第五章頻率域圖像處理數(shù)字圖像處理李俊山編著.《數(shù)字圖像處理（第5版）》

頻率域圖像是把空間域圖像像素的灰度值表示成隨位置變化的空間頻率，并以頻譜（也稱為頻譜圖））的形式表示圖像信息分布特征的一種表示方式。

頻率域圖像處理是指在圖像的頻率域中對圖像進(jìn)行某種處理的方法，這種方法以傅里葉變換為基礎(chǔ)，也即先通過傅里葉變換把圖像從空間域變換到頻率域，然后用頻率域方法對圖像進(jìn)行處理，處理完后再利用傅里葉反變換把圖像變換回空間域。5.1二維離散傅里葉變換5.1二維離散傅里葉變換

由于離散傅里葉變換描述了離散信號的時(shí)域及空間域表示與頻域表示的關(guān)系，所以利用基于離散傅里葉變換的時(shí)域與頻域分析方法可解決大多數(shù)圖像處理問題，因而離散傅里葉變換在圖像處理領(lǐng)域獲得了極為廣泛的應(yīng)用。

由于二維離散傅里葉變換對應(yīng)地可以描述成一個(gè)二維函數(shù)，所以下面介紹應(yīng)用于圖像處理的。1、二維離散傅里葉變換的定義

5.1.1二維離散傅里葉變換的定義和傅里葉頻譜

設(shè)f(x,y)是在空間域上等間隔采樣得到的M×N的二維離散信號，x和y是離散實(shí)變量，u和v為離散頻率變量，則二維離散傅里葉變換對一般地定義為：

(u=0,1,…,M-1；v=0,1,…,N-1)(5.1)

(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1)

(5.2)

1、二維離散傅里葉變換的定義

在圖像處理中，有時(shí)為了討論上的方便，取M=N，并考慮到正變換與反變換的對稱性，就將二維離散傅里葉變換對定義為：

5.1.1二維離散傅里葉變換的定義和傅里葉頻譜

(5.3)

(5.4)

(

1、二維離散傅里葉變換的定義根據(jù):

(5.5)可知，F(xiàn)(u,v)的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)復(fù)數(shù)結(jié)果，用R(u,v)表示其實(shí)部，用I(u,v)表示其虛部，可將二維離散傅里葉變換的頻譜和相位角分別定義為：(5.6)

和歐拉公式:2、圖像的傅里葉頻譜特性及頻譜圖傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域。

5.1.1二維離散傅里葉變換的定義和傅里葉頻譜

(a)圖像(b)圖像的原頻譜圖

性質(zhì)包括：線性性、可分離性、平均值性質(zhì)、周期性、共扼對稱性、空間位置和空間頻率的平移性、旋轉(zhuǎn)性、尺度變換性、卷積性質(zhì)等。

本節(jié)僅介紹幾種比較重要且與書中內(nèi)容有關(guān)的性質(zhì)。

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)1、變換系數(shù)矩陣

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)根據(jù)變換式(5.4)，由于u和v均有0,1,…,N-1的N個(gè)可能的取值，所以f(x,y)由N2個(gè)頻率分量組成，所以每個(gè)頻率分量都與一個(gè)特定的(u,v)值相對應(yīng)；

且對于某個(gè)特定的(u,v)值來說，當(dāng)(x,y)取遍所有可能的值(x=0，1，…，N-1；y=0，1，…，N-1）時(shí)，就可得到對應(yīng)于該特定的(u,v)值的一個(gè)變換系數(shù)矩陣：{下一頁}(5.4)

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)1、變換系數(shù)矩陣

可見，該矩陣的值僅與N有關(guān)，與f(x,y)無關(guān)。

2、可分離性

式(5.3)的二維離散傅里葉正變換對可寫成式(5.8)的分離形式：

(5.3)

(5.8)5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)2、可分離性

上述的可分離表示形式說明，可以連續(xù)運(yùn)用兩次一維DFT來實(shí)現(xiàn)一個(gè)二維DFT：

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)(5.8)2、可分離性

行變換列變換5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)2、可分離性

同理，式(5.4)的二維離散傅里葉反變換對可寫成式（5.9）的分離形式：

(5.4)

(5.9)5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)3、平均值

一幅圖像的灰度平均值可表示為：5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)所以，一幅圖像的灰度平均值可由DFT在原點(diǎn)處的值求得，即(5.14)如果將u=v=0代入式(5.3)：可得：

(5.12)(5.13)4、周期性

對于M×N的圖像和二維離散傅里葉變換對的一般定義式(5.1)和(5.2)，F(xiàn)(u,v)的周期性定義為：5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)(5.16)(m,n=0,±1,±2,…）5、共軛對稱性

設(shè)f(x,y)為實(shí)函數(shù)，則其傅里葉變換F(u,v)具有共軛對稱性：5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)(5.17)(5.18)6、平移性

對于M×N的圖像f(x,y)和二維離散傅里葉變換對的一般定義式(5.1)和(5.2)，若設(shè)用符號表示函數(shù)與其傅里葉變換的對應(yīng)性，則傅里葉變換的平移性可表示為：其中，式(5.19)說明，給函數(shù)乘以一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，就相當(dāng)于把其變換后的傅里葉頻譜在頻率域進(jìn)行平移。

式(5.20)說明，給傅里葉頻譜乘以一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，就相當(dāng)于把其反變換后得到的函數(shù)在空間域進(jìn)行平移。

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)(5.19)(5.20)6、平移性

可見，當(dāng)空域中f(x,y)產(chǎn)生移動時(shí)，在頻域中只發(fā)生相移，而傅立葉變換的幅值不變，即：

同理，當(dāng)頻域中F(u,v)產(chǎn)生移動時(shí)，相應(yīng)的f(x,y)在空域中也只發(fā)生相移，而幅值不變。5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)1、圖像傅里葉頻譜關(guān)于(M/2，N/2)的對稱性

5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析(5.21)設(shè)f(x,y)是一幅大小為M×N的圖像，根據(jù)離散傅立葉變換的周期性公式(5.16)，有：(5.22)再根據(jù)式(5.21)和離散傅立葉變換的共軛對稱性式(5.18)，可得：(5.16)(m,n=0,±1,±2,…）

(5.18)根據(jù)(5.22)，對于u=0，M-U=M當(dāng)u=0、v=0時(shí)：當(dāng)u=0、v=1時(shí)：當(dāng)u=0、v=2時(shí)：┆┆當(dāng)u=0、v=N/2時(shí)：0N/2NMM/2(M,N)(M/2,N/2)ABCDvu(M/2,N)(M,N/2)1、圖像傅里葉頻譜關(guān)于(M/2，N/2)的對稱性

(5.22)5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析1、圖像傅里葉頻譜關(guān)于(M/2，N/2)的對稱性

同理，對于v=0，N–v=N：當(dāng)u=0、v=0時(shí)：當(dāng)u=1、v=0時(shí)：當(dāng)u=2、v=0時(shí)：┆┆當(dāng)u=M/2、v=0時(shí)：由此可得：

頻譜圖A區(qū)與D區(qū)和B區(qū)與C區(qū)關(guān)于坐標(biāo)(M/2,N/2)對稱。5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析(5.22)1、圖像傅里葉頻譜關(guān)于(M/2，N/2)的對稱性

下圖是原點(diǎn)坐標(biāo)位于(0,0)的圖像的傅里葉變換頻譜關(guān)于(M/2,N/2)對稱的兩個(gè)例子。

關(guān)于(M/2,N/2)對稱示例1/示例2

(a)圖像(b)圖像的原頻譜圖(a)圖像(b)圖像的原頻譜圖5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析2、原點(diǎn)坐標(biāo)平移到(M/2，N/2)后的傅里葉頻譜

(0,0）(M/2,N/2）vuvu0NM(M,N）yx0NM(M,N）vu5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析

◆將原點(diǎn)坐標(biāo)平移到(M/2，N/2)的方法：

比較如下3圖可知：vu5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析

只要把左上角的A區(qū)向下和向右平移到D區(qū)；把其右下角的D區(qū)向上和向左平移到A區(qū)；把其右上角的B區(qū)向下和向左平移到C區(qū)；把其左下角的C區(qū)向上和向右平移到B區(qū)，就可以得到關(guān)于（M/2,N/2）的圖像傅里葉頻譜圖，即中心對稱的頻譜圖。2、原點(diǎn)坐標(biāo)平移到(M/2，N/2)后的傅里葉頻譜

圖5.1(b)坐標(biāo)位于(0,0)的頻譜圖圖5.2(b)坐標(biāo)位于(0,0)的頻譜圖圖5.6原點(diǎn)平移到(M/2，N/2)后的頻譜圖

原點(diǎn)在(0,0)的頻譜圖:5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析(a)(b)2、原點(diǎn)坐標(biāo)平移到(M/2，N/2)后的傅里葉頻譜

（a）原圖像（b）移動前的幅度譜（c）移動后幅度譜5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析離散傅里葉變換的-頻譜示例

離散傅里葉變換的-頻譜示例

離散傅里葉變換的-頻譜示例

離散傅里葉變換的-頻譜示例

3、對圖像進(jìn)行傅里葉變換的意義

（1）簡化計(jì)算，在空間域中處理圖像時(shí)所進(jìn)行的復(fù)雜的卷積運(yùn)算，等同于在頻率域中簡單的乘積運(yùn)算。5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析4、對圖像進(jìn)行傅里葉變換的意義

（2）由于在用頻譜圖表示的頻率域圖像中，中心部位是能量集中的低頻特征，反映的是圖像的平滑部分；隨著不斷遠(yuǎn)離頻譜圖的中心位置，對應(yīng)于空間圖像中變化越來越快的細(xì)節(jié)、邊緣、結(jié)構(gòu)復(fù)雜區(qū)域、突變部位和噪聲等高頻成分逐漸加強(qiáng)。所以，在頻率域中濾波的概念更為直觀，更容易理解；也即，某些在空間域中難于處理或處理起來比較復(fù)雜的問題，在頻率域卻比較容易處理。5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析4、對圖像進(jìn)行傅里葉變換的意義

（3）某些只能在頻率域處理的特定應(yīng)用需求，比如頻率域圖像特征提取、數(shù)據(jù)壓縮、紋理分析、水印嵌入等。

5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析5.1.4快速離散傅里葉變換及其實(shí)現(xiàn)1、快速離散傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)思路

在數(shù)字圖像處理中，當(dāng)M×N圖像陣列的M和N較大時(shí)，直接利用離散傅里葉變換的定義式進(jìn)行計(jì)算由于計(jì)算量非常大，以至于在實(shí)際中是無法實(shí)現(xiàn)的?？焖匐x散傅里葉變換算法的出現(xiàn)，才使得傅里葉變換用于實(shí)際的圖像處理成為可能。

且一般都是將二維圖像的處理是分別通過按行和按列執(zhí)行一維算法實(shí)現(xiàn)。

5.1.4快速離散傅里葉變換及其實(shí)現(xiàn)2、串行計(jì)算二維DFT的方法設(shè)f(x,y)是N×N的二維實(shí)序列，為表述方便，把看作是N×N的圖像像素陣列，稱：為圖像像素矩陣的二維離散傅里葉變換(2D-DFT）。其逆變換(2D-IDFT）為：

其中：

是變換核。

（5.23）（5.24）5.1.4快速離散傅里葉變換及其實(shí)現(xiàn)2、串行計(jì)算二維DFT的方法

根據(jù)二維傅里葉變換的可分離性，正變換式可改寫成:

上式的表示形式說明，對于二維DFT，可先對圖像像素矩陣的各列分別進(jìn)行列傅里葉變換(簡稱列變換），然后再對變換結(jié)果的各行分別進(jìn)行行傅里葉變換(簡稱行變換），這樣就可利用一維FFT算法串行計(jì)算二維DFT。

5.1.4快速離散傅里葉變換及其實(shí)現(xiàn)2、串行計(jì)算二維DFT的方法(0,0）(0,0）(0,0）N-1N-1N-1N-1N-1N-1逐列變換

逐行變換

5.1.4快速離散傅里葉變換及其實(shí)現(xiàn)2、串行計(jì)算二維DFT的方法

為了簡化程序,可把列變換后的結(jié)果進(jìn)行轉(zhuǎn)置，這樣在進(jìn)行行變換時(shí)就可應(yīng)用列變換的程序，最后再把行變換后的結(jié)果進(jìn)行一次轉(zhuǎn)置即為變換結(jié)果。二維正變換的流程可簡要描述為：

5.1.4快速離散傅里葉變換及其實(shí)現(xiàn)3、二維DFT的Matlab編程

相關(guān)函數(shù)：（1）F=fft2(f1);%二維傅里葉變換

（2）FS=fftshift(F);%將變換的頻率圖像四角移動到中心

（3）S=log(1+abs(FS));%對頻譜進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算，提升中心低頻部分，為了更好地顯示

（4）fr=real(ifft2(ifftshift(FS)));%二維傅里葉逆變換5.1.4快速離散傅里葉變換及其實(shí)現(xiàn)3、二維DFT的Matlab編程

（5）ret=im2uint8(mat2gray(fr))其中：①mat2gray的功能是實(shí)現(xiàn)圖像矩陣的歸一化操作。②im2uint8的功能是把圖像數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換為無符號八位整型。

【例】傅里葉變換（Fouriertransform）matlab程序(Fourier_T51.m)clc;clearall;closeall;gray_img=imread('d:\0_matlab圖像課編程\girl.jpg')%讀灰度圖像FT_img=fft2(gray_img);%二維傅里葉正變換FTS_img=fftshift(FT_img);%分4塊平移頻譜圖，實(shí)現(xiàn)頻譜圖的中心對稱FTS_log_img=log(1+abs(FTS_img));%頻譜圖對數(shù)運(yùn)算Inverse_I=ifftshift(FTS_img);%反移頻譜中心Inverse_img=real(ifft2(Inverse_I));%傅里葉逆變換，并取變換結(jié)果的實(shí)部Inverse_FT_img=uint8(Inverse_img);%轉(zhuǎn)換成8位圖像subplot(1,3,1);imshow(gray_img);title('原灰度圖像');subplot(1,3,2);imshow(FTS_log_img,[]);title('傅立葉頻譜圖像');subplot(1,3,3);imshow(Inverse_FT_img);title('反變換結(jié)果圖像');5.1.4快速離散傅里葉變換及其實(shí)現(xiàn)3、二維DFT的Matlab編程

5.2頻率域圖像處理的實(shí)現(xiàn)思路

二維離散傅里葉變換很好地描述了二維離散信號的空間域與頻域之間的關(guān)系，所以對于那些在空間域中表述起來比較困難，甚至是不太可能實(shí)現(xiàn)的圖像處理問題，可以先通過對圖像進(jìn)行離散傅里葉變換把圖像變換到頻率域，然后利用適當(dāng)?shù)念l率域圖像處理方式對圖像進(jìn)行處理，處理完后再把它轉(zhuǎn)換回空間域中，就可解決那些在空間域不便于解決的圖像處理問題。

由傅立葉頻譜的特性可知，u和v同時(shí)為0時(shí)的頻率成分對應(yīng)于圖像的平均灰度級。當(dāng)從(傅立葉)變換的原點(diǎn)離開時(shí)，低頻對應(yīng)著圖像的慢變化分量，比如一幅圖像中較平坦的區(qū)域；當(dāng)進(jìn)一步離開原點(diǎn)時(shí)，較高的頻率開始對應(yīng)圖像中變化越來越快的灰度級，它們反映了一幅圖像中物體的邊緣和灰度級突發(fā)改變(如噪聲)部分的圖像成分。

頻率域圖像增強(qiáng)正是基于這種機(jī)理，通過對圖像的傅立葉頻譜進(jìn)行低通濾波(使低頻通過，使高頻衰減)來慮除噪聲，通過對圖像的傅立葉頻譜進(jìn)行高通濾波(使高頻通過，使低頻衰減)突出圖像中的邊緣和輪廓。

5.2.1基本實(shí)現(xiàn)思想5.2.1基本實(shí)現(xiàn)思想5.2.1基本實(shí)現(xiàn)思想

以上過程可簡要地描述為圖5.7。g(x,y)結(jié)果圖像f(x,y)輸入圖像F(u,v)H(u,v)F(u,v)傅立葉變換頻率濾波H(u,v)傅立葉反變換前處理后處理圖5.9頻率域圖像增強(qiáng)步驟

5.2.1基本實(shí)現(xiàn)思想轉(zhuǎn)移函數(shù)H(u,v)的設(shè)計(jì):

一是先憑直觀感覺選擇一個(gè)理想的濾波器模型，然后通過反復(fù)的濾波實(shí)驗(yàn)和參數(shù)修正來逼近并設(shè)計(jì)出實(shí)際的濾波器。

二是利用頻率成分和圖像外表之間的對應(yīng)關(guān)系選擇頻率域?yàn)V波器。

三是基于數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則設(shè)計(jì)頻率域?yàn)V波器。5.2.2轉(zhuǎn)移函數(shù)的設(shè)計(jì)

對于大小為M×N的函數(shù)f(x,y)和h(x,y)，其卷積形式表示為：

用F(u,v)和H(u,v)分別表示f(x,y)和h(x,y)的傅立葉變換，則有傅立葉變換變換對：（5.29）

（5.30）

也即，空間域的卷積在頻率域簡化為相乘，頻率域的卷積在空間域簡化為相乘；有時(shí)也可以將頻率域的濾波器函數(shù)變換到空間域，然后再在空間域?qū)D像進(jìn)行濾波運(yùn)算。

5.2.2轉(zhuǎn)移函數(shù)的設(shè)計(jì)

5.3基于頻率域的圖像噪聲消除——頻率域低通濾波

在頻率域中，圖像中的噪聲和邊緣對應(yīng)于傅立葉頻譜的高頻部分，選擇能使低頻通過、使高頻衰減的轉(zhuǎn)移函數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)低通濾波，達(dá)到慮除噪聲的目的。5.3.1理想低通濾波器

1.

理想低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)定義

其中，D0是1個(gè)非負(fù)整數(shù)，D(u,v)為頻率平面從原點(diǎn)到點(diǎn)(u,v)的距離。（5.31）

D(u,v)的值：

設(shè)已經(jīng)將傅里葉頻譜的原點(diǎn)平移到(M/2,N/2），則點(diǎn)（u,v）到頻率平面原點(diǎn)(M/2,N/2)的距離為：（5.32）

(0,0）(M/2,N/2）vu5.3.1理想低通濾波器

1.

理想低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)定義

2.

理想低通濾波器的含義在半徑為D0的圓內(nèi)，所有的頻率沒有衰減地通過該濾波器；而在此半徑的圓之外的所有頻率完全被衰減掉。所以稱D0為截至頻率。5.3.1理想低通濾波器

3.

理想低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)橫截面圖和透視圖

1（a）轉(zhuǎn)移函數(shù)（b）透視圖該透視圖的含義是：

只有那些位于該圓柱體內(nèi)的頻率范圍的信號才能通過，而位于圓柱體外的頻率成分都將被慮除掉。頻譜幅度譜5.3.1理想低通濾波器

例5.1頻率域理想低通濾波器的濾波效果及低頻特性分析若一般地設(shè)R為截止頻率的圓周半徑，EB為圓周內(nèi)能量（圖像功率）與原圖像總能量（總功率）的百分比，根據(jù)圖像信號能量在頻率域上的分布有：(5.33)

5.3.1理想低通濾波器

例5.1（續(xù)1）

(a)原圖像(b)頻譜圖

(c)截止頻率半徑10

(d)截止頻率半徑20(e)截止頻率半徑40(f)截止頻率半徑80

1.巴特沃斯低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)定義（5.34）

其中，D0為截至頻率，D(u,v)為頻率平面從原點(diǎn)到點(diǎn)(u,v)的距離，且D(u,v)由下式給出。即：5.3.2巴特沃斯低通濾波器（5.32）

2.轉(zhuǎn)移函數(shù)橫截面圖和透視圖（階數(shù)n為1～4）

（a）轉(zhuǎn)移函數(shù)（b）透視圖透視圖的含義是：只有那些位于該草帽型體內(nèi)的頻率范圍的信號才能通過，而位于草帽型體外的頻率成分都將被慮除掉。頻譜幅度譜5.3.2巴特沃斯低通濾波器圖5.13是利用巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行圖像去噪的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。5.3.2巴特沃斯低通濾波器【例】利用巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行圖像去噪matlab編程。clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab圖像課編程\lena.jpg');Noisy_img=imnoise(img0,‘salt&pepper’,0.02);%噪聲密度為0.02的椒鹽噪聲f=double(Noisy_img);FT_img=fft2(f);%傅里葉變換FTS_img=fftshift(FT_img);%平移頻譜圖為中心對稱D0=input('\n請輸入非負(fù)的截止頻率值(10/20/30)D0=')%正整數(shù)n=input('\n請輸入巴特奧斯濾波器的階數(shù)(1/2/3)n=');%濾波器階數(shù)1至3[h,w]=size(img0);M=fix(h/2);N=fix(w/2);%將h/2和w/2分別向零方向(向下)取整foru=1:hforv=1:wduv=sqrt((u-M)^2+(v-N)^2);huv=1/(1+(duv/D0)^(2*n));%計(jì)算巴特奧斯低通濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)值

huv_img(u,v)=huv*FTS_img(u,v);%對傅里葉頻譜進(jìn)行濾波

endend【例】利用巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行圖像去噪matlab編程。Inverse_I=ifftshift(huv_img);%反移頻譜中心Inverse_img=real(ifft2(Inverse_I));%傅里葉逆變換，并取變換結(jié)果的實(shí)部Inverse_H_img=uint8(Inverse_img);%轉(zhuǎn)換成8位圖像figure;subplot(1,3,1);imshow(img0);title('原圖像');subplot(1,3,2);imshow(Noisy_img);title('加入椒鹽噪聲圖像');subplot(1,3,3);imshow(Inverse_H_img);title('低通濾波結(jié)果圖像');截至頻率D0=10，濾波器階數(shù)n=2

1.二維高斯低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)定義（5.35）

其中，D(u,v)為頻率平面從原點(diǎn)到點(diǎn)(u,v)的距離，σ

表示高斯曲線擴(kuò)展的程度，且D(u,v)由下式給出：當(dāng)σ

=D0時(shí)，可得到高斯低通濾波器的一種更為標(biāo)準(zhǔn)的表示形式：（5.36）

5.3.3高斯低通濾波器（5.32）

2.轉(zhuǎn)移函數(shù)橫截面圖和透視圖（D=10,20,40,100）

透視圖的含義是：只有那些位于該草帽型體內(nèi)的頻率范圍的信號才能通過，而位于草帽型體外的頻率成分都將被慮除掉。（a）轉(zhuǎn)移函數(shù)（b）透視圖頻譜幅度譜5.3.3高斯低通濾波器5.4基于頻率域的圖像增強(qiáng)——頻率域高通濾波

在頻率域中，圖像中的邊緣和灰度的陡峭變化對應(yīng)于傅立葉頻譜的高頻部分，選擇能使高頻通過、使低頻衰減的轉(zhuǎn)移函數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)高通濾波，達(dá)到突出圖像的高頻邊緣成分，實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)的效果。

1.理想高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)定義（5.37）

其中，D0為截至頻率；D(u,v)為頻率平面從原點(diǎn)到點(diǎn)(u,v)的距離，且D(u,v)由下式給出：5.4.1理想高通濾波器

（5.32）

2.理想高通濾波器的含義將以半徑為D0的圓周內(nèi)的所有頻率置零，而讓圓周外的所有頻率毫不衰減地通過。

5.4.1理想高通濾波器

3.轉(zhuǎn)移函數(shù)的橫截面圖和透視圖1透視圖的含義是：只有那些位于該圓柱體外的頻率范圍的信號才能通過，而位于圓柱體內(nèi)的頻率成分都將被慮除掉。5.4.1理想高通濾波器

（a）轉(zhuǎn)移函數(shù)

（b）透視圖

1.巴特沃斯高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)定義（5.38）

其中，D0為截至頻率；D(u,v)為頻率平面從原點(diǎn)到點(diǎn)(u,v)的距離，且D(u,v)由下式給出：5.4.2巴特沃斯高通濾波器（5.32）

2.

轉(zhuǎn)移函數(shù)的橫截面圖和透視圖透視圖的含義是：只有那些位于該倒立型草帽體外的頻率范圍的信號才能通過,而位于倒立型草帽體內(nèi)的頻率成分都將被慮除掉。5.4.2巴特沃斯高通濾波器（a）轉(zhuǎn)移函數(shù)

（b）透視圖

1.高斯高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)定義（5.39）

其中，D(u,v)為頻率平面從原點(diǎn)到點(diǎn)(u,v)的距離，且D(u,v)由下式給出：5.4.3高斯高通濾波器（5.32）

2.轉(zhuǎn)移函數(shù)的橫截面圖和透視圖透視圖的含義是：只有那些位于該倒立型草帽體外的頻率范圍的信號才能通過,而位于倒立型草帽體內(nèi)的頻率成分都將被慮除掉。5.4.3高斯高通濾波器（a）轉(zhuǎn)移函數(shù)

（b）透視圖

圖5.18是用高斯高通濾波器進(jìn)行圖像增強(qiáng)時(shí)取不同截止頻率時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。5.4.3高斯高通濾波器（a）原圖（b）D0=30（c）D0=60

由上圖可以看出：隨著D0值的增大，增強(qiáng)效果更加明顯，即使對于微小的物體和細(xì)線條，用高斯濾波器濾波后也比較清晰。5.4.3高斯高通濾波器【例】利用高斯高通濾波器進(jìn)行圖像增強(qiáng)matlab編程。clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab圖像課編程\girl.jpg');f=double(img0);FT_img=fft2(f);%傅里葉變換FTS_img=fftshift(FT_img);%平移頻譜圖為中心對稱D0=input('\n請輸入非負(fù)的截止頻率值(10/20/30/40)D0=')%正整數(shù)[h,w]=size(img0);M=fix(h/2);N=fix(w/2);%將h/2和w/2分別向零方向(向下)取整d=2*D0^2;foru=1:hforv=1:wduv=sqrt((u-M)^2+(v-N)^2);huv=1-exp(-duv^2/d);%計(jì)算高斯高通濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)值

huv_img(u,v)=huv*FTS_img(u,v);%對傅里葉頻譜進(jìn)行濾波

endend【例】利用巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行圖像去噪matlab編程。Inverse_I=ifftshi