一、知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的基本性質(zhì)回顧演講人CONTENTS知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的基本性質(zhì)回顧核心突破：二次函數(shù)區(qū)間最值的分析邏輯典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練易錯(cuò)點(diǎn)警示：避免常見思維漏洞實(shí)際應(yīng)用：二次函數(shù)區(qū)間最值的生活場(chǎng)景總結(jié)與升華：二次函數(shù)區(qū)間最值的核心思想目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)區(qū)間最值典型例題課件各位同學(xué)、老師們：大家好！作為一名深耕初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的教師，我始終記得第一次講解二次函數(shù)區(qū)間最值時(shí)的場(chǎng)景——學(xué)生們盯著題目中“x∈[1,5]”的條件，皺著眉頭問：“老師，以前學(xué)的頂點(diǎn)最值不是整個(gè)拋物線的嗎？現(xiàn)在限制了x的范圍，該怎么找最大最小值呢？”這個(gè)問題，正是我們今天要解決的核心：當(dāng)二次函數(shù)的定義域不再是全體實(shí)數(shù)，而是某個(gè)有限區(qū)間時(shí)，如何精準(zhǔn)找到其最大值與最小值？這節(jié)課，我們將從二次函數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合典型例題，逐步拆解區(qū)間最值的分析邏輯，最終形成一套可操作的解題方法。希望通過今天的學(xué)習(xí)，大家能徹底掌握“看開口、定頂點(diǎn)、判位置、比大小”的解題四步法，讓區(qū)間最值問題不再是“攔路虎”。01知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的基本性質(zhì)回顧知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的基本性質(zhì)回顧要解決區(qū)間最值問題，首先需要扎實(shí)掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)性質(zhì)。我們從最熟悉的表達(dá)式開始梳理：1二次函數(shù)的三種表達(dá)式二次函數(shù)的一般形式為(y=ax^2+bx+c)（(a≠0)），其圖像是一條拋物線。為了更直觀分析頂點(diǎn)和對(duì)稱軸，我們常將其化為頂點(diǎn)式(y=a(x-h)^2+k)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為((h,k))，對(duì)稱軸為直線(x=h)。此外，當(dāng)已知拋物線與x軸交點(diǎn)時(shí)，還可表示為交點(diǎn)式(y=a(x-x_1)(x-x_2))，但今天我們重點(diǎn)關(guān)注前兩種形式。2拋物線的開口方向與單調(diào)性開口方向由二次項(xiàng)系數(shù)(a)決定：當(dāng)(a>0)時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)是圖像的最低點(diǎn)；當(dāng)(a<0)時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)是圖像的最高點(diǎn)。單調(diào)性則以對(duì)稱軸為分界：開口向上時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)（(x<h)），函數(shù)單調(diào)遞減；右側(cè)（(x>h)），函數(shù)單調(diào)遞增；開口向下時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)（(x<h)），函數(shù)單調(diào)遞增；右側(cè)（(x>h)），函數(shù)單調(diào)遞減。3全體實(shí)數(shù)定義域下的最值當(dāng)(x∈?)時(shí)，二次函數(shù)的最值由頂點(diǎn)直接決定：開口向上時(shí)，最小值為(k)（頂點(diǎn)縱坐標(biāo)），無最大值；開口向下時(shí)，最大值為(k)，無最小值。但實(shí)際問題中，變量(x)往往受限于某個(gè)區(qū)間（如時(shí)間、長(zhǎng)度等不能為負(fù)數(shù)或超過某個(gè)范圍），此時(shí)最值可能出現(xiàn)在頂點(diǎn)，也可能出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)。這正是我們接下來要重點(diǎn)研究的“區(qū)間最值”。02核心突破：二次函數(shù)區(qū)間最值的分析邏輯核心突破：二次函數(shù)區(qū)間最值的分析邏輯區(qū)間最值的關(guān)鍵在于“比較”——比較頂點(diǎn)函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小。具體可分為以下兩種情況：2.1情況一：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h)在給定區(qū)間內(nèi)假設(shè)區(qū)間為閉區(qū)間([m,n])（(m<n)），若(m≤h≤n)，即頂點(diǎn)橫坐標(biāo)落在區(qū)間內(nèi)，則：開口向上時(shí)，頂點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)的最低點(diǎn)（最小值），最大值在離頂點(diǎn)較遠(yuǎn)的端點(diǎn)；開口向下時(shí)，頂點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)的最高點(diǎn)（最大值），最小值在離頂點(diǎn)較遠(yuǎn)的端點(diǎn)。關(guān)鍵驗(yàn)證：如何判斷(h)是否在區(qū)間內(nèi)？只需計(jì)算(h=-\frac{2a})（從一般式推導(dǎo)），并驗(yàn)證(m≤h≤n)是否成立。核心突破：二次函數(shù)區(qū)間最值的分析邏輯2.2情況二：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h)不在給定區(qū)間內(nèi)若(h<m)或(h>n)，即頂點(diǎn)橫坐標(biāo)落在區(qū)間左側(cè)或右側(cè)，則：開口向上時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)（左側(cè)時(shí)單調(diào)遞增，右側(cè)時(shí)單調(diào)遞減），最值在端點(diǎn)；開口向下時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)（左側(cè)時(shí)單調(diào)遞減，右側(cè)時(shí)單調(diào)遞增），最值在端點(diǎn)?？偨Y(jié)規(guī)律：無論頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)，區(qū)間最值的候選點(diǎn)只有兩個(gè)——頂點(diǎn)（若在區(qū)間內(nèi)）和區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)。因此，解決區(qū)間最值問題的步驟可歸納為：確定拋物線的開口方向（由(a)的符號(hào)）；計(jì)算頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h=-\frac{2a})；判斷(h)是否在區(qū)間([m,n])內(nèi)；核心突破：二次函數(shù)區(qū)間最值的分析邏輯計(jì)算頂點(diǎn)函數(shù)值(k)及端點(diǎn)函數(shù)值(f(m)、f(n))；比較這三個(gè)值（或兩個(gè)端點(diǎn)值，若頂點(diǎn)不在區(qū)間內(nèi)），確定最大、最小值。03典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練為了讓大家更直觀理解上述邏輯，我們通過三道典型例題逐步拆解，覆蓋不同開口方向、頂點(diǎn)位置的情況。例題1：開口向上，頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)題目：已知二次函數(shù)(y=x^2-4x+5)，求其在區(qū)間([1,4])上的最大值與最小值。解析步驟：開口方向：(a=1>0)，開口向上；頂點(diǎn)橫坐標(biāo)：(h=-\frac{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2)；典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練判斷頂點(diǎn)位置：區(qū)間為([1,4])，(1≤2≤4)，頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；計(jì)算函數(shù)值：頂點(diǎn)縱坐標(biāo)(k=f(2)=2^2-4×2+5=4-8+5=1)；左端點(diǎn)(f(1)=1-4+5=2)；右端點(diǎn)(f(4)=16-16+5=5)；比較大小：開口向上，頂點(diǎn)是最小值（1），最大值在右端點(diǎn)（5）。結(jié)論：最小值為1（x=2時(shí)），最大值為5（x=4時(shí)）。典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練教學(xué)反思：這道題是最基礎(chǔ)的情況，學(xué)生容易忽略的是“頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)時(shí)，仍需比較兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值”。我曾在批改作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)，有同學(xué)直接認(rèn)為“開口向上，最大值在右端點(diǎn)”，但如果區(qū)間是([1,3])，右端點(diǎn)(f(3)=9-12+5=2)，反而小于左端點(diǎn)(f(1)=2)，此時(shí)最大值其實(shí)在兩個(gè)端點(diǎn)（相等）。因此，必須嚴(yán)格計(jì)算并比較。例題2：開口向下，頂點(diǎn)在區(qū)間左側(cè)題目：已知二次函數(shù)(y=-2x^2+8x-3)，求其在區(qū)間([3,5])上的最大值與最小值。解析步驟：開口方向：(a=-2<0)，開口向下；典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練頂點(diǎn)橫坐標(biāo)：(h=-\frac{8}{2×(-2)}=2)；判斷頂點(diǎn)位置：區(qū)間為([3,5])，(2<3)，頂點(diǎn)在區(qū)間左側(cè)；分析單調(diào)性：開口向下，頂點(diǎn)在左側(cè)，說明區(qū)間([3,5])位于對(duì)稱軸右側(cè)，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減（因?yàn)殚_口向下時(shí)，對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減）；計(jì)算端點(diǎn)值：左端點(diǎn)(f(3)=-2×9+8×3-3=-18+24-3=3)；右端點(diǎn)(f(5)=-2×25+8×5-3=-50+40-3=-13)；確定最值：?jiǎn)握{(diào)遞減時(shí)，左端點(diǎn)為最大值（3），右端點(diǎn)為最小值（-13）。典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練教學(xué)反思：這道題的關(guān)鍵是判斷單調(diào)性。學(xué)生容易混淆開口方向與單調(diào)性的關(guān)系，比如可能錯(cuò)誤認(rèn)為“開口向下，右側(cè)應(yīng)該遞增”。此時(shí)可以結(jié)合圖像輔助理解：開口向下的拋物線，像一座山，左側(cè)（x<h）是上山坡（遞增），右側(cè)（x>h）是下山坡（遞減）。因此，當(dāng)頂點(diǎn)在區(qū)間左側(cè)時(shí)，區(qū)間內(nèi)的圖像處于“下山坡”，函數(shù)值隨x增大而減小。例題3：開口向上，頂點(diǎn)在區(qū)間右側(cè)題目：已知二次函數(shù)(y=0.5x^2-2x+3)，求其在區(qū)間([-1,2])上的最大值與最小值。解析步驟：開口方向：(a=0.5>0)，開口向上；頂點(diǎn)橫坐標(biāo)：(h=-\frac{-2}{2×0.5}=2)；典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練判斷頂點(diǎn)位置：區(qū)間為([-1,2])，(h=2)正好是區(qū)間的右端點(diǎn)；分析單調(diào)性：開口向上，對(duì)稱軸為x=2，區(qū)間([-1,2])位于對(duì)稱軸左側(cè)，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減；計(jì)算端點(diǎn)值：左端點(diǎn)(f(-1)=0.5×1-2×(-1)+3=0.5+2+3=5.5)；右端點(diǎn)（頂點(diǎn)）(f(2)=0.5×4-2×2+3=2-4+3=1)；確定最值：?jiǎn)握{(diào)遞減時(shí)，左端點(diǎn)為最大值（5.5），右端點(diǎn)（頂點(diǎn)）為最小值（1）。典型例題解析：從單一到綜合的思維訓(xùn)練教學(xué)反思：這道題的特殊點(diǎn)在于頂點(diǎn)正好是區(qū)間的右端點(diǎn)。此時(shí)，頂點(diǎn)是否屬于區(qū)間？因?yàn)閰^(qū)間是閉區(qū)間([-1,2])，x=2是包含在內(nèi)的，因此頂點(diǎn)函數(shù)值需要參與比較。學(xué)生可能疑惑：“頂點(diǎn)在端點(diǎn)上，是否需要單獨(dú)考慮？”其實(shí)，當(dāng)頂點(diǎn)與端點(diǎn)重合時(shí)，它既是頂點(diǎn)又是端點(diǎn)，直接計(jì)算其函數(shù)值即可，無需額外處理。04易錯(cuò)點(diǎn)警示：避免常見思維漏洞易錯(cuò)點(diǎn)警示：避免常見思維漏洞通過上述例題，我們發(fā)現(xiàn)區(qū)間最值問題的易錯(cuò)點(diǎn)主要集中在以下三個(gè)方面：1忽略開口方向?qū)握{(diào)性的影響部分同學(xué)會(huì)直接認(rèn)為“左端點(diǎn)一定是最小值，右端點(diǎn)一定是最大值”，但這僅在開口向上且頂點(diǎn)在區(qū)間左側(cè)時(shí)成立。若開口向下，結(jié)論可能完全相反。例如，例題2中開口向下，頂點(diǎn)在區(qū)間左側(cè)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)左端點(diǎn)反而是最大值。2錯(cuò)誤判斷頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)計(jì)算頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h)時(shí)，符號(hào)錯(cuò)誤是常見問題。例如，對(duì)于(y=-2x^2+8x-3)，正確的(h=-\frac{2a}=-\frac{8}{2×(-2)}=2)，但有同學(xué)可能誤算為(h=\frac{8}{4}=2)（雖然結(jié)果正確，但符號(hào)邏輯不清晰）。更嚴(yán)重的是，部分同學(xué)會(huì)忘記比較(h)與區(qū)間端點(diǎn)(m、n)的大小，直接默認(rèn)頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)致錯(cuò)誤。3遺漏端點(diǎn)函數(shù)值的計(jì)算當(dāng)頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)時(shí)，部分同學(xué)會(huì)僅比較頂點(diǎn)與其中一個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，而忽略另一個(gè)端點(diǎn)。例如，在例題1中，若只比較頂點(diǎn)（1）與左端點(diǎn)（2），可能錯(cuò)誤認(rèn)為最大值是2，而實(shí)際右端點(diǎn)（5）更大。因此，必須計(jì)算所有候選點(diǎn)（頂點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)）的函數(shù)值，再統(tǒng)一比較。05實(shí)際應(yīng)用：二次函數(shù)區(qū)間最值的生活場(chǎng)景實(shí)際應(yīng)用：二次函數(shù)區(qū)間最值的生活場(chǎng)景數(shù)學(xué)的價(jià)值在于解決實(shí)際問題。二次函數(shù)區(qū)間最值在生活中有著廣泛應(yīng)用，例如：1銷售利潤(rùn)問題題目：某商店銷售一種商品，售價(jià)為x元（5≤x≤15），每天銷量為(200-10x)件，成本為每件3元。求每天利潤(rùn)的最大值。分析：利潤(rùn)(L=(x-3)(200-10x)=-10x^2+230x-600)，這是一個(gè)開口向下的二次函數(shù)（(a=-10<0)），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h=-\frac{230}{2×(-10)}=11.5)。區(qū)間為([5,15])，(5≤11.5≤15)，頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，因此最大值在頂點(diǎn)處，計(jì)算得(L(11.5)=-10×(11.5)^2+230×11.5-600=722.5)元。2拋物線型建筑問題題目：某橋拱的形狀是拋物線，其解析式為(y=-\frac{1}{20}x^2+4)（x為水平距離，y為高度，單位：米），求當(dāng)x∈[-10,10]時(shí)，橋拱的最高高度和最低高度。分析：開口向下（(a=-\frac{1}{20}<0)），頂點(diǎn)在x=0處（(h=0)），區(qū)間([-10,10])包含頂點(diǎn)。頂點(diǎn)縱坐標(biāo)(y=4)是最高點(diǎn)；最低點(diǎn)在端點(diǎn)，計(jì)算(x=10)或(x=-10)時(shí)，(y=-\frac{1}{20}×100+4=-5+4=-1)米（注意：實(shí)際中高度不能為負(fù)，這里可能表示橋拱在水面下的部分）。06總結(jié)與升華：二次函數(shù)區(qū)間最值的核心思想總結(jié)與升華：二次函數(shù)區(qū)間最值的核心思想回顧整節(jié)課的內(nèi)容，我們可以用“四字訣”概括解題關(guān)鍵：1看開口（定趨勢(shì)）通過(a)的符號(hào)確定拋物線開口方向，這是判斷單調(diào)性和最值類型（最大/最?。┑幕A(chǔ)。2定頂點(diǎn)（找核心）計(jì)算頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h)，明確拋物線的對(duì)稱軸位置，這是分析區(qū)間內(nèi)函數(shù)行為的