2025-2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練試卷及答案2025-2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練試卷專項(xiàng)主題：二次函數(shù)、圓、相似三角形綜合應(yīng)用考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分班級(jí)：________姓名：________得分：________一、選擇題（每題3分，共30分）1.二次函數(shù)y=2(x-3)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(3，5)B.(-3，5)C.(3，-5)D.(-3，-5)2.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠AOB=120°，則∠ACB的度數(shù)是（）A.60°B.80°C.120°D.150°3.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=1，若點(diǎn)A(-1，y?)、B(2，y?)、C(4，y?)在該函數(shù)圖象上，則y?、y?、y?的大小關(guān)系是（）A.y?＞y?＞y?B.y?＞y?＞y?C.y?＞y?＞y?D.y?＞y?＞y?4.下列說法正確的是（）A.平分弦的直徑垂直于弦B.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.若兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)圓相交5.若△ABC∽△DEF，相似比為2:3，則△ABC與△DEF的面積比為（）A.2:3B.4:9C.$\sqrt{2}$:$\sqrt{3}$D.3:26.已知二次函數(shù)y=x2-2x-3，當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍是（）A.x＜-1或x＞3B.-1＜x＜3C.x＜-3或x＞1D.-3＜x＜17.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，若∠APB=60°，OA=2，則PA的長(zhǎng)為（）A.2$\sqrt{3}$B.$\sqrt{3}$C.2D.48.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，$\sqrt{3}$)，∠BOC=120°，則劣弧BC的長(zhǎng)為（）A.$\frac{2π}{3}$B.πC.$\frac{4π}{3}$D.2π9.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件，設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A.y=(50+x-40)(210-10x)B.y=(50-x-40)(210+10x)C.y=(50+x)(210-10x)D.y=(50+x-40)(210+10x)10.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）A.9B.16C.25D.36二、填空題（每題4分，共24分）11.二次函數(shù)y=-x2+4x-1的最大值為________。12.若一個(gè)扇形的圓心角為60°，半徑為6，則該扇形的弧長(zhǎng)為________。13.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，若∠BCD=30°，則∠ABD=________°。14.已知△ABC∽△A'B'C'，AB=6，A'B'=8，BC=9，則B'C'=________。15.若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)(0，3)、(1，0)、(2，-1)，則a=________，b=________，c=________。16.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，若⊙C與AB相切，則r=________。三、解答題（共96分）17.（8分）已知二次函數(shù)y=x2-4x+3。（1）將該函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式；（2）求該函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。18.（8分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若CD=8，AE=2，求⊙O的半徑。19.（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。求證：（1）△ADE∽△CFE；（2）BF=2CD。20.（10分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-1)，且經(jīng)過點(diǎn)(3，1)，求該拋物線的解析式。21.（10分）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，OA交⊙O于點(diǎn)C，若∠A=30°，OA=6，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）。22.（12分）某商場(chǎng)銷售一種進(jìn)價(jià)為20元/件的商品，售價(jià)為x元/件，每天的銷售量為m件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，m與x之間的關(guān)系為m=-10x+500。設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為w元。（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？23.（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接OD、DE。求證：（1）OD∥AC；（2）△CDE∽△CAD。24.（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P在x軸上方，且S△PAB=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，若△QAC為等腰三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。25.（12分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E是AC邊上的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。求證：$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BD}{AC}$。2025-2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練答案一、選擇題1.A2.A3.B4.B5.B6.B7.A8.C9.A10.C二、填空題11.312.2π13.3014.1215.1；-4；316.$\frac{12}{5}$三、解答題17.解：（1）y=x2-4x+3=(x2-4x+4)-1=(x-2)2-1（2）令y=0，則x2-4x+3=0，解得x?=1，x?=3，∴與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)、(3，0)令x=0，則y=3，∴與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)18.解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=r-AE=r-2∵AB是直徑，CD⊥AB，∴CE=$\frac{1}{2}$CD=4（垂徑定理）在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，即r2=(r-2)2+42解得r2=r2-4r+4+16，4r=20，r=5答：⊙O的半徑為5。19.證明：（1）∵CD是⊙O的直徑，∴∠CED=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）又∵∠ACB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，∴∠AED=∠CEF=90°∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴CD=AD（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）∴∠A=∠ACD，又∵∠AED=∠CEF，∴△ADE∽△CFE（AA相似）（2）由（1）知△ADE∽△CFE，∴$\frac{AD}{CF}$=$\frac{AE}{CE}$∵E是AC上一點(diǎn)，且DE∥BC（由∠CED=∠ACB=90°可得），D是AB中點(diǎn)，∴E是AC中點(diǎn)（三角形中位線定理）∴AE=CE，∴AD=CF，又∵AD=CD，∴CF=CD∵CD是Rt△ABC斜邊中線，∴AB=2CD，又∵AD=BD，∴BD=CD，∴BF=BC+CF=BC+CD，又∵AB=2CD，AC2+BC2=AB2，結(jié)合AD=CD可證BF=2CD（或直接由D是AB中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，得DE是△ABC中位線，DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，進(jìn)而證CF=CD=BD，得BF=BD+BC=CD+BC，再結(jié)合其他條件推導(dǎo)）20.解：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-1)，∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2-1將點(diǎn)(3，1)代入得：1=a(3-2)2-1，解得a=2∴拋物線解析式為y=2(x-2)2-1=2x2-8x+721.解：∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，∠OBA=90°∵∠A=30°，OA=6，∴OB=$\frac{1}{2}$OA=3，∠AOB=60°S△OAB=$\frac{1}{2}$×OA×OB×sin∠AOB=$\frac{1}{2}$×6×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$S扇形OBC=$\frac{60°}{360°}$×π×OB2=$\frac{1}{6}$×π×9=$\frac{3π}{2}$∴陰影部分面積=S△OAB-S扇形OBC=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3π}{2}$22.解：（1）w=(x-20)m=(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-10000（2）w=-10x2+700x-10000=-10(x2-70x+1225)+2250=-10(x-35)2+2250∵-10＜0，∴當(dāng)x=35時(shí)，w有最大值，最大值為2250答：當(dāng)售價(jià)為35元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2250元。23.證明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC（同位角相等，兩直線平行）（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），∴AD⊥BC∵AB=AC，∴BD=CD（等腰三角形三線合一）∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CED=∠B（圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角）又∵∠B=∠C，∴∠CED=∠C，∴CD=DE∵∠C=∠C，∠CDE=∠CAD（由AD⊥BC，∠CED=∠C可證），∴△CDE∽△CAD（AA相似）24.解：（1）將A(-1，0)、B(3，0)代入y=-x2+bx+c得：$\begin{cases}-1-b+c=0\\-9+3b+c=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$∴二次函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3（2）設(shè)點(diǎn)P(x，y)，y＞0，AB=3-(-1)=4S△PAB=$\frac{1}{2}$×AB×y=$\frac{1}{2}$×4×y=2y=4，∴y=2令-y2+2x+3=2，即x2-2x-1=0，解得x=1±$\sqrt{2}$∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(1+$\sqrt{2}$，2)、(1-$\sqrt{2}$，2)（3）點(diǎn)C(0，3)，直線BC解析式：設(shè)y=kx+3，將B(3，0)代入得k=-1，∴y=-x+3設(shè)點(diǎn)Q(m，-m+3)，AC=$\sqrt{(-1-0)2+(0-3)2}$=$\sqrt{10}$①當(dāng)AC=AQ時(shí)，$\sqrt{(m+1)2+(-m+3-0)2}$=$\sqrt{10}$，解得m?=0（與C重合，舍去），m?=2，∴Q(2，1)②當(dāng)AC=CQ時(shí)，$\sqrt{(m-0)2+(-m+3-3)2}$=$\sqrt{10}$，解得m=±$\sqrt{5}$，∴Q($\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$)、(-$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$)③當(dāng)AQ=CQ時(shí)，$\sqrt{(m+1)2+(-m+3)2}$=$\sqrt{m2+(-m)2}$，解得m=1，∴Q(1，2)綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2，1)、($\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$)、(-$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$)、(1，2)25.證明：過點(diǎn)B作BG∥AC，交DF于點(diǎn)G∵BG∥AC，∴∠G=∠DEC，∠FBG=∠FAE∵E是AC中點(diǎn)，∴AE=CE在△BGF和△CEF中，$\begin{cases}∠G=∠DEC\\∠FBG=∠FAE\\AE=CE\end{cases}$，∴△BGF≌△CEF（AAS）∴BG=CE=$\frac{1}{2}$AC∵BG∥AC，∴△FBG∽△FAE（AA相似）∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BG}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}AC}$？（修正：另一種方法，連接BE，∵AD是高，E是AC中點(diǎn)，∴DE=CE，∠C=∠CDE，又∵BG∥AC，∠C=∠DBG，∴∠CDE=∠DBG，∴BG=BD，再