一、從相似到位似：概念的自然延伸演講人CONTENTS從相似到位似：概念的自然延伸位似圖形的定義：從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目坍嬑凰茍D形的性質(zhì)：從定義推導(dǎo)的核心規(guī)律位似圖形的應(yīng)用：從數(shù)學(xué)問題到實(shí)際場(chǎng)景總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)位似圖形定義與性質(zhì)課件各位同學(xué)、同仁，今天我們將共同探索一個(gè)與“相似”密切相關(guān)卻更具特殊性的幾何概念——位似圖形。作為九年級(jí)上冊(cè)“圖形的相似”章節(jié)的核心內(nèi)容，位似圖形既是相似圖形的延伸，又是后續(xù)學(xué)習(xí)投影與視圖、坐標(biāo)系變換的重要基礎(chǔ)。在多年的教學(xué)實(shí)踐中，我深刻體會(huì)到，只有從定義出發(fā)，逐步剖析其本質(zhì)特征，結(jié)合具體案例理解性質(zhì)，才能真正掌握這一工具的應(yīng)用價(jià)值。接下來(lái)，我們將從“為何引入位似”“何為位似圖形”“位似有何特性”“如何應(yīng)用位似”四個(gè)維度展開，層層遞進(jìn)，構(gòu)建完整的認(rèn)知體系。01從相似到位似：概念的自然延伸1相似圖形的回顧與思考在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了相似圖形的定義：形狀相同、大小不一定相同的圖形，其本質(zhì)是對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。例如，同一底片沖洗出的不同尺寸照片，或地圖上的縮略圖與實(shí)際地形，都是相似圖形的典型實(shí)例。但在觀察這些相似圖形時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：若將照片中的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)用直線連接，這些直線似乎會(huì)相交于同一點(diǎn)；地圖上的標(biāo)志性建筑（如市中心、車站）與實(shí)際位置的連線，也可能交匯于某個(gè)中心點(diǎn)。這種“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)”的特性，是否隱含著相似圖形的某種特殊類型？這便是我們今天要探討的“位似圖形”的核心特征。2位似概念的現(xiàn)實(shí)需求在工程制圖中，設(shè)計(jì)師需要將三維建筑模型按比例縮小為二維圖紙，同時(shí)確保所有關(guān)鍵點(diǎn)的投影線交匯于“視點(diǎn)”；在攝影中，相機(jī)的鏡頭中心就是所有光線的匯聚點(diǎn)，拍攝出的照片與實(shí)際場(chǎng)景不僅相似，更滿足“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線過鏡頭中心”的特性。這些實(shí)際需求表明，僅用“相似”描述圖形關(guān)系是不夠的，需要更精準(zhǔn)的概念——位似圖形，來(lái)刻畫這種“相似且對(duì)應(yīng)點(diǎn)共線”的特殊關(guān)系。02位似圖形的定義：從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目坍?位似圖形的嚴(yán)格定義通過上述觀察，我們可以給出位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于同一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，相似比又叫做位似比。需要特別強(qiáng)調(diào)的是，定義中的三個(gè)關(guān)鍵要素：(1)相似性：位似圖形首先是相似圖形，必須滿足對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)共線：所有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（位似中心）；(3)對(duì)應(yīng)邊平行或共線：這是位似圖形區(qū)別于一般相似圖形的重要特征（一般相似圖形的對(duì)應(yīng)邊可能不平行）。1位似圖形的嚴(yán)格定義2.2位似的兩種類型：同向位似與反向位似根據(jù)位似中心與圖形的位置關(guān)系，位似可分為兩類：同向位似（外位似）：位似中心位于兩個(gè)圖形的同一側(cè)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心的同側(cè)，此時(shí)對(duì)應(yīng)邊方向相同；反向位似（內(nèi)位似）：位似中心位于兩個(gè)圖形之間，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心的異側(cè)，此時(shí)對(duì)應(yīng)邊方向相反。例如，用放大鏡觀察文字時(shí)，文字與放大后的圖像是同向位似（放大鏡中心為位似中心，文字與放大圖像在中心同側(cè)）；而小孔成像實(shí)驗(yàn)中，物體與像則是反向位似（小孔為位似中心，物體與像在中心異側(cè)）。3位似中心的位置多樣性位似中心的位置可以是任意的：可能在圖形內(nèi)部（如正五邊形與其位似圖形，中心重合）；可能在圖形外部（如兩個(gè)相似三角形，位似中心在三角形外）；也可能在圖形的邊上（如矩形與其位似圖形，位似中心在矩形的一條邊上）。通過動(dòng)態(tài)幾何軟件（如GeoGebra）演示不同位置的位似中心，可以更直觀地觀察位似圖形的變化規(guī)律，這也是我在教學(xué)中常用的輔助手段——眼見為實(shí)，才能讓抽象概念具象化。03位似圖形的性質(zhì)：從定義推導(dǎo)的核心規(guī)律位似圖形的性質(zhì)：從定義推導(dǎo)的核心規(guī)律3.1最本質(zhì)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線根據(jù)定義，位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線必過位似中心。這一性質(zhì)是位似區(qū)別于一般相似的“靈魂”，也是解決位似相關(guān)問題的關(guān)鍵突破口。例：若△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似中心為O，則直線AA'、BB'、CC'必交于點(diǎn)O。反之，若兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線交于同一點(diǎn)，則它們必為位似圖形（可作為位似圖形的判定方法）。2對(duì)應(yīng)邊的位置關(guān)系：平行或共線由于位似變換本質(zhì)上是“中心投影”，即從位似中心出發(fā)的射線將原圖形的點(diǎn)投射到新位置，因此對(duì)應(yīng)邊要么平行（同向位似時(shí)方向相同，反向位似時(shí)方向相反），要么在同一直線上（當(dāng)對(duì)應(yīng)邊經(jīng)過位似中心時(shí)）。數(shù)學(xué)表達(dá)：若AB與A'B'是位似圖形的對(duì)應(yīng)邊，則AB∥A'B'或AB與A'B'共線。這一性質(zhì)在解題中可用于快速判斷兩條邊是否為對(duì)應(yīng)邊，或通過邊的平行關(guān)系反推位似中心的位置。3比例關(guān)系：位似比與相似比的統(tǒng)一位似圖形是特殊的相似圖形，因此相似圖形的比例性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方）對(duì)位似圖形完全適用。特別地，在位似圖形中，相似比也稱為位似比，通常用k表示（k>0，k≠1時(shí)為放大或縮小，k=1時(shí)為全等圖形）。01拓展：若位似比為k，則任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比也等于k。即若O為位似中心，A與A'為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則OA'/OA=k（同向位似時(shí)）或OA'/OA=-k（反向位似時(shí)，負(fù)號(hào)表示方向相反）。02這一性質(zhì)在坐標(biāo)系中尤為重要。例如，若位似中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，原圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，位似比為k，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)（同向位似）或(-kx,-ky)（反向位似）。這一規(guī)律是解決坐標(biāo)系下位似變換問題的核心工具。034對(duì)稱性與保角性位似變換是一種“相似變換”，因此它保留了圖形的角度大小（保角性）和形狀（對(duì)稱性）。例如，原圖形中的直角在位似圖形中仍為直角，原圖形的對(duì)稱軸在位似圖形中仍為對(duì)稱軸，只是位置和長(zhǎng)度按位似比縮放。04位似圖形的應(yīng)用：從數(shù)學(xué)問題到實(shí)際場(chǎng)景1位似圖形的畫法：步驟與技巧繪制位似圖形是中考的常見考點(diǎn)，其核心是“確定位似中心→選取關(guān)鍵點(diǎn)→按位似比找點(diǎn)→連線成圖”。具體步驟如下：確定位似中心：根據(jù)題目要求或?qū)嶋H需求選擇位似中心（可在圖形內(nèi)、外或邊上）；選取關(guān)鍵點(diǎn)：原圖形的頂點(diǎn)（或其他關(guān)鍵特征點(diǎn)）是確定位似圖形的基礎(chǔ)；連接并延長(zhǎng)：從位似中心出發(fā)，連接每個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)（或反向延長(zhǎng)，取決于位似類型）；截取對(duì)應(yīng)點(diǎn)：在延長(zhǎng)線上截取與原距離成位似比的點(diǎn)，得到對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；連線成圖：按原圖形的順序連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，得到位似圖形。注意事項(xiàng)：若位似比k>1，則位似圖形是原圖形的放大；若0<k<1，則是縮小；反向位似時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于位似中心的另一側(cè)，需注意延長(zhǎng)線的方向；對(duì)于復(fù)雜圖形（如多邊形、曲線圖形），只需選取足夠多的關(guān)鍵點(diǎn)即可保證準(zhǔn)確性。2數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用：幾何證明與計(jì)算位似圖形的性質(zhì)在解決幾何問題中具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，尤其是涉及“比例”“平行”“共線”的問題。例1（證明共線）：已知△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為O，D、D'分別是BC、B'C'的中點(diǎn)，求證：O、D、D'共線。分析：由位似性質(zhì)，BB'、CC'過O，且BC∥B'C'（或共線），因此BD/B'D'=BC/B'C'=k（位似比），結(jié)合中點(diǎn)性質(zhì)可得OD/OD'=k，故O、D、D'共線。例2（坐標(biāo)系計(jì)算）：2數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用：幾何證明與計(jì)算在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2作反向位似圖形△A'B'C'，求A'、B'、C'的坐標(biāo)。解答：反向位似時(shí)，坐標(biāo)為原坐標(biāo)的-2倍，故A'(-2,-4)、B'(-6,-8)、C'(-10,-2)。3實(shí)際生活中的應(yīng)用：縮放與投影位似圖形的本質(zhì)是“中心投影下的相似圖形”，因此在實(shí)際生活中廣泛應(yīng)用于需要“按比例縮放且保持位置關(guān)系”的場(chǎng)景：地圖繪制：地圖是實(shí)際地形的位似圖形，比例尺即為位似比，地圖中心（或投影中心）為位似中心；建筑設(shè)計(jì)：建筑模型與實(shí)際建筑是位似圖形，設(shè)計(jì)師通過調(diào)整位似比（模型比例）來(lái)呈現(xiàn)不同尺度的設(shè)計(jì)效果；攝影與投影：相機(jī)拍攝的照片、投影儀投放的畫面，都是以鏡頭或投影光源為位似中心的位似圖形。我曾帶學(xué)生用手機(jī)拍攝校園建筑，然后通過測(cè)量照片與實(shí)際建筑的尺寸，計(jì)算位似比，再反向推算相機(jī)鏡頭（位似中心）的位置。這種“從理論到實(shí)踐”的學(xué)習(xí)過程，能讓學(xué)生深刻體會(huì)位似圖形的應(yīng)用價(jià)值。05總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值回顧本節(jié)內(nèi)容，位似圖形的核心可概括為“相似性”與“共線性”的統(tǒng)一：它是相似圖形的特殊形式，繼承了相似的所有比例性質(zhì)；它通過“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)”的特性，建立了圖形之間的位置關(guān)聯(lián)，為解決“共線”“平行”“比例”問題提供了更直接的工具；它在數(shù)學(xué)與實(shí)際生活中架起了“抽象幾何”與“具體應(yīng)用”的橋梁，是理解投影、變換等高級(jí)幾何概念的基礎(chǔ)。作為教師，我始終認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不應(yīng)停留在定義的記憶，而應(yīng)深入理解其“從何而來(lái)”“有何特性”“如何應(yīng)用”。位似圖形的學(xué)習(xí)亦是如此——當(dāng)同學(xué)們能靈活運(yùn)用其性質(zhì)解決幾何問題，甚至用它解釋生活中的縮放現(xiàn)象時(shí)，才真正掌握了這一概念