關系，步驟連貫）.核心公式：分類加法：分步乘法：易錯點：1.混淆“分類”與“分步”（關鍵詞“或”→分類，“且”→分步）；2.分類時出現(xiàn)重疊（如“選男生或班干部”，男生與班干部有交集）；3.分步時遺漏關鍵步驟（如“從到再到”，忽略某段路線的選擇）.常考結論：1.若問題既有分類又有分步，先分類再對每類分步計算；2.互斥場景必用分類加法，連續(xù)操作必用分步乘法.知識點2：排列與組合的定義及計算（排列組合核心工具）基礎知識：從個不同元素中選取個元素的兩種基本形式，核心區(qū)別“有序與否”.核心概念：1.排列：從個不同元素中選個（），按一定順序排成一列（有序，如“排隊”“排序”）；2.組合：從個不同元素中選個（），不考慮順序組成一組（無序，如“選代表”“選物品”）.核心公式：排列數(shù)：（規(guī)定）組合數(shù)：組合數(shù)性質：①對稱性：；②遞推性：；③特殊值：，，。易錯點：1.未判斷“有序/無序”直接套用公式（如“選3人排成一排”是排列，“選3人參加活動”是組合）；2.組合數(shù)性質應用錯誤（如誤將算成）；3.階乘計算失誤（如，而非）.?？冀Y論：1.（排列=組合×排序）；2.當時，用簡化計算（如）；3.（組合數(shù)之和，后續(xù)二項式定理會深化）.知識點3：常見計數(shù)模型（排列組合高頻應用題）基礎知識：針對特定場景（相鄰、不相鄰、分組等）的標準化解題模板.核心概念：1.捆綁法：解決“相鄰問題”，將相鄰元素視為一個整體參與排列；2.插空法：解決“不相鄰問題”，先排無限制元素，再在間隙中插入受限元素；3.分組分配：將個元素分成若干組（均勻/非均勻），再分配到對應位置；4.特殊元素/位置優(yōu)先：優(yōu)先安排有約束條件的元素（如“甲不站首位”）或位置.核心公式/步驟：捆綁法：①捆（相鄰元素內部排列：）；②排（整體與其他元素排列：）；總方法數(shù)：；插空法：①排無限制元素（）；②插空（個元素形成個間隙，選個插入：）；總方法數(shù)：；分組分配：①非均勻分組（各組元素數(shù)不同）：直接分（）；②均勻分組（部分組元素數(shù)相同）：分后除重（，為均勻組數(shù)）；③分配到位置：分組后×全排列（，為位置數(shù)）.易錯點：1.捆綁法忘記計算相鄰元素內部的排列（如“3人相鄰排隊”，僅算整體排列，忽略3人內部順序）；2.插空法先排相鄰元素（導致間隙數(shù)計算錯誤）；3.均勻分組未除重（如“6人平均分成3組”，誤算為，正確應為）；4.特殊元素優(yōu)先時，遺漏其他約束條件（如“甲不站首位，乙不站末位”，僅排除甲站首位，未考慮甲站末位時乙的限制）.?？冀Y論：1.相鄰問題必用捆綁法，不相鄰問題必用插空法（兩者不可混淆）；2.分組問題先判斷“均勻與否”，再決定是否除重；3.多約束條件（如“甲不站首、乙不站末”）優(yōu)先用“直接法”或“間接法”（總排法?不符合條件排法）.知識點4：排列組合綜合應用（排列組合能力提升）基礎知識：融合排列、組合及概率的復合型問題，核心是“計數(shù)為基礎，應用為目標”.核心概念：1.先選后排：先通過組合選取元素，再通過排列安排順序（如“選3人排成一排”）；2.計數(shù)求概率：用排列組合計算基本事件總數(shù)及目標事件數(shù)，再套用概率公式.核心公式：先選后排：；概率計算：（超幾何分布模型，如“從件產品中選件，含件次品”）.易錯點：1.先排后選導致重復計數(shù)（如“選2人排前后位”，誤算為，實際直接用即可）；2.概率計算時混淆“有序”與“無序”（基本事件總數(shù)與目標事件數(shù)需保持一致，均有序或均無序）；3.忽略“不放回”與“放回”的區(qū)別（如“摸球問題”，不放回用排列/組合，放回用分步乘法）.?？冀Y論：1.“先選后排”是排列組合混合問題的核心思路；2.與概率結合時，優(yōu)先明確“基本事件是否有序”，再計算總數(shù)與目標數(shù)；3.常見場景（選產品、選代表、摸球）多為“不放回”模型，需用組合數(shù)計算.知識點5：二項式定理的展開式（二項式基礎核心）基礎知識：的代數(shù)展開規(guī)律，是二項式相關問題的核心依據(jù).核心概念：1.二項式定理：（），右側為展開式，共項；2.通項公式：第項（從0開始計數(shù)），是求解特定項的關鍵工具.核心公式：展開式：；通項公式：（）。易錯點：1.通項公式下標錯誤（誤將第項當作，正確應為）；2.忽略的取值范圍（必須滿足，否則二項式系數(shù)為0）；3.展開式項數(shù)錯誤（誤將的展開式項數(shù)記為項，實際為項）.?？冀Y論：1.通項公式是解決二項式特定項問題的唯一核心工具，必須牢記；2.展開式中各項的的次數(shù)從遞減到0，的次數(shù)從0遞增到，各項次數(shù)和均為；3.當或為負數(shù)時，展開式中奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負（如的展開式第項符號為）.知識點6：二項式系數(shù)與項的系數(shù)（二項式高頻區(qū)分點）基礎知識：二項式展開式中兩類系數(shù)的明確區(qū)分，是期末高頻考查的基礎知識點.核心概念：1.二項式系數(shù)：僅指展開式中各項的（與a、b的系數(shù)無關，僅由n、k決定）；2.項的系數(shù)：該項中未知數(shù)前的數(shù)字因數(shù)（二項式系數(shù)與a、b本身系數(shù)的乘積，如中第項的系數(shù)為）.核心公式/結論：二項式系數(shù)之和：（令）；奇數(shù)項二項式系數(shù)之和=偶數(shù)項二項式系數(shù)之和：（令）；項的系數(shù)之和：令（若a、b含系數(shù)，需代入對應值，如的項的系數(shù)之和為）.易錯點：1.混淆二項式系數(shù)與項的系數(shù)（如中第3項的二項式系數(shù)是，項的系數(shù)是）；2.求項的系數(shù)之和時，未代入a、b的實際系數(shù)（如誤算為，正確應為）；3.認為“二項式系數(shù)之和=項的系數(shù)之和”（僅當時成立，若a、b含系數(shù)則不成立）.?？冀Y論：1.二項式系數(shù)僅與“項的位置”有關，項的系數(shù)與“a、b的系數(shù)+項的位置”都有關；2.求各類系數(shù)和必用賦值法，關鍵是根據(jù)所求目標選擇合適的賦值（1或-1）；3.二項式系數(shù)的最大值：當為偶數(shù)時，中間項（第項）的二項式系數(shù)最大；當為奇數(shù)時，中間兩項（第項和第項）的二項式系數(shù)相等且最大.知識點7：特定項求解（二項式期末必考題）基礎知識：利用二項式通項公式，根據(jù)目標項的特征（常數(shù)、指定次數(shù)等）求解，是二項式定理的核心應用.核心概念：1.常數(shù)項：展開式中不含未知數(shù)的項（未知數(shù)的指數(shù)為0）；2.指定次數(shù)項：未知數(shù)的指數(shù)為特定值的項（如項、項）；3.有理項：未知數(shù)的指數(shù)為整數(shù)的項（含常數(shù)項）；無理項：未知數(shù)的指數(shù)為非整數(shù)的項.核心公式/步驟：1.寫出通項公式：；2.化簡通項中未知數(shù)的指數(shù)：設、（含系數(shù)需保留），則未知數(shù)指數(shù)為；3.根據(jù)目標項特征列方程.常數(shù)項：，解出整數(shù)（）；指定次數(shù)項：（為目標次數(shù)），解出整數(shù)；有理項：，找出所有滿足條件的整數(shù)；4.代入值計算目標項的系數(shù)或具體項.易錯點：1.化簡未知數(shù)指數(shù)時出錯（如中，，誤寫為）；2.解方程后未驗證是否為整數(shù)或是否在范圍內（如時，解出需舍去）；3.計算項的系數(shù)時遺漏a、b的系數(shù)（如中，常數(shù)項系數(shù)誤算為，忽略）.?？冀Y論：1.特定項求解的核心是“通項公式+指數(shù)方程”，步驟固定，需熟練掌握；2.含分式、根式的二項式（如、），先統(tǒng)一未知數(shù)的指數(shù)形式（化為負指數(shù)或分數(shù)指數(shù)）再列方程；3.常數(shù)項存在的條件：指數(shù)方程有整數(shù)解，且（如，指數(shù)方程，即，需是3的倍數(shù)）.知識點8：賦值法的應用（二項式系數(shù)和核心方法）基礎知識：通過代入特殊值（如1、-1、0）簡化二項式展開式，快速求解各類系數(shù)和，是期末高頻技巧.核心概念：1.全項系數(shù)和：展開式中所有項的系數(shù)之和（含常數(shù)項）；2.奇數(shù)項/偶數(shù)項系數(shù)和：展開式中奇數(shù)位置項（第1、3、5…項）或偶數(shù)位置項（第2、4、6…項）的系數(shù)之和；3.特定字母系數(shù)和：僅含某一字母的項的系數(shù)之和（如中含的項的系數(shù)之和）.核心公式/賦值方式： 所求目標賦值方式計算結果全項系數(shù)和令（a、b含系數(shù)需代入）如：奇數(shù)項系數(shù)和-偶數(shù)項系數(shù)和令如：奇數(shù)項系數(shù)和（全項系數(shù)和+上述結果）÷2如：偶數(shù)項系數(shù)和（全項系數(shù)和-上述結果）÷2如：常數(shù)項令未知數(shù)=0（如）如：易錯點：1.賦值時忽略a、b本身的系數(shù)（如求全項系數(shù)和，誤令得，正確）；2.混淆“奇數(shù)項系數(shù)和”與“奇數(shù)項二項式系數(shù)和”（前者需考慮a、b系數(shù)，后者僅為）；3.求含負號的二項式系數(shù)和時，符號錯誤（如令，誤算為，正確為）.?？冀Y論：1.賦值法的本質是“特殊值代入法”，核心是利用、交替變號的性質簡化計算；2.若二項式含多個字母（如），可固定一個字母，對其他字母賦值（如求含的項的系數(shù)之和，令，轉化為中的系數(shù)）；3.常數(shù)項可通過“賦值法”或“特定項求解”兩種方式驗證，期末常考兩種方法的交叉應用.知識點9：楊輝三角（二項式系數(shù)的直觀表示）基礎知識：二項式系數(shù)的幾何排列形式，直觀反映組合數(shù)的遞推關系，是銜接組合數(shù)與二項式定理的橋梁.核心概念：1.行數(shù)定義：第行（從0開始計數(shù)）對應的二項式系數(shù)（如第0行對應，系數(shù)為；第1行對應，系數(shù)為）；2.遞推特征：從第2行起，每個數(shù)字等于上方兩個相鄰數(shù)字之和（對應組合數(shù)性質）；3.對稱特征：每行數(shù)字左右對稱（對應組合數(shù)對稱性）.核心特征：1.第行共有個數(shù)字；2.第行所有數(shù)字之和為（對應二項式系數(shù)之和）；3.第行數(shù)字的最大值：當為偶數(shù)時，中間1個數(shù)字最大；當為奇數(shù)時，中間2個數(shù)字相等且最大.易錯點：1.行數(shù)與二項式次數(shù)對應錯誤（誤將第3行當作的系數(shù)，實際第行對應）；2.遞推關系應用錯誤（如第行第個數(shù)字，誤寫為，順序顛倒）；3.忽略“行數(shù)從0開始”的規(guī)則（如求的系數(shù)，需查第5行，而非第6行）.?？冀Y論：1.楊輝三角可快速查找低次二項式的系數(shù)（如的系數(shù)直接查第4行：）；2.利用遞推性可快速計算組合數(shù)（如，對應楊輝三角第6行第4個數(shù)字）；3.期末僅考查基礎應用（查找系數(shù)、驗證組合數(shù)性質），不涉及復雜的楊輝三角規(guī)律（如質數(shù)行、斐波那契數(shù)列關聯(lián)等）.題型一分類計數(shù)問題（“或”關系，互斥場景）解｜題｜技｜巧典型例題：從3名男生和2名女生中選1人參加活動，有多少種選法？答題模板：1.識別特征：問題含“或”“要么…要么…”，類別互斥無重疊；2.劃分類別：按統(tǒng)一標準分類（如“男生”“女生”兩類）；3.計算每類方法數(shù)：第1類，第2類，…，第類；4.求和得總方法數(shù)：.套用示例：男生3種+女生2種=5種.【典例1】（25-26高二上·上?！て谥校⒏魑粩?shù)字之和為的三位數(shù)叫“幸運數(shù)”，比如，，則所有“幸運數(shù)”的個數(shù)為．【答案】【分析】應用分類加法原理計算得出幸運數(shù)的個數(shù)即可.【詳解】當百位數(shù)字是，其他數(shù)字是，此時幸運數(shù)有個；當百位數(shù)字是，其他數(shù)字是和，此時幸運數(shù)有個；當百位數(shù)字是，其他數(shù)字是和或者是和，此時幸運數(shù)有個；當百位數(shù)字是，其他數(shù)字是和或者是和，此時幸運數(shù)有個；當百位數(shù)字是，其他數(shù)字是和或者是和或者是和，此時幸運數(shù)有個；當百位數(shù)字是，其他數(shù)字是和或者是和或者是和，此時幸運數(shù)有個；所以幸運數(shù)的個數(shù)為.故答案為：.【典例2】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片?2部文藝片?3部喜劇片，小華從中任選1部電影觀看，則不同的選法種數(shù)有（

）A．18 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】由分類加法計數(shù)原理，得不同的選法種數(shù)為.故選：C【變式1】（24-25高二下·青海西寧·期末）在全球高鐵技術競爭中，中國站到了前沿.全國政協(xié)委員、中國鐵道科學研究院集團有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗，預計將在一年后投入商業(yè)運營.小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務座5張，則小張的購票方案種數(shù)為（

）A．14 B．19 C．90 D．200【答案】B【分析】由分類加法計數(shù)原理運算即可.【詳解】按照分類加法計數(shù)原理可得小張的購票方案種數(shù)為.故選：B.【變式2】（2025高三·全國·專題練習）若從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，則取出的這三個數(shù)字之和能被3整除的種數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．32【答案】C【分析】將數(shù)分為三組，即可根據(jù)整除的性質求解.【詳解】被3除余1的數(shù)有，被3除余2的數(shù)有2，5，8，被3整除的數(shù)有3，6，9，若要使選取的三個數(shù)字的和能被3整除，則需要從每一組中選取一個數(shù)字，或者從一組中選取三個數(shù)字，則取出的這三個數(shù)字的和能被3整除的種數(shù)種．故選：C【變式3】（2025高二·全國·專題練習）中國古代十進制的算籌計數(shù)法是數(shù)學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌由一根根同樣長短的小木棍構成，如圖所示是利用算籌表示的一種方法.例如：可表示為“”，可表示為“”.按照這種表示方法，根算籌可以表示多少個三位數(shù)？（算籌不能剩余且三位數(shù)中不含）【答案】個【分析】根據(jù)個數(shù)位上的算籌根數(shù)有，，三種情況進行分類，結合分步乘法及分類加法計數(shù)原理進行計算.【詳解】個數(shù)位上的算籌根數(shù)有，，三種情況.（1）：根算籌可以表示“”或“”，故三位數(shù)可由，，或，，組成，有個.（2）：根算籌可以表示“”或“”，根算籌可以表示“”或“”，故能表示個三位數(shù).（3）：根算籌可以表示“”或“”，故能表示個三位數(shù).因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共能表示個三位數(shù).題型二分步計數(shù)問題（“且”關系，連續(xù)操作）答｜題｜模｜板典型例題：從地到地有2條路，從地到地有3條路，從到有多少種走法？答題模板：1.識別特征：問題含“且”“先…再…”，步驟連貫缺一不可；2.拆解步驟：按操作順序分步（如“”“”兩步）；3.計算每步方法數(shù)：第1步，第2步，…，第步；4.求積得總方法數(shù)：.套用示例：種.【典例1】（25-26高三上·江蘇南京·開學考試）書架上有6本不同的書，再往書架放另外3本不同的書，要求不改變原來書架上6本書的左右順序，則不同的放法有（

）種.A．504 B．84 C．1008 D．168【答案】A【分析】定序問題，由分步乘法計數(shù)原理可得.【詳解】將新買的本書逐一放進去，對第一本書，本書形成個空當，在個空當里面選一個有種選法；對第二本書，本書形成個空當，在個空當里面選一個有種選法；最后一本書，本書形成個空當，在個空當里面選一個有種選法；由分步乘法計數(shù)原理可得，共有(種).故選：A【典例2】（2025高二·全國·專題練習）現(xiàn)有3名醫(yī)生，5名護士，2名麻醉師.從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫(yī)療小組，有多少種不同的選法？【答案】30【分析】分步計數(shù)，分別計算出第一步選醫(yī)生、第二步選護士、第三步選麻醉師的選派方法數(shù)，然后相乘即可.【詳解】第一步，選出1名醫(yī)生有3種選派方法；第二步，選1名護士有5種選派方法；第三步，選1名麻醉師有2種選派方法.由分步計數(shù)可知，總的選派方法有種.【變式1】（2025高二·全國·專題練習）甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，先將賀卡集中起來，然后每人從中拿一張別人寫的賀卡，則不同的分配方式有（

）種.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先原則，結合分步乘法計數(shù)原理可得解.【詳解】（1）甲先拿，有種拿法；（2）再讓寫那張被甲拿到的卡片的人去拿，有種拿法；（3）剩余兩人只有種拿法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有種拿法，故選：A.【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）把3名學生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐，3人均可分到相同或不同車間，共有多少種不同的分配方案？【答案】125【分析】由分步乘法計算原理即可求解.【詳解】把3名學生分配到5個車間中，可分3個步驟完成，每一步分配1名學生，分別有5種不同的方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有（種）不同的分配方案．【變式3】（2025高二·全國·專題練習）8名學生爭奪4項冠軍，獲得冠軍的可能情況有（

）種．A． B． C． D．【答案】A【分析】一個項目的冠軍的情況有8種，由分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】因為每一名學生都可以同時奪得4個項目的冠軍，故一個項目的冠軍的情況有8種，所以分步乘法計數(shù)原理可知，冠軍的可能情況有種.故選：A．題型三分類與分步結合問題答｜題｜模｜板典型例題：從3名男生和2名女生中選1名男生和1名女生參加活動，有多少種選法？答題模板：1.先分類：按其中一類元素劃分（如“選男生”“選女生”兩類）；2.再分步：每類內部按連續(xù)操作拆解（如“選1名男生”為第1步，“選1名女生”為第2步）；3.分步求積：每類的方法數(shù)=各步方法數(shù)之積；4.分類求和：總方法數(shù)=各類方法數(shù)之和.套用示例：（3選1）×（2選1）種.【典例1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．144【答案】C【分析】根據(jù)分類相加計數(shù)原理，先分四種顏色都用和只有三種顏色兩種情況，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，將涂色過程分成若干步，每一步確定一個區(qū)域的顏色，再根據(jù)相鄰區(qū)域不同色的條件，確定每一步的涂色方案數(shù)，最后將各步方法數(shù)相乘得到總的涂色方案數(shù).【詳解】設四種顏色分別為1、2、3、4，（1）四種顏色都用：先涂區(qū)域，有4種填涂方案，不妨設涂顏色1，再涂區(qū)域，有3種填涂方案，不妨設涂顏色2，再涂區(qū)域，有2種填涂方案，不妨設涂顏色3，若區(qū)域填涂顏色2，則區(qū)域填涂顏色1、4或4、3，若區(qū)域填涂顏色4，則區(qū)域填涂顏色1、3或4、3，共4種不同的填涂方法.由分步乘法計數(shù)原理可得，共有種不同的涂法.（2）四種顏色只用其中的三種顏色：即當同色，同色，同色，共有種不同的涂法.綜上所述，根據(jù)分類相加計數(shù)原理可得，共有種不同涂法.故選：C【典例2】（2025高二·全國·專題練習）用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為，，，的個小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為，，的小正方形涂相同的顏色，則共有（

）種涂法，A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分類加法與分步乘法計數(shù)原理直接計算.【詳解】把區(qū)域分成三部分，第一部分為，，，有種涂法.第二部分為，，.當，同色時，，各有2種涂法；當，異色時，有種涂法，，均只有種涂法.故第二部分共有種涂法.第三部分為，，，與第二部分一樣，共有種涂法.因此根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種涂法，故選：D.【變式1】（2025高二·全國·專題練習）用數(shù)字，，，，，，，組成沒有重復數(shù)字且至多有一位數(shù)字是偶數(shù)的四位個數(shù)，那么這樣的四位數(shù)一共有個.【答案】【分析】根據(jù)特殊元素“”是否被選擇進行分類討論，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得解.【詳解】以特殊元素“”為研究對象分類討論.（1）若四位數(shù)中有“”，則“”有種放法，其他位置上的數(shù)字從，，，中挑選，故共有種；（2）若四位數(shù)中無“”，則這四位數(shù)字可以全為奇數(shù)或者有個偶數(shù).①全為奇數(shù)，有種；②有個偶數(shù)，則必從，，中選個并可放置在任意數(shù)位上，其余位置填奇數(shù)，共有種；故滿足條件的四位數(shù)有個，故答案為：.【變式2】（24-25高二下·山西·期末）某公園設計了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有四種不同的鮮花可供擺放，要求有公共邊的區(qū)域擺放不同種類的鮮花，則擺放鮮花的不同方法種數(shù)為.

【答案】120【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，結合4，5以及1，2是否同色，分類即可求解.【詳解】先排1，3，5區(qū)域，此時從4種鮮花中任選3種全排列，故共有種方法，接下來排區(qū)域4，2，6，若4與5同色，1，2同色，此時區(qū)域6有2種選擇，若4與5同色，1，2不同色，此時區(qū)域2只有一種選擇，區(qū)域6也只有1種選擇，若4與5不同色，此時1，2只能同色，此時區(qū)域6有2種選擇，故涂區(qū)域2，4，6共有種方法，因此總的涂法共有，故答案為：120【變式3】（24-25高二下·黑龍江雞西·期中）從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求：(1)組成的三位數(shù)偶數(shù)的個數(shù)；(2)組成的三位數(shù)中大于200的個數(shù).【答案】(1)30(2)36【分析】（1）組成三位數(shù)的偶數(shù)，需要分個位是0和個位不是0兩種情況討論；（2）組成大于200的三位數(shù)，百位數(shù)字只能是2、3、4，進而求解即可【詳解】（1）當個位數(shù)字為0時百位數(shù)字可以從1、2、3、4這4個數(shù)字中任選一個，有4種選法；十位數(shù)字可以從剩下的3個數(shù)字中任選一個，有3種選法.根據(jù)乘法原理，此時組成的偶數(shù)個數(shù)為個.當個位數(shù)字不為0時個位數(shù)字只能從2、4中選一個，有2種選法；百位數(shù)字不能為0，所以百位數(shù)字可以從剩下的3個非0數(shù)字中選一個，有3種選法；十位數(shù)字可以從剩下的3個數(shù)字中選一個，有3種選法.根據(jù)乘法原理，此時組成的偶數(shù)個數(shù)為，.將兩種情況的個數(shù)相加，得到組成的三位數(shù)是偶數(shù)的總個數(shù)為個.（2）百位數(shù)字可以從2、3、4這3個數(shù)字中任選一個，有3種選法；十位數(shù)字可以從剩下的4個數(shù)字中任選一個，有4種選法；個位數(shù)字可以從剩下的3個數(shù)字中任選一個，有3種選法.根據(jù)乘法原理，組成的三位數(shù)中大于200的個數(shù)為個.題型四排列數(shù)/組合數(shù)直接計算答｜題｜模｜板典型例題：計算、.答題模板：1.區(qū)分類型：有序→排列（用），無序→組合（用）；2.確定參數(shù)：明確（總元素數(shù)）、（選取元素數(shù)）；3.代入公式：排列數(shù)：；組合數(shù)：；4.簡化計算：用組合數(shù)性質（時）.套用示例：；.【典例1】（24-25高二下·吉林·期末）若，則.【答案】3【分析】應用排列公式解排列數(shù)方程即可.【詳解】由題設，且，，則，所以，則，所以，可得（非整數(shù)解舍）.故答案為：3【典例2】（2025高二·全國·專題練習）解關于x的方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用排列數(shù)公式求解即可；（2）利用組合數(shù)公式求解即可．【詳解】（1）由排列數(shù)公式，可得，化簡得，解得或或或．又因為x要滿足，且，所以原方程的解為．（2）由條件，結合組合數(shù)的性質，可得或，則或（舍去）又因為，可得，即，把代入上式，解得．【變式1】（24-25高二下·廣東中山·月考）求值、解方程或解不等式(1)求值：(2)求值：；(3)解方程：(4)解方程：已知（），求(5)解關于的不等式【答案】(1)1(2)165(3)(4)或(5)【分析】（1）利用排列數(shù)的計算求解即可；（2）利用組合數(shù)的性質與計算求解即可；（3）根據(jù)排列數(shù)的計算解排列方程即可；（4）利用組合數(shù)的性質解組合方程即可；（5）根據(jù)排列數(shù)的計算解排列不等式即可；【詳解】（1）；（2）因為，所以；（3）由，得，化簡得，解得，經檢驗是原方程的解，∴原方程的解是；（4），則或解得：或，經檢驗均符合，故或；（5）由，可得，所以，整理得，解得，又因為，所以.【變式2】（24-25高二下·山西·月考）已知，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【分析】根據(jù)排列組合公式列方程求參數(shù).【詳解】由題意知，且，解得．故選：C【變式3】（24-25高二下·寧夏銀川·期中）（1）計算：；（2）計算：.（3）已知：，求n.【答案】（1）0；（2）252；（3）【分析】（1）利用排列數(shù)性質化簡計算可求值；（2）利用組合數(shù)的性質可求值；（3）利用組合數(shù)公式與排列數(shù)公式計算可求解.【詳解】（1）；（2）。；（3）由已知可得，所以，所以，所以，解得或，經檢驗知不符合題意，故舍去;符合題意，故.題型五組合數(shù)性質應用（化簡/求值）答｜題｜模｜板典型例題：化簡；已知，求.答題模板：1.識別性質：遞推性：；對稱性：；2.代入化簡：按性質合并或轉化表達式；3.求解結論：等式兩邊對應相等，得出結果.套用示例：；→.【典例1】【多選題】（25-26高二上·全國·單元測試）已知m，且，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由排列與組合數(shù)的運算性質求解即可.【詳解】A錯，，．B對，．C對，，，所以．D錯，．故選：BC.【典例2】【多選題】（2025高二·全國·專題練習）（多選題）下列關于排列數(shù)、組合數(shù)的計算中，正確的是（

）．A． B．C． D．是一個常數(shù)【答案】BD【分析】由排列數(shù)公式判斷AB，由組合數(shù)的性質化簡判斷C，根據(jù)組合數(shù)的性質得，然后代入計算判斷D.【詳解】由排列數(shù)公式知A不正確，，B正確，由組合數(shù)的性質可知，，故C不正確，D選項中，n應該滿足，且，，解得，因此，D正確．故選：BD．【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）（1）求滿足的正整數(shù)的值．（2）計算：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的定義列不等式求解即可；（2）根據(jù)組合數(shù)的性質計算即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以或．又因為，所以．（2）．【變式2】（24-25高二下·山東濟南·期末）（1）證明：，其中，；（2）化簡：，其中．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，利用組合數(shù)的公式，進行化簡，即可得證；（2）根據(jù)題意，結合倒序相加法，以及組合數(shù)的運行性質，即可求解.【詳解】（1）證明：由組合數(shù)的計算公式，可得，又由，所以；（2）解：設，則，兩式相加，可得，所以，即.【變式3】（24-25高二下·廣東深圳·期中）若，則（

）A．28 B．56 C．112 D．120【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用組合數(shù)的性質求出，再利用組合性質求解.【詳解】由，得，解得，所以.故選：B題型六捆綁法（相鄰問題）答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲、乙、丙3人相鄰，有多少種排法？答題模板：1.處理相鄰元素（捆）：將相鄰元素視為1個整體，內部排列：（為相鄰元素個數(shù)）；2.處理整體與其他元素（排）：總元素數(shù)變?yōu)椋榭傇財?shù)），全排列：；3.總方法數(shù)：兩步結果相乘→.套用示例：捆（3人內部）；排（整體+2人）；總排法種.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）甲?乙等6人圍成一圈，且甲?乙兩人相鄰，則不同的排法共有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【答案】D【分析】根據(jù)環(huán)狀排列的計算方法，結合元素相鄰的計算方法求解.【詳解】因為由于環(huán)狀排列沒有首尾之分，將個不同元素圍成的環(huán)狀排列剪開看成個元素排成一排，即共有種排法，由于個不同元素共有種不同的剪法，則環(huán)狀排列共有種排法.甲?乙兩人相鄰而坐，可將此2人當作1人看，即5人圍一圓桌，有種坐法，又因為甲?乙2人可換位，有種坐法，故所求坐法為種.故選：D【典例2】（24-25高二下·四川瀘州·月考）三個人坐在一排5個座位上，空位相鄰的坐法有種．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】將兩個空位視為一個整體與三個人排列，結合排列數(shù)的定義及計算公式可得結論.【詳解】將兩個空位視為一個整體與三個人排列，又兩個空位沒有區(qū)別，故共有種排法.故答案為：.【變式1】（25-26高三上·陜西西安·開學考試）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲、乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法種數(shù)為．【答案】192【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.【詳解】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，故不同的排法有種.故答案為：192.【變式2】（2025高三·全國·專題練習）為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事，展望鄉(xiāng)村振興圖景，演出民眾身邊日常，唱出百姓幸福心聲，某地組織了“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目表演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節(jié)目，若要求歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出，則節(jié)目的排列順序種數(shù)為（

）A．120 B．360 C．180 D．90【答案】A【分析】相鄰節(jié)目捆綁，然后捆綁的節(jié)目與器樂固定順序，其余三個節(jié)目選三個位置排列，再按固定順序插入捆綁的節(jié)目與器樂節(jié)目，再由分步乘法原理計算．【詳解】因為歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，所以先用捆綁法視為同一個元素，共種排列順序；歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出，可視作兩個元素順序固定，其余三個元素補全5個空位，共種排列順序，所以滿足題意的排列順序種數(shù)為，故選：A．【變式3】（2025高三·全國·專題練習）若有7個人排成一排，其中甲、乙必須相鄰，而丙不能站在兩端，則不同的排法共有種.【答案】【分析】利用捆綁法將甲、乙捆綁，解法1分類討論甲、乙所在位置，再確定丙的位置，最后全排列；解法2先確定丙的位置，再全排列求解即可.【詳解】解法1

將滿足題意的排列方式分為三類．①若甲、乙放在左端，則有種；②若甲、乙放在右端，則有種；③若甲、乙不在兩端，則有種.綜上可得，（種），故不同的排法共有種.解法2

捆綁甲、乙，先排丙，則有（種）.故不同的排法共有種.故答案為：.題型七插空法（不相鄰問題）答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲、乙不相鄰，有多少種排法？答題模板：1.排無限制元素：先排其他無約束元素，全排列：（為無限制元素個數(shù)）；2.算間隙數(shù)：個元素形成個間隙（含兩端）；3.插受限元素：從間隙中選個插入受限元素，排列：（為受限元素個數(shù)）；4.總方法數(shù)：兩步結果相乘→.套用示例：排3人（無限制）；間隙4個，插2人；總排法種.【典例1】（25-26高二上·上?！て谥校┤瞬⑴耪境梢恍?，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是．【答案】【分析】先把除甲乙之外的其他三人全排列，三人排好后，有個空位，將甲乙安排到空位中，結合分步乘法計數(shù)原理可得結果.【詳解】根據(jù)題意，分步進行分析：①把甲、乙之外的其他三人全排列，有種排法，②三人排好后，有個空位，將甲乙安排到空位中，有種排法，故甲乙不相鄰的安排方法有種.故答案為：.【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）某學校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰的站法種數(shù)共有（

）A．36種 B．72種 C．144種 D．288種【答案】C【分析】甲班的2名同學相鄰，用“捆綁法”，乙班的2名同學不相鄰，用“插空法”，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】第一步，將甲班的2人捆綁，連同丙班的2人作全排列，有種站法；第二步，將乙班的2人插入前后4個空檔，有種站法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的站法共有種.故選：C【變式1】（25-26高三上·廣東佛山·月考）現(xiàn)將2本不同的數(shù)學書、3本不同的物理書、1本化學書放在一個單層的書架上，且同類的書各不相鄰，則不同的放法有（

）A．120種 B．144種 C．96種 D．160種【答案】A【分析】分化學書在2本數(shù)學書之間，或是1本物理書在2本數(shù)學書直接，再按照分步計數(shù)原理，插空法解決問題.【詳解】第一種情況，首先化學書在2本數(shù)學書的中間，數(shù)學書排列有2種方法，再讓三本物理書插空，有種方法，所以共有種方法，第二種情況，若1本物理書在2本數(shù)學書的中間，則這3本書看成1個元素，有種方法，再和化學書排列有種方法，最后剩下的2本物理書插空，有種方法，所以共有種方法，綜上，共有種方法.故選：A【變式2】（25-26高三上·江蘇南通·開學考試）3名學生和2名老師隨機排成一行，2名老師不相鄰，則不同排法的種數(shù)為．【答案】72【分析】根據(jù)給定條件，利用不相鄰問題列式求解.【詳解】先排3名學生，有種方法，再把2名老師插入間隙中，有種方法，所以不同排法的種數(shù)為.故答案為：72【變式3】（2025高三·全國·專題練習）在我市的一項競賽活動中，某縣的三所學校分別有1名、2名、3名學生獲獎，這6名學生排成一排合影，要求同校的任意2名學生不能相鄰，那么不同的排法有種．（用數(shù)字作答）【答案】120【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理進行求解即可.【詳解】記有1名、2名、3名學生獲獎的學校分別為．先排學校的3名學生，有種；再對學校的學生進行排列：①若校的1名與校2名中的1名相鄰，則有種排法；②若校的1名與校的2名均間隔，則有種排法．由加法原理得（種）．故答案為：120.題型八分組分配問題答｜題｜模｜板子題型3.1：非均勻分組（各組元素數(shù)不同）典型例題：6人分成1、2、3人三組，有多少種分法？答題模板：1.按組次分步選?。旱?組，第2組，第3組（）；2.總方法數(shù)：各步組合數(shù)相乘→（無需除重）.套用示例：種.子題型3.2：均勻分組（部分/全部組元素數(shù)相同）典型例題：6人平均分成3組（每組2人），有多少種分法？答題模板：1.按非均勻分組計算：；2.除以均勻組數(shù)的階乘（除重）：若有組元素數(shù)相同，除以；3.總方法數(shù)：.套用示例：種.子題型3.3：分組后分配到位置典型例題：6人分成1、2、3人三組，分配到甲、乙、丙3個崗位，有多少種分法？答題模板：1.先分組：按非均勻/均勻分組規(guī)則計算分組數(shù)；2.再分配：將組分配到個位置，全排列；3.總方法數(shù)：分組數(shù)×.套用示例：分組數(shù)60（子題型3.1）×→種.【典例1】（2025高二·全國·專題練習）將6個不同的球分別按如下方式來分，寫出不同分法的種數(shù)．(1)平均分成3堆，每堆2個；(2)分給甲、乙、丙3人，每人2個；(3)分成3堆，每堆個數(shù)分別為1個、2個、3個：(4)分給甲1個、乙2個、丙3個；(5)分給3人，3人分別得到1個、2個、3個．【答案】(1)15(2)90(3)60(4)60(5)360【分析】（1）利用平均分組法求解即可；（2）利用平均分組分配求解即可；（3）利用不平均分組法求解即可；（4）利用不平均分組分配求解即可；（5）利用不平均分組，結合排列數(shù)公式求解即可；【詳解】（1）本題是平均分組無歸屬問題，則共有種分法．（2）本題是平均分組有歸屬問題，則共有種分法．（3）本題是不平均分組問題，則共有種分法．（4）本題是不平均分組有歸屬且歸屬確定問題，將球按照分成3堆，甲、乙、丙3人來拿，只有1種拿法，則共有種分法．（5）本題是不平均分組目歸屬不確定問題，先將球按照分成3堆，有種分法，再分給3人，有種分法，因此共有種分法.【典例2】（25-26高二上·全國·月考）從5名學生中選擇4人對A，B兩種不同算法的加密文件進行破譯，每人選擇一種文件，每個文件2人破譯，則不同的人員安排共有（）A．40種 B．48種 C．30種 D．72種【答案】C【分析】根據(jù)分組分配問題，結合排列組合即可求解.【詳解】從5名學生中選擇4人，共有種，將4人分成兩組，共有種，再將2組進行全排列，對應A，B兩種文件，共有種，則不同的人員安排共有種．故選：C【變式1】（2025·云南昆明·模擬預測）將甲、乙等6名志愿者分配到3個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個社區(qū)至少1人，每個人只去1個社區(qū)，且甲、乙兩人不在同1個社區(qū)，則不同的分配方法數(shù)是（

）A．540 B．504 C．408 D．390【答案】D【分析】先分組后分配，再間接減去甲、乙在一起的情況即可.【詳解】總的分配方法有種.若按照分堆，甲、乙在一起的情況有種；若按照分堆，甲、乙在一起的情況有種；若按照分堆，甲、乙在一起的情況有種，故不同的分配方法數(shù)為.故選D.【變式2】（25-26高三上·重慶·月考）某班5名學生負責校內3個不同地段的衛(wèi)生工作.每名學生都要參與且只負責某個地段的衛(wèi)生工作，每個地段至少有1名學生的分配方案共有（

）A．300種 B．90種 C．240種 D．150種【答案】D【分析】利用先分組后分配原則來進行求解即可.【詳解】先將5名學生分成三組的分法有：（種）再將這三組學生分配到三個地段共有：（種）所以利用分步乘法原理，可知每個地段至少有1名學生的分配方案共有（種）故選：D.【變式3】（2025高三·全國·專題練習）現(xiàn)有10本不同的書，分給甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、兩人得2本、三人得1本，則不同分法的種數(shù)是．（用排列數(shù)、組合數(shù)表示）【答案】【分析】先將10本不同的書分成3本、2本、2本、1本、1本、1本，再將6組作全排列，注意兩人得2本、三人得1本是平均分組問題，排除重復即可得到答案．【詳解】先將10本書分成有順序的6堆，其中第1堆為3本書，第2、3堆為2本書，第4、5、6堆為本書，則有種情況，然后將甲、乙、丙等六人也進行排序，有種情況，而得2本書的兩人和得1本書的三人并無順序差異，因此要除以，再除以消序．綜上所述，不同分法的種數(shù)是．故答案為：．題型九特殊元素/位置優(yōu)先問題答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲不站首位，乙不站末位，有多少種排法？答題模板（直接法）：1.優(yōu)先安排特殊元素：情況1：甲站末位→剩余4人全排列：；情況2：甲不站首、末位→甲有3種選擇，乙有3種選擇（排除末位+甲的位置），剩余3人全排列：；2.總方法數(shù)：兩類情況相加→.套用示例：種.【典例1】（24-25高二下·上?！て谥校┮阎?位同學站成一排，若甲同學不站在兩端，則有種不同的排法.【答案】【分析】先排甲，再排其余5人.【詳解】甲同學不站在兩端有種排法，其余5人的全排列有種排法，則共有種不同的排法.故答案為：.【典例2】（25-26高二上·上海奉賢·期中）某學校為了豐富同學們的寒假生活，寒假期間給同學們安排了6場線上講座，其中講座只能安排在第一或最后一場，講座和必須相鄰，問不同的安排方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】D【分析】先安排講座，再安排講座和及其余三場講座，最后利用分步乘法計算原理即可得出答案.【詳解】由題意知講座只能安排在第一或最后一場，安排A有種排法，因為講座和必須相鄰，所以安排BC及其余三場講座共有種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種排法.故選：D．【變式1】（2025·廣西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之間恰好有2人，且甲不在兩端，則不同排法共有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種【答案】B【分析】分乙站第一個位置，甲站第四個位置，和甲站第二個位置，乙站第五個位置，兩類情況求解即可.【詳解】從左向右看，若甲和乙之間恰好有2人，且甲不在兩端，有兩種情況：乙站第一個位置，甲站第四個位置，有種，甲站第二個位置，乙站第五個位置，有種，共有種，故選：B【變式2】（2025·廣東·模擬預測）3個男同學和3個女同學排成一列，進行遠足拉練．要求排頭和排尾必須是男同學，則不同的排法有（

）種．A．36 B．108 C．120 D．144【答案】D【分析】分步驟分析，利用排列組合的乘法原理來計算即可．【詳解】總共有3個男同學，排頭必須是男同學，所以排頭的選擇有種，所以排尾只能從剩余2個男同學選取，有種，最后剩余4人安排在中間4個位置，有種，所以一共有種．故選：D．【變式3】（25-26高三上·福建三明·月考）甲、乙、丙三人各自計劃暑假去重慶旅游，他們都從武隆天生三橋、長江索道、重慶動物園、白帝城這4個景區(qū)中任選一個，若甲不去重慶動物園，且甲、乙、丙三人去的景區(qū)互不相同，則這三人的不同選擇方法共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種【答案】B【分析】根據(jù)排列的定義，結合分步計數(shù)原理進行求解即可.【詳解】因為甲不去重慶動物園，所以甲有三種不同的去處，又因為甲、乙、丙三人去的景區(qū)互不相同，所以這三人的不同選擇方法共有，故選：B題型十先選后排問題答｜題｜模｜板典型例題：從6人中選4人排成一排，有多少種排法？答題模板：1.選元素：從個元素中選個，組合數(shù)；2.排順序：將選出的個元素全排列，排列數(shù)；3.總方法數(shù)：.套用示例：（或直接）.【典例1】（2025高三·上?！ｎ}練習）第41屆全國中學生物理競賽決賽于10月24日至10月30日由華東師范大學第二附屬中學承辦.根據(jù)賽事安排，組委會欲安排589名選手和各省領隊參觀5個不同場館，分別為李政道研究所、中國商飛、上海交通大學張江高等研究院、上海科技大學和上海博物館東館.現(xiàn)欲將6位志愿者老師分配到5個不同場館做帶隊服務.若每個場館至少1人，則不同的分配方案的種數(shù)為.【答案】【分析】將位志愿者老師分成組，再分配到個不同場館即可列式計算得解.【詳解】依題意，將位志愿者老師分成5組有種方法，再將分成的5組分配到5個不同場館有種方法，所以不同的分配方案的種數(shù)為，故答案為：.【典例2】（2025·全國·模擬預測）已知4位學生被分配到A、B、C三地學習，每地至少分配一位學生且每位學生只能去一個地方學習，則不同的分配方式有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】D【分析】根據(jù)題意先將4位學生分成三組，再分配到A、B、C三地學習，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解．【詳解】根據(jù)題意，先從4人中選2人組成一組，有種方法，然后將3組學生分配到A、B、C三地學習，有種方法，由分步計數(shù)原理知共有種不同的分配方法，故選：D．【變式1】（2025·全國·模擬預測）2025年1月7日9時5分，西藏自治區(qū)日喀則市定日縣發(fā)生6.8級地震．現(xiàn)從各省共抽派7支搶險工作隊前往5個災區(qū)縣救援，要求每個受災縣至少有一個工作隊的方法種數(shù)共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．25200【答案】B【分析】先分組后分配，分組分配上有3，1，1，1，1與2，2，1，1，1兩種方式，再結合排列組合數(shù)計算即可.【詳解】分組分配上有3，1，1，1，1與2，2，1，1，1兩種方式．若是3，1，1，1，1，則有種；若是2，2，1，1，1，則有種．所以共有種.故選：B．【變式2】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）哈爾濱市開展支教活動，我校有甲，乙，丙等六名教師被隨機地分到四個不同的中學，且每個中學至少分到一名教師，共有多少種不同分法（

）A．1080 B．1560 C．2640 D．3960【答案】B【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理和部分平均分組計數(shù)方法計算即得.【詳解】依題意，可分為兩類情況：第一類，將六名教師按照分配到四個不同的中學，有種分法；第二類，將六名教師按照分配到四個不同的中學，有種分法.故由分類加法計數(shù)原理，共有種不同分法.故選：B.【變式3】（25-26高三上·陜西西安·開學考試）某校安排高一年級（1）~（5）班共5個班去A，B，C，D四個勞動教育基地進行社會實踐，每個班去一個基地，每個基地至少安排一個班，則高一（1）班被安排到A基地的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．240【答案】C【分析】根據(jù)只有高一（1）班被安排到A基地與還有一個班和高一（1）班一起被安排到A基地兩種情況，結合排列組合知識求解即可.【詳解】由題得，若只有高一（1）班被安排到A基地，則有（種）安排方法，若還有1個班和高一（1）班一起被安排到A基地，則有（種）安排方法，故高一（1）班被安排到A基地的安排方法種數(shù)為種.故選：C.題型十一展開式書寫（前3項/指定項）答｜題｜模｜板典型例題：寫出的展開式前3項。答題模板：1.牢記展開式公式：；2.確定a、b、n：本題，，；3.逐項計算：從0開始，依次代入計算前3項（）；4.化簡結果：合并同類項，保留系數(shù)符號。套用示例：：；：；：；前3項：?！镜淅?】（25-26高二上·全國·課堂例題）求多項式的展開式.【答案】【分析】利用二項式定理可得展開式.【詳解】，.【典例2】（24-25高二·全國·課堂例題）求多項式的展開式．【答案】【分析】由，利用二項式定理即可求解；【詳解】，．【變式1】（24-25高二·全國·課堂例題）求的展開式；【答案】【分析】法一、法二，由二項式定理即可求解；【詳解】方法一：．方法二：．【變式2】（24-25高三·上?！ふn堂例題）寫出的二項展開式.【答案】【分析】直接根據(jù)二項式定理展開求解即可.【詳解】因為的展開式的通項為，所以.故答案為：【變式3】（24-25高三·上?！るS堂練習）的二項展開式是．【答案】【分析】根據(jù)二項式定理可得答案.【詳解】．故答案為：．題型十二通項公式應用（求某一項）答｜題｜模｜板典型例題：求的第4項；求的含的項.答題模板：1.明確目標：確定求“第項”或“含的項”；2.寫出通項公式：（）；3.確定參數(shù)：明確a、b、n，若求第項，則；若求含的項，需化簡的指數(shù)；4.計算求解：第項：代入，計算系數(shù)與字母部分；含的項：令的指數(shù)等于，解出，再代入計算項；5.整理結果：保留系數(shù)符號，化簡表達式.套用示例：求第4項：→，；求含的項：，，，指數(shù)→，項為.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）的常數(shù)項為．【答案】【分析】化簡二項式展開式的通項公式，由此求得常數(shù)項．【詳解】的展開式為，當，即時，，則的常數(shù)項為．故答案為：．【典例2】（25-26高三上·上海嘉定·月考）的二項展開式中第4項是.【答案】【分析】根據(jù)題意結合二項展開式的通項公式運算求解即可.【詳解】由題意可知：的二項展開式中第4項是.故答案為：.【變式1】（25-26高三上·四川成都·期中）的展開式的中間項為．【答案】【分析】根據(jù)二項式定理只需求解展開式第4項即可.【詳解】由二項式定理可知，展開式共項，所以的展開式的中間項為第項，所以，由二項式定理展開的通項公式得：所以的展開式的中間項為故答案為：【變式2】（25-26高二上·上海奉賢·月考）的展開式中的第四項是.【答案】【分析】由二項式展開式的通項公式可求得答案.【詳解】的展開式中的第四項是，故答案為：.【變式3】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·月考）二項式的展開式中常數(shù)項為（）A． B．540 C．15 D．【答案】B【分析】寫出二項展開式的通項，由x的指數(shù)為0，求得r的值，可求展開式中常數(shù)項.【詳解】二項式的展開式的通項為，由，得，所以二項式的展開式中常數(shù)項為.故選：B.題型十三二項式系數(shù)與項的系數(shù)答｜題｜模｜板子題型1：二項式系數(shù)與項的系數(shù)區(qū)分計算典型例題：求的展開式中第2項的二項式系數(shù)和項的系數(shù)答題模板：1.明確定義：二項式系數(shù)：僅（與a、b系數(shù)無關）；項的系數(shù)：的系數(shù)的系數(shù)；2.確定值：第項→；3.分別計算：二項式系數(shù)：直接??；項的系數(shù)：計算；4.對比結果：明確兩者區(qū)別，規(guī)范書寫.套用示例：第2項→，二項式系數(shù)：；項的系數(shù)：.子題型2：二項式系數(shù)最值問題典型例題：求展開式中二項式系數(shù)最大的項；求展開式中二項式系數(shù)最大的項.答題模板：1.確定的奇偶性：為偶數(shù)：中間1項（第項）二項式系數(shù)最大；為奇數(shù)：中間2項（第項、第項）二項式系數(shù)相等且最大；2.計算對應值：偶數(shù)：；奇數(shù)：和；3.代入通項求項：計算對應項的表達式（僅二項式系數(shù)，無需考慮a、b系數(shù)）.套用示例：（偶數(shù)）：第5項，，項為；（奇數(shù)）：第5、6項，和，項為、.子題型3：項的系數(shù)最值問題典型例題：求展開式中項的系數(shù)最大的項.答題模板：1.寫出通項公式：化簡項的系數(shù)表達式（含的函數(shù)）；2.設第項系數(shù)為，列不等式組：；；3.解不等式組：求出整數(shù)（）；4.驗證符號：根據(jù)的奇偶性判斷系數(shù)符號，確定最大系數(shù)項；5.計算結果：代入值求項.套用示例：通項系數(shù)：；列不等式：且，解得→；系數(shù)最大項：，項為.【典例1】（24-25高二下·貴州畢節(jié)·期末）的展開式的第7項的二項式系數(shù)是.【答案】7【分析】根據(jù)二項式定理的性質計算.【詳解】由題可知：第7項的二項式系數(shù)是.故答案為：7【典例2】（25-26高三上·天津·月考）在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為.【答案】7【分析】根據(jù)只有第5項的二項式系數(shù)最大，可得，寫出展開式的通項公式，令，求得k值，代入即可求出答案.【詳解】因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以展開式共有9項，即，所以展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：7【變式1】（2025高三·全國·專題練習）已知，二項式展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)的最大值為，系數(shù)最大值為．【答案】707【分析】寫出通項，求出前三項的系數(shù)，根據(jù)等差中項的概念列出等式，解出n，設第項的系數(shù)最大得，求解即可.【詳解】二項式通項公式為：，所以第一項的系數(shù)為：，第二項的系數(shù)為：，第三項的系數(shù)為：，由于前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，解得，或，因為至少有前三項，所以（舍），故，所以二項式系數(shù)的最大值為.二項式通項公式為：，設第項的系數(shù)最大，故，即，即，解得，因為，所以或，故系數(shù)最大的項為或.故系數(shù)最大值為7.【變式2】（24-25高二下·河南開封·月考）已知的展開式中，第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為15：2，展開式中系數(shù)最大項是.【答案】【分析】利用二項式展開式的通項公式，結合已知條件可先求出，再利用遞推不等式組可求出系數(shù)最大項.【詳解】由題意，可得二項式展開式的通項為，因為第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為15：2，可得，即，所以，則或（舍），設展開式中第項的系數(shù)最大，則，可得，解得，因為，所以，所以系數(shù)最大的項為．故答案為：【變式3】（2025高三·全國·專題練習）已知的展開式中各項系數(shù)的和比各二項式系數(shù)的和大992．求展開式中二項式系數(shù)最大的項及展開式中系數(shù)最大的項．【答案】，；系數(shù)最大的項【分析】根據(jù)已知得，即并寫展開式通項，結合二項式系數(shù)的性質確定二項式系數(shù)最大項，列舉所有項系數(shù)即可得系數(shù)最大項.【詳解】在中，令，得，又二項式系數(shù)的和為，由題意得，，故，展開式通項為，，故二項式最大項為第3、4項，對應，，即，，由從小到大對應系數(shù)依次為，，，，，，所以系數(shù)最大的項．題型十四特定項求解答｜題｜模｜板題型1：常數(shù)項求解典型例題：求的展開式中的常數(shù)項.答題模板：1.寫出通項公式：；2.化簡的指數(shù)：將a、b化為的冪次形式（如），合并指數(shù)；3.列方程求：令的指數(shù)為0，解出整數(shù)（需滿足）；4.計算常數(shù)項：代入值，計算系數(shù)部分（不含）；5.驗證結果：確保有效，系數(shù)計算無誤.套用示例：通項：；令→；常數(shù)項：.題型2：有理項/無理項求解典型例題：求的展開式中的有理項.答題模板：1.寫出通項公式：化簡的指數(shù)（化為分數(shù)指數(shù)）；2.定義有理項條件：的指數(shù)為整數(shù)；3.列方程求：設指數(shù)為整數(shù)，解出滿足的整數(shù)；4.列舉所有有效：逐一驗證，確保指數(shù)為整數(shù)；5.計算有理項：代入每個值，求出對應項.套用示例：通項：；有理項條件：→是6的倍數(shù)，；解得：：；：.題型3：指定指數(shù)差/系數(shù)關系問題典型例題：在的展開式中，若第3項與第6項的系數(shù)相等，求.答題模板：1.寫出對應項的系數(shù)：第項系數(shù)為（二項式系數(shù)）；2.根據(jù)題意列等式：如“第項系數(shù)=第項系數(shù)”→；3.利用組合數(shù)性質求解：對稱性：→；遞推性：結合題意化簡等式；4.驗證結果：確保為正整數(shù)，符合題意.套用示例：第3項系數(shù)，第6項系數(shù)，由→→.【典例1】（25-26高三上·天津·開學考試）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得二項展開式的通項，確定的值，代入即可求解.【詳解】由二項式定理得，二項式的展開式的通項如下，為，其中，令，可得，所以的系數(shù).故答案為：.【典例2】（25-26高三上·四川成都·月考）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．15 B．45 C．60 D．90【答案】B【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算即可求解.【詳解】的展開式為，所以二項式展開式中含項為，二項式展開式中含項的系數(shù)為45.故選：B【變式1】（25-26高三上·云南·月考）在的展開式中，含項的系數(shù)是（

）A．14 B．15 C．16 D．18【答案】A【分析】應用二項式展開式通項公式結合組合數(shù)公式計算求解.【詳解】含項的系數(shù)為，故選：A．【變式2】（2025高三上·廣東深圳·專題練習）一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為0，2，4，5，6，8，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，則二項式展開式的有理項共（

）項A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求出“0，2，4，5，6，8”這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)，代入二項式，并寫出二項式展開式的通項，分析其有理項,即可得到答案.【詳解】“0，2，4，5，6，8”，這組數(shù)據(jù)共有6個數(shù)，所以，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第5個數(shù)，即6.二項式展開式的通項為：.當分別取時，是整數(shù)，為有理項，所以共有4項.它們分別是：故選：B.【變式3】（2025高二·全國·專題練習）已知二項式.(1)求展開式的第4項；(2)求展開式中的有理項；(3)求展開式中的常數(shù)項.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）令，即可求得展開式的第4項；（2）令的指數(shù)為整數(shù)，即可求得展開式中的有理項；（3）令的指數(shù)為0，即可求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】（1）的二項展開式通項是：，當時，展開式的第4項為.（2）由（1）知的二項展開式通項是，有理項是使變量的指數(shù)為整數(shù)的項，故只需，且，解得，因此有理項分別為：，，，.（3）由（1）知的二項展開式通項是，常數(shù)項即為變量的指數(shù)為0的項，令，解得，因此常數(shù)項為.題型十五賦值法的應用答｜題｜模｜板題型1：全項系數(shù)和求解（完整）典型例題：求的展開式中所有項的系數(shù)之和.答題模板：1.識別目標：求所有項的系數(shù)和（含常數(shù)項、各字母項）；2.選擇賦值：令所有字母變量=1（若字母含系數(shù)，直接代入1，不改變系數(shù)）；3.計算結果：將賦值代入二項式，化簡得出數(shù)值即為系數(shù)和；4.驗證邏輯：確保賦值后所有字母項轉化為1，僅保留系數(shù)運算.套用示例：令、，系數(shù)和.題型2：奇數(shù)項/偶數(shù)項系數(shù)和求解典型例題：求的展開式中奇數(shù)項系數(shù)和、偶數(shù)項系數(shù)和.答題模板：1.設參數(shù)：設全項系數(shù)和為，奇數(shù)項系數(shù)和為，偶數(shù)項系數(shù)和為；2.求全項系數(shù)和：令所有字母=1，計算；3.求奇數(shù)項-偶數(shù)項系數(shù)和：令含字母項的系數(shù)為1，另一項為-1（如令），得；4.列方程求解：；；5.化簡結果：確保計算過程符號無誤.套用示例：全項系數(shù)和；奇數(shù)項-偶數(shù)項系數(shù)和；奇數(shù)項系數(shù)和；偶數(shù)項系數(shù)和.題型3：特定字母系數(shù)和求解典型例題：求的展開式中含的項的系數(shù)之和。答題模板：1.識別目標：僅保留含指定字母（如）的項，求其系數(shù)和；2.固定其他字母：令非指定字母=1（消除其對系數(shù)的影響）；3.轉化為二項式問題：原多項式轉化為僅含指定字母的二項式（或單項式）；4.提取指定項系數(shù)：利用二項式定理求出指定字母對應次數(shù)的系數(shù)；5.驗證結果：確保未遺漏其他字母的系數(shù)貢獻。套用示例：令、，多項式轉化為；含的項的系數(shù)為，即所求系數(shù)和為150.【典例1】（25-26高二上·上海奉賢·期中）已知，則．【答案】【分析】利用賦值法，先令，再令可得.【詳解】令，可得，令，可得，所以.故答案為：2.【典例2】（25-26高三上·重慶·期中）若，則.【答案】【分析】根據(jù)已知，應用賦值法求出對應參數(shù)、系數(shù)和，即可求.【詳解】令，則，令，則，所以.故答案為：【變式1】【多選題】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知，則（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】A選項，令可求；B選項令可求；C選項，令可求；D選項，把和時的展開式相加可求.【詳解】令，得，故A錯誤；令，得，故B正確；令，得，故C正確；將與這兩式的左右兩邊分別相加，得，解得，故D錯誤.故選：BC.【變式2】【多選題】（25-26高二上·黑龍江綏化·期中）已知的展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大，則下列說法正確的是（

）A．B．展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為C．展開式中各項系數(shù)的和為D．展開式中奇數(shù)項的系數(shù)的和為【答案】AD【分析】由題意可得，可求得，利用二項式展開式的性質，結合賦值法逐項判斷即可.【詳解】因為的展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大，所以共有項，又項數(shù)為，所以，故A正確；因為，所以展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為，由二項式的性質可知所有偶數(shù)項與奇數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，所以展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，故B錯誤；令，可得，即，故C錯誤；令，可得，即，所以，所以，所以展開式中奇數(shù)項的系數(shù)的和為，故D正確.故選：AD.【變式3】【多選題】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】ABC選項，利用賦值法進行求解；D選項，得到展開式的通項公式，從而求出，，故，D正確.【詳解】A選項，中，令得，A正確；B選項，中，令得，又，故，B錯誤；C選項，中，令得，與相加可得，故，C錯誤；D選項，展開式的通項公式為，故，，故，D正確.故選：AD題型十六楊輝三角答｜題｜模｜板題型1：利用楊輝三角查找二項式系數(shù)典型例題：通過楊輝三角求的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；求的展開式中第3項的二項式系數(shù).答題模板：1.明確行數(shù)規(guī)則：第行（從0開始計數(shù)）對應的二項式系數(shù)；2.繪制/回憶楊輝三角前行：第0行：[1]第1行：[1,1]第2行：[1,2,1]第3行：[1,3,3,1]第4行：[1,4,6,4,1]第5行：[1,5,10,10,5,1]3.查找目標系數(shù)：二項式系數(shù)最大項：偶數(shù)取中間列，奇數(shù)取中間兩列；第項的二項式系數(shù)：第行第列（從0開始列計數(shù)）；4.輸出結果：明確系數(shù)對應的項或直接輸出系數(shù).套用示例：求二項式系數(shù)最大項的系數(shù)：第5行中間兩列（第2、3列），系數(shù)為10；求第3項的二項式系數(shù)：第4行第2列，系數(shù)為6.題型2：利用楊輝三角驗證組合數(shù)性質典型例題：用楊輝三角驗證；驗證.答題模板：1.明確組合數(shù)與楊輝三角的關系：第行第列的數(shù)字=；2.驗證遞推性：找到第行第列的數(shù)字；找到第行第列和第列的數(shù)字，求和驗證是否等于前者；3.驗證對稱性：找到第行第列和第列的數(shù)字，驗證是否相等；4.總結結論：明確組合數(shù)性質在楊輝三角中的直觀體現(xiàn).套用示例：驗證：第6行第3列數(shù)字=20，第5行第2列=10、第3列=10，10+10=20，成立；驗證：第7行第4列=35、第3列=35，相等，成立.題型3：楊輝三角與二項式定理結合求系數(shù)典型例題：已知楊輝三角第行的數(shù)字為[1,4,6,4,1]，求的展開式中含的項的系數(shù).答題模板：1.由楊輝三角確定：行數(shù)=數(shù)字個數(shù)-1，本題數(shù)字個數(shù)=5→；2.明確二項式系數(shù)：第行第列數(shù)字=，含的項對應，二項式系數(shù)=第4行第2列=6；3.計算項的系數(shù)：項的系數(shù)=二項式系數(shù)×的系數(shù)×的系數(shù)；4.化簡結果：代入數(shù)值計算，保留符號.套用示例：，含的項對應；項的系數(shù)=.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖示，則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（

）A．在第10行中第5個數(shù)最大B．第2023行中第1011個數(shù)和第1012個數(shù)相等C．D．第6行的第7個數(shù)?第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)楊輝三角每一行的數(shù)字與組合數(shù)的對應關系，結合組合數(shù)的運算性質，依次判斷選項.【詳解】對于A，因“楊輝三角”的第10行中第5個數(shù)是，又，故A錯誤；對于B，因“楊輝三角”的第2023行中第1011個數(shù)和第1012個數(shù)分別為和，因，故，故B錯誤；對于C，因，………則，故C錯誤；對于D，因，而，故D正確.故選：D【典例2】【多選題】（24-25高二下·河南信陽·期末）我國南宋數(shù)學家楊輝首先發(fā)現(xiàn)了二項式系數(shù)的性質，并把系數(shù)寫成一張表，后人稱為楊輝三角，如圖所示，關于楊輝三角正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)楊輝三角的性質可得，，進而判斷各選項即可.【詳解】根據(jù)楊輝三角的性質：，，所以選項A正確，B錯誤；當時，，選項C正確；當時，，選項D正確．故選：ACD．【變式1】（24-25高二下·黑龍江大慶·期末）“楊輝三角”是中國數(shù)學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學愛好者的探究欲望.題圖為“楊輝三角”的一部分（如圖），記第n行的第i個數(shù)為，則.

【答案】【分析】根據(jù)二項展開式的性質，得到，結合，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)二項展開式的性質，可得，則.故答案為：.【變式2】【多選題】（24-25高二下·廣東廣州·期末）我國南宋數(shù)學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關于楊輝三角的說法正確的是（

）A．第6行從左到右第4個數(shù)是20 B．第2022行的第1011個數(shù)最大C．210在楊輝三角中共出現(xiàn)了6次 D．記第行的第個數(shù)為，則【答案】ACD【分析】選項A：根據(jù)題目所給的楊輝三角，得出