2025年CFA考試《數(shù)量方法》真題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______指示：請(qǐng)根據(jù)題目要求，在答題紙上填寫(xiě)你的答案。1.某資產(chǎn)的歷史回報(bào)率呈右偏態(tài)分布，其均值為10%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%。如果假設(shè)回報(bào)率服從正態(tài)分布，使用68-95-99.7法則，大約有多少比例的回報(bào)率會(huì)低于-5%？2.一項(xiàng)關(guān)于股票市場(chǎng)效率的研究收集了100只股票過(guò)去5年的年度回報(bào)率數(shù)據(jù)，并擬合一元線(xiàn)性回歸模型?；貧w結(jié)果顯示，截距項(xiàng)的估計(jì)值為1.2%，斜率項(xiàng)的估計(jì)值為1.5%，截距項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量為1.8，斜率項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量為2.7，模型的R平方為0.35。請(qǐng)問(wèn)，根據(jù)此模型，當(dāng)市場(chǎng)回報(bào)率為0%時(shí)，該股票的預(yù)期回報(bào)率是多少？市場(chǎng)回報(bào)率每增加1%，該股票的預(yù)期回報(bào)率變化多少？3.某分析師認(rèn)為，一家公司的股票回報(bào)率與市場(chǎng)回報(bào)率之間存在線(xiàn)性關(guān)系。他收集了該股票過(guò)去60個(gè)月的月度回報(bào)率和市場(chǎng)月度回報(bào)率數(shù)據(jù)，并計(jì)算得到股票回報(bào)率對(duì)市場(chǎng)回報(bào)率的回歸系數(shù)為1.2，標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.3。請(qǐng)問(wèn)，在95%的置信水平下，該分析師可以多大膽地?cái)嘌裕?dāng)市場(chǎng)回報(bào)率增加1%時(shí)，該公司股票回報(bào)率會(huì)超過(guò)1.1%？4.假設(shè)一個(gè)投資組合包含兩種資產(chǎn)，資產(chǎn)A的期望回報(bào)率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%，權(quán)重為60%；資產(chǎn)B的期望回報(bào)率為8%，標(biāo)準(zhǔn)差為12%，權(quán)重為40%。如果兩種資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)為0.25，請(qǐng)問(wèn)該投資組合的期望回報(bào)率和方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）分別是多少？5.某公司正在考慮兩個(gè)相互排斥的項(xiàng)目。項(xiàng)目A的成本為1000萬(wàn)元，預(yù)期凈現(xiàn)值（NPV）為150萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為50萬(wàn)元。項(xiàng)目B的成本為800萬(wàn)元，預(yù)期NPV為120萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為30萬(wàn)元。請(qǐng)問(wèn)，哪個(gè)項(xiàng)目具有更高的夏普比率（假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和風(fēng)險(xiǎn)偏好參數(shù)未知，僅比較相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的收益）？6.根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的分布將近似于正態(tài)分布。請(qǐng)解釋什么是中心極限定理，并說(shuō)明其在統(tǒng)計(jì)推斷中的重要性。7.假設(shè)一個(gè)二元選擇模型（如二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型）的參數(shù)為：當(dāng)前股票價(jià)格S=100元，執(zhí)行價(jià)格K=110元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率r=5%，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.25年，上行因子u=1.1，下行因子d=0.9。請(qǐng)問(wèn)，上行概率p和下行概率(1-p)分別是多少？8.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤的定義是什么？請(qǐng)舉例說(shuō)明在投資回報(bào)率分析中可能發(fā)生的這兩種錯(cuò)誤。9.一個(gè)分析師對(duì)某股票的月度回報(bào)率進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)其分布近似于正態(tài)分布，均值為1%，標(biāo)準(zhǔn)差為3%。如果該分析師想要構(gòu)建一個(gè)90%的置信區(qū)間來(lái)估計(jì)該股票的平均月度回報(bào)率，請(qǐng)問(wèn)置信區(qū)間的上下限應(yīng)該是多少？10.多元線(xiàn)性回歸模型中，調(diào)整后的R平方（AdjustedR-squared）相比R平方有什么優(yōu)勢(shì)？在什么情況下，一個(gè)模型的調(diào)整R平方可能會(huì)低于其R平方？11.假設(shè)你估計(jì)了一個(gè)股票的回報(bào)率與其兩個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)（GDP增長(zhǎng)率、通貨膨脹率）的多元線(xiàn)性回歸模型。模型的R平方為0.50，調(diào)整后的R平方為0.48。請(qǐng)問(wèn)這意味著什么？12.解釋什么是最小二乘法（OrdinaryLeastSquares,OLS）。在回歸分析中，OLS估計(jì)量有哪些理想特性（假設(shè)滿(mǎn)足經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型假設(shè)）？13.假設(shè)你估計(jì)了一個(gè)股票回報(bào)率對(duì)市場(chǎng)回報(bào)率的簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸模型，得到的回歸方程為：股票回報(bào)率=0.5+1.3*市場(chǎng)回報(bào)率。請(qǐng)問(wèn)，如果市場(chǎng)回報(bào)率增加了2%，根據(jù)此模型，股票回報(bào)率預(yù)計(jì)會(huì)增加多少？回歸系數(shù)1.3的經(jīng)濟(jì)含義是什么？14.什么是異方差（Heteroskedasticity）？它對(duì)回歸分析的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生什么影響？有哪些常用的檢驗(yàn)方法？15.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，顯著性水平（α）的選擇對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果有何影響？為什么在實(shí)際應(yīng)用中，選擇一個(gè)特定的顯著性水平通常是必要的？16.請(qǐng)比較并對(duì)比二項(xiàng)式分布和正態(tài)分布的特點(diǎn)及其在金融中的應(yīng)用場(chǎng)景。17.假設(shè)你使用二項(xiàng)式模型對(duì)歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，模型參數(shù)為：當(dāng)前股票價(jià)格S=50元，執(zhí)行價(jià)格K=50元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率r=0.05，時(shí)間T=1年，每期時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.5年，上行因子u=1.1，下行因子d=0.9，共有3期。請(qǐng)問(wèn)，該看漲期權(quán)的理論價(jià)格是多少？（提示：需要計(jì)算最終節(jié)點(diǎn)股票價(jià)格路徑及其概率，并反向迭代計(jì)算期權(quán)價(jià)值）。18.解釋“大數(shù)定律”（LawofLargeNumbers）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的含義及其在金融數(shù)據(jù)分析中的作用。19.假設(shè)你估計(jì)了一個(gè)回歸模型，并得到了如下輸出：截距項(xiàng)系數(shù)=2.5，截距項(xiàng)t值=1.2，斜率項(xiàng)系數(shù)=0.8，斜率項(xiàng)t值=2.4，R平方=0.6。請(qǐng)問(wèn)，你是否應(yīng)該在統(tǒng)計(jì)上拒絕截距項(xiàng)系數(shù)為0的原假設(shè)？為什么？對(duì)于斜率項(xiàng)系數(shù)，呢？20.什么是概率分布的期望值（均值）和方差？它們分別衡量了什么的特征？試卷答案1.根據(jù)正態(tài)分布特性，均值為10%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%。-5%低于均值，屬于左側(cè)尾部。Z=(-5-10)/15=-1。查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，P(Z<-1)≈0.1587。約15.87%。2.根據(jù)回歸方程Y=a+bX。當(dāng)市場(chǎng)回報(bào)率X=0%時(shí)，預(yù)期回報(bào)率Y=1.2%+1.5%*0=1.2%。斜率項(xiàng)b=1.5%，表示市場(chǎng)回報(bào)率每增加1%，該股票的預(yù)期回報(bào)率增加1.5%。3.斜率項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量=斜率估計(jì)值/標(biāo)準(zhǔn)誤差=1.2/0.3=4。自由度df=n-2=60-2=58。查找t分布表，雙側(cè)檢驗(yàn)α=0.05時(shí)，臨界值t?.025,58≈2.000。因?yàn)閨t_statistic|=4>2.000，所以拒絕原假設(shè)（斜率=0）。在95%置信水平下，斷言成立的可能性大于95%。注意：題目問(wèn)的是“可以多大膽地?cái)嘌浴?，即置信水平，答案?5%。4.期望回報(bào)率E(Rp)=w?E(R?)+w?E(R?)=0.6*12%+0.4*8%=7.2%+3.2%=10.4%。方差Var(Rp)=w?2σ?2+w?2σ?2+2w?w?ρσ?σ?=(0.6)2(20%)2+(0.4)2(12%)2+2(0.6)(0.4)(0.25)(20%)(12%)=0.36*0.04+0.16*0.0144+2*0.24*0.25*0.20*0.12=0.0144+0.002304+0.001152=0.01776。標(biāo)準(zhǔn)差Std(Rp)=√Var(Rp)=√0.01776≈0.1333或13.33%。5.夏普比率=(預(yù)期超額回報(bào))/標(biāo)準(zhǔn)差。需要計(jì)算每個(gè)項(xiàng)目的預(yù)期超額回報(bào)。項(xiàng)目A超額回報(bào)E(R_A)=E(NPV_A)-Cost_A*Risk-FreeRate=150-1000*0=150。項(xiàng)目B超額回報(bào)E(R_B)=E(NPV_B)-Cost_B*Risk-FreeRate=120-800*0=120。項(xiàng)目A夏普比率=150/50=3。項(xiàng)目B夏普比率=120/30=4。項(xiàng)目B具有更高的夏普比率。6.中心極限定理指出，從任意分布的總體中抽取足夠大的樣本，這些樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布，其均值等于總體均值，其標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差）等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量平方根。該定理的重要性在于，它使得我們可以使用正態(tài)分布的理論來(lái)推斷總體均值，即使總體本身不是正態(tài)分布，只要樣本量足夠大（通常n>30被認(rèn)為足夠大）。這是許多統(tǒng)計(jì)推斷方法（如置信區(qū)間、假設(shè)檢驗(yàn)）的基礎(chǔ)。7.在二項(xiàng)式模型中，上行概率p滿(mǎn)足：(u-1)p+(1-d)(1-p)=rΔt。(1.1-1)p+(1-0.9)(1-p)=0.05*0.25。0.1p+0.1(1-p)=0.0125。0.1p+0.1-0.1p=0.0125。0.1=0.0125。此等式在此參數(shù)下無(wú)解，表明給定的參數(shù)（特別是利率r或步長(zhǎng)Δt）與u和d不兼容，或者題目參數(shù)有誤。若按標(biāo)準(zhǔn)二項(xiàng)式模型計(jì)算p，常用公式p=(e^(rΔt)-d)/(u-d)。按此公式：p=(e^(0.05*0.25)-0.9)/(1.1-0.9)=(e^0.0125-0.9)/0.2。e^0.0125≈1.01253。p≈(1.01253-0.9)/0.2=0.11253/0.2=0.56265。下行概率1-p≈1-0.56265=0.43735。8.第一類(lèi)錯(cuò)誤（TypeIError）是在原假設(shè)（H?）為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了原假設(shè)。在投資回報(bào)率分析中，例如，原假設(shè)是某股票的預(yù)期回報(bào)率等于市場(chǎng)平均水平（H?:E(Ri)=E(Rm)），第一類(lèi)錯(cuò)誤是指我們拒絕了這一原假設(shè)，認(rèn)為該股票回報(bào)率顯著不同于市場(chǎng)平均水平，但實(shí)際上它并沒(méi)有。第二類(lèi)錯(cuò)誤（TypeIIError）是在原假設(shè)（H?）為假時(shí)，錯(cuò)誤地未能拒絕原假設(shè)。在投資回報(bào)率分析中，例如，原假設(shè)是某股票的預(yù)期回報(bào)率等于市場(chǎng)平均水平（H?:E(Ri)=E(Rm)），第二類(lèi)錯(cuò)誤是指我們未能拒絕這一原假設(shè)，認(rèn)為該股票回報(bào)率與市場(chǎng)平均水平?jīng)]有顯著差異，但實(shí)際上它的預(yù)期回報(bào)率顯著不同于市場(chǎng)平均水平。9.90%置信水平對(duì)應(yīng)單側(cè)臨界值Z?.05≈1.645。標(biāo)準(zhǔn)誤差SE=σ/√n。題目未給標(biāo)準(zhǔn)差σ和樣本量n，無(wú)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差和具體置信區(qū)間。若假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差σ=3%，樣本量n足夠大（如n>30），則SE≈σ/√n。置信區(qū)間下限=均值-Z?.05*SE，上限=均值+Z?.05*SE。即1%-1.645*(3%/√n)到1%+1.645*(3%/√n)。10.調(diào)整后的R平方（AdjustedR-squared）考慮了模型中自變量的數(shù)量。其計(jì)算公式為：AdjustedR2=1-[(1-R2)*(n-1)/(n-k-1)]，其中n是樣本量，k是自變量數(shù)量。調(diào)整R平方會(huì)隨著自變量的增加而下降，除非這些新增自變量顯著提高了模型的解釋力。因此，調(diào)整R平方的優(yōu)勢(shì)在于它懲罰了不必要或統(tǒng)計(jì)上不顯著的變量添加，更能反映模型的真實(shí)解釋能力，有助于在多個(gè)候選模型中進(jìn)行選擇。當(dāng)模型添加的自變量對(duì)模型擬合優(yōu)度的提升不顯著時(shí)（即這些變量的p值較大），調(diào)整R平方可能會(huì)低于R平方。11.R平方為0.50，意味著模型解釋了因變量（股票回報(bào)率）變異性的50%。調(diào)整后的R平方為0.48，略低于R平方。這表明模型中包含的兩個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)共同解釋了約48%的股票回報(bào)率變異。調(diào)整后的R平方下降，說(shuō)明這兩個(gè)指標(biāo)可能并非所有對(duì)股票回報(bào)率有顯著解釋力的因素，或者存在其他更重要的因素未被包含在模型中，或者模型存在一定的設(shè)定誤差。調(diào)整R平方略低于R平方，說(shuō)明增加這兩個(gè)變量對(duì)模型解釋力的提升效果不是非常顯著。12.最小二乘法（OLS）是估計(jì)線(xiàn)性回歸模型參數(shù)（截距項(xiàng)a和斜率項(xiàng)b）的一種常用方法。它通過(guò)尋找一條直線(xiàn)，使得所有觀測(cè)點(diǎn)到該直線(xiàn)的垂直距離（殘差）的平方和最小。OLS估計(jì)量（即通過(guò)OLS計(jì)算得到的a和b的值）在滿(mǎn)足經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型假設(shè)（線(xiàn)性、獨(dú)立、同方差、正態(tài)分布誤差項(xiàng)、無(wú)完全多重共線(xiàn)性）時(shí)，具有最佳線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)（BLUE）的特性，即在這些假設(shè)下，沒(méi)有其他線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量比OLS估計(jì)量更有效（方差更?。?3.根據(jù)回歸方程：股票回報(bào)率=0.5+1.3*市場(chǎng)回報(bào)率。當(dāng)市場(chǎng)回報(bào)率增加2%時(shí)，股票回報(bào)率預(yù)計(jì)增加1.3*2%=2.6%。回歸系數(shù)1.3的經(jīng)濟(jì)含義是：在控制其他因素（在此簡(jiǎn)單模型中即市場(chǎng)回報(bào)率）不變的情況下，市場(chǎng)回報(bào)率每變化1%，該股票的回報(bào)率預(yù)計(jì)平均變化1.3%。14.異方差是指回歸模型中誤差項(xiàng)（殘差）的方差不是常數(shù)，而是隨著自變量的變化而變化。標(biāo)準(zhǔn)OLS估計(jì)量在存在異方差時(shí)仍然是無(wú)偏的和一致的，但其標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)是有偏的和非有效的，導(dǎo)致基于t統(tǒng)計(jì)量和F統(tǒng)計(jì)量的假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間構(gòu)建不再可靠。檢驗(yàn)方法包括圖形方法（殘差與擬合值散點(diǎn)圖）和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（如Breusch-Pagan檢驗(yàn)、White檢驗(yàn)）。15.顯著性水平（α）是研究者愿意承擔(dān)的犯第一類(lèi)錯(cuò)誤（錯(cuò)誤拒絕原假設(shè)）的概率上限。α的選擇影響檢驗(yàn)的臨界值和拒絕域。較小的α（如0.01）意味著更嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)拒絕原假設(shè)，減少錯(cuò)誤判斷的可能性，但可能增加犯第二類(lèi)錯(cuò)誤（錯(cuò)誤接受原假設(shè)）的可能性。較大的α（如0.10）意味著更寬松的標(biāo)準(zhǔn)，更容易拒絕原假設(shè)，可能增加犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的可能性，但減少犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的可能性。選擇一個(gè)特定的顯著性水平是必要的，因?yàn)樗峁┝艘粋€(gè)客觀、一致的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)估證據(jù)強(qiáng)度，使得研究結(jié)果具有可比性。16.二項(xiàng)式分布是一個(gè)離散概率分布，描述了在n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，成功次數(shù)X的概率分布。其概率質(zhì)量函數(shù)為P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n是試驗(yàn)次數(shù)，k是成功次數(shù)，p是每次試驗(yàn)成功的概率。正態(tài)分布是一個(gè)連續(xù)概率分布，其形狀為鐘形曲線(xiàn)，由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ完全決定。在金融中，二項(xiàng)式分布常用于期權(quán)定價(jià)模型（如二項(xiàng)式樹(shù)模型）和模擬投資組合路徑。正態(tài)分布常用于描述資產(chǎn)回報(bào)率的分布（尤其是在中心極限定理下）、風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）的計(jì)算、以及假設(shè)檢驗(yàn)中的理論分布。二項(xiàng)式分布是離散的、基于重復(fù)試驗(yàn)，而正態(tài)分布是連續(xù)的、更側(cè)重于概率密度。17.由于題目參數(shù)設(shè)置導(dǎo)致二項(xiàng)式模型無(wú)法正常計(jì)算（如第7題解析所述，0.1≠0.0125），無(wú)法給出期權(quán)價(jià)格。若使用標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)計(jì)算，需：a.計(jì)算最終節(jié)點(diǎn)股票價(jià)格：S_3^(uu)=50*1.1^2=60.5,S_3^(ud)=50*1.1*0.9=49.5,S_3^(dd)=50*0.9^2=40.5。b.計(jì)算最終節(jié)點(diǎn)期權(quán)價(jià)值：C_3^(uu)=max(60.5-50,0)=10.5,C_3^(ud)=max(49.5-50,0)=0,C_3^(dd)=max(40.5-50,0)=0。c.計(jì)算一步后期權(quán)價(jià)值：C_2^(u)=[p*10.5+(1-p)*0]/(1+rΔt)=p*10.5/1.0125，C_2^(d)=[p*0+(1-p)*0]/(1+rΔt)=0。d.計(jì)算初始期權(quán)價(jià)值：C_0=[p*C_2^(u)+(1-p)*C_2^(d)]/(1+rΔt)=p*(p*10.5/1.0125)/1.0125=p^2*10.5/(1.0125)^2。