專題08二項(xiàng)式定理（考題猜想，易錯(cuò)必刷5大題型）【題型一】二項(xiàng)式系數(shù)和、最值問題【題型二】三項(xiàng)展開式問題【題型三】?jī)蓚€(gè)二項(xiàng)式相乘展開系數(shù)問題【題型四】項(xiàng)的系數(shù)和與賦值法【題型五】楊輝三角【題型一】二項(xiàng)式系數(shù)和、最值問題一、單選題1．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展開式中，所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的性質(zhì)，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為即得.【詳解】的展開式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為.故選：B.2．（23-24高二下·新疆巴音郭楞·期末）已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64得，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)【詳解】由的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，即，的展開式中共7項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故選：C3．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和為，且的系數(shù)為，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和為，求出，再寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)檎归_式的各二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，解得，所以展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以展開式中的系數(shù)為，解得.故選：C4．（23-24高二下·廣東廣州·期末）的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)只有第4項(xiàng)最大，則常數(shù)項(xiàng)為（

）A．160 B．20 C． D．【答案】C【分析】依題意，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，可知，從而可得展開式通項(xiàng)，令即可求得常數(shù)項(xiàng)的值．【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)展開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)只有第4項(xiàng)最大，所以，則展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，即展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：C．5．（23-24高二下·浙江湖州·期末）的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為，記展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，系數(shù)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)，并求值，再由二項(xiàng)式系數(shù)和是，而各項(xiàng)系數(shù)和是用賦值變量得到，從而解得結(jié)果.【詳解】由的展開式中常數(shù)項(xiàng)是第四項(xiàng)即：，解得，所以的展開式系數(shù)和為，即，而的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為，即，所以，故選：A.【題型二】三項(xiàng)展開式問題一、單選題1．（23-24高二下·福建·期末）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．141 D．140【答案】C【分析】利用多項(xiàng)式乘法寫出展開式的通項(xiàng)，令的次數(shù)為,計(jì)算可求常數(shù)項(xiàng)．【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為1；當(dāng)時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為；所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.2．（23-24高二下·湖北武漢·期末）的展開式中的系數(shù)是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式確定r的值即可求出系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_式中，通項(xiàng)公式,令，得，則，又,所以的系數(shù)為.故選：A.二、填空題3．（22-23高二下·山東青島·期末）在的展開式中，含的系數(shù)為.【答案】360【分析】把的展開式看成是5個(gè)因式的乘積形式，按照分步相乘原理，求出含項(xiàng)的系數(shù)即可．【詳解】把的展開式看成是5個(gè)因式的乘積形式，展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)可以按如下步驟得到：第一步，從5個(gè)因式中任選2個(gè)因式，這2個(gè)因式取，有種取法；第二步，從剩余的3個(gè)因式中任選2個(gè)因式，都取，有種取法；第三步，把剩余的1個(gè)因式中取，有種取法；根據(jù)分步相乘原理，得；含項(xiàng)的系數(shù)是故答案為：.【題型三】?jī)蓚€(gè)二項(xiàng)式相乘展開系數(shù)問題一、單選題1．（23-24高二下·云南大理·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．40 D．30【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式求解即可.【詳解】因?yàn)?所以展開式中的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為30.故選：D.2．（22-23高二下·河南鄭州·期末）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．240 C． D．180【答案】C【分析】由，寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又展開式的通項(xiàng)為，，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C3．（23-24高二下·重慶·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．30 D．55【答案】B【分析】根據(jù)的通項(xiàng)公式得到，，從而確定的展開式中的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，令得，令得，故的展開式中的系數(shù)為.故選：B4．（23-24高二下·貴州黔南·期末）已知的展開式中的系數(shù)為48，則實(shí)數(shù)＝（

）A．2 B．1 C． D．?2【答案】B【分析】先求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，將分為兩項(xiàng)，由的系數(shù)求解參數(shù)即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為．的展開式中，的系數(shù)為，解得．故選：B．5．（23-24高二下·山西呂梁·期末）若的展開式中常數(shù)項(xiàng)是20，則（

）A．-2 B．-3 C．2 D．3【答案】D【分析】由，寫出展開式的通項(xiàng)，從而得到展開式中常數(shù)項(xiàng)，即可得解.【詳解】，的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為；令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，因?yàn)榈恼归_式中常數(shù)項(xiàng)是20，所以，解得.故選：D.【題型四】項(xiàng)的系數(shù)和與賦值法一、單選題1．（23-24高二下·貴州安順·期末）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為32，則展開式中含的項(xiàng)是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】借助賦值法令可得，再利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得解.【詳解】令，則有，解得，對(duì)有，則有，故展開式中含的項(xiàng)是.故選：A.2．（23-24高二下·福建廈門·期末）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則該展開式中的系數(shù)是（

）A． B． C．60 D．240【答案】A【分析】先用賦值法求得項(xiàng)數(shù)n，再由多項(xiàng)式乘法分步得到完成項(xiàng)即可.【詳解】取代入，得，解得，展開式中的項(xiàng)是先從6個(gè)因式中選兩個(gè)取，再在其余4個(gè)因式中選三個(gè)取，剩下一個(gè)因式取，這樣得到的項(xiàng)為，故該展開式中的系數(shù)是.故選：A3．（23-24高二下·四川成都·期末）若，則（

）A． B．1 C．64 D．0【答案】D【分析】利用賦值法，將代入可求得結(jié)果.【詳解】令，則，所以，故選：D4．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末），則（

）A． B．0 C．32 D．64【答案】C【分析】利用賦值法即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，可得，令，可得，所?故選：C5．（23-24高二下·廣東肇慶·期末）若，則（

）A．4048 B． C．1 D．【答案】D【分析】通過賦值法令即可求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，結(jié)合，知均為負(fù)值，，令，得，故，故選：D.6．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展開式的通項(xiàng)求出，即可求出，從而得解.【詳解】因?yàn)?，令可得，令可得，所以，，又，其中展開式的通項(xiàng)為（且），所以，所以，所以.故選：B【題型五】楊輝三角一、單選題1．（23-24高二下·北京朝陽·期末）“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重要成就，本身包含許多有趣的性質(zhì)，如圖：則第8行的第7個(gè)數(shù)是（

）A．8 B．21 C．28 D．56【答案】C【分析】根據(jù)“楊輝三角”的特征，直接求出結(jié)果.【詳解】依題意，第8行的第7個(gè)數(shù)是.故選：C2．（23-24高二上·江西·期末）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由組合性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】,由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為,故選：B．3．（23-24高二下·廣東東莞·期末）如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右.現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先明確楊輝三角第20行的數(shù)的個(gè)數(shù)，通過和結(jié)合組合數(shù)對(duì)稱性質(zhì)得出楊輝三角第20行中比2024大的數(shù)的個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】由題意可知楊輝三角第20行共有21個(gè)數(shù)，其中從左往右第4個(gè)數(shù)為，從左往右第5個(gè)數(shù)為，所以根據(jù)組合數(shù)的對(duì)稱性得楊輝三角第20行的21個(gè)數(shù)里有個(gè)大于2024，故從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為.故選：D.4．（22-23高二下·廣東廣州·期末）“楊輝三角”是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．如圖所示，去除所有為1的項(xiàng)，依此構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前45項(xiàng)的和為（

）

A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】A【分析】根據(jù)“楊輝三角”的特點(diǎn)可知次二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)“楊輝三角”中的第行，從而得到第行去掉所有為的項(xiàng)的各項(xiàng)之和為：；根據(jù)每一行去掉所有為的項(xiàng)的數(shù)字個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的特點(diǎn)可求得至第行結(jié)束，數(shù)列共有項(xiàng)，則第項(xiàng)為，從而加和可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，次二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)“楊輝三角”中的第行則“楊輝三角”第行各項(xiàng)之和為：第行去掉所有為的項(xiàng)的各項(xiàng)之和為：從第行開始每一行去掉所有為的項(xiàng)的數(shù)字個(gè)數(shù)為：則：，即至第行結(jié)束，數(shù)列共有項(xiàng)第項(xiàng)為第行最后個(gè)不為的數(shù)，即為：前項(xiàng)的和為：故選：A5．（23-24高二上·山東德州·期末）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，得到如圖所示的萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，如果（為正整數(shù)），則下列結(jié)論中正確的是（

）第0行

第1行

第2行

第3行

……

……A．當(dāng)時(shí)中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值B．當(dāng)時(shí)中間一項(xiàng)為C．第6行第5個(gè)數(shù)是D．【答案】C【分析】根據(jù)萊布尼茨三角