江蘇省南通市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知直線與平行，則（

）A．4 B．5 C．6 D．73．若方程：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．若空間向量，則下列向量能與構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．5．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．已知是空間三個(gè)不共線向量，則“向量共面”是“存在三個(gè)均不為零的實(shí)數(shù)，使得”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．在正三棱柱中，，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C．0 D．8．已知直線和圓交于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知三條直線和不能圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B．3 C． D．10．已知圓與圓，則（

）A．圓心距B．兩圓的公共弦所在直線的方程為C．兩圓的公共弦長(zhǎng)為D．直線是兩圓的一條公切線11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則（

）A．B．當(dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，C．存在，使得D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題12．已知向量，，且，則.13．過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為.14．已知兩條直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則兩點(diǎn)，間的最短距離為.四、解答題15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)為.(1)求邊上的中線的長(zhǎng)；(2)求的外接圓方程.16．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，已知是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.(1)用向量表示；(2)求；(3)求向量與夾角的余弦值.17．（1）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②求以為直徑的圓被軸截得的劣弧的長(zhǎng)度；（2）已知點(diǎn)和直線（不同時(shí)為零），證明：點(diǎn)到直線的距離.18．如圖，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，設(shè)，點(diǎn)分別在線段上，且.(1)證明：；(2)若平面平面，求的值；(3)設(shè)直線與平面相交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度（用表示）.19．已知曲線.(1)求曲線圍成的平面圖形的面積；(2)若是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；(3)是否存在直線與曲線至少有三個(gè)不同的公共點(diǎn)？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

題號(hào)12345678910答案ADBDCABDBCDABD題號(hào)11答案ABD1．A根據(jù)直線方程求出直線斜率，再根據(jù)斜率和傾斜角間的關(guān)系即可求出傾斜角．【詳解】可化為：，∴直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角，則，∵，∴．故選：A．2．D利用兩直線平行的充要條件列式求解即可.【詳解】由直線與平行，得，所以.故選：D.3．B根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，列出不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)榉匠蹋罕硎緢A，則有，解得：，故選：B.4．D根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及空間基底的意義判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，向量共面，A不是；對(duì)于B，，向量共面，B不是；對(duì)于C，，向量共面，C不是；對(duì)于D，假設(shè)，則，于是，方程組無解，即向量不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D是.故選：D5．C設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，求解即可.【詳解】設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C6．A利用空間向量共面的基本定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)均不為零，所以，此時(shí)向量共面，故必要性成立；因?yàn)槭强臻g三個(gè)不共線向量，若向量共面，則存在非零實(shí)數(shù)、使得，則，取，即有，故充分性成立；所以“向量共面”是“存在三個(gè)均不為零的實(shí)數(shù)，使得”的充要條件.故選：A7．B利用正三棱柱的性質(zhì)計(jì)算出，，，再根據(jù)夾角公式即可求解.【詳解】由題意，同理可得，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，即，所以，所以，故直線與所成角的余弦值為.故選：B8．D易知直線l過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)，結(jié)合垂直于，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，由此容易得出的最大值．【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，直線，易知直線恒過定點(diǎn)又,所以點(diǎn)在圓內(nèi)，如圖所示：

由于垂直于，則點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，又，，可得，即的取值范圍為，所以的最大值為.故選：D9．BCD利用直線平行以及三條直線交于一點(diǎn)，即可求解.【詳解】聯(lián)立，可得，即兩直線交點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，直線和直線平行，不能圍成三角形;當(dāng)時(shí)，直線和直線平行，不能圍成三角形;當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，三線共點(diǎn)，不能圍成三角形;當(dāng)時(shí)，三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，可以圍成三角形，不符合題意.故選：BCD10．ABD根據(jù)圓的方程確定圓心坐標(biāo)后計(jì)算圓心距，可得A;兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，再在其中一個(gè)圓中計(jì)算公共弦弦長(zhǎng)可判斷B,C;計(jì)算兩個(gè)圓到給定直線的距離是否分別等于各自半徑，可判斷D.【詳解】根據(jù)兩圓方程，可知圓的圓心坐標(biāo),半徑,圓的圓心坐標(biāo),半徑.對(duì)于A：,故A正確；對(duì)于B：由A可知，,因此兩圓相交.兩圓的公共弦所在直線方程可由兩圓方程相減得到，即將減去,得到,整理化簡(jiǎn)得,故B正確；對(duì)于C：兩圓相交，存在公共弦，在其中一個(gè)圓中計(jì)算該弦長(zhǎng)即可.圓心到公共弦的距離,故弦長(zhǎng),故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：圓心到直線的距離,圓心到直線的距離,故直線是兩圓的一條公切線，故D正確.故選：ABD.11．ABD以為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，求得，由，可判定A正確；由，求得，可判定B正確；由，列方程方程組，可判定C錯(cuò)誤；過作，證得即為直線與平面所成角，求得，利用換元法和函數(shù)的單調(diào)性，可判定D正確.【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，設(shè)，其中可得，因?yàn)?，則，可得，所以，對(duì)于A，由，可得，所以A正確；對(duì)于B，由，可得若，可得，所以，解得，即分別為的中點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C，由，若，可得，則存在實(shí)數(shù)使得，可得，可得，因?yàn)?，所以不存在，所以不存在使得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過點(diǎn)作，連接，在正方體中，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以即為直線與平面所成角，在直角中，由，可得，所以在直角中，可得，令，其中，可得，且，所以，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，所以的最大值為，所以D正確.故選：ABD.12．/根據(jù)向量平行可知存在實(shí)數(shù)，使得，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，若，則存在實(shí)數(shù)，使得，可得，解得.故答案為：.13．把圓的一般方程變形為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)勾股定理求解即可.【詳解】方程可化為，圓心，半徑，所以切線長(zhǎng)為.故答案為：14．確定，分別在直線上，由平行線間距離即可求解.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線和都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以，分別在直線上，所以兩點(diǎn)，間的最短距離為兩平行線間距離，即，故答案為：15．(1)(2)（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解長(zhǎng)度即可.（2）設(shè)出外接圓的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求解參數(shù)得到方程即可.【詳解】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的中點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式得.（2）設(shè)三角形外接圓方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在所求的圓上，可得，解得，則外接圓的方程為.16．(1)(2)(3)（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解；（2）利用向量的模與數(shù)量積的關(guān)系求解即可；（3）利用向量的夾角公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）；（2）（3）因?yàn)?，所?.由正四面體的棱長(zhǎng)為2，可得，所以.17．（1）①；②；（2）證明見解析（1）①求得直線的方程，聯(lián)立方程求解即可；②求得圓的方程，由勾股定理可得，計(jì)算即可求解；（2）方法一：求得過點(diǎn)和直線垂直的直線方程，聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由平面中兩點(diǎn)間的距離公式即可得證；方法二：過點(diǎn)分別作軸?軸的垂線，分別與相交于，由等面積法計(jì)算即可得證.【詳解】（1）①因?yàn)橹本€的斜率，所以其垂線的斜率，所以直線的方程為.聯(lián)立，解得.②因?yàn)?，所以以為直徑的圓的圓心，半徑，所以圓的方程為.設(shè)圓與軸交于兩點(diǎn)，則，所以，所以，所以所求弧長(zhǎng)為.（2）法一：設(shè)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則過點(diǎn)和直線垂直的直線方程為.聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以點(diǎn)到直線的距離.法二：過點(diǎn)作，垂足為.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)分別作軸?軸的垂線，分別與相交于.由，得，所以，因?yàn)槭切边吷系母?，所以，即點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.綜上，點(diǎn)到直線的距離.18．(1)證明見解析(2)(3)（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)可得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可得結(jié)論；（2）求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求的值；（3）設(shè)，求得，利用向量法可求得，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，在矩形中，平面，所以平?又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，.所以，所以，所以.（2）.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為.若平面平面，則，得，解得，因?yàn)椋?（3）設(shè)，則，所以.由（2）可知，平面的一個(gè)法向量，所以，得，解得.所以，所以，所以.19．(1)(2)(3)不存在，理由見解析【詳解】（1）曲線既關(guān)于兩坐標(biāo)軸成軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，曲線方程為.記圓心為，與軸分別交于兩點(diǎn)，則，過點(diǎn)作，則，所以，所以.所以，所以，同理.由對(duì)稱性可知，曲線圍成的平面圖形的面積.（2）記曲線在第一象限的圓心為，第二象限的圓心為，第三象限的圓心為?第四象限的圓心為.情況1：不妨都在第一象限（或坐標(biāo)軸正半軸），.情況2：不妨在第一象限（或坐標(biāo)軸正半軸），在第二象限（或軸負(fù)半軸）時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），此時(shí)最大值為6.情況不妨在第一象限（或坐標(biāo)軸正半軸），在第三象限（或坐標(biāo)軸負(fù)半軸）時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），此時(shí)最大值為.綜上，根據(jù)對(duì)稱性可知最大值為.（3）當(dāng)時(shí)，研究直線與曲線在第一象限的公共點(diǎn).聯(lián)立，得（*）.因?yàn)椋?/p>