江蘇省揚(yáng)州市高郵市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部是（

）A． B． C．1 D．22．已知的頂點(diǎn)為，，，則邊上的中線長為（

）A． B． C． D．63．已知直線：在軸上的截距是在軸上的截距的3倍，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．6 B． C．或1 D．6或14．已知在圓：外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．5．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到：橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，其面積為，若橢圓上一點(diǎn)滿足，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．6．已知圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則弦的長度為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線的一個頂點(diǎn).以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．8．已知圓：的切線與圓：交于，兩點(diǎn)，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，，且四邊形是矩形，則（

）A．直線的斜率為B．直線的方程為C．四邊形的面積為6D．以為直徑的圓的方程為10．已知左、右焦點(diǎn)分別為，的橢圓上有一動點(diǎn)（異于長軸端點(diǎn)，），則下列說法正確的是（

）A．的取值范圍為B．射線與橢圓交于點(diǎn)，則的最小值為C．橢圓上存在4個不同的點(diǎn)，使得為直角三角形D．直線，的斜率之積為11．高郵融合歷史與現(xiàn)代，將“好事成雙”提煉為文旅品牌.郵城一位數(shù)學(xué)老師設(shè)計(jì)了“雙核”曲線，其方程為.對于曲線，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)B．曲線上存在唯一的點(diǎn)，使得點(diǎn)到與到的距離之差為8C．曲線所圍成的封閉曲線面積小于D．若曲線上恰好存在4個不同點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三、填空題12．與雙曲線：有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為.14．橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若內(nèi)切圓的半徑，則橢圓的離心率為.四、解答題15．已知復(fù)數(shù).(1)若是關(guān)于的方程的一個根，求的值；(2)若復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù).16．已知三條直線：，：，：，且與間的距離是.(1)求的值；(2)求過直線與的交點(diǎn)，且垂直于的直線方程；(3)求與平行且到，距離相等的直線的方程.17．在人工智能實(shí)驗(yàn)室中，一個追蹤機(jī)器人從點(diǎn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)一個目標(biāo)機(jī)器人在點(diǎn)處正欲逃跑.追蹤機(jī)器人最大速度是目標(biāo)機(jī)器人最大速度的2倍.假設(shè)兩個機(jī)器人均按直線方向以最大速度移動.

(1)若追蹤機(jī)器人在點(diǎn)處成功攔截目標(biāo)機(jī)器人，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)問：無論目標(biāo)機(jī)器人沿何方向逃跑，追蹤機(jī)器人是否總能在安全區(qū)（的區(qū)域）內(nèi)成功攔截?并說明理由.18．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，射線與橢圓交于點(diǎn)，的周長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過點(diǎn)且與橢圓只有一個公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)過點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn).19．已知雙曲線：，過右焦點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，交兩條漸近線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明：點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值；(2)求面積的最小值；(3)記，，的面積分別為，，，求的取值范圍.

參考答案題號12345678910答案BCCADBBAABDAC題號11答案ABD1．B【分析】由復(fù)數(shù)的除法結(jié)合實(shí)部的概念可得.【詳解】，所以的實(shí)部是.故選：B.2．C【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求AB中點(diǎn)，再用兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】設(shè)AB中點(diǎn)為D，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，則邊上的中線長即為CD長度，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可知：，故邊上的中線長為.故選：C.3．C【分析】根據(jù)直線的一般式方程，求出直線在軸與軸上的截距，注意計(jì)算時不隨意約分，造成漏解.【詳解】由題可知若，則直線在軸上的截距不存在，不符合題意，因此.令，得直線在軸上的截距為；令，得直線在軸上的截距為,,解得或.故選：C.4．A【分析】先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，分別根據(jù)圓的存在性和點(diǎn)在圓外的條件列不等式，求解后取交集得到的取值范圍.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式.因?yàn)閳A存在，所以，即.點(diǎn)在圓外，圓心為，點(diǎn)到圓心的距離的平方為，半徑的平方為，故，解得.綜上，.故選：A5．D【分析】先根據(jù)焦點(diǎn)位置確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再利用橢圓定義求，結(jié)合面積公式求，進(jìn)而得到標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)闄E圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓定義，，得.又橢圓面積為，由題知，即，解得，故，，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D6．B【分析】先求出圓圓心坐標(biāo)、半徑，再求出直線的方程，再結(jié)合弦長公式即可求解.【詳解】圓：即圓：，圓心坐標(biāo)、半徑依次為，圓：與圓：方程相減得，，即，圓心到直線的距離為，所以.故選：B.7．B【分析】將以為直徑的圓的方程與雙曲線的一條漸近線聯(lián)立，可求出點(diǎn)、坐標(biāo)，再利用大小計(jì)算可得，即可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由雙曲線對稱性，不妨設(shè)、在漸近線上，且，是雙曲線左頂點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，則，，又，則，設(shè)其右頂點(diǎn)為，故，故，則，則雙曲線的漸近線方程為.故選：B.8．A【分析】面積的大小與線段的長度有關(guān)，要求面積的取值范圍，只需求出的范圍，即可求解．【詳解】圓的切線交圓于，兩點(diǎn)，則面積為（為圓的半徑），圓：的半徑為，是圓：的一條弦，圓：的圓心為，半徑為，圓心到的距離最小時，最大，圓心到的距離最大時，最小，如圖：的最小值為，的最大值為，面積的最小值為，面積的最大值為.因此，面積的取值范圍是.故選：A.9．ABD【分析】利用兩點(diǎn)斜率公式計(jì)算斜率求解判斷A；結(jié)合矩形對邊平行及兩點(diǎn)式斜率公式求得直線的斜率，然后代入點(diǎn)斜式直線方程并化簡即可判斷B；利用兩點(diǎn)距離公式求出，即可求解矩形面積判斷C；根據(jù)矩形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求以為直徑的圓的方程，求出圓心和半徑，即可求解圓的方程判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，，所以直線的斜率為，正確；對于B，由，得直線的斜率為，所以直線的斜率為1，又，所以直線的方程為即，正確；對于C，因?yàn)?，，，所以，，所以矩形的面積為，錯誤；對于D，根據(jù)矩形性質(zhì)可知，以為直徑的圓也是以為直徑的圓，則圓心為AC中點(diǎn)即，半徑為，所以所求圓的方程為，即，正確.故選：ABD10．AC【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)計(jì)算判斷AB，根據(jù)直角頂點(diǎn)的位置分類討論可判斷C，結(jié)合直線的斜率公式計(jì)算可判斷D.【詳解】對于A，橢圓，，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，的取值范圍為，點(diǎn)異于長軸端點(diǎn)，，所以的取值范圍為，A正確.對于B，根據(jù)焦點(diǎn)弦中通徑最短可得，的最小值為，B錯誤.對于C，當(dāng)軸時，，此時為直角.當(dāng)軸時，，此時為直角.當(dāng)，即時，設(shè)，由，，，因?yàn)椋瑹o解，綜上可知，橢圓上存在4個不同的點(diǎn)，使得為直角三角形，C正確.對于D，設(shè)，，D錯誤.故選：AC.11．ABD【分析】分析曲線C在各個象限的方程，可得其圖象是四段圓弧圍成的封閉曲線.根據(jù)直線與各段弧相應(yīng)的圓相切時的值，確定直線與曲線有唯一公共點(diǎn)時k的取值范圍，從而判斷A；由雙曲線的定義，結(jié)合圖象判斷滿足條件的點(diǎn)只有一個，從而判斷B；由弓形面積的計(jì)算方法估計(jì)封閉曲線的面積，從而判斷C；根據(jù)直線與圓相切及平行線間的距離，結(jié)合圖象可確定實(shí)數(shù)的取值范圍，從而判斷D.【詳解】對于曲線：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以其圖象是四段圓弧圍成的封閉曲線.

對于A，直線與曲線均過坐標(biāo)原點(diǎn)，因此直線與曲線有唯一公共點(diǎn)時，該公共點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn).若，當(dāng)與直線，即相切時，，解得，所以當(dāng)時，直線與曲線在第一象限及y軸（除坐標(biāo)原點(diǎn)）無交點(diǎn)；

若，當(dāng)與直線，即相切時，，解得，所以當(dāng)時，直線與曲線在第二象限無交點(diǎn)；

同理可得當(dāng)時，直線與曲線在第三象限無交點(diǎn)；當(dāng)時，直線與曲線在第四象限及y軸（除坐標(biāo)原點(diǎn)）無交點(diǎn).綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時，直線與曲線有唯一公共點(diǎn).所以選項(xiàng)A正確.對于B，由雙曲線的定義可知，到與到的距離之差為8的點(diǎn)在以與為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的雙曲線的下支上，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.與曲線C有且只有一個交點(diǎn)，即.所以選項(xiàng)B正確.

對于C，曲線所圍成的封閉曲線由四個相同的弓形組成.如圖，的面積為.，所以.所以，所以所在扇形的面積大于，每個弓形的面積大于，所以四個弓形的面積大于.所以選項(xiàng)C錯誤.

對于D，當(dāng)直線與相切時，，解得；同理可得，當(dāng)直線與相切時，；當(dāng)直線與相切時，；當(dāng)直線與相切時，.如圖記設(shè)直線到直線的距離為1，則解得；設(shè)直線到直線的距離為1，則解得或；設(shè)直線到直線的距離為1，則解得，或；設(shè)直線到直線的距離為1，則解得.因?yàn)榍€上恰好存在4個不同點(diǎn)到直線的距離為1，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.所以選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.12．【分析】設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入求出的值，從而可得雙曲線方程.【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為，又經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，解得或(舍)，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.13．/【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，確定復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在圓上，結(jié)合的幾何意義以及圓的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，即復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在圓上，而表示的是z對應(yīng)的點(diǎn)和復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，則的最大值即為圓上的點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離的最大值，由于，即在圓外，則圓上的點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離的最大值為，即的最大值為，故答案為：14．【分析】利用余弦定理找到，再將的面積為用表示，利用三角形內(nèi)切圓半徑公式找到，利用正弦定理得出，使兩個式子相等，解出，根據(jù)離心率公式即可得到答案.【詳解】設(shè)，.由橢圓定義可知：，，，在中，利用余弦定理可知：，而，所以，故，而的面積為，的周長為：，由三角形內(nèi)切圓半徑公式可知：，在中，利用正弦定理可知：，所以由題知：，化簡得：，故橢圓的離心率.故答案為：.15．(1)(2)或.【分析】（1）將代入方程中，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得；（2）設(shè)，結(jié)合復(fù)數(shù)模長公式及復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】（1）由是關(guān)于的方程的一個根，所以，即有，化簡得，則；（2）設(shè)，所以，又，且是純虛數(shù)，所以，解得或，所以或.16．(1)(2)(3)【分析】（1）將方程化為，利用兩平行線距離公式列式求解即可；（2）先聯(lián)立方程求得直線與的交點(diǎn)，然后利用垂直關(guān)系設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；（3）由題可設(shè)所求直線方程為，利用平行線距離列式求得，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋海?，所以與間的距離為，即，因?yàn)?，所以，解得；?）由直線與的方程聯(lián)立方程組，解得.即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線方程為，代入得解得，故所求的直線方程為，即.（3）直線：，：，由題可設(shè)所求直線方程為，則有，所以，所以，解得，故所求的直線方程為，即.17．(1)(2)不會總能在安全區(qū)內(nèi)成功攔截，理由見解析【分析】（1）設(shè)追蹤機(jī)器人在點(diǎn)處攔截目標(biāo)機(jī)器人，根據(jù)追蹤機(jī)器人與目標(biāo)機(jī)器人速度之比為列出方程即可得解；（2）判斷點(diǎn)的軌跡圓與直線的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)追蹤機(jī)器人在點(diǎn)處攔截目標(biāo)機(jī)器人，因?yàn)樽粉櫃C(jī)器人與目標(biāo)機(jī)器人速度之比為，所以相遇時，所以，即兩機(jī)器人相遇點(diǎn)的軌跡方程為；（2）點(diǎn)的軌跡圓的圓心為，半徑，因?yàn)閳A心到的距離，所以點(diǎn)的軌跡圓與相交，則相遇點(diǎn)會出現(xiàn)在安全區(qū)外，故追蹤機(jī)器人不會總能在安全區(qū)內(nèi)成功攔截.18．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出即得橢圓方程.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式為0求解.（3）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出該直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理求出直線所過定點(diǎn)，再驗(yàn)證直線斜率不存在所過定點(diǎn)即可.【詳解】（1）由的周長為，得，解得，由橢圓過點(diǎn)，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，得該直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由消去得，由，解得，所以直線的方程為：.（3）當(dāng)直線斜率存在時，如圖，設(shè)直線方程為，，

由消去得，，即，則，而，由，得，解得，則直線過點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時，，由，得，解得，直線也過點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).19