中考數(shù)學壓軸題及解析分類匯編

2023年中考數(shù)學壓軸題及解析分類匯編

2023中考數(shù)學壓軸：相似三角形問題

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題（一）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題（二）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題（三）

2023中考數(shù)學壓軸；等腰三角形問題「7

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題（一）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題（二）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題（三）

2023中考數(shù)學壓軸：直角三角形問題一〉

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)直角三角形問題（一）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)直角三角形問題（二）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)直角三角形問題（三）

2023中考數(shù)學壓軸：平行四邊形問題’7

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)平行四邊形問題（一）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)平行四邊形問題（二）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)平行四邊形問題（三）

2023中考數(shù)學壓軸：梯形問題修

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)梯形問題（一）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)梯形問題（二）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)梯形問題（三）

2023中考數(shù)學壓軸：面積問題合

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)面積問題（一）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)面積問題（二）

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)面積問題（三）

2023中考數(shù)學壓軸題:函數(shù)相似二角形問題（一）

例1、直線y=—1x+l分別交x軸、y軸于力、8兩點，△NOB繞點。按逆時針方向

旋轉90。后得到△COD,拋物線曠=。乂2+故+（:經(jīng)過力、C、0三點.

（1）寫出點A、B、C、。的坐標：

（2）求經(jīng)過4、C、。三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；

（3）在直線BG上是否存在點Q,使得以點A、B、Q為頂點的三角形與△CO。相似？假

設存在，請求出點Q的坐標；假設不存在，請說明理由.

圖1

思路點撥

1.圖形在旋轉過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等于旋轉角.

2.用待定系數(shù)法求拋物戰(zhàn)的解析式，用配方法求頂點必標.

3.第(3)題判斷NA8Q=90°是解題的前提.

4.△力BQ與△C。。相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點Q與點B的

位置關系分上下兩種情形，點Q共有4個.

總分值解答

(1)4(3,0),8(0,1),C(0,3),。(一1,0).

(2)囚為拋物線y=ax2十bx十c經(jīng)過A(3,0)、C(0,3)、D(~l,0)三點，所以

9。+38+c=0,a=-\

解得卜=2,

c=3,

a-b+c=0.c=3.

所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3=—(x—1)2+4,頂點G的坐標為(1,4).

(3)如圖2,直線BG的解析式為y=3x+L直線CD的解析式為y=3x+3,因此CD〃8G.

因為圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角等于旋轉常，所以48_LCD.因此A8J_8G,

即N4BQ=90°.

因為點Q在直線8G上，設點Q的坐標為(x,3x+l),那么BQ=十萬幻？=土加丫.

RtACOD的兩條直角邊的比為1:3,如果RtAJlBQ與RtACOD相似，存在兩種情況:

①當盛=3時，主幽=3.解得x=±3.所以Qj3,IO)，。2(-3,-8).

BAV10

②當絲時，主瞥=_L解得工=±\所以03(1,2)，。式一士0).

BA35/103333

圖2圖3

考點伸展

第(3)題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉的性質說明AB_LBG；二

是BQ=4+(3幻2=±5/i0x.

我們換個思路解答第(3)題:

如圖3,作GHJ_y軸，QN_Ly軸，垂足分別為H、N.

通過證明△力。8gZXBA/G,根據(jù)全等三角形的對應角相等，可以證明NABG=90°.

在RtZ\8G"中'sinZ1=—=?cosZ1=—?

x/10V10

①當柜=3時，BQ=3M.

BA

在Rt^8QN中，QN=8QsinNl=3，BN=BQcosNl=9.

當Q在8上方時，Q(3,10);當Q在B下方時，。式—3,-8).

②當絲=』時,BQ=」J訪.同理得到Q(1,2)，24(--,0).

BA3333

例2、RtZsABC在直角坐標系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù))，=K(攵。0)在第一

x

象限內(nèi)的圖像與邊交于點D(4,m),與48邊交于點E(2,n),/XBOE的面積為2.

(1)求相與"的數(shù)量關系：

(2)當lanN4=，時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達式；

2

(3)設直線A8與y軸交于點F,點。在射線尸。上，在(2)的條件下，如果△A￡O

與△￡尸尸相似，求點尸的坐標.

圖1

思路點撥

1.探求m與〃的數(shù)量關系，用m表示點8、D、E的坐標，是解題的突破口.

2.第(2)題留給第(3)題的隱含條件是加〃x軸.

3.如果△AE。與A/FP相似，因為夾角相等，根據(jù)對應邊成比例，分兩種情況.

總分值斛答

k4"2=k

門)如圖1,因為點D14,m)、E(2,加在反比例函數(shù))，=一的圖像上，所以《

x\2n-k.

整理，得〃=2m.

(2)如圖2,過點E作E”_L8C,垂足為H.在Rtz\BEH中，tanZ5F/7=tanZ/l=-,

2

EH=2,所以2H=1.因此0(4,m),E[2,2m),8(4,2m+2).

△8DE的面積為2,所以，3O-E〃=L(m+l)x2=2.解得m=l.因此0(4,1),

22

E(2,2),8(4,3).

k

因為點D(4,1)在反比例函數(shù))，=—的圖像上，所以k=4.因此反比例函數(shù)的解析

x

4

式為

x

3=4火+〃，1

設直線4B的解析式為y=kx+8,代入8(4,3)、員2,2),得《解得人二一,

2=2k+b.2

b=\.

因此直線AB的函數(shù)解析式為y=1x+1.

圖2圖3圖4

(3)如圖3,因為直線)，=gx+l與y軸交于點F(0,1)，點。的坐標為(4,1),

所以FD〃x軸，NEFP=/EAO.因此△AE。與△EFP相似存在兩種情況：

①如圖3,當且二更時，—.解得叩=1.此時點P的坐標為(1,1).

AOFP2FP

pAFP7-v/sFP

②如圖4,當巴=上二時，士=一,解得FP=5.此時點P的坐標為15,1).

AOEF2J5

考點伸展

此題的題設局部有條件在直角坐標系內(nèi)的位置如圖1所示〃，如果沒有這個

條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：

1?

第(1)題的結論m與〃的數(shù)量關系不變.第(2)題反比例函數(shù)的解析式為y=-一，

x

直線48為)，=^；1-7.第(3)題即不再與x軸平行，AAE。與△EFP也不可能相似.

圖5

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似二角形問題(二J

例3、如圖1,梯形0/1BC,拋物線分別過點0(0,0)、4(2,0)、8(6,3).

(1)直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；

(2)將圖1中梯形O/WC的上下底邊所在的直線。.4、CB以相同的速度同時向上平移,

分別交拋物線于點Oi、4、Ci、Bi，得到如圖2的梯形04&C1.設梯形Q4B1于的面積

為S,4、81的坐標分別為(xi，yi)、(X2，_V2).用含S的代數(shù)式表示X2—xi，并求出當S=36

時點41的坐標；

(3)在圖1中，設點。的坐標為(1,3),動點戶從點8出發(fā)，以每秒1個單位長度的

速度沿著線段8C運動，動點Q從點。出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動.P、

Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動.設P、Q兩點的運動時間

為￡,是否存在某一時刻b使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線力8、

拋物線的對稱軸闈成的三角形相似？假設存在，請求出t的值；假設不存在，請說明理由.

圖1圖2

感珞點披

1.第(2)題用含S為代數(shù)式表示X2—XI，我們反其道而行之，用Xl，X2表示S.再注

意平移過程中梯形的高保持不變，即九一％=3.通過代數(shù)變形就可以了.

2.第(3J題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準飾的

位置關系，因此此題的策略是先假設，再說理計算，后驗證.

3.第(3)題的示意圖，不變的關系是：直線48與x軸的夾角不變，直線718與拋物

線的對稱軸的夾角不變.變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與A8的交點G在x軸

的下方，或者假設交點G在x軸的上方.

總分值斛答

(1)拋物線的對稱軸為直線X=l,解析式為>='/-,工，頂點為M[1,-1).

848

(2)梯形。出aC的面積S=2('1+工1”3-3(二+七)一6,由此得到

Xj+x2=-+2.由于％-凹=3,所以%—凹=」考一，工2—+!內(nèi)=3.整理，得

38484

/、1/、172

+X-

（工2-%）-U21）-=3.因此得到9-%二;■

%+玉=14,x,=6,

當S=36時,解得《?:此時點兒的坐標為(6,3).

x2-x{=2.X-)—o.

(3)設直線力B與PQ交于點G,直線48與拋物線的對稱軸交于點E,直線PQ與x軸

交于點F,那么要探求相似的△G4F與ACQE,有一個公共角NG.

在aCEQ中，NGEQ是直線力8與拋物線對稱軸的夾角，為定值.

在△GRF中，NG4F是直線48與x軸的夾角，也為定值，而且NGEQH/G4凡

因此只存在NGQE=/G4F的可能，△GQES/\GAF.這時NGAF=NGQE=NPQD.

由于tan/GA尸=?,tanZP0D=-^=—,所以？二上一.解得/二型.

4QP5-t45-t7

圖3圖4

例4、如圖1,點力(-2,4)和點8(1,0)都在拋物線y="＞+2"a+〃上.

(1)求m、n；

(2)向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為“，點8的對應點為夕，假

設四邊形力"B'B為菱形,求平移后拋物線的表達式：

(3)記平移后拋物線的對稱軸與直線4B'的交點為C,試在x軸上找一個點D,使

得以點B'、C、。為頂點的三角形與△ABC相似.

圖1

思珞點撥

1.點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色.第(1)題用在待定系數(shù)法

中；第(2)題用來計算平移的距離；第(3)題用來求點B'的坐標、AC和B'C的長.

2.拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變.

3.探求比與CO相似，根據(jù)菱形的性質，ZBAC=ZCBrD,因此按照夾角

的兩邊對應成比例，分兩種情況討論.

總分值解答

(1)因為點4(-2,4］和點8(1,0)都在拋物線y=/nd+2"a+〃上，所以

4m-4m+n=4,初出4.

.解得m=一一，n=4.

m+2m+〃=0.3

(2)如圖2.由點力(-2,4)和點3(1.0),可得＜E=S.因為四邊形B'B為菱

形，所以力力’=B'B=AB=5.因為＞二一3工2-31+4=一：(工+1『+與，所以原拋

物線的對稱軸x=-1向右平移5個單位后，對應的直線為x=4.

因此平移后的拋物線的解析式為y=-芻6-4)2+3.

33

圖2

(3)由點力(-2,4)和點夕(6,0),可得A8'=4>/5.

RNR1C'7R1C_

如圖2,由力M〃CN,可得2^=上上，即一二一.解得B'C=J^.所以

B'MB'A84x/5

AC=3后.根據(jù)菱形的性質，在△?1&：與△夕CD中，NBAC=NCB'D.

①如圖3,當空=0￡時，正，解得8'。=3.此時0。=3,點D的坐

ACB'D3石B'D

標為［3,0).

②如圖4,當---=-----時，—產(chǎn)=—產(chǎn)-,解得8'。=一.此時。。=—，點。的

ACB'C3也小33

坐標為(上13，0).

3

圖3圖4

考點伸展

在此題情境下，我們還可以探求△夕CD與AABB'相似，其實這是有公共底角的兩個

等腰三角形，容易想象，存在兩種情況.

我們也可以討論△)CD與ACBB'相似，這兩個三角形有一組公共角NB,根據(jù)對應

邊成比例，分兩種情況計算.

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題(三)

例5、如圖1,拋物線經(jīng)過點力(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三點.

(1)求此拋物線的解析式：

(2)P是拋物線上的一個動點，過戶作PM_Lx軸，垂足為M,是否存在點P,使得以

A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？假設存在，請求出符合條件的點P的坐標；假設

不存在，請說明理由；

(3)在直線4c上方的拋物線是有一點D,使得的面積最大，求出點。的坐標.

圖1

思珞點撥

1.拋物線與X軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設交點式比較簡便.

2.數(shù)形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長.

3.按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程.

4.把△DG4可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于。4

總分值斛答

(1)因為拋物線與x軸交于4(4,0)、B(1,0)兩點，設拋物線的解析式為

y=a(x—l)(x—4),代入點C的坐標(0,-2),解得〃=-'.所以拋物線的解析式為

y=—^(x-l)(x-4)=~~x2+"|x-2.

(2)設點P的坐標為",一^(工一1)(五—4)).

2

①如圖2,當點P在x軸上方時，l<x<4,PM=一一(x-l)(x-4),AM=4-x.

2

AMAn--U-1X-V-4)

如果」二」-二2,那么'-------------=2.解得x=5不合題意.

PMCO4-x

如果器=怒斗那么2：二)4解得x=2.

此時點P的坐標為(2,1).

②如圖3,當點P在點人的右側時，x>4,PM=-U-l)(x-4),AM=x-4.

2

—(x-l)(x-4)

解方程2-----------=2,得x=5.此時點P的坐標為(5,-2).

x-4

1(X_1)(X_4)

解方程2-----------得x=2不合題意.

x-42

③如圖4,當點P在點8的左側時，xVl,PM=1(x-l)(x-4),AM=4-x.

^(x-l)(x-4)

解方程2-----------=2,得x=-3.此時點P的坐標為(-3,-14).

4-x

解方程2-----------=-,得x=0.此時點P與點。重合，不合題意.

4-x2

綜上所述，符合條件的點P的坐標為(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

圖2圖3圖4

(3)如圖5,過點。作x軸的垂線交力C于￡直線4c的解析式為y二耳入一2.

設點。的橫坐標為m(l<相<4),那么點。的坐標為(〃2,-■!■〃/+9-2),點E的

22

11,511,

坐標為(加,一/2).所以￡)￡*=(——m~+-m-2)-(—m-2)=——m~+Im.

22222

因此Sgr=—(--m2+2m)x4=-m2+4m=-(m-2)2+4.

iw/ii2、27

當機=2時，△OS的面積最大，此時點。的坐標為(2,1).

圖5圖6

考點伸展

第(3)題也可以這樣解：

如圖6,過。點構造矩形OAMN,那么△DC力的面積等于直角梯形CAMN的面積減去△

CDN和△ADM的面積.

設點0的橫坐標為(m,n)(1<m<4),那么

S=—(2n+2)x4——m(n+2)——〃(4-ni)=-m+2〃+4.

222

175,

由于〃=——m~+—w-2,所以S=T〃~+4]〃.

22

3

例6、如圖1,A4BC中，AB=5,AC=3,cosA=—.。為射線加上的點(點。

10

不與點8重合)，作0E//8C交射線G4于點￡.

(1)假設CE=x,BD=y,求y與x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；

(2)當分別以線段BD,CE為直徑的兩圓相切時，求DE的長度；

(3)當點。在AB邊上時，8c邊上是否存在點凡使△A8C與相似？假設存在，

請求出線段8戶的長；假設不存在，請說明理由.

圖1備用圖備用圖

思路點撥

1.先解讀背景圖，是等腰三角形，那么第(3)題中符合條件的△!)￡『也是等

腰三角形.

2.用含有x的式子表示8以DE、MN是解答第(2)題的先決條件，注意點E的位置

不同，DE、MN表示的形式分兩種情況.

3.求兩圓相切的問題時，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗方程的解的位置是否符

合題意.

4.第(3)題按照OE為腰和底邊兩種情況分類討論，運用典型題目的結論可以幫助我

們輕松解題.

總分值解答

ALJ3

(1)如圖2,BHLAC,垂足為點H.在中，AB=5,cosA=——=—,

AB10

3I

所以4H=」=一AC.所以8H垂直平分AC,△力8c為等腰三角形，AB=CB=5.

22

AC0,S

因為0E〃8C,所以」=—,即2=』.于是得到了=一工，(X>0].

DBECyx3

(2)如圖3,圖4,因為0E〃8C,所以匹二空，—,即%J-.,

BCACBCAC53

竺iJ'S.因此。七=213二圓心距MV=3m.

5336

圖2圖3圖4

在0M中，rw=—RD=—j=—x,在0N中.=—CE=—x.

22622

①當兩圓外切時，*'+'工=結二二!.解得x=應或者x=-10.

62613

如圖5,符合題意的解為x=U,此時。七=生二義=竺.

13313

②當兩圓內(nèi)切時，=

626

當xV6時，解得工=?，如圖6,此時E在G1的延長線上，D￡=5O-3)=15；

737

當x>6時，解得x=10,如圖7,此時E在。的延長線上，DE=5(D=受

33

圖5圖6圖7

(3)因為ZVIBC是等腰三角形，因此當△48C與△/)￡尸相似時，△￡)￡1尸也是等腰三角

形.

如圖8,當D、E、尸為ZVIBC的三邊的中點時，DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意，

此時8r=2.5.根據(jù)對稱性，當尸在BC邊上的高的垂足時，也符合題意，此時BF=4.1.

125

如圖9,當DE為等腰三角形DM的底邊時，四邊形DEC9是平行四邊形，此時BF=—.

34

圖8圖9圖10圖11

考點伸展:第(3)題的情景是一道典型題，如圖10,如圖11,4H是△48C的高，D、E、F

為4ABC的三邊的中點，那么四邊形OE”尸是等腰梯形.

例7如圖1,在直角坐標系X。中，設點4(0,￡),點Qit,b).平移二次函數(shù)

)，=T/的圖象，得到的拋物線尸滿足兩個條件：①頂點為Q：②與x軸相交于8、。兩點

(\OB\<\OC\],連結4B.

(1)是否存在這樣的拋物線凡使得|。42二1。@loq?請你作出判斷，并說明理由:

3

(2)如果4Q〃BC,且tan乙48。=5，求拋物線?對應的二次函數(shù)的解析式.

思路點撥

1.數(shù)形結合思想，把|。1=|。同joq轉化為L二打.引.

2.如果力Q〃g，那么以。兒何為鄰邊的矩形是正方形，數(shù)形結合得到Lb.

3.分類討論tanNABO=1,按照小8、C的位置關系分為四種情況.A在y軸王半

軸時.，分為B、C在y軸同側和兩側兩種情況；4在y軸負半軸時，分為B、C在y軸同側和

兩側兩種情況.

總分值斛答

(1)因為平移)，=T.d的圖象得到的拋物線尸的頂點為。(t,b),所以拋物線尸對

應的解析式為y=T(x7)2十從

因為拋物線與x軸有兩個交點，因此f〃>0.

令y=0,得OB-聆,OC=f+聆.

以當6=2〃時，存在拋物線/使得|Q4『=|QB|?|OC|.

(2)因為力Q〃8C,所以亡=b,于是拋物線?為》=一"工一/)2+/.解得

X1=r-1,x2=/+1.

①當，>0時，由|OB|<|OC|,得

如圖2,當，一1>0時，由tanNA8O=」=3=—L,解得1=3.此時二次函數(shù)

2\0B\t-\

的解析式為＞'=—3/+18X-24.

如圖3,當，一1<0時，由tanN480=3=3=」一，解得，=3.此時二次

2\OB\-/+15

函數(shù)的解析式為y=-3/+史工+曳.

525125

圖2圖3

3

②如圖4,如圖5,當f<0時，由0<|OC],將一，代/,可得，=-三,，=一3.此

時二次函數(shù)的解析式為），=3X?+更x一也或）,=&丫2+18工+24.

525125

圖4圖5

考點伸展

第（2）題還可以這樣分類討論：

0A3

因為AQ[[BC,所以t=b,于是拋物線F為y=T（x—f）~+，.由tanNABO-——,

2

得OB=—OA.

3

2

①把8（§f,0）代入），=T（XT）2+/,得，=±3（如圖2,圖5）.

23

②把8（一一f,0）代入y=TQT）2+/,得，=±-（如圖3,圖4）.

35

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題（一）

例1、如圖1,正方形31仇；的邊長為2,頂點4、C分別在X、y軸的正半軸上，M是

8C的中點.P（0,m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交48的延長線于點D.

（1）求點。的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）當△APO是等腰三角形時，求m的值；

（3）設過P、M、3三點的拋物線與x軸正半軸交于點&過點。作直線ME的垂線，

垂足為，（如圖2）.當點P從。向C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點，所經(jīng)過

的路長（不必寫解答過程）.

圖1圖2

思珞點救

1.用含m的代數(shù)式表示表示△4PD的三邊長，為解等腰三角形做好準備.

2.探求△4P0是等腰三角形，分三種情況列方程求解.

3.猜想點H的運動軌跡是一個難題.不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢？Rt

△0〃M的斜邊長0M是定值，以為直徑的圓過點〃、C.

總分依解答

(1)因為PC//OB,所以勺=上"_=t=1.因此PM=DM,CP=BD=2-m.所以

BDDMMB

AD=4-m.于是得到點。的坐標為(2,4—m).

(2)在△APO中，AD2=(4-W)2,AP2=W2+4,PD2=(2PM)2=4+4(2-m)2.

①當/1P=40時，(4一機)2=〃/+4.解得川=2(如圖3).

2

②當尸A=PD時，帆2+4=4+4Q一⑼2.解得加=±(如圖4)或〃?=4(不合題意，

3

舍去).

③當D4=DP時，(4-〃7)2=4+4(2-〃Z)2.解得機=2(如圖5)或加=2(不合題意，

3

舍去).

綜上所述，當△力P。為等腰三角形時，m的值為2,士或2.

233

圖3圖4圖5

[3)點H所經(jīng)過的路徑長為且乃.

4

考點伸展

第(2)題解等腰三角形的問題，其中①、②用幾何說理的方法，計算更簡單：

①如圖3,當4P=力。時垂直平分PD,那么△PCMs2\M84.所以江=蟠='.因

CMBA2

此PC=_L,,n=l,

22

②如圖4,當必=P。時，P在4D的垂直平分線上.所以D4=2PO.因此4一"?=2切.解

第(2)題的思路是這樣的：

如圖6,在RtAOMM中，斜邊。M為定值，因此以0M為直徑的。G經(jīng)過點，，也就是

說點”在圓弧上運動.運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7,P與。重合時，是點H運動

的起點，NCOH=45°,NCGH=90°.

圖6圖7

例2如圖1,一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)),=9工的圖象交于點4且與x軸

3

交于點B.

(1)求點/1和點8的坐標;

(2)過點A作軸于點C,過點B作直線T〃y軸.動

點P從點。出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿。一C一4

的路線向點4運動；同時直線/從點8出發(fā)，以相同速度

向左平移，在平移過程中，直線/交x軸于點R,交線段郵

或線段力。于點Q.當點P到達點力時，點P和直線，都

停止運動.在運動過程中，設動點P運動的時間為C秒.

①當￡為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積

為8?

②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？假設存在，求t的值；假設不

存在，請說明理由.

圖1

思路點撥

1.把圖1復制假設干個，在每一個圖形中解決一個問題.

2.求△APR的面積等于8,按照點P的位置分兩種情況討論.事實上，P在C4上運動

時，高是定值4,最大面枳為6,因此不存在面積為8的可能.

3.討論等腰三角形4PQ,按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討

論三種情況.

總分值斛答

y=-x+l,

(1)解方程組4得所以點力的坐標是(3,4).

尸尸’y=4.

令y=[r+7=0，得x=7.所以點B的坐標是(7,0).

(2)①如圖2,當P在0C上運動時，0WCV4.由S△八次S梯形CO/M-S4ACP~S/\POR=8>

得_L(3+7-，)x4-'x4x(4-f)_'x/(7-/)=8.整理，得/-&+12=0.解得C=2或±=6

222

[舍去).如圖3,當P在CA上運動時，的最大面積為6.

因此，當t=2時，以4、P、R為頂點的三角形的面積為8.

圖2圖3圖4

②我們先討論P在0C上運動時的情形，0WCV4.

如圖1,在△40B中，/B=45°,ZAOB>45°,。8=7,48=4及，所以。

AB.因此N0/B>N/08>NB.

如圖4,點P由。向C運動的過程中，OP=BR=RQ,所以PQ〃x軸.

因此乙4QP=45°保持不變，NP4Q越來越大，所以只存在N/PQ=N4QP的情況.

此時點力在PQ的垂直平分線上，OR=2CA=6.所以BR=1,t=l.

我們再來討論P在。上運動時的情形，4WCV7.

a5590

在△APQ中，cosNA=g為定值，AP=7-t,AQ=OA-OQ=OA--OR=-t-y

如圖5,當AP=42時，解方程7-.=3-型，得/=史.

338

如圖6,當QP=Q4時，點Q在弘的垂直平分線上，4P=2(。/?一。P).解方程

7-r=2[(7-/)-(r-4)],得￡=5.

-AQ

如7,當PA=PQ時，那么COS/A=2----因此AQ=24PcosNA.解方程

AP

520、3省226

—/---=2(7—/)x—?得：=----

33543

綜上所述，t=l或生或5或超時，△4PQ是等腰三角形.

843

圖5圖6圖7

考點伸展

當P在G4上，QP=Q4時，也可以用力。=2AQ-cosNA來求解.

2023中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(二)

例3如圖1,在直角坐標平面內(nèi)有點&6,0),8(0,8),仇一4,0),點M、N分另?.為線

段4c和射線48上的動點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向力方向作勻速運動，點

N以5個單位長度/秒的速度自力向8方向作勻速運動，MN交OB于點P.

(1)求證：//7：汽尸為定值；

(2)假設ARNP與△MM4相似，求CM的長；

(3)假設△8NP是等腰三角形，求CM的長.

圖1

思珞點撥

1.第(1)題求證MN：NP的值要根據(jù)點N的位置分兩種情況.這個結論為后面的計

算提供了方便.

2.第(2)題探求相似的兩個三角形有一組鄰補角，通過說理知道這兩個三角形是直

角二角形時才可能相似.

3.第(3)題探求等腰三角形，要兩級(兩層)分類，先按照點N的位置分類，再按

照頂角的頂點分類.注意當N在的延長線上時，鈍角等腰三角形只有一種情況.

4.探求等腰三角形BNP,N在48上時，是確定的，把夾N8的兩邊的長先表示出

來，再分類計算.

總分值斛答

(1)如圖2,圖3,作NQ_Lx軸，垂足為Q.設點M、N的運動時間為t秒.

在RtZ\4NQ中，AN=5t,NQ=4t,AQ=3t.

在圖2中，QO=6-3t,MQ=10-53所以MN：NP=MQ：QO=5：3.

在圖3中，QO=3亡-6,MQ=St~10,所以MN：〃P=MQ：QO=5：3.

(2)因為aEVP與△MNA有一組鄰補角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一

個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形.只有當這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似.

如圖4,△BNPs^MNA,在RtZWMN中，所以5r=3.解得

AM510-2/5

3060

t=—.此時CM=—.

圖2圖3圖4

(3)如圖5,圖6,圖7中，—,即"=2.所以0尸二9乙

QNMN由55

8

①當N在4B上時，在△BNP中，NB是確定的，BP=8--/,BN=10—5/.

5

8i()20

(I)如圖5,當BP=BN時，解方程8—一r=10-5/,得/=一.止匕時CM=—.

51717

4\(RA45

(II)如圖6,當NB=NP時，BE=一BN.解方程-8--7=一(1()-51),得，=巳.此

5215J54

時CM=—.

2

141、4，X、

(HI)當尸8=PN時，上BN=-BP.解方程一(z10-5。=-8—,得t的值為負數(shù),

252515)

因此不存在PB=PN的情況.

②如圖7,當點N在線段的延長線上時，NB是鈍角，只存在8P=BN的可能，此

時&V=5，-10.解方程8-3=551(),得"型.此時CM=".

51111

圖5圖6圖7

考點伸展

14

如圖6,當N8=NP時，△NM/1是等腰三角形，—BN=—BP,這樣計算簡便一些.