專題06圓錐曲線解答題（考題猜想，易錯必刷5大題型）【題型一】弦長問題【題型二】中點弦問題【題型三】定值問題【題型四】定點問題【題型五】定直線問題【題型一】弦長問題一、解答題1．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點的直線交于兩點，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點，若，求的面積（為坐標(biāo)原點）.2．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點，且，求實數(shù)m的值.3．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知雙曲線：（，）的左、右頂點分別為，，右焦點到漸近線的距離為1，且離心率為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線（直線的斜率不為0）與雙曲線交于，兩點，若，分別為直線，與軸的交點，記，的面積分別記為，，求的值.4．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長為2，上頂點為M，O為坐標(biāo)原點，(1)求橢圓的方程；(2)若的面積為1，求的值.5．（23-24高二下·廣東·期末）已知拋物線的焦點到點的距離為，，為拋物線上兩個動點，且線段的中點在直線上．(1)求拋物線的方程；(2)求面積的取值范圍．6．（23-24高二上·廣東·期末）已知橢圓的短軸長為2，點P在橢圓C上且與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C內(nèi)一點的直線l交C于A，B兩點，是否存在定值m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【題型二】中點弦問題一、解答題1．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知P為拋物線C：（）上一點，且點P到拋物線的焦點F的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為10．(1)求p的值；(2)過點F作直線l交C于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程．2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知動點滿足：．(1)求動點的軌跡方程；(2)若過點的直線和曲線相交于A，B兩點，且為線段AB的中點，求直線的方程．3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的焦點在軸上，且虛軸長，過雙曲線的右焦點且垂直軸的直線交雙曲線于兩點，的面積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線交雙曲線于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）如圖，已知拋物線，直線交拋物線C于A，B兩點，的中點為．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記拋物線C上一點，直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．5．（23-24高二上·上?！て谀┮阎p曲線中，離心率為，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線左支有兩個交點，求的取值范圍；(3)過點是否能作直線與雙曲線交于、兩點，且使得是的中點，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．6．（23-24高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）設(shè)橢圓C：（）的兩個焦點是和（），且橢圓C與圓有公共點．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若橢圓C上的點到焦點的最長距離為，求橢圓C的方程；(3)對（2）中的橢圓C，直線：（）與C交于不同的兩點M，N，若線段的垂直平分線恒過點，求實數(shù)的取值范圍．【題型三】定值問題一、解答題1．（23-24高二下·云南·期末）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點，若直線和的斜率互為相反數(shù)，證明：直線的斜率為定值．2．（23-24高二下·廣東·期末）設(shè)點為拋物線的焦點，過點且斜率為的直線與交于兩點（為坐標(biāo)原點）．(1)求拋物線的方程；(2)過點作兩條斜率分別為的直線，它們分別與拋物線交于點和．已知，問：是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）動點G到點的距離比到直線的距離小2.(1)求G的軌跡的方程；(2)設(shè)動點G的軌跡為曲線C，過點F作斜率為，的兩條直線分別交C于M，N兩點和P，Q兩點，其中.設(shè)線段和的中點分別為A，B，過點F作，垂足為D，試問：是否存在定點T，使得線段的長度為定值.若存在，求出點T的坐標(biāo)及定值；若不存在，說明理由.4．（23-24高二下·上海·期末）已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在求出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點，直線交直線于點．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．5．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知雙曲線的漸近線方程為，且點在上．(1)求的方程；(2)點在上，且為垂足．證明：存在點，使得為定值．6．（23-24高二下·上海金山·期末）已知橢圓常數(shù)，點為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)若是橢圓上任意一點，，求的取值范圍；(3)設(shè)是橢圓上的兩個動點，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．【題型四】定點問題一、解答題1．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知橢圓的離心率為是的左?右焦點，橢圓上一個動點到的最短距離為點在上.(1)求的方程；(2)若為直線上任意一點，直線的斜率之積為，平面內(nèi)是否存在定點滿足恒成立.若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知拋物線的焦點F在直線上．(1)求C的方程；(2)過點的直線交C于M，N兩點，又點Q在線段MN上，且，證明：點Q在定直線上．3．（23-24高二上·山東棗莊·期末）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，上頂點為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)記雙曲線的上、下頂點為、，為直線上一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).4．（23-24高二下·山西長治·期末）已知雙曲線的右頂點到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)設(shè)過點的直線交于兩點，過且垂直于軸的直線與直線交于點，證明：以線段的中點為圓心且過坐標(biāo)原點的圓還過其他定點.5．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點別為，，離心率為，過點的動直線l交E于A，B兩點，點A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長為，直線與E交于另一點C，直線與E交于另一點D，點P為橢圓E的下頂點，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．6．（23-24高二下·山西長治·期末）已知拋物線C：，直線l：交于，兩點，當(dāng)，時，．(1)求拋物線的方程；(2)分別過點，作拋物線的切線，兩條切線交于點，且，分別交軸于，兩點，證明：的外接圓過定點．【題型五】定直線問題一、解答題1．（23-24高二上·湖北·期末）已知拋物線的焦點為，設(shè)動點的坐標(biāo)為．(1)若，求過點與拋物線有且只有一個公共點的直線方程；(2)設(shè)過動點的兩條直線均與相切，且的斜率分別為，滿足．證明：動點在一條定直線上．2．（23-24高二上·福建福州·期末）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，，直線，相交于點P，且它們的斜率之積為，動點P的軌跡為Γ.(1)求Γ的方程，(2)動直線與Γ相交于不同的兩點C，D，若直線與直線相交于點M，判斷點M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.3．（23-24高二上·云南·期末）已知雙曲線實軸端點分別為、，右焦點為，離心率為，過點的直線與雙曲線交于另一點，已知的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點的直線與雙曲線交于、兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由．4．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，且當(dāng)為的中點時，.(1)求拋物線的方程.(2)記拋物線在兩點處的切線的交點為，是否存在直線使與的面積相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上的一點，當(dāng)時，.(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.6．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知雙曲線的兩條漸近線分別為和，右焦點坐標(biāo)為，為坐標(biāo)原點．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)M，N是雙曲線C上不同的兩點，Q是MN的中點，直線MN、OQ的斜率分別為，證明：為定值；(3)直線y=4x-6與雙曲線的右支交于點（在的上方），過點分別作的平行線，交于點P1，過點P1且斜率為4的直線與雙曲線交于點（在的上方），再過點分別作的平行線，交于點，?，這樣一直操作下去，可以得到一列點．證明：共線．

專題06圓錐曲線解答題（考題猜想，易錯必刷5大題型）【題型一】弦長問題【題型二】中點弦問題【題型三】定值問題【題型四】定點問題【題型五】定直線問題【題型一】弦長問題一、解答題1．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點的直線交于兩點，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點，若，求的面積（為坐標(biāo)原點）.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合弦長公式即可列方程求得參數(shù)，進而得解；（2）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、數(shù)量積的坐標(biāo)公式列方程即可求得參數(shù)，進一步即可求解的面積.【詳解】（1）拋物線焦點的坐標(biāo)為，當(dāng)直線的傾斜角為時，直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，，顯然，設(shè)Ax1,則，解得，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)Ax顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，顯然，所以，又，所以，因為，所以，所以，則，設(shè)的面積為，則，所以的面積為.2．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點，且，求實數(shù)m的值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為，得，，由此能求出雙曲線方程；（2）聯(lián)立方程組，得，利用韋達(dá)定理、弦長公式、根的判別式能求出結(jié)果.【詳解】（1）雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為，設(shè)雙曲線的方程（，），由已知得，，所以，.所以雙曲線方程為.（2）直線與雙曲線C交于A，B兩點，且，聯(lián)立方程組，得，當(dāng)時，設(shè)，，.所以令，解得.經(jīng)檢驗符合題意，所以.3．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知雙曲線：（，）的左、右頂點分別為，，右焦點到漸近線的距離為1，且離心率為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線（直線的斜率不為0）與雙曲線交于，兩點，若，分別為直線，與軸的交點，記，的面積分別記為，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件可得關(guān)于的方程，即可求解；（2）由直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，并表示直線的直線方程，并求點的坐標(biāo)，并轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理，即可表示求解.【詳解】（1）設(shè)Fc,0，其中一條漸近線方程為，即，則焦點到漸近線的距離，又，則，則，所以雙曲線方程為；（2）由（1）知，設(shè)直線，Ax1,y聯(lián)立，得，，，，直線的方程為，當(dāng)時，，直線的方程為，當(dāng)時，，即，，如圖可知，，，，，當(dāng)，時，，，所以，即，當(dāng)時，，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用點的坐標(biāo)表示點的坐標(biāo)，再一個關(guān)鍵是計算問題，利用韋達(dá)定理正確表示面積比值，即可求解.4．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長為2，上頂點為M，O為坐標(biāo)原點，(1)求橢圓的方程；(2)若的面積為1，求的值.【答案】(1)(2)5【分析】（1）先由短軸長得，由三點共線設(shè)點坐標(biāo)，再利用點在橢圓上將斜率之積轉(zhuǎn)化為待定，從而求橢圓方程；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論.當(dāng)直線斜率不存在時，解方程組可得；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，借助韋達(dá)定理表示弦長AB及點到直線的距離，從而由面積為得，代入由韋達(dá)定理表示的關(guān)系式，化簡求值可得.【詳解】（1）由題意知橢圓的短軸長為2，即，.為橢圓的上頂點，所以.當(dāng)三點共線時，設(shè)Ax0,y由點在橢圓上，則,因為，所以，解得．故橢圓的方程為；（2）設(shè)過兩點的直線為，當(dāng)直線的斜率不存在時，兩點關(guān)于軸對稱，所以因為在橢圓上，所以，又，所以，即，聯(lián)立，解得此時，所以.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，聯(lián)立消去得，其中①，所以，所以．因為點到直線的距離，所以，所以，整理得，符合①式，此時，綜上所述，的值為5．5．（23-24高二下·廣東·期末）已知拋物線的焦點到點的距離為，，為拋物線上兩個動點，且線段的中點在直線上．(1)求拋物線的方程；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出焦點坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式列方程可求出，從而可求出拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，Ax1,y1，Bx2,y2，將直線方程代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式表示出點的坐標(biāo)，將兩點的坐標(biāo)代入拋物線方程，兩式相加化簡結(jié)合前面的式子可得，再結(jié)合判別式可得，利用弦長公式表示出AB，再表示出點到直線的距離，從而可表示出面積，化簡后結(jié)合可求出其范圍.【詳解】（1）焦點，，由焦點到點的距離為，得，解得所以拋物線方程為．（2）如圖所示，顯然，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，Ax1,y1聯(lián)立方程組，消去得,所以，，且（*）,所以線段的中點的縱坐標(biāo)為,因為點在直線上，所以，所以,因為，，所以，即,將，代入上式，所以,代入（*）得，化簡得，所以,點到的距離,,所以,將代入上式，得,因為所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中的三角形面積問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入拋物線方程化簡結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式表示出點的坐標(biāo)，考查計算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.6．（23-24高二上·廣東·期末）已知橢圓的短軸長為2，點P在橢圓C上且與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C內(nèi)一點的直線l交C于A，B兩點，是否存在定值m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在滿足題意，理由見解析【分析】（1）由題意，，結(jié)合平方關(guān)系即可得解.（2）先討論直線l的斜率為0時的情形，得，當(dāng)直線l的斜率不為0時，聯(lián)立橢圓方程，表示出，將其代入即可得解.【詳解】（1）由題意得，，又,所以解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率為0時，即直線l的方程為，不妨設(shè)此時，且，則，解得滿足題意，當(dāng)直線l的斜率不為0時，不妨設(shè)直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，，化簡并整理得，，由韋達(dá)定理有，由求根公式有，若，則，化簡并整理得，若，則恒成立，滿足題意.綜上所述，存在，使得恒成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是巧妙設(shè)直線方程，即當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，這樣在算弦長乘積時，會有奇效.【題型二】中點弦問題一、解答題1．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知P為拋物線C：（）上一點，且點P到拋物線的焦點F的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為10．(1)求p的值；(2)過點F作直線l交C于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義列出方程即可求解；（2）設(shè)Ax1,y1【詳解】（1）由拋物線的定義得，故．（2）由（1）得，，則拋物線C的方程為，焦點，設(shè)Ax1,y1∴，，當(dāng)M，F(xiàn)不重合時，相減整理得，，∴，即，當(dāng)M，F(xiàn)重合時，滿足上式．∴點M的軌跡方程為．2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知動點滿足：．(1)求動點的軌跡方程；(2)若過點的直線和曲線相交于A，B兩點，且為線段AB的中點，求直線的方程．【答案】(1)的方程是：(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可判斷點的軌跡，并求解方程；（2）先利用點差法求得直線l的斜率，進而求得直線l的方程.【詳解】（1）設(shè)，，，因為，所以，且，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓.設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，所以，，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點Ax1,作差得，除以得，又由點是AB的中點，則有，所以，變形可得，所以直線的方程是即，經(jīng)檢驗符合題意，故直線的方程為.

3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的焦點在軸上，且虛軸長，過雙曲線的右焦點且垂直軸的直線交雙曲線于兩點，的面積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線交雙曲線于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，表示出AB，再由的面積，并結(jié)合雙曲線中的關(guān)系求解；（2）法一：設(shè)出直線的點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式求解；法二：利用點差法求解.【詳解】（1）由題設(shè)雙曲線，直線的方程為聯(lián)立方程解得，又，，則而所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）法一：因為過點的直線與雙曲線相交于兩點，可知，直線的方程不是，設(shè)直線的方程為即聯(lián)立方程得①解得將代入①，得故直線的方程為.法二：因為過點的直線與雙曲線相交于兩點，可知，直線的方程不是，設(shè)得，,直線的方程為，即，聯(lián)立方程得，故直線的方程為.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）如圖，已知拋物線，直線交拋物線C于A，B兩點，的中點為．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記拋物線C上一點，直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點差法求解即可；（2）設(shè)，，從而可得，再聯(lián)立直線與拋物線的方程，代入韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）不妨設(shè)Ax1,因為A，B兩點在拋物線C上，所以，兩式作差得，①因為A，B均在直線l上，所以，又的中點為，此時，②聯(lián)立①②，解得，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由為拋物線C上一點，所以，解得，即，不妨設(shè)，，此時，同理得，所以，③聯(lián)立消去x并整理得，由韋達(dá)定理得④聯(lián)立③④，解得．5．（23-24高二上·上海·期末）已知雙曲線中，離心率為，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線左支有兩個交點，求的取值范圍；(3)過點是否能作直線與雙曲線交于、兩點，且使得是的中點，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理、判別式可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍；（3）利用點差法求出直線的方程，再將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，計算，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因為雙曲線中，離心率為，且經(jīng)過點，則，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）解：設(shè)直線交雙曲線于點Ax1,y聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線左支有兩個交點，則，解得，故實數(shù)的取值范圍是.（3）解：若直線軸，則直線與雙曲線相切，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點、，因為為線段的中點，則，將點、的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，作差可得，即，即，所以，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，則，因此，不存在滿足題設(shè)條件的直線.6．（23-24高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）設(shè)橢圓C：（）的兩個焦點是和（），且橢圓C與圓有公共點．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若橢圓C上的點到焦點的最長距離為，求橢圓C的方程；(3)對（2）中的橢圓C，直線：（）與C交于不同的兩點M，N，若線段的垂直平分線恒過點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由橢圓及圓的性質(zhì)可得，則，結(jié)合即可求得結(jié)果；（2）由題可知，又，求解即可；（3）設(shè)線段的中點為Px0,y0，由結(jié)合點差法求得的坐標(biāo)，根據(jù)點P在橢圓內(nèi)部得的范圍，又點P在直線上，代入得的關(guān)系式，從而得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）橢圓C的短半軸，圓的圓心為原點，半徑為，∵橢圓C與圓有公共點，∴，，則，又，從而解得，所以a的取值范圍為.

（2）由題可知，又，聯(lián)立解得，，所以橢圓的方程為.（3）設(shè)線段的中點為Px0∵，∴①，設(shè)Mx1,y1，N兩式作差得，即，即，即②，聯(lián)立①②解得，即，因為點P在橢圓內(nèi)部，則，代入點P坐標(biāo)化簡得，又點P在直線上，代入得，因此，實數(shù)的取值范圍是．

【題型三】定值問題一、解答題1．（23-24高二下·云南·期末）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點，若直線和的斜率互為相反數(shù)，證明：直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得，結(jié)合離心率公式即可求解；（2）由題可知，直線的斜率顯然存在，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由題意得，結(jié)合韋達(dá)定理整理可得，解出的值，結(jié)合題意即可求證.【詳解】（1）因為，所以．又在上，所以，解得，，則橢圓的方程為．（2）證明：由題可知，直線的斜率顯然存在，設(shè)的方程為，，，則，得，則，，．又，整理可得，化簡得，即，所以或．當(dāng)時，直線過點，不符合題意，所以，即直線的斜率為定值．2．（23-24高二下·廣東·期末）設(shè)點為拋物線的焦點，過點且斜率為的直線與交于兩點（為坐標(biāo)原點）．(1)求拋物線的方程；(2)過點作兩條斜率分別為的直線，它們分別與拋物線交于點和．已知，問：是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在【分析】（1）寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形面積，即可求解；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合弦長公式，求出，由已知建立關(guān)系推理，即可說明理由.【詳解】（1）物線的焦點為，直線的方程，由，得，設(shè)Ax所以，所以，所以，且所以，所以拋物線的方程為．（2）存在，使得為定值，由題意可得直線的方程，直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，所以，，所以，設(shè)，同理可得，所以，由，得，即，而，所以，所以存在，使得為定值0．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)表示弦長，并結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解.3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）動點G到點的距離比到直線的距離小2.(1)求G的軌跡的方程；(2)設(shè)動點G的軌跡為曲線C，過點F作斜率為，的兩條直線分別交C于M，N兩點和P，Q兩點，其中.設(shè)線段和的中點分別為A，B，過點F作，垂足為D，試問：是否存在定點T，使得線段的長度為定值.若存在，求出點T的坐標(biāo)及定值；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，，長度恒為2.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求出軌跡方程.（2）聯(lián)立直線與G的軌跡方程，求出點的坐標(biāo)，同理可得點的坐標(biāo)，再求出直線，并求出直線所過定點即可得解.【詳解】（1）因為動點G到點的距離比到直線的距離小2，則點G到點的距離和它到直線的距離相等，因此點G的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為（），由，得，所以G的軌跡的方程為.（2）顯然直線的方程為，直線的方程為，其中，且，由消去y并整理得，該方程的判別式，設(shè)Mx1,y則，，點，同理，的斜率，直線的方程為，即，，所以，因此直線：過定點，又，則點D在以為直徑的圓上，所以存在定點，使得線段的長度為定值2.【點睛】思路點睛：經(jīng)過圓錐曲線上滿足某條件的兩個動點的直線過定點問題，先求出這兩個動點坐標(biāo)，進而求出直線方程，即可推理計算解決問題.4．（23-24高二下·上?！て谀┮阎p曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在求出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點，直線交直線于點．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析；(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進而可得雙曲線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判斷是否為零即可；（3）用兩點坐標(biāo)表示出直線，得點坐標(biāo)，表示出，結(jié)合韋達(dá)定理，證明為定值．【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為．（2）雙曲線的左焦點為，當(dāng)直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，不符合題意，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)，由，消去得，顯然，，設(shè)Ax1,y1于是，，即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點在以為直徑的圓上．（3）由直線，得，則，又，于是，而，即有，且，所以，即為定值．【點睛】方法點睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．5．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知雙曲線的漸近線方程為，且點在上．(1)求的方程；(2)點在上，且為垂足．證明：存在點，使得為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，利用待定系數(shù)法求出即可得解；（2）分直線的斜率是否為零兩種情況討論，根據(jù)，可得，雙曲線方程可變形為，再由直線的方程可得，代入變形后的雙曲線方程，再利用韋達(dá)定理即可得出間的關(guān)系，進而可求出直線所過的定點，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，因為點在上，所以，解得，所以的方程為；（2）設(shè)Ax當(dāng)直線的斜率為時，則，因為點在上，所以，則，由，得，即，，解得或（舍去），故直線的方程為，當(dāng)直線的斜率不等于時，設(shè)直線的方程為，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，則的斜率為，此時直線的方程，直線的方程為，聯(lián)立，解得（舍去），聯(lián)立，解得（舍去），所以，則，所以直線的方程為，令，則，故直線過點，同理可得當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，則的斜率為，此時直線的方程為，直線過點，當(dāng)直線的斜率都存在且都不等于零時，因為，所以，由，得，所以，由，得，則，所以，所以，整理得即，所以所以，所以直線得方程為，所以直線過定點，綜上所述，直線過定點，因為，所以存在的中點，使得.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.6．（23-24高二下·上海金山·期末）已知橢圓常數(shù)，點為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)若是橢圓上任意一點，，求的取值范圍；(3)設(shè)是橢圓上的兩個動點，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合離心率公式化簡計算；（2）應(yīng)用向量間關(guān)系結(jié)合基本不等式化簡求范圍即可；（3）應(yīng)用斜率積的公式化簡得出結(jié)合三角形面積公式結(jié)合點在橢圓上化簡求值.【詳解】（1）由橢圓方程為，則離心率，又所以；（2）由已知得又點是橢圓上任意一點，則，化簡可得所以（3）法一：由已知可得，即，平方可得，又在橢圓上，所以，所以，化簡可得設(shè)與的夾角為，則，則，所以的面積，故的面積為定值；方法二：由已知，即，①當(dāng)直線斜率不存在時，，則，又在橢圓上，則，所以，此時；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓，得，則，，則，即，所以，點到直線的距離d=t1+k所以，所以的面積為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：面積定值關(guān)鍵是應(yīng)用點在橢圓上代入面積公式化簡求值即可.【題型四】定點問題一、解答題1．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知橢圓的離心率為是的左?右焦點，橢圓上一個動點到的最短距離為點在上.(1)求的方程；(2)若為直線上任意一點，直線的斜率之積為，平面內(nèi)是否存在定點滿足恒成立.若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由橢圓的離心率，橢圓上一個動點到右焦點的最短距離，即可解得，進而求得，即可得到的方程；（2）設(shè)，由直線的斜率之積為，可得，由對稱性知，若存在點滿足恒成立，則在軸上，設(shè)，則，可得，解得，適合題意.【詳解】（1）由已知，，橢圓的方程為.（2）設(shè)，因為直線的斜率之積為，則，整理得，又在上，，①由對稱性知，若存在點滿足恒成立，則在軸上，設(shè)，則，即，將①代入，得：，解得，適合題意，即存在定點，滿足恒成立.2．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知拋物線的焦點F在直線上．(1)求C的方程；(2)過點的直線交C于M，N兩點，又點Q在線段MN上，且，證明：點Q在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)可得，即可得方程；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合消元即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得F1,0，則，解得，所以拋物線C的方程為．（2）設(shè)直線MN的方程為：，，，，不妨設(shè)，聯(lián)立直線MN與拋物線C的方程，消去y可得，由，且，解得且，則，，因為，則，整理可得，即，又因為點Q在直線MN上，則，消m得，且且，可得得且，所以點Q在定直線：（且）上．【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.3．（23-24高二上·山東棗莊·期末）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，上頂點為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)記雙曲線的上、下頂點為、，為直線上一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)離心率和上頂點確定、，進而可得雙曲線方程；（2）直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得的值，進而可得定點.【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線方程為，因為該雙曲線的上頂點坐標(biāo)為0,2，則，則由可得，則，因此，雙曲線的方程為.（2）證明：由（1）可得、，設(shè)Mx1,y1若直線的斜率不存在，則點、關(guān)于軸對稱，從而可知，直線、關(guān)于軸對稱，則點在軸上，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，，設(shè)，則，，所以，，又，得，所以，，即，化簡得，解得，所以直線過定點0,4.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.4．（23-24高二下·山西長治·期末）已知雙曲線的右頂點到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)設(shè)過點的直線交于兩點，過且垂直于軸的直線與直線交于點，證明：以線段的中點為圓心且過坐標(biāo)原點的圓還過其他定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得出，再利用點到直線的距離求解b即可；（2）先證明圓心在直線上，再由圓的性質(zhì)可以求出圓經(jīng)過另一個定點.【詳解】（1）由于是右頂點，故.而到漸近線的距離均為，故由已知有.所以，解得.故的方程為.（2）如圖所示，記，并設(shè)的中點為，設(shè)，由于，假設(shè)的斜率不存在，那么的方程是，該直線與只有一個公共點，矛盾；所以的斜率存在，故可設(shè)其方程為.將該直線與聯(lián)立，得，即.所以該方程的兩根之和為.但，故此方程已有一根，從而另一根為.又.此時，由，知直線的方程為，而過且垂直于軸的直線為，故.這就得到的中點的坐標(biāo)為.由于.所以圓心在直線上，設(shè)原點關(guān)于直線的對稱點為,則有，解得，所以，因為，點O在圓上，所以點T也在圓上，故以線段的中點為圓心且過坐標(biāo)原點的圓一定經(jīng)過.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問關(guān)鍵在于知道圓心在直線上，又圓E經(jīng)過原點，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，原點關(guān)于直線的對稱點一定在圓E上.5．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點別為，，離心率為，過點的動直線l交E于A，B兩點，點A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長為，直線與E交于另一點C，直線與E交于另一點D，點P為橢圓E的下頂點，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓的定義和離心率，求解橢圓方程；（2）設(shè)點Ax1,y1，Bx2,y【詳解】（1）由橢圓定義可知，BF1所以的周長為，所以，又因為橢圓離心率為，所以，所以，又，所以橢圓的方程：．（2）設(shè)點Ax1,y1，B則直線的方程為，則，由得，，所以，因為，所以，所以，故，又，同理，，，由A，，B三點共線，得，所以，直線CD的方程為，由對稱性可知，如果直線CD過定點，則該定點在x軸上，令得，，故直線CD過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.6．（23-24高二下·山西長治·期末）已知拋物線C：，直線l：交于，兩點，當(dāng)，時，．(1)求拋物線的方程；(2)分別過點，作拋物線的切線，兩條切線交于點，且，分別交軸于，兩點，證明：的外接圓過定點．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程得到、的橫坐標(biāo)，用表示出AB，由解出，進而得到拋物線的方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得到，，再由切線、的方程分別求得，進而利用圓心是弦的垂直平分線的交點求得外接圓圓心，從而求得圓的方程，再由定點的求法即可得解.【詳解】（1）當(dāng)，時，直線，聯(lián)立得，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y聯(lián)立并整理得，由韋達(dá)定理得，，由得，從而，所以直線即，令得，所以同理直線，令得，所以聯(lián)立、：得，所以，因為，，所以的外接圓圓心落在直線上，由，知線段中點，，所以線段的垂直平分線方程為，聯(lián)立得，所以外接圓圓心坐標(biāo)為，所以，所以圓的方程為，即，令得，所以的外接圓過定點0,2.【點睛】方法點睛：過定點問題的處理：（1）若是證明直線過定點，可將直線設(shè)為斜截式，然后消掉一個參數(shù)，即得直線所過的定點；（2）證明圓過定點時，常利用直徑所對圓周角為直角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積恒為零處理；（3）證明曲線過定點的問題時，經(jīng)常將曲線中的參變量集中在一起，令其系數(shù)等于零，解得定點.【題型五】定直線問題一、解答題1．（23-24高二上·湖北·期末）已知拋物線的焦點為，設(shè)動點的坐標(biāo)為．(1)若，求過點與拋物線有且只有一個公共點的直線方程；(2)設(shè)過動點的兩條直線均與相切，且的斜率分別為，滿足．證明：動點在一條定直線上．【答案】(1)或；(2)證明見解析【分析】（1）分別討論直線斜率是否存在，利用判別式為0即可得直線方程；（2）設(shè)出直線方程并利用韋達(dá)定理可得，結(jié)合即可求出動點在直線上.【詳解】（1）當(dāng)經(jīng)過點P的直線不存在斜率時，直線方程即為，與拋物線拋物線C：有且只有一個公共點，符合題意，當(dāng)經(jīng)過點P的直線存在斜率時，不妨設(shè)直線方程為，代入拋物線方程化簡得：，，即，直線方程即為因此所求直線方程為或；（2）證明：設(shè)過點P與拋物線C的相切的切線方程為，由，消去整理得，因為與拋物線C相切，所以，即．又因為，是方程的兩根，則有，由，可得，即從而動點在直線上.2．（23-24高二上·福建福州·期末）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，，直線，相交于點P，且它們的斜率之積為，動點P的軌跡為Γ.(1)求Γ的方程，(2)動直線與Γ相交于不同的兩點C，D，若直線與直線相交于點M，判斷點M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)點在定直線上【分析】（1）設(shè)出點的坐標(biāo)，表示出直線、的斜率計算即可得其軌跡；（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程，借助韋達(dá)定理得到，再計算即可得.【詳解】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，因為點的坐標(biāo)為，所以直線的斜率，同理直線的斜率，由已知，有，化簡，得Γ的方程為；（2）點M位于定直線上，理由如下：

設(shè)，，由，得，所以，，，因為A，B兩點的坐標(biāo)分別為，2,0，直線方程為y=y1x1+2x+2由，得，又，代入得，由，得，即，所以，所以點在定直線上.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于聯(lián)立直線方程與曲線方程，得到與兩交點縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理得到，從而解決非對稱問題.3．（23-24高二上·云南·期末）已知雙曲線實軸端點分別為、，右焦點為，離心率為，過點的直線與雙曲線交于另一點，已知的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點的直線與雙曲線交于、兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由．【答案】(1)(2)在，且定直線方程為【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面積公式可求出的值，進而可得出、的值，由此可得出雙曲線的方程；（2）分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點Mx1,y1、Nx2,y2，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將