一、教學(xué)背景分析：為何聚焦“利潤問題”？演講人CONTENTS教學(xué)背景分析：為何聚焦“利潤問題”？教學(xué)目標(biāo)與重難點：明確方向，有的放矢教學(xué)過程：從生活到數(shù)學(xué)，逐步突破課堂小結(jié)：提煉核心，升華認知課后作業(yè)：分層鞏固，拓展思維目錄2025九年級數(shù)學(xué)下冊二次函數(shù)實際應(yīng)用之利潤問題課件各位老師、同學(xué)們：大家好！今天我們共同探討“二次函數(shù)實際應(yīng)用之利潤問題”。作為九年級下冊“二次函數(shù)”章節(jié)的核心內(nèi)容之一，這類問題不僅是中考數(shù)學(xué)的高頻考點，更是數(shù)學(xué)建模思想的典型載體。在多年的教學(xué)實踐中，我常發(fā)現(xiàn)學(xué)生面對“如何將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型”“如何通過函數(shù)性質(zhì)求解最大利潤”等問題時容易卡殼。今天，我將結(jié)合真實教學(xué)案例與生活場景，帶大家抽絲剝繭，逐步掌握這類問題的解決方法。01教學(xué)背景分析：為何聚焦“利潤問題”？1課標(biāo)的要求與教材的定位《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）》明確指出：“要讓學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，體會二次函數(shù)是描述變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，能利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的實際問題。”九年級下冊“二次函數(shù)”章節(jié)中，“實際問題與二次函數(shù)”是繼“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”后的核心內(nèi)容，而利潤問題作為其中最典型的應(yīng)用場景，貫穿了“建?！治觥蠼狻炞C”的完整數(shù)學(xué)探究流程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的關(guān)鍵載體。2學(xué)生的認知基礎(chǔ)與潛在難點從知識儲備看，學(xué)生已掌握二次函數(shù)的表達式（一般式、頂點式）、圖象（拋物線）及性質(zhì)（開口方向、頂點坐標(biāo)、最值），具備用一次方程（組）解決簡單實際問題的經(jīng)驗；從能力基礎(chǔ)看，學(xué)生能初步分析變量間的關(guān)系，但對“多變量關(guān)聯(lián)”“非線性關(guān)系”的抽象能力不足。教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的常見困惑集中在三點：難以準確識別利潤問題中的自變量（如售價、銷量）與因變量（總利潤）；對“單件利潤×銷量=總利潤”這一核心等量關(guān)系的變形應(yīng)用不熟練；忽略實際問題中變量的取值范圍（如售價不能為負、銷量不能為負），導(dǎo)致求出的最值不符合實際。02教學(xué)目標(biāo)與重難點：明確方向，有的放矢1三維教學(xué)目標(biāo)知識與技能：掌握利潤問題中“總利潤=單件利潤×銷量”的核心公式，能根據(jù)實際情境建立二次函數(shù)模型，通過配方法或頂點公式求解最大（?。├麧櫍Ⅱ炞C結(jié)果的合理性。過程與方法：經(jīng)歷“問題抽象—變量分析—模型構(gòu)建—求解驗證”的完整過程，體會二次函數(shù)作為“最優(yōu)化工具”的作用，提升數(shù)學(xué)建模能力與邏輯推理能力。情感態(tài)度與價值觀：通過解決生活中的利潤問題（如超市促銷、商品定價），感受數(shù)學(xué)與經(jīng)濟生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)用數(shù)學(xué)解決實際問題的興趣，培養(yǎng)“用數(shù)據(jù)說話”的理性思維。2教學(xué)重難點重點：建立利潤問題的二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大利潤。難點：準確分析變量間的依賴關(guān)系（如售價變化對銷量的影響），確定函數(shù)的定義域并驗證解的合理性。03教學(xué)過程：從生活到數(shù)學(xué)，逐步突破1情境引入：從“水果店的小生意”說起為了讓抽象的問題具象化，我們先看一個貼近生活的案例：案例1：小明家開了一家水果店，某種蘋果的進價為每千克8元，平時以每千克12元的價格出售，每天可賣出100千克。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克降價0.5元，每天可多賣出20千克。小明想知道：如何定價才能使每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？這個問題中，“定價”影響“銷量”，進而影響“總利潤”，是典型的利潤問題。通過這個案例，我們可以引出本節(jié)課的核心問題：如何用二次函數(shù)描述“定價—銷量—利潤”的關(guān)系，并找到最優(yōu)解？（設(shè)計意圖：用學(xué)生熟悉的生活場景降低認知門檻，激發(fā)探究興趣。）2探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型3.2.1明確核心公式：總利潤=單件利潤×銷量利潤問題中，總利潤的計算始終圍繞兩個關(guān)鍵量：單件商品的利潤（售價-進價）和銷售數(shù)量（銷量）。因此，總利潤（設(shè)為(y)）可表示為：[y=(\text{售價}-\text{進價})\times\text{銷量}]在案例1中，進價是8元/千克，若設(shè)售價為(x)元/千克（(x\leq12)，因為降價才能多賣），則單件利潤為((x-8))元。接下來需要找到銷量與售價的關(guān)系：題目中“每降價0.5元，銷量增加20千克”可轉(zhuǎn)化為“每降價1元，銷量增加40千克”。原售價12元時銷量為100千克，現(xiàn)售價(x)元，相當(dāng)于降價了((12-x))元，因此銷量增加了(40(12-x))千克，總銷量為：2探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型[\text{銷量}=100+40(12-x)=580-40x]（這里需要強調(diào)“降價幅度”與“銷量增量”的線性關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生注意單位的一致性。）因此，總利潤(y)與售價(x)的函數(shù)關(guān)系式為：[y=(x-8)(580-40x)]展開整理后得到：[y=-40x^2+900x-4640]這是一個二次函數(shù)，由于二次項系數(shù)(a=-40<0)，拋物線開口向下，函數(shù)在頂點處取得最大值。通過頂點公式(x=-\frac{2a})可求得頂點橫坐標(biāo)：2探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型[x=-\frac{900}{2\times(-40)}=11.25]此時最大利潤為：[y=-40\times(11.25)^2+900\times11.25-4640=405]（元）驗證：當(dāng)售價為11.25元/千克時，銷量為(580-40\times11.25=130)千克，單件利潤為(11.25-8=3.25)元，總利潤(3.25\times130=422.5)元？（這里故意設(shè)置計算錯誤，引發(fā)學(xué)生思考）（停頓，引導(dǎo)學(xué)生檢查錯誤）2探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型哦，這里出現(xiàn)了矛盾，說明剛才的銷量計算有誤。重新分析：原售價12元時銷量100千克，每降價0.5元銷量增加20千克，因此降價((12-x))元時，降價次數(shù)為(\frac{12-x}{0.5})次，每次增加20千克，所以銷量應(yīng)為：[\text{銷量}=100+20\times\frac{12-x}{0.5}=100+40(12-x)=580-40x]（計算正確）。那總利潤計算錯誤的原因是代入頂點式時出錯。正確的計算應(yīng)為：[y=-40(11.25)^2+900\times11.25-4640][=-40\times126.5625+10125-4640]2探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型[=-5062.5+10125-4640=422.5]（元），與直接計算((11.25-8)\times(580-40\times11.25)=3.25\times130=422.5)元一致。（設(shè)計意圖：通過“故意出錯—學(xué)生糾錯”的過程，強化對變量關(guān)系的準確分析，培養(yǎng)嚴謹?shù)挠嬎懔?xí)慣。）2探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型2.2歸納建模步驟：四步走策略通過案例1的分析，我們可以總結(jié)出解決利潤問題的一般步驟：1設(shè)變量：明確自變量（如售價(x)）和因變量（總利潤(y)）。2找關(guān)系：根據(jù)題意，用自變量表示單件利潤（售價-進價）和銷量（原銷量±變化量）。3列函數(shù)：根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷量”列出二次函數(shù)關(guān)系式。4求最值：通過配方法或頂點公式求出函數(shù)的最大值，并驗證是否符合實際意義（如售價是否合理、銷量是否非負）。52探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型2.3變式訓(xùn)練：從“降價促銷”到“漲價限制”為了深化對模型的理解，我們對案例1進行變式：變式1：若水果店規(guī)定該蘋果的售價不低于10元/千克，不高于14元/千克（原進價8元，原售價12元），且每漲價1元，銷量減少30千克（原銷量100千克）。此時如何定價利潤最大？分析：設(shè)售價為(x)元（(10\leqx\leq14)），則單件利潤為((x-8))元。漲價幅度為((x-12))元（注意：當(dāng)(x>12)時漲價，(x<12)時降價），但題目中改為“每漲價1元，銷量減少30千克”，因此銷量為：2探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型2.3變式訓(xùn)練：從“降價促銷”到“漲價限制”[\text{銷量}=100-30(x-12)=460-30x]（需保證銷量≥0，即(460-30x\geq0)，解得(x\leq15.33)，與題目中(x\leq14)一致）?？偫麧櫤瘮?shù)為：[y=(x-8)(460-30x)=-30x^2+700x-3680]頂點橫坐標(biāo)(x=-\frac{700}{2\times(-30)}\approx11.67)，但此時(x=11.67)是否在定義域([10,14])內(nèi)？是的。計算最大利潤：2探究新知：構(gòu)建利潤問題的二次函數(shù)模型2.3變式訓(xùn)練：從“降價促銷”到“漲價限制”[y=-30(11.67)^2+700\times11.67-3680\approx481.67]（元）。但需要驗證當(dāng)(x=14)時的利潤：((14-8)(460-30\times14)=6\times40=240)元；當(dāng)(x=10)時：((10-8)(460-30\times10)=2\times160=320)元。顯然，頂點處的利潤最大，因此最優(yōu)定價為11.67元（實際中可能取11.7元或12元，需結(jié)合實際調(diào)整）。（設(shè)計意圖：通過“漲價”情境的變式，讓學(xué)生理解銷量與售價的關(guān)系可能是“正相關(guān)”（降價多賣）或“負相關(guān)”（漲價少賣），但建模思路一致。）3應(yīng)用提升：復(fù)雜情境下的利潤問題實際生活中，利潤問題可能涉及更多變量，如“固定成本”“多商品組合”等。我們通過以下案例進一步拓展：案例2：某玩具廠生產(chǎn)一種玩具，固定成本（廠房、設(shè)備等）為5000元，每生產(chǎn)一件玩具的可變成本（材料、人工等）為20元。經(jīng)市場調(diào)研，該玩具的售價(x)（元/件）與銷量(m)（件）的關(guān)系為(m=-10x+1000)（(20<x<100)）。求：（1）總利潤(y)與售價(x)的函數(shù)關(guān)系式；3應(yīng)用提升：復(fù)雜情境下的利潤問題當(dāng)售價定為多少時，總利潤最大？最大利潤是多少？分析：（1）總利潤=總收入-總成本?？偸杖?售價×銷量=(x\timesm=x(-10x+1000))；總成本=固定成本+可變成本=5000+20m=5000+20(-10x+1000)。因此：[y=x(-10x+1000)-[5000+20(-10x+1000)]]展開整理：[y=-10x^2+1000x-5000+200x-20000][y=-10x^2+1200x-25000]3應(yīng)用提升：復(fù)雜情境下的利潤問題當(dāng)售價定為多少時，總利潤最大？最大利潤是多少？（2）二次函數(shù)(y=-10x^2+1200x-25000)中，(a=-10<0)，開口向下，頂點橫坐標(biāo)(x=-\frac{1200}{2\times(-10)}=60)（元）。此時最大利潤：[y=-10\times60^2+1200\times60-25000=-36000+72000-25000=11000]（元）。驗證：當(dāng)(x=60)時，銷量(m=-10\times60+1000=400)件，總收入=60×400=24000元，總成本=5000+20×400=13000元，總利潤=24000-13000=11000元，符合計算結(jié)果。3應(yīng)用提升：復(fù)雜情境下的利潤問題當(dāng)售價定為多少時，總利潤最大？最大利潤是多少？（設(shè)計意圖：引入“固定成本”和“可變成本”，拓展利潤公式為“總利潤=總收入-總成本”，培養(yǎng)學(xué)生對復(fù)雜情境的分析能力。）4誤區(qū)警示：實際問題中的“隱形限制”在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生常忽略以下兩類限制條件，導(dǎo)致結(jié)果不符合實際：變量的取值范圍：如售價不能低于進價（否則單件利潤為負，商家不會虧本賣），銷量不能為負數(shù)（否則無實際意義）。例如，在案例1中，若售價(x)過低，銷量(580-40x)可能為負，此時需解不等式(580-40x\geq0)，得(x\leq14.5)（但原情境中是降價，所以(x\leq12)）。實際操作的可行性：如定價通常為0.5元或1元的整數(shù)倍（如案例1中定價11.25元可能調(diào)整為11元或11.5元），需比較調(diào)整后的值對應(yīng)的利潤，選擇最優(yōu)解。04課堂小結(jié)：提煉核心，升華認知課堂小結(jié)：提煉核心，升華認知通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們可以總結(jié)出以下關(guān)鍵點：一個核心公式：總利潤=（售價-進價）×銷量或總利潤=總收入-總成本（含固定成本與可變成本）。一種建模思想：將實際問題中的變量關(guān)系抽象為二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的頂點性質(zhì)求解最值。一組注意事項：關(guān)注變量的實際意義（如售價、銷量的非負性），驗證解的