一、知識(shí)鋪墊：旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)與角平分線的定義演講人CONTENTS知識(shí)鋪墊：旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)與角平分線的定義從特殊到一般：旋轉(zhuǎn)圖形中對(duì)應(yīng)角平分線的關(guān)系探究邏輯驗(yàn)證：從猜想走向證明教學(xué)實(shí)踐：如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用這一關(guān)系總結(jié)與升華：旋轉(zhuǎn)中的不變性與數(shù)學(xué)之美目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)應(yīng)角平分線關(guān)系課件各位老師、同學(xué)們：大家好！今天我們將圍繞“旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)應(yīng)角平分線關(guān)系”展開深入探討。作為九年級(jí)上冊(cè)“圖形的旋轉(zhuǎn)”章節(jié)的延伸內(nèi)容，這一課題既是對(duì)旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)的深化應(yīng)用，也是培養(yǎng)幾何直觀與邏輯推理能力的重要載體。在正式學(xué)習(xí)前，我想先請(qǐng)大家回憶一個(gè)生活場(chǎng)景：當(dāng)鐘表的指針從3:00旋轉(zhuǎn)到6:00時(shí)，時(shí)針和分針形成的角發(fā)生了變化，但如果我們分別畫出這兩個(gè)時(shí)刻時(shí)針與分針夾角的角平分線，它們之間是否存在某種規(guī)律性的聯(lián)系？這便是今天要解決的核心問題。01知識(shí)鋪墊：旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)與角平分線的定義1旋轉(zhuǎn)的核心特征回顧要研究旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)應(yīng)角平分線關(guān)系，首先需要明確旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)。根據(jù)教材定義，平面內(nèi)一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）按某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度（旋轉(zhuǎn)角）的運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。其核心性質(zhì)可歸納為三點(diǎn)：保距性：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（即OA=OA'，OB=OB'，其中A'、B'是A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；保角性：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角（即∠AOA'=∠BOB'=θ，θ為旋轉(zhuǎn)角）；保形性：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（即△ABC≌△A'B'C'，對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）。這些性質(zhì)是后續(xù)分析的基礎(chǔ)，尤其是“保形性”直接保證了旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角的大小相等，為角平分線的關(guān)系研究提供了前提。2角平分線的數(shù)學(xué)定義與幾何意義角平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，將該角分成兩個(gè)相等角的射線。在△ABC中，若BD平分∠ABC，則滿足∠ABD=∠CBD=?∠ABC。其幾何意義不僅在于角度的均分，更與三角形的內(nèi)心（角平分線交點(diǎn)）、面積比（角平分線上點(diǎn)到兩邊距離相等）等性質(zhì)緊密相關(guān)。需要特別強(qiáng)調(diào)的是，角平分線是“射線”而非“線段”，但在具體圖形中，我們通常研究的是角平分線與對(duì)邊相交形成的“角平分線段”（如BD在△ABC中與AC交于D）。這一細(xì)節(jié)在后續(xù)分析中需注意區(qū)分。02從特殊到一般：旋轉(zhuǎn)圖形中對(duì)應(yīng)角平分線的關(guān)系探究1特殊案例：等腰直角三角形的90旋轉(zhuǎn)為直觀感受對(duì)應(yīng)角平分線的關(guān)系，我們先以等腰直角三角形為例。如圖1所示，△ABC中，∠ABC=90，AB=BC=2，將其繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△A'B'C'（其中A'與C重合，C'在BA延長(zhǎng)線上）。1特殊案例：等腰直角三角形的90旋轉(zhuǎn)繪制原圖形與旋轉(zhuǎn)圖形的角平分線原圖形中，∠ABC的角平分線是其本身（因90角的平分線將其分為兩個(gè)45角，即射線BD，D在AC上）；旋轉(zhuǎn)后，∠A'B'C'=∠ABC=90（保形性），其角平分線B'D'同樣將90角分為兩個(gè)45角。步驟2：測(cè)量與觀察通過測(cè)量可得：BD=B'D'=√2（可通過勾股定理計(jì)算：AC=2√2，等腰直角三角形角平分線長(zhǎng)度BD=?AC=√2）；BD與B'D'的夾角為90（即旋轉(zhuǎn)角θ=90）；且BD與B'D'到旋轉(zhuǎn)中心B的距離相等（均為0，因角平分線過頂點(diǎn)B）。初步結(jié)論：在等腰直角三角形90旋轉(zhuǎn)的情況下，對(duì)應(yīng)角平分線長(zhǎng)度相等，夾角等于旋轉(zhuǎn)角，且若角平分線過旋轉(zhuǎn)中心，則其位置關(guān)系與旋轉(zhuǎn)角直接相關(guān)。2一般案例：任意三角形的θ角旋轉(zhuǎn)為驗(yàn)證結(jié)論的普遍性，我們選取任意△ABC，繞點(diǎn)O（非頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)θ角得到△A'B'C'（如圖2）。設(shè)∠ABC的角平分線為BD，∠A'B'C'的角平分線為B'D'。2一般案例：任意三角形的θ角旋轉(zhuǎn)分析1：長(zhǎng)度關(guān)系由旋轉(zhuǎn)的保形性可知，△ABC≌△A'B'C'，故∠ABC=∠A'B'C'=α，對(duì)應(yīng)邊AB=A'B'，BC=B'C'。根據(jù)角平分線定理，原圖形中BD的長(zhǎng)度可由公式計(jì)算：[BD=\frac{2AB\cdotBC\cdot\cos(\alpha/2)}{AB+BC}]旋轉(zhuǎn)后，B'D'的長(zhǎng)度為：[B'D'=\frac{2A'B'\cdotB'C'\cdot\cos(\alpha/2)}{A'B'+B'C'}]由于AB=A'B'，BC=B'C'，因此BD=B'D'。分析2：位置關(guān)系2一般案例：任意三角形的θ角旋轉(zhuǎn)分析1：長(zhǎng)度關(guān)系考慮旋轉(zhuǎn)前后角平分線的方向。由于∠ABC與∠A'B'C'是對(duì)應(yīng)角，且旋轉(zhuǎn)角為θ，故射線BA繞O旋轉(zhuǎn)θ角到B'A'，射線BC繞O旋轉(zhuǎn)θ角到B'C'。角平分線BD作為∠ABC的均分線，其方向由BA和BC的方向共同決定；同理，B'D'由B'A'和B'C'的方向決定。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的保角性，BA與B'A'的夾角為θ，BC與B'C'的夾角也為θ，因此BD與B'D'的夾角也應(yīng)為θ（可通過向量法或角度疊加證明）。分析3：與旋轉(zhuǎn)中心的關(guān)系若旋轉(zhuǎn)中心O在角平分線BD上（如圖3），則旋轉(zhuǎn)后O仍在B'D'上（因旋轉(zhuǎn)保距且保角），此時(shí)BD與B'D'相交于O，且夾角為θ；若O不在BD上，則BD與B'D'為兩條平行或相交的線段，其夾角仍為θ（可通過平移旋轉(zhuǎn)中心驗(yàn)證）。3拓展：多邊形旋轉(zhuǎn)中的對(duì)應(yīng)角平分線對(duì)于四邊形、五邊形等多邊形，旋轉(zhuǎn)后各對(duì)應(yīng)角的角平分線關(guān)系是否與三角形一致？以正方形繞中心旋轉(zhuǎn)90為例（如圖4）：原正方形ABCD的∠ABC=90，角平分線為對(duì)角線AC；旋轉(zhuǎn)后正方形A'B'C'D'的∠A'B'C'=90，角平分線為對(duì)角線A'C'。觀察可得：AC與A'C'長(zhǎng)度相等（均為邊長(zhǎng)的√2倍），夾角為90（即旋轉(zhuǎn)角），且交于旋轉(zhuǎn)中心O。這與三角形的結(jié)論完全一致。歸納：無論圖形是三角形還是多邊形，旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)角平分線始終滿足以下關(guān)系：長(zhǎng)度相等：由旋轉(zhuǎn)的保形性及角平分線定理推導(dǎo)得出；夾角等于旋轉(zhuǎn)角：由旋轉(zhuǎn)的保角性及角平分線的方向決定；與旋轉(zhuǎn)中心的位置關(guān)聯(lián)：若角平分線過旋轉(zhuǎn)中心，則旋轉(zhuǎn)后仍過該點(diǎn)，否則保持夾角為旋轉(zhuǎn)角的位置關(guān)系。03邏輯驗(yàn)證：從猜想走向證明1定理表述旋轉(zhuǎn)圖形對(duì)應(yīng)角平分線定理：若圖形G繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)θ角得到圖形G'，則G中任意角∠ABC與其對(duì)應(yīng)角∠A'B'C'的角平分線BD、B'D'滿足：BD=B'D'；∠(BD,B'D')=θ（角平分線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角）；若O在BD上，則O也在B'D'上。2證明過程（以三角形為例）已知：△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)θ角得到△A'B'C'，BD平分∠ABC，B'D'平分∠A'B'C'。求證：BD=B'D'，∠(BD,B'D')=θ。證明步驟：全等性應(yīng)用：由旋轉(zhuǎn)定義，△ABC≌△A'B'C'，故AB=A'B'，BC=B'C'，∠ABC=∠A'B'C'=α（保形性）。角平分線長(zhǎng)度相等：在△ABC中，根據(jù)角平分線長(zhǎng)度公式：[BD=\frac{2AB\cdotBC\cdot\cos(\alpha/2)}{AB+BC}]同理，在△A'B'C'中：2證明過程（以三角形為例）[B'D'=\frac{2A'B'\cdotB'C'\cdot\cos(\alpha/2)}{A'B'+B'C'}]由于AB=A'B'，BC=B'C'，故BD=B'D'。夾角等于旋轉(zhuǎn)角：設(shè)射線BA的方向向量為(\vec{u})，射線BC的方向向量為(\vec{v})，則角平分線BD的方向向量為(\vec{u}_0+\vec{v}_0)（(\vec{u}_0)、(\vec{v}_0)為單位向量）。旋轉(zhuǎn)θ角后，(\vec{u})變?yōu)?\vec{u}'=R(\theta)\vec{u})（R(θ)為旋轉(zhuǎn)矩陣），(\vec{v})變?yōu)?\vec{v}'=R(\theta)\vec{v})，故B'D'的方向向量為(\vec{u}'_0+\vec{v}'_0=R(\theta)(\vec{u}_0+\vec{v}_0))。因此，BD與B'D'的夾角等于旋轉(zhuǎn)矩陣R(θ)的旋轉(zhuǎn)角θ，即∠(BD,B'D')=θ。2證明過程（以三角形為例）旋轉(zhuǎn)中心在角平分線上的情形：若O在BD上，則BO為BD的一部分，旋轉(zhuǎn)后BO繞O旋轉(zhuǎn)θ角得到B'O（因O是旋轉(zhuǎn)中心，故O'=O），因此B'O在B'D'上，即O在B'D'上。3反例驗(yàn)證為確保定理的嚴(yán)謹(jǐn)性，我們可構(gòu)造反例：若圖形非旋轉(zhuǎn)（如縮放），則對(duì)應(yīng)角平分線長(zhǎng)度不等（縮放會(huì)改變長(zhǎng)度），夾角也不等于原變換角（縮放不改變角度但改變長(zhǎng)度）。這從反面證明了定理的唯一性依賴于旋轉(zhuǎn)的“保距”“保角”特性。04教學(xué)實(shí)踐：如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用這一關(guān)系1課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)活動(dòng)1：動(dòng)手畫圖，觀察規(guī)律要求學(xué)生在方格紙上畫出△ABC（如A(0,0),B(2,0),C(0,2)），繞原點(diǎn)O(0,0)旋轉(zhuǎn)90得到△A'B'C'，然后分別作∠ABC和∠A'B'C'的角平分線，測(cè)量其長(zhǎng)度及夾角。通過小組合作，記錄數(shù)據(jù)并歸納規(guī)律?；顒?dòng)2：邏輯推導(dǎo)，深化理解以“為什么角平分線長(zhǎng)度相等？”為問題鏈起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧全等三角形性質(zhì)、角平分線定理，逐步推導(dǎo)公式。對(duì)于“夾角等于旋轉(zhuǎn)角”，可通過動(dòng)態(tài)幾何軟件（如GeoGebra）演示旋轉(zhuǎn)過程，觀察角平分線的動(dòng)態(tài)變化，直觀感受角度關(guān)系。2易錯(cuò)點(diǎn)提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)以下誤區(qū)：混淆角平分線與中線、高線：需強(qiáng)調(diào)角平分線的定義是“均分角度”，而中線是“均分對(duì)邊”，高線是“垂直對(duì)邊”，可通過對(duì)比練習(xí)強(qiáng)化區(qū)分；忽略旋轉(zhuǎn)中心的位置影響：部分學(xué)生可能認(rèn)為角平分線夾角一定等于旋轉(zhuǎn)角，需通過反例（如旋轉(zhuǎn)中心不在角平分線上時(shí)）說明結(jié)論的普適性；誤用保形性直接得出角平分線關(guān)系：需強(qiáng)調(diào)保形性保證的是角度和邊長(zhǎng)相等，但角平分線的關(guān)系需要進(jìn)一步推導(dǎo)，避免邏輯跳躍。3例題與應(yīng)用例題：如圖5，△DEF繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)60得到△D'E'F'，∠DEF=80，其角平分線EH交DF于H；∠D'E'F'的角平分線E'H'交D'F'于H'。已知EH=5cm，求E'H'的長(zhǎng)度及∠HEH'的度數(shù)。解答：由旋轉(zhuǎn)保形性，△DEF≌△D'E'F'，故∠DEF=∠D'E'F'=80，EH與E'H'為對(duì)應(yīng)角平分線，因此E'H'=EH=5cm；旋轉(zhuǎn)角為60，故∠HEH'=60（對(duì)應(yīng)角平分線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角）。05總結(jié)與升華：旋轉(zhuǎn)中的不變性與數(shù)學(xué)之美總結(jié)與升華：旋轉(zhuǎn)中的不變性與數(shù)學(xué)之美通過今天的學(xué)習(xí)，我們從特殊到一般、從觀察到證明，深入探究了旋轉(zhuǎn)圖形中對(duì)應(yīng)角平分線的關(guān)系。核心結(jié)論可概括為：旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)角平分線長(zhǎng)度相等，夾角等于旋轉(zhuǎn)角，且若旋轉(zhuǎn)中心在角平分線上，則該點(diǎn)仍在旋轉(zhuǎn)后的角平分線上。這一結(jié)論不僅是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的具體應(yīng)用，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“變與不變”的辯證思想——圖形的位置和方向因旋轉(zhuǎn)而改變，但角平分線的長(zhǎng)度、夾角等幾何量卻保持著與旋轉(zhuǎn)角的嚴(yán)格對(duì)應(yīng)關(guān)系。正如古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所言：“一切平面圖形中最美的是圓形，一切立體圖形中最美的是球形”，而旋轉(zhuǎn)作為生成對(duì)