第1章反比例函數(shù)1.1反比例函數(shù)教學目標【知識與技能】理解反比例函數(shù)的概念，根據(jù)實際問題能列出反比例函數(shù)關系式.【過程與方法】經(jīng)歷從實際問題抽象出反比例函數(shù)的探索過程，發(fā)展學主的抽象思維能力.【情感態(tài)度】培養(yǎng)觀察、推理、分析能力，體會由實際問題轉化為數(shù)學模型，認識反比例函數(shù)的應用價值.【教學重點】理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式.【教學難點】能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，體會函數(shù)的模型思想?教學過程一、 情景導入，初步認知復習小學已學過的反比例關系，例如：（1） 當路程S—定，時間t與速度V成反比例，即V=S（S是常數(shù)）（2） 當矩形面積一定時，長a和寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）2、 電流I、電阻R、電壓U之間滿足關系式U=IR,當U=220V時,請你用含R的代數(shù)式表示I嗎？【教學說明】對相關知識的復習，為本節(jié)課的學習打下基礎.二、 思考探究，獲取新知探究1：反比例函數(shù)的概念（1） 一群選手在進行全程為3000米的賽馬比賽時，各選手的平均速度v（n√s）與所用時間t（s）之間有怎樣的關系？并寫出它們之間的關系式.（2） 利用（1）的關系式完成下表：所用時間/（s）121137139143149平均速度√m∕s）（3）隨著時間t的變化，平均速度V發(fā)主了怎樣的變化?平均速度V是所用時間t的函數(shù)嗎？為什么？觀察上述函數(shù)解析式，與前面學的一次函數(shù)有什么不同？這種函數(shù)有什么特點？【歸納結論】一般地，如果兩個變量x,y之間可以表示成y=±(k為常數(shù)且k≠0)的形式,Λ?那么稱y是X的反比例函數(shù).其中X是自變量，常數(shù)k稱為反比例函數(shù)的比例系數(shù)?【教學說明】先讓學生進行小組合作交流，再進行全班性的問答或交流.學生用自己的語言說明兩個變量間的關系為什么可以看作函數(shù)，了解所討論的函數(shù)的表達形式.探究2：反比例函數(shù)的自變量的取值范圉思考：在上面的問題中，對于反比例函數(shù)v=3OOO∕t,其中自變量t可以取哪些值呢？分析：反比例函數(shù)的自變量的取值范圉是所有非零實數(shù)，但是在實際問題中，應該根據(jù)具體情況來確定該反比例函數(shù)的自變量取值范l?由于t代表的是時間，且時間不能為負數(shù)，所有(的取值范圉為＞0.【教學說明】教師組織學生討論，提問學生，師生互動.三、運用新知，深化理解見教材P3例題.下列函數(shù)關系中，哪些是反比例函數(shù)？已知平行四邊形的面積是12cm2,它的一邊是acm,這邊上的高是hem,則a與h的函數(shù)關系；壓強P—定時，壓力F與受力面積S的關系；功是常數(shù)W時，力F與物體在力的方向上通過的距離S的函數(shù)關系.某鄉(xiāng)糧食總產(chǎn)量為m噸,那么該鄉(xiāng)每人平均擁有糧食y(噸)與該鄉(xiāng)人口數(shù)X的函數(shù)關系式.分析：確定函數(shù)是否為反比例函數(shù)，就是看它們的解析式經(jīng)過整理后是否符合y=±(k是常X數(shù)，k≠0).所以此題必須先寫出函數(shù)解析式，后解答.解：a=12∕h,是反比例函數(shù)：F=pS,是正比例函數(shù)；⑶F=W∕s,是反比例函數(shù)；⑷y=n√x,是反比例函數(shù).當m為何值時，函數(shù)y=-?r是反比例函數(shù)，并求出其函數(shù)解析式.分析：由反比例函數(shù)的定義易求出m的值.解：曲反比例函數(shù)的定義可知：2m-2=l,m=3∕2.所以反比例函數(shù)的解析式為y=l.

當質(zhì)量一定時，二氧化碳的體積V與密度P成反比例.且V=5m'時，P=1.98kg/nτ求P與V的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍.求V=9m'時，二氧化碳的密度.解：略已知y=y1+y2,y∣與X成正比例，y2與/成反比例，且x=2與x=3時，y的值都等于19.求y與X間的函數(shù)關系式.分析：yl與X成正比例，則yl=klx,y2與x2成反比例，則y2=k2x2,又由y=yl+y2,可知，y=klx+k2x2,只要求出kl和k2即可求出y與X間的函數(shù)關系式.解：因為屮與X成正比例，所以y1=k1x:因為y2與χ2成反比例，所以y2=伶，而y=y∣X+y2,所以y=kix+?,當x=2與x=3時，y的值都等于19?乩19=2∕rl+亍所以、4所以、乩19=3乩+y.解得『=5(AS=36所以y=5x+3?【教學說明】加深對反比例函數(shù)概念的理解，及掌握如何求反比例函數(shù)的解析式?四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題1?「中第1、3、5題.教學反思學生對于反比例函數(shù)的概念理解的都很好，但在求函數(shù)解析式時，解題不夠靈活，如解答第5題時，不知如何設未知數(shù)?在這方面應多加練習.1.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)教學目標【知識與技能】1?會用描點法畫反比例函數(shù)圖象；2.理解反比例函數(shù)的性質(zhì).【過程與方法】觀察、比較、合作、交流、探索.【情感態(tài)度】通過對反比例函數(shù)的圖象的分析，探索并掌握反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì).【教學重點】畫反比例函數(shù)的圖象，理解反比例函數(shù)的性質(zhì).【教學難點】理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活應用.教學過程一、 情景導入，初步認知你還記得一次函數(shù)的圖象嗎?一次函數(shù)的圖象怎樣畫呢？一次函數(shù)有什么性質(zhì)呢？反比例函數(shù)的圖象又會是什么樣子呢？【教學說明】在回憶與交流中，進一步認識函數(shù)，圖象的直觀有助于理解函數(shù)的性質(zhì).二、 思考探究，獲取新知探究1：反比例函數(shù)圖象的畫法畫出反比例函數(shù)尸9的圖象.分析：畫出函X數(shù)圖象一般分為列表、描點、連線三個步驟.列表：取自變量X的哪些值？X???-6-3_2-11236???V???-1-2-3-6???6321???X是不為零的任何實數(shù)，所以不能取X的值為零，但仍可以以零為基準，左右均勻，對稱地取值.（2）描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系中描出各點（一6,—1）、（一3,—2）、（一2,—3）等.（3）連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個分支；用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支.這兩個分支合起來，就是反比例函數(shù)的圖象.思考：（1） 觀察上圖，y軸右邊的各點，當橫坐標X逐漸增大時，縱坐標y如何變化？y軸左邊的各點是否也有相同的規(guī)律？（2） 這兩條曲線會與X軸、y軸相交嗎？為什么？探究2：反比例函數(shù)所在的象限畫出函數(shù)y=丄的圖形，并思考下列問題：（1） 函數(shù)圖形的兩個分支分別位于哪些象限？（2） 在每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的變化是如何變化的？【歸納結論】一般地，當k>0時，反比例函數(shù)尸土的圖象由分別在第一、X三象限內(nèi)的兩支曲線組成，它們與X軸、y軸都不相交，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的增大而減小?探究3：反比例函數(shù)y=--的圖象.可以引導學生采用多種方式進行自主探X索活動：⑴可以用畫反比例函數(shù)y=--的圖象的方式與步驟進行自主探索其圖象；

⑵可以通過探索函數(shù)y=?與y=--之間的關系，畫出y=--的圖象.X X X

【歸納結論】一般地，當kvθ時，反比例函數(shù)尸乂的圖象由分別在第二、X四象限內(nèi)的兩支曲線組成，它們與X軸、y軸都不相交，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的增大而增大?探究4：反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)y=--與y=?的圖象有什么共同特X X征？【教學說明】引導學生從通過與一次函數(shù)的圖象的對比感受反比例函數(shù)圖象"曲線”及"兩支”的特征.【歸納結論】反比例函數(shù)y=±(k≠0)的圖象是山兩個分支組成的曲線.當k>0時，圖象在一、三象限；當kvθ時，圖象在二、四象限?反比例函數(shù)丫二￡與Xy=--(k≠0)的圖象關于X軸或y軸對稱.X【教學說明】學生動手畫反比函數(shù)圖象，進一步掌握畫函數(shù)圖象的步驟.觀察函數(shù)圖象，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì).三、運用新知，深化理解1?教材P9例1?2?如果函數(shù)y=2χk+∣的圖象是雙曲線，那么k= 【答案】-23?如果反比例函數(shù)y=-的圖象位于第二、四象限內(nèi)，那么滿足條件的正X整數(shù)k的值是 .【答案】1,24.已知直線y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)y=乞的圖象在X第象限?【答案】二.四5?反比例函數(shù)y=丄的圖象大致是圖中的( )?XXyy解析：因為k=l>O,所以雙曲線的兩支分別位于第一、三象限?【答案】C下列反比例函數(shù)圖象一定在第一.三象限的是(. m, m+1A.y=—B?V= # X? .XC ∏Γ+1「、一皿CV= D.V一7 X【答案】C7?已知函數(shù)y=Sl2)λj"為反比例函數(shù)?求m的值；它的圖象在第兒象限內(nèi)？在各象限內(nèi)，y隨X的增大如何變化?當一3≤x≤-i時，求此函數(shù)的最大值和最小值.2解：(1)由反比例函數(shù)的定義可知：(3-TH2=-11解侍二-2.(?n-2≠0.因為E=-4<0,所以反比例函數(shù)的圖象在第二、四彖限內(nèi)，在各象限內(nèi)』隨.ι?的增大而増大.因為在每個象限內(nèi)』隨F的增大而增大，所以當-壬時』?最大值=—=8；"T4 4當兀=-3時』最小值=-y=亍?所以當-3≤,τ≤ 時，此函數(shù)的最大值為8,最小值為牛.8.作出反比例函數(shù)尸空的圖象，并根據(jù)圖象解答下列問題：當x=4時，求y的值；⑵當y=—2時，求X的值；當y>2時,求X的范圍.解：列表：X???-3_2-1123???y■??-4-6-121264??■7208642$1Ir446&0F2山圖知：y=3；⑵x=_6：0<x<69?作出反比例函數(shù)y=-i的圖象，結合圖象回答:X當x=2時，y的值：當l<xW4時，y的取值范圍；當l≤y<4時，X的取值范圍.解：列表：X???-4-2-1194?■?V???14-4-2-1???山圖知:y=-2:-4<y≤-l;-4≤x<-l.【教學說明】為了讓學生靈活的用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題，在研究每一題時，要緊扣性質(zhì)進行分析，達到理解性質(zhì)的目的?四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題1.2”中第1、2、4題.教學反思通過本節(jié)課的學習使學生理解了反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)，并掌握了用描點法畫函數(shù)圖象的方法.同時也為后面的學習奠定基礎.從練習上來看，學生掌握的不夠好，應多加練習.第2課時反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)教學目標【知識與技能】1.會求反比例函數(shù)的解析式；2.鞏固反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，通過對圖象的分析，進一步探究反比例函數(shù)的增減性.【過程與方法】經(jīng)歷觀察、分析、交流的過程，逐步提高運用知識的能力.【情感態(tài)度】提高學生的觀察、分析能力和對圖形的感知水平.【教學重點】會求反比例函數(shù)的解析式.【教學難點】反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的運用.教學過程一、 情景導入，初步認知1?反比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？2.我們學會了根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象，那么你能根據(jù)一些條件求反比例函數(shù)的解析式嗎？【教學說明】復習上節(jié)課的內(nèi)容，同時引入新課.二、 思考探究，獲取新知1?思考：已知反比例函數(shù)尸土的圖象經(jīng)過點P(2,4)求k的值，并寫出該函數(shù)的表達式；判斷點A(-2,-4),B(3,5)是否在這個函數(shù)的圖象上;這個函數(shù)的圖象位于哪些象限？在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的增大如何變化？分析：題中已知圖象經(jīng)過點P(2,4),即表明把P點坐標代入解析式成立，這樣能求出k,解析式也就確定了.要判斷A、B是否在這條函數(shù)圖象上，就是把A、B的坐標代入函數(shù)解析式中，如能使解析式成立，則這個點就在函數(shù)圖象上.否則不在.根據(jù)k的正負性，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來判定函數(shù)圖象所在的象限、y隨X的值的變化情況.【歸納結論】這種求解析式的方法叫做待定系數(shù)法求解析式.(I)k的取值范圉是k>0還是kvθ?說明理III;(2)如果點A(-3,yι),B(-2,y2)是該函數(shù)圖象上的兩點，試比較y∣,y2的大小.分析：(1)由圖象可知，反比例函數(shù)y=kx的圖象的兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的增大而減小，因此，k>0.(2)因為點A(-3,y1).B(-2,y2)?該函數(shù)圖象上的兩點且-3<0,-2<0.所以點A、B都位于第三象限，乂因為-3<-2,由反比例函數(shù)的圖像的性質(zhì)可知：y1>y2.【教學說明】通過觀察圖象，使學生掌握利用函數(shù)圖象比較函數(shù)值大小的方法.三、運用新知，深化理解TOC\o"1-5"\h\z1?若點A(7,yι),B(5,y2)在雙曲線y=--±,則yi、y2中較小的是 ?【答案】y22?已知點A(xι,yι),B(x2,y2)是反比例函數(shù)y=￡(k>0)的圖象上的兩點，X若Xl<0<X2,則有( ).A.y1<O<y2 B.y2<O<y1 C.y1<y2<O D.y2<y1<O【答案】A3.若A(a∣,bi),B(a2,b2)是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，且aι<a2,則bi與b2的大小關系是( )A.bι<b2B.b1=b2C.bι>b2 D?大小不確定【答案】D4?函數(shù)y=丄的圖象上有兩點A(XHyι),B(x2.y2),若O<xιVX2,則( )A.yι<y2B.yι>y2C.y1=y2D.yi、y2的大小不確定【答案】A5?已知點P(2,2)在反比例函數(shù)y=￡(k≠0)的圖象上，當2-3時，求y的值；當l<x<3時，求y的取值范圍.解：(l)V點P(2,2)在反比例函數(shù)T=-的圖象上，2=-y,8Pk=4,反比例函數(shù)的解析式為V=當兀二-3W,y=一扌.(2)丁當J=1時,)?二4;當％二3WIy=y,又反比例函數(shù)V=土在X>0時丫值隨X值的X增大而減小，.?.當1<x<3時』的取值范圍為?<y<4.已知y=±(k≠0,k為常數(shù))過三個點A(2,-8),B(4,b),C(a,2).求反比例函數(shù)的表達式；求a與b的值.解：將A(2,-8)代入反比例解析式得：k=-16,則反比例解析式為y=竺；X將B(4,b)代入反比例解析式得：b=4；將C(a,2)代入反比例解析式得：2=-—,即已知反比例函數(shù)的圖象過點(1,-2).求這個函數(shù)的解析式，并畫出圖象；若點A(-5,m)在圖象上，則點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否還在圖象上？分析：⑴反比例函數(shù)的圖象過點(1-2),即當χ=l時，y=—2.由待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式；再根據(jù)解析式，通過列表、描點、連線可畫出反比例函數(shù)的圖象：(2)∣?點A在反比例函數(shù)的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否在圖象上.解：(1)設：反比例函數(shù)的解析式為：y=-(k≠0).而反比例函數(shù)的圖象過點(1,X-2),即當X=I時，y=—2.所以一2=∣,k=-2.即反比例函數(shù)的解析式為:2y=--?X-4-2-1-0.50.5124???T???0.51厶4-4_2-1-0.5??■坐標為(一5,扌).點A關于X軸的對稱點(一5,—扌)不在這個圖象上；點A關于22y軸的對稱點(5,二)不在這個圖象上；點A關于原點的對稱點(5,—；)在這個圖5象上;【教學說明】通過練習，鞏固本節(jié)課數(shù)學內(nèi)容?四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想,而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè):教材“習題1.2”中第7題.教學反思教學中，我深深地體會到：要想讓學生真正掌握求函數(shù)解析式的方法，教師應在給出相應的典型例題的條件下，讓學生自己去尋找答案，自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律.最后，教師清楚地向學生總結每一種函數(shù)解析式的適用范圉，以及一般應告知的條件?在信息社會飛速發(fā)展的今天，教師要從以前的教師教、學生學的觀念中解放岀來，教會學生如何學，讓學生自己去探究，自己去學習，去獲取知識.在《中學數(shù)學課程標準》中明確規(guī)定：教師不僅是學生的引導者，也是學生的合作者.教學中，要讓學生通過自主討論、交流，來探究學習中碰到的問題、難題，教師從中點撥、引導，并和學生一起學習，探討，才能真正做到教學相長，也才能真正讓每一個學生都學有所獲.第3課時反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）教學目標【知識與技能】綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解決有關問題；借助一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象解決某些簡單的實際問題.【過程與方法】經(jīng)歷觀察、分析、交流的過程，逐步提高運用知識的能力.【情感態(tài)度】能靈活運用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題，培養(yǎng)學生看圖（象）、識圖（象）能力、體會用“數(shù)、形”結合思想解答函數(shù)題?【教學重點】理解并掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能利用它們解決一些綜合問題?【教學難點】學會從圖象上分析、解決問題，理解反比例函數(shù)的性質(zhì).教學過程一、 情景導入，初步認知1?正比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？—次函數(shù)有哪些性質(zhì)？反比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？【教學說明】對所學的三種函數(shù)的性質(zhì)教學復習，讓學生對它們的性質(zhì)有系統(tǒng)的了解.二、 思考探究，獲取新知1?已知一個正比例函數(shù)與一個反比例函數(shù)的圖象交于P（-3,4）,試求出它們的表達式，并在同一坐標系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象?解：設正比例函數(shù)，反比例函數(shù)的表達式分別為y=k1x,y=乞,其中，k∣k是常數(shù)，且均不為0.由于這兩個函數(shù)的圖象交于P（-3,4）,則P（-3,4）是這兩個函數(shù)圖象上的點，即點P的坐標分別滿足這兩個表達式.因此，4=k1×（-3）,4=^-解得，k1=-l—3 3

k2=-12所以，正比例函數(shù)解析式為y=--x,反比例函數(shù)解析式為y=2.函數(shù)圖象3 X如下圖?【教學說明】通過圖象，讓學生掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用2在反比例函數(shù)y=9的圖象上取兩點P(1,6),Q(6,1),過點P分別作X軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為SF ；過點Q分別作X軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S2= ；Sl與S2有什么關系？為什么？【歸納結論】反比例函數(shù)y=±(k≠0)中比例系數(shù)k的兒何意義：過雙曲線y=±(k≠0)上任意一點引X軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為k的絕對值.【教學說明】引導學生根據(jù)一定的分類標準研究反比例函數(shù)的性質(zhì)，同時鼓勵學生用自己的語言進行表述，從而提高學生的表達能力與數(shù)學語言的組織能力.三、運用新知，深化理解1?已知如圖，A是反比例函數(shù)y=kx的圖象上的一點，AB丄X軸于點B,且?ABO的面積是3,則k的值是( )A.3B.-3 C.6D.-6A.3B.-3 C.6D.-6分析：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=丄Ikl.2解：根據(jù)題意可知：S?AOB=丄lkl=3,乂反比例函數(shù)的圖象位于第一象限,2k>0,則k=6.【答案】C2仮比例函數(shù)y=9與y=?在第一象限的圖象如圖所示，作一條平行于X軸X X的直線分別交雙曲線于A、B兩點,連接OA、OB,則AAOB的面積為( )分析：分別過A、B作X軸的垂線，垂足分別為D、E,過B作BC丄y軸，點C為垂足，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的兒何意義分別求出四邊形OEAC、△AOE>?BOC的面積，進而可得出結論.解：分別過A、B作X軸的垂線，垂足分別為D、E,過B作BC丄y軸，點C為垂足，山反比例函數(shù)系數(shù)k的兒何意義可知，S網(wǎng)邊形OEAC=6,Sλaoe=3,SZiBOC=1， ?*?SAAOB=SPI邊彤OEAC-S4AOE-SaBOC=6-3-1=2?【答案】B3?已知直線y=x+b經(jīng)過點A(3,0),并與雙曲線y=±的交點為B(—2,m)和C,求k、b的值?解:一次函數(shù)的解析解:一次函數(shù)的解析式為：y=χ-3.乂因為點B(—2,m)也在直線y=x—3上，所以m=—2—3=b—5,即B(—2,—5)?而點B(—2,—5)乂在反比例函數(shù)y=—上,所以k=—2X(—X5)=10.4?已知反比例函數(shù)y=空的圖象與一次函數(shù)y=k2χ-l的圖象交于A(2,l).分別求出這兩個函數(shù)的解析式；試判斷A點關于坐標原點的對稱點與兩個函數(shù)圖象的關系?分析：因為點A在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，把A點的坐標代入這兩個解析式即可求岀k|、k2的值?把點A關于坐標原點的對稱點AZ坐標代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中，可知A'是否在這兩個函數(shù)圖象上?解:因為點A(2,l)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，所以kl=2Xl=2?l=2k2-l,k2=l.所以反比例函數(shù)的解析式為：y=-；一次函數(shù)解析式為：yX=x_l.⑵點A(2,l)關于坐標原點的對稱點是A'(―2,—1)?把A'點的橫坐標代入反比例函數(shù)解析式得，y=：反比例函數(shù)解析式得，y=：1,所以點A在反比例函數(shù)圖象上?把A'點的橫坐標代入一次函數(shù)解析式得，y=-2-l=-3,所以點A'不在一次函數(shù)圖象5?已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A(OJ)和點B(A-3a),a<0,且點B在反比例函數(shù)的y=-3的圖象上.求a的值.求一次函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象.利用畫出的圖象，求當這個一次函數(shù)y的值在一l≤y≤3范圍內(nèi)時，相應的X的取值范圍.如果P(m,yi)、Q(m+l,y2)是這個一次函數(shù)圖象上的兩點，試比較yl與y2的大小.分析：由于點A、點B在一次函數(shù)圖象上，點B在反比例函數(shù)圖象上，把這些點的坐標代入相應的函數(shù)解析式中，可求出k、b和a的值.由⑴求岀的k、b、a的值，求出函數(shù)的解析式，通過列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象.和(4)都是利用函數(shù)的圖象進行解題.解：(1)反比例函數(shù)的圖象過點B(a,-3a)J—3a=——Ia=士1，因為a<0,所以α=—a1?E(-1,3).所以又因為一次函數(shù)圖象過點.4(0,1)和點〃(-1,3)?所以解得即：一次函數(shù)的解析式為丁=-2.V+1.A01V=一2.V+11-IA??■-3-2-1.5-1??■11.523???3V= Ir???11.523???-3-2-1.5-1???一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象汕從圖象上可知，當一次函數(shù)y的值在一l≤y≤3范圍內(nèi)時，相應的X的值為：—1≤x≤1?從圖象可知，y隨X的增大而減小，乂m+l>m,所以yι>y2.或解:當Xl=m時，yι=—2m+l;當X2=m+1時，yI=—2X(m+l)+l=—2m—1所以yi—y2=(—2m+l)-(―2m—l)=2>0,即yι>y2?6.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=匕的圖象交于A、B兩X點.利用圖象中的條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值的X的取值范圉.分析:把A、B兩點坐標代入兩解析式，即可求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式.因為圖象上每一點的縱坐標與函數(shù)值是相對應的，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，反映在圖象上，自變量取相同的值時，一次函數(shù)圖象上點的縱坐標大于反比例函數(shù)圖象上點的縱坐標.

解：(1)觀察圖象可知，反比例函數(shù)V=-的X圖象過點.4(-2,1)im=-2x1=-2.所以反比例函數(shù)的解析式為:丁二二二又點BX(l,d)也在反比例函數(shù)圖象上衛(wèi)二〒二-2.即E(1,-2).因為一次函數(shù)圖象過點.4sB.所以(1=-2A?+δ((1=-2A?+δ(-2=A,+6.解得化—次函數(shù)解析式為：y二-工-1?(2)觀察圖象可知，當Tv?2或Ovλc1時,一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值.【教學說明】檢測題采取多種形式呈現(xiàn)，增加了靈活性，以基礎題為主，也有少量綜合問題，可使不同層次水平的學生均有機會獲得成功的體驗.四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結?教師作以補課后作業(yè)布置作業(yè)：教材''習題1.2”中第6題.通過本節(jié)課的學習，發(fā)現(xiàn)了一些問題，因此必須強調(diào):教學反思綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)求解兩種函數(shù)解析式，往往用待定系數(shù)法.2?觀察圖象，把圖象中提供、展現(xiàn)的信息轉化為與兩函數(shù)有關的知識來解題.1?3反比例函數(shù)的應用教學目標【知識與技能】經(jīng)歷通過實驗獲得數(shù)據(jù)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)建立反比例函數(shù)模型的一般過程，體會建模思想.【過程與方法】觀察、比較、合作、交流、探索.【情感態(tài)度】體驗數(shù)形結合的思想.【教學重點】建立反比例函數(shù)的模型，進而解決實際問題.【教學難點】經(jīng)歷探索的過程，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的主動性和解決問題的能力?教學過程一、 情景導入，初步認知復習回顧i?什么是反比例函數(shù)？反比例函數(shù)的圖象是什么？3?反比例函數(shù)圖象有哪些性質(zhì)？4?反比例函數(shù)的圖象對稱性如何？【教學說明】通過提出問題,引發(fā)學生思考,培養(yǎng)學生解決問題的能力?二、 思考探究，獲取新知某校科技小組進行野外考察，途中遇到一片十兒米寬的爛泥濕地，為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪墊了若干塊木板，構筑成一條臨時通道，從而順利完成了任務.你能解釋他們這樣做的道理嗎？根據(jù)壓力F(N)壓強P(Pa)?受力面積S(m2)Z間的關系式p=-，請你判S斷：當F—定時，P是S的反比例函數(shù)嗎？⑵如人對地面的壓力F=450N,完成下表：受力面積S(IiF)0.0050.010.020.04壓強p(Pa)當F=450N時，試畫出該函數(shù)的圖象，并結合圖象分析當受力面積S增大時，地面所受壓強P是如何變化的，據(jù)此，請說出它們鋪墊木板通過濕地的道理.解：對于P=當F—定時，根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知，P是S的反比S例函數(shù)?因為F=450N,所以當S=0.005nr時，曲P二￡得：p=450∕0.005=90000(Pa)類似的,當S=O-Olm2時,p=45000Pa;當S=0.02nr時,p=22500Pa;當S=0.04m2時，p=11250Pa當F=450N時，該反比例函數(shù)的表達式為p=450∕S,它的圖象如下圖所示，Ill圖象的性質(zhì)可知，當受力面積S增大時，地面所受壓強P會越來越小，因此，該科技小組通過鋪墊木板的方法來增大受力面積?以減小地面所受壓強，從而可你能根據(jù)玻意耳定律(在溫度不變的情況下，氣體的壓強P與它的體積V的乘積是一個常數(shù)K(K>O),β∣JPV=K)來解釋:為什么使勁踩氣球時,氣體會爆炸？【教學說明】逐步提高學生從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，提高感知水平；此外，在解決實際問題時，要引導學生體會知識之間的聯(lián)系及知識的綜合運用.三、運用新知，深化理解教材P15例題.—個水池裝水12m?如果從水管中每小時流出xm*的水，經(jīng)過yh可以把水放完，那么y與X的函數(shù)關系式是 ，自變量X的取值范圍是 ?【答案】y=-；x>0若梯形的下底長為X,上底長為下底長的丄，高為y,面積為60,則y與3X的函數(shù)關系是 (不考慮X的取值范圍)?【答案】y=22X某一數(shù)學課外興趣小組的同學每人制作一個面積為200cm2的矩形學具進行展示.設矩形的寬為xcm,長為ycm,那么這些同學所制作的矩形的長y(cm)與寬X(Cm)之間的函數(shù)關系的圖象大致是( )【答案】A下列各問題中兩個變量之間的關系，不是反比例函數(shù)的是( )小明完成白米賽跑時，所用時間t(s)與他的平均速度v(m∕s)±間的關系長方形的面積為24,它的長y與寬X之間的關系壓力為600N時，壓強P(Pa)與受力面積S(m2)Z間的關系—個容積為25L的容器中，所盛水的質(zhì)量m(kg)與所盛水的體積V(L)之間的關系【答案】D在溫度不變的條件下，通過一次乂一次地對汽缸頂部的活塞加壓，測出每一次加壓后缸內(nèi)氣體的體積和氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強，如下表：體積x/nιL10080604020壓強y/kPa6075100150300則可以反映y與X之間的關系的式子是( ).A.y=3000x B.y=60∞x C.y=^θθ Dy=^θθθ【答案】D

7?一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個圖案，如圖所示，設小矩形的長和寬分別為x、y,剪去部分的面積為20,若2≤x≤10,則y與X的函數(shù)圖象是(1212【答案】A—個長方體的體積是IOOemi它的長是y(cm),寬是5cm,高是X(Cn1).(1)寫出長y(cm)關于高X(Cm)的函數(shù)關系式，以及自變量X的取值范圍；⑵畫出⑴中函數(shù)的圖象；當高是3cm時,求長?解：20y=—(χ>θ);圖象略；⑶長為孚cm.【教學說明】用函數(shù)觀點來處理實際問題的應用，加深對函數(shù)的認識.四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結?教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題1?3”中第1、2、4題.教學反思本節(jié)課通過學生自主探索,合作交流,以認知規(guī)律為主線,以發(fā)展能力為LI標，以從直觀感受到分析歸納為手段,培養(yǎng)學生的合悄推理能力和積極的情感態(tài)度,促進良好的數(shù)學觀的形成?在教學手段上,本節(jié)課大量使用多媒體輔助教學,既能體現(xiàn)知識的背景材料,乂能一下子引起學生的注意力,有效地節(jié)省了時間,增大了課堂容量?生動形象的動畫演示,動感強,直觀性好,既加深了學生的理解,乂培養(yǎng)了學生的抽象思維能力,同時也向學生滲透了歸納類比,數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.第2章一元二次方程一元二次方程教學目標【知識與技能】探索一元二次方程及其相關概念，能夠辨別各項系數(shù)；能夠從實際問題中抽象出方程知識.【過程與方法】在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個模型，體會方程與實際生活的聯(lián)系.【情感態(tài)度】通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學知識應用的價值，提高學生學習數(shù)學的興趣，了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.【教學重點】一元二次方程的概念.【教學難點】如何把實際問題轉化為數(shù)學方程.教學過程一、 情景導入，初步認知問題1:已知一矩形的長為200cm,寬150cm.在它的中間挖一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的34,求挖去的圓的半徑XCm應滿足的方程.（H取3）問題2：據(jù)某市交通部門統(tǒng)計?，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛，求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率X應滿足的方程.你能列出相應的方程嗎？【教學說明】為學生創(chuàng)設了一個回憶、思考的情境，乂是本課一種很自然的引入，為本課的探究活動做好鋪墊.二、 思考探究，獲取新知1?對于問題1:找等量關系：矩形的面積一圓的面積=矩形的而積X3/4列出方程：200×15O-3x2=2OO×150X3/4①對于問題2：等量關系：兩年后的汽車擁有量=前年的汽車擁有量X(1+年平均增長率)'列出方程：75(l+x)2=1082②2?能把①，②化成右邊為0,而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項式的形式嗎？讓學生展開討論，并引導學生把①，②化成下列形式：化簡，整理得x2-2500=0③化簡，整理得25x2+50x-11=0④討論：方程③、④中的未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)各是多少？【教學說明】分組合作、小組討論，經(jīng)過討論后交流小組的結論，可以發(fā)現(xiàn)上述方程都不是所學過的方程，特點是兩邊都是整式，且整式的最高次數(shù)是2次.【歸納結論】如果一個方程通過移項可以使右邊為0,而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=O,(a,b,C是常數(shù)且a≠0),其中a,b,C分別叫作二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.讓學生指出方程③，④中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.【教學說明】讓學生充分感受所列方程的特點，再通過類比的方法得到定義,從而達到真正理解定義的Ll的.三、運用新知，深化理解1?見教材P27例題.下列方程是一元二次方程的有.λ2+--5=0 (2)λ?2-3xγ+7=X兀+7χ2-1=4 (4)m'-2nι+3=0(5)-~-x2-5=0 (6)axi-bx=4【答案】(5)已知(m+3)x2-3mx-I=O是一元二方程，則m的取值范圍是 .分析：一元二次方程二次項的系數(shù)不等于零.故mH—3.【答案】m≠-3把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化為一元二次方程的一般形式,并寫出二次項,二次項系數(shù),一次項,一次項系數(shù)及常數(shù)項.解：原方程化為一般形式是：5x2+8x-2=0(若寫成一5x2-8x+2=O,KlJ不符合人們的習慣),其中二次項是5χ2,二次項系數(shù)是5,—次項是8x,—次項系數(shù)是&常數(shù)項是一2(因為一元二次方程的一般形式是三個單項式的和,所以不能漏寫單項式系數(shù)的負號)?關于X方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m應滿足什么條件？分析：先把這個方程變?yōu)橐话阈问剑灰雾椀南禂?shù)不為0即可.解：由mx2—3x=x2—mx+2得到(m—1)x2+(m—3)χ-2=0,所以m—1≠0,即m≠l.所以關于X的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m應滿足m≠l.—元二次方程(x+l)2-x=3(X2—2)化成一般形式是.分析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=O(a≠0),對照一般形式可先去括號，再移項，合并同類項，得2x2-x-7=0.【答案】2x2-X—7=0把方程一5x2+6x+3=0的二次項系數(shù)化為1,方程可變?yōu)?)A.x2+6∕5x+3∕5=0 B.x2-6χ-3=0C.x2-6∕5x一3/5=0 D.x2一6∕5x+3∕5=0【答案】C注意方程兩邊除以一5,另兩項的符號同時發(fā)生變化.&已知方?≡(m+2)x2+(m+l)χ-m=0,'?m滿足 時，它是一元一次方程;當m滿足 時，它是二元一次方程.分析：當m+2=0,m=—2時，方程是一元一次方程；當m+2≠0,m≠一2時，方程是二元一次方程?【答案】m=-2mH-2某型號的手機連續(xù)兩次降價，每個售價山原來的1185元降到了580元，設平均每次降價的百分率為X,則列出方程為 【答案】1185(1-χ)2=58O當常數(shù)a,b,C滿足什么條件時,方g(a-l)x2-bx+c=O是一元二次方程？這時方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)分別是什么？當常數(shù)a,b,C滿足什么條件時，方程(a-l)x2-bx+c=O是一元一次方程？解：當aHl時是一元二次方程，這時方程的二次項系數(shù)是a-l,—次項系數(shù)是-b：'p∣a=l,bHO時是一元一次方程.【教學說明】這組練習U的在于鞏固學生對一元二次方程定義中兒個特征的理解.進一步鞏固學生對一元二次方程的基本概念.四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè)：教材"習題2.1”中第1、2、6題.教學反思本節(jié)課是一元二次方程的第一課時，通過對本節(jié)課的學習，學生將掌握一元二次方程的定義、一般形式、及有關概念，并學會利用方程解決實際問題.在教學過程中，注重重難點的體現(xiàn).本節(jié)課內(nèi)容對于學生整個中學階段的數(shù)學學習有著重大的意義，能否學好關系到日后學習的成敗，因此必須要讓學生吃透內(nèi)容并且要真正能消化.一元二次方程的解法2.2.1配方法教學目標【知識與技能】1?知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元一次方程.學會用直接開平方法解形如(ax+b)2-k=0(k>0)K方程.理解“配方”是一種常用的數(shù)學方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程中，讓學生進一步體會化歸的思想方法?【過程與方法】通過探索配方法的過程，讓學生體會轉化的數(shù)學思想方法.【情感態(tài)度】學生在獨立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗數(shù)學的價值，增強學生學習數(shù)學的興趣.【教學重點】運用配方法解一元二次方程.【教學難點】把一元二次方程轉化為形如(x+n)2=d(d≥0)的過程?教學過程一、情景導入，初步認知1?根據(jù)完全平方公式填空：TOC\o"1-5"\h\zx2+6x+9=( )2x2-8x+16=( )2x2÷10x+( )2=( )2x2-3x+( )2=( )2前面我們已經(jīng)學了一元一次方程和二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程組為一元一次方程).山解二元一次方程組的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路嗎？3?你會解方程x2+6x-16=0∣??你會將它變成(x÷m)2=n(n為非負數(shù))的形式嗎？試試看.如果是方程2x2+1=3x呢？【教學說明】學會利用完全平方知識填空，初步配方為后面學習打下基礎.二、思考探究，獲取新知1?解方程：x2-2500=0.問：怎樣將這個方程“降次”為一元一次方程？把方程寫成x2=2500這表明X是2500的平方根，根據(jù)平方根的意義，得x=√2500或x=√55而因此，原方程的解為xi=50,x2=-50【歸納結論】一元二次方程的解也是一元二次方程的根?2.解方程(2x+l)2=2解：根據(jù)平方根的有意義，得2x+1=>/2或2x+1=-yfl因此，原方程的根為?> λ^^+1223?通過上面的兩個例題，你知道什么時候用開平方的方法來解一元二次方程呢？【歸納結論】對于形如(x+n)2=d(dN0)的方程，可直接用開平方法解.直接開平方法的步驟是：把方程變形成(x+n)2=d(血0),然后直接開平方得x+n=√7和x+n=√7,分別解這兩個一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解.解方程x2+4x=12我們已知，如果把方程x2÷4x=12寫成(x+n)2=d的形式，那么就可以根據(jù)平方根的意義來求解?那么，如何將左邊寫成(x+n)2的形式呢？我們學過完全平方式，你能否將左邊x2+4x添上一項使它成為一個完全平方式?請相互交流?寫出解題過程.【歸納結論】一般地，像上面這樣，在方程x2+4x=12的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方，在減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里，這種做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根據(jù)平方根的意義來求解了.這種解一元二次方程的方法叫作配方法.如何用配方法解方程25x2+50x-l1=0呢？如果二次項系數(shù)為1,那就好辦了！那么怎樣將二次項的系數(shù)化為1呢？同伴之間可以相互交流.試著寫出解題過程.通過上面配方法解一元二次方程的過程，你能總結用配方法解一元二次方程的步驟嗎？【歸納結論】用配方法解一元二次方程的步驟：把方程化為一般形式ax2+bx+c=O:把方程的常數(shù)項通過移項移到方程的右邊；若方程的二次項系數(shù)不為1時，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)a；方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解.【教學說明】通過這一過程，學生發(fā)現(xiàn)能用直接開平方法求解的方程都可以轉化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法轉化為可以直接開平方的形式，所以總結岀解一元二次方程的基本思路是將一元二次方程轉化為(x+n)2=d(d>0)的形式.三、運用新知，深化理解見教材P33例3、P34例4.列方程(注：學生練習，教師巡視，適當輔導.)x2-10x+24=0:(2x-l)(x+3)=5:3x2-6x+4=0.

解：(1)移項，得x2-10x=-24配方，得x2-lOx+25=-24+25,由此可得(x-5)2=l,x-5=±l,AXI=6,x2=4?整理，得2x2+5x-8=0.移項，得2x2+5x=8二次項系數(shù)化為1得x2+5∕2x=4,配方，得x2+5∕2x+(5∕4)2=4+(5∕4)2(x+5∕4)2=89∕16,山此可得x+5∕4=+√89/4,XI=-5+J89^4^.-5-√89x~=XI=-5+J89^4^4移項，得3x2-6x=-4二次項系數(shù)化為1,得x2-2x=-4∕3,配方，得x2-2x+12=-4∕3+12,(X-I)2=-1/3因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以X取任何實數(shù)時，(X-I)2都是非負數(shù)，上式都不成立，即原方程無實數(shù)根.解方程x2-8x+1=O分析：顯然這個方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式?解：x2-8x+1=0移項得：x2-8x=-1配方得：x2-8x+16=-1+16B∣J(x-4)2=15兩邊開平方得：x-4=±>∕Γ5AXl=4+>∕Γ5,x2=4-ViT?用配方法將下列各式化為a(x+h)2+k的形式.-3x2-6x+l；(2)2∕3y2+l∕3y+2;(3)0.4x2-0.8x-1.解：(l)-3x2-6x+l=-3(x2+2x-1∕3)=-3(x2+2x+l2-l2-l∕3)=-3[(x+1)2-4∕3]=-3(x+1)2+42∕3y2+l∕3y-2=2∕3(y2+l∕2y-3)=2/3[y2+l∕2y+(l∕4)2-(l∕4)2-3]=2/3[(y+l∕4)2-49∕16]=2∕3(y+l∕4)2-49∕24.0.4x2-0.8x-1=O.4(x2-2x-2.5)=0.4[(x2-2x+12)-12-2.5]=0.4(x-1)2-1.4【教學說明】通過練習，使學生能靈活運用“配方法”，并強化學生對一元二次方程解的認識.四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題2.2”中第1、2、3題.教學反思在教學過程中，堅持山簡單到復雜，山特殊到一般的原則，釆用了觀察對比,合作探究等不同的學習方式，充分發(fā)揮學生的主體作用，讓學生主動探究發(fā)現(xiàn)結論，教師做學生學習的引導者，合作者，促進者，要適時鼓勵學生，實現(xiàn)師生互動?同時，我認識到教師不僅僅要教給學生知識，更要在教學中滲透數(shù)學中的思想方法，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學素養(yǎng)和學習能力，讓學生學會學習.2.2.2公式法教學目標【知識與技能】經(jīng)歷推導求根公式的過程，加強推理技能的訓練.會用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程.【過程與方法】通過山配方法推導求根公式，培養(yǎng)學生推理能力和山特殊到一般的數(shù)學思想.【情感態(tài)度】讓學生體驗到所有一元二次方程都能運用公式法去解，形成全面解決問題的積極情感，感受公式的對稱美、簡潔美，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感.【教學重點】求根公式的推導和公式法的應用.【教學難點】理解求根公式的推導過程.教學過程一、情景導入，初步認知1?用配方法解方程：x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=O.2.由用配方法解一元二次方程的基本步驟知：對于每個具體的一元二次方程，都使用了相同的一些計算步驟，這啟發(fā)我們思考，能不能對一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)使用這些步驟，然后求出解X的公式？【教學說明】這樣做了以后，我們可以運用這個公式來求每一個具體的一元二次方程的解，取得一通口通的效果.二、思考探究，獲取新知用配方法解方程：ax2+bx+c=O(a≠0)分析：前面具體數(shù)字已做了很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、C也當成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.解：移項，得：ax2+bx=-c因為α*0,所以方程兩邊同除以a得：a a配方,得:，+—^+(y-)2=-—+(y-)?a2a a2a即(X+?r=??E?.?λ≠0,λ4a2>0當b2-4acM0時,Lξ?mO4a.b ??2-4CtC'，X+2a=土—2a—Bny=~b±Λ2-4ac_b+√?2-4aer—N—,一b—VbI-Aac%2=Ia*當b'-Aac<0時,方程無解.【歸納結論】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、C而定，因此：解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=O,當b2-4ac$0時，將a、b、C代入式子=TL斗匸土(X一4心0)2α就可求岀方程的根?這個式子叫做一元二次方程的求根公式?利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【強調(diào)】用公式法解一元二次方程時，必須注意兩點：(1)將a、b、C的值代入公式時，一定要注意符號不能出錯.(2)式子b2-4ac≥O是公式的一部分.【教學說明】讓學生思考對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠O)能否用配方法求出它的解？通過解方程發(fā)現(xiàn)歸納一元二次方程的求根公式.2?展示課本P36例5(1),(2),按課本方式引導學生用公式法解一元二次方程,并提醒學生在確定a,b,C的值時，先要將一元二次方程式化為一般形式，注意a,b,C的符號.引導學生完成P37例6.你能總結出用公式法解一元二次方程的一般步驟嗎？【歸納結論】首先要把原方程化為一般形式，從而正確地確定a,b,C的值;其次要計算b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，再用求根公式求解.三、運用新知，深化理解用公式法解下列方程.2x2+3=7x分析：用公式法解一元二次方程，需先確定a、b、C的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解.解：2x2-7x+3=0a=2,b=—7,c=3Vb2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0一b土?^b2-4acλX= 茲 7土邏57土52×2即Xi=3,X2=y?某數(shù)學興趣小組對關于X的方程(m+l)xm2+1+(m-2)X-I=O提出了下列問題.若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.若使方程為一元一次方程m是否存在？若存在，請求出.你能解決這個問題嗎？分析：（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+l=2,同時還要滿足（m+l）≠0.（2）要使它為一元一次方程，必須滿足：τn2+1=1］ 或l（m+1）+（zn-2）≠0（TH2+1=O或In?-2≠0m+I=Om-2≠0解：（1）存在?根據(jù)題意,得:m2+l=2m2=Im二±1當m=l時，m+l=l+l=2≠0Mlm=-1時,m+l=-1+1=0(不合題意，舍去)Λ當m=l時，方程為2x2-l-x=Oa=2,b=-l, 1b2'4ac=(-1)M×2×(-1)=1+8=92×2因此，該方程是一元二次方程時,m=l,兩根xl=l,X2=-12.（2）存在?根據(jù)題意,得：φm2+l=Lm2=0,m=0因為當m=0時，(ιn+l)+(m-2)=2m-l=-l≠0所以m=0滿足題意?②'llm2+l=O,m不存在?當m+1=0,即m=l時,m-2=-3≠0所以m=l也滿足題意.m=0時，一元一次方程是x-2x-l=0,解得：x=-l當m=-l時，一元一次方程是-3x-l=0解得x=-1/3因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為x=-l;當m=-l時，其一元一次方程的根為X=-1/3.【教學說明】主體探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，進一步理解求根公式.四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題2.2”中第4題.教學反思通過復習配方法使學生會對一元二次方程的定義及解法有一個熟悉的印象.然后讓學生用配方法推導一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況.使學生的推理能力得到加強?2.2.3因式分解法教學目標【知識與技能】能靈活運用直接開平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能夠根據(jù)一元二次方程的結構特點，靈活擇其簡單的方法.【過程與方法】通過比較、分析、綜合，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力.【情感態(tài)度】通過知識之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學生用聯(lián)系和發(fā)展的眼光分析問題，解決問題，樹立轉化的思想方法.【教學重點】用因式分解法一元二次方程.【教學難點】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.教學過程一、 情景導入，初步認知復習：將下列各式分解因式5x2-4xx2-4x+44x(x-l)-2+2xx2-4(2x-1)2-x2【教學說明】通過復習相關知識，有利于學生熟練正確將多項式因式分解，從而有利降低本節(jié)的難度.二、 思考探究，獲取新知解方程x2-3x=0可用因式分解法求解方程左邊提取公因式X,得x(x-3)=OIIIJItwx=0或x-3=0即X1=O,X2=3與公式法相比，哪種更簡單？【歸納結論】利用因式分解來解一元二次方程的方法叫做因式分解法?用因式分解法解下列方程；X(X-5)=3x;2x(5x-1)=3(5x-1);(35-2x)2-900=0.3?你能總結因式分解法解一元二次方程的一般步驟嗎？【歸納結論】把方程化成一邊為0,另一邊是兩個一次因式的乘積的形式，然后使每一個一次因式等于0,分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原一元二次方程的解.4.說一說：因式分解法適用于解什么形式的一元二次方程.【歸納結論】因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的一元二次方程.5?選擇合適的方法解下列方程：x2+3x=0;5x2-4x-3=0;x2+2x-3=0.按課本方式引導學生用因式分解法解一元二次方程.6?如何選擇合適的方法解一元二次方程呢？【歸納結論】公式法適用于所有一元二次方程.因式分解法(有時需要先配方)適用于所有一元二次方程.配方法是為了推導出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法.總之，解一元二次方程的基本思路都是：將一元二次方程轉化成為一元一次方程，即降次，其本質(zhì)是把方程ax2+bx+c=O(a≠O)的左邊的二次多項式分解成兩個一次多項式的乘積，即ax2+bx+c=a(x-xι)(x-X2)T其中xl和x，是方程ax2+bx+c=O的兩個根.【教學說明】在學生解決問題的基礎上引導學生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能夠解方程的依據(jù).三、運用新知，深化理解1?用因式分解法解下列方程：5x2÷3x=0:7x(3—x)=4(χ-3).分析：(1)左邊=X(5x÷3),右邊=0；(2)先把右邊化為0,7x(3~x)-4(χ-3)=0,找出(3-χ)與(χ-3)的關系.解：(1)因式分解，得X(5x+3)=0,于是得x=0或5x+3=0,x∣=0,X2=—3/5：(2)原方程化為7x(3-χ)-4(χ-3)=0,因式分解，得(χ-3)(-7χ-4)=0,于是得X—3=0或一7x—4=0,X]=3,x2=-4/72?選擇合適的方法解下列方程：(1)2χ2-5x+2=0:(2)(1—X)(x÷4)=(X—1)(1—2x).分析：(1)題宜用公式法；(2)題中找到(I-X)與(X-I)的關系用因式分解法；解：(1)a=2,b=—5,c=2,b2-4ac=(-5)2-4×2×2=9>0,5±歹5土3X=2×2=^r9Xi—2?X2=1/2(2)原方程化為(I-X)(x+4)+(I-X)(l-2x)=0,因式分解，得(I-X)(5-χ)=0,即(X—1)(X—5)=0,X-I=O或X—5=0,Xl=l,X2=5用因式分解法解下列方程：10x2+3x=0;7x(3—x)=6(x-3)；9(χ-2)2=4(x+l)2.分析：(1)左邊=X(10x÷3),右邊=0；(2)先把右邊化為0,7x(3~x)-6(x—3)=0,找出(3-χ)與(x-3)的關系；(3)應用平方差公式.解:(1)因式分解,得X(10x+3)=0,于是得x=0或10x+3=0,xι=0,X2=—3/10：原方程化為7x(3—X)—6(X—3)=0,因式分解，得(x-3)(-7χ-6)=0,于是得X-3=0或一7x—6=0,xι=3,x2=-6/7：原方程化為9(χ-2)2-4(x+l)2=0,因式分解，得[3(X—2)+2(x+l)][3(X—2)—2(x+l)]=0,即(5χ-4)(χ-8)=0,于是得5x—4=0或x—8=0,Xi=4/5,X2=8.已知(a2+b2)2—(a2+b2)—6=0,求a2+b2的值.分析：若把(∏2+b2)看作一個整體，則已知條件可以看作是以(a2+b2)為未知數(shù)的一元二次方程.解：設a2+b2=x,則原方程化為x2-χ-6=0.a=l,b=-l,C=—6,b2-4ac=12-4×(~6)×l=25>0,1±√25 ?r CX= ,??xι=3,X2=—2.2即a2+b2=3或a2+b2=-2,Va2÷b2^O,Λa2+b2=-2不合題意應舍去，取a2÷b2=3.四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“練習題2.2”中第5、6、9、10題.教學反思這節(jié)課主要學習了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是將一元二次方程轉化為一元一次方程，而達到這一目的，我們主要利用了因式分解“降次”.在今天的學習中，要逐步深入、領會、掌握“轉化”這一數(shù)學思想方法.一元二次方程根的判別式教學目標【知識與技能】能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理論證.【過程與方法】經(jīng)歷思考、探究過程，發(fā)展總結歸納能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.【情感態(tài)度】積極參與數(shù)學活動，對其產(chǎn)生好奇心和求知欲.【教學重點】能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理論證.【教學難點】從具體題Ll來推出一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)的b2-4ac的情況與根的情況的關系?教學過程一、 情景導入，初步認知同學們，我們已經(jīng)學會了怎么解一元二次方程，對嗎？那么，現(xiàn)在老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個一元二次方程的題U，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致惜況，不信呀！同學們可以隨便地出兩個題考考我.【教學說明】這樣設汁，能馬上激發(fā)學生的學習興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結論創(chuàng)造一個最佳的心理狀態(tài).二、 思考探究，獲取新知1?問題：什么是求根公式？它有什么作用？觀察求根公式g 回答下列問題：2a當b2-4ac>O時，一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)有幾個根?當b2-4ac=O時，一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)有幾個根?當b2-4ac<O時，一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)有兒個根？3?綜上所知，一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)的根的情況是Illb2-4ac來判斷的.【歸納結論】我們把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“ 表示?即：Δ=b2-4ac(l)?Δ=b2-4ac>0時，一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)有兩個不相等實數(shù)+∏口“ 一b+Jb1-4ac根即X= 2 2a-b-?∣b'-4ac?2a(2)當Δ=b2-4ac=0時，⑶當Δ=b2-4ac<0時，一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)有兩個相等實數(shù)根.一元1.次方程ax2+bx+c=O(a≠0)沒有實數(shù)根.4?不解方程判定下列方程的根的情況.3x2+4x-3=04x2=12x-97y=5(y2+l)解：(1)因為厶=b2-4ac=42-4×3×(-3)=52>0所以，原方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)將原方程化為一般形式，得4x2-12x+9=0因為△=b2?4ac=(?12)2-4×4×9=0所以，原方程有兩個相等的實數(shù)根?(3)將原方程化為一般形式，得5y2-7y+5=0因為△=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0所以，原方程沒有實數(shù)根.【教學說明】學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發(fā)現(xiàn)結論的成功樂趣?三、運用新知，深化理解已知方程x2+px+q=O有兩個相等的實根，則P與q的關系是.【答案】p2-4q=O若方程x2+px+q=O的兩個根是-2和3,則p,q的值分別為.【答案】-1,-6判斷下列方程是否有解：(1)5x2-2=6x(2)3x2+2x+1=0解析：演算或口算出b2-4ac,從而判斷是否有根解：(1)有(2)沒有不解方程，判定方程根的情況.16x2+8x=-3(2)9x2+6x+1=0(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的悄況進行分析即可.解：(1)化為16x2+8x+3=0這里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程沒有實數(shù)根.a=9,b=6,C=I,b2-4ac=36-36=0,???方程有兩個相等的實數(shù)根.a=2,b=-9,c=8b2-4ac=(-9)2-4×2×8=81-64=17>0???方程有兩個不相等的實根.a=l,b=-7,C=-18b2-4ac=(-7)2-4×l×(-18)=121>0???方程有兩個不相等的實根.若關于X的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+l=O沒有實數(shù)解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就轉化為要判定a的值是正、負或0.因為一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+l=0沒有實數(shù)根，即(-2a)2-4(a-2)(a+l)<0就可求出a的取值范圍.解：Y關于X的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+l=O沒有實數(shù)根..*.(-2a)2-4(a-2)(a+l)=4a2-4a2+4a+8<O?°?a<-2*.*ax+3>O即ax>-3,Λx<-3∕a???所求不等式的解集為x<-3∕a已知關于X的一元二次方程x2+2x+m=O.當m=3時，判斷方程的根的情況；當m=3時，求方程的根.分析：(1)判斷一元二次方程根的情況，只要看根的判別式?=b2-4ac的值的符號即可判斷：當Δ>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當AVO,方程沒有實數(shù)根.(2)把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.解:(1)Y當m=3時,Δ=b2-4ac=22-4×3=-8<0,???原方程無實數(shù)根.(2)當m=3時，原方程變?yōu)閤2+2x-3=0,*.*(X-I)(x+3)=0,Λx-1=0,x+3=0.?*.X1=1,x2=-3.已知一元二次方程x2+px+q+l=O的一根為2.求q關于P的關系式；求證：拋物線y=x2+px+q與X軸有兩個交點.分析：(1)根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=2代入已知方程即可求得q關于P的關系式；(2)由關于X的方程x2+px+q=O的根的判別式的符號來證明拋物線y=x2+px+q與X軸有兩個交點.解:(1)V—元二次方程x2+px+q+l=O的一根為2,Λ4+2p+q+l=0τ即q=-2p-5;(2)證明：令x2+px+q=O?則Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4>0,即Δ>0,所以,關于X的方程x2+px+q=0有兩個不相等的實數(shù)根.即拋物線y=x2+px+q與X軸有兩個交點.【教學說明】使學生能及時鞏固本節(jié)課所學知識,培養(yǎng)學生自覺學習的習慣，同時對學有余力的學生留出自山的發(fā)展空間.四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè):教材“習題2.3”中第1、2、3題.教學反思本節(jié)課的教學堅持從學生實際出發(fā)，以學生為主體，注重對新理念的貫徹和教學方法的使用；在突破難點時，多種方法并用，注意培養(yǎng)自學能力；堅持當堂訓練，例題、練習的設計針對性強，重點突出，對方法的總結言簡意賅：學生能夠積極、主動的參與，充分經(jīng)歷了知識的形成、發(fā)展與應用的過程，在這個過程中掌握了知識，形成了技能，發(fā)展了思維；教學效果很好！*2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系教學目標【知識與技能】掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系，會運用關系定理求已知一元二次方程的兩根之和及兩根之積，并會解一些簡單的問題.【過程與方法】經(jīng)歷一元二次方程根與系數(shù)關系的探究過程，培養(yǎng)學生的觀察思考、歸納概括能力，在運用關系解決問題的過程中，培養(yǎng)學生解決問題能力，滲透整體的數(shù)學思想，求簡思想.【情感態(tài)度】通過學生自己探究，發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關系，增強學習的信心，培養(yǎng)科學探究精神.【教學重點】根與系數(shù)關系及運用.【教學難點】定理的發(fā)現(xiàn)及運用.教學過程一、 情景導入，初步認知我們知道，一元二次方程ax2+bx+c=O的根的值是由a、b、C來決定的.除此之外，根與系數(shù)之間還有什么關系呢？【教學說明】由問題引入新課，提高學生學習興趣.二、 思考探究，獲取新知1?探究規(guī)律先填空，再找規(guī)律：一元二次方程元2?1+?%-X2X2-2x=0x2+3x-4=0X2-5x+6=0

2?若xl、x2是一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)的兩個根，你能猜想Xl+X2= ，XI■X2= ?你能證明你的猜想嗎？當AMO時，一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)有兩個根，分別為:-b+y∕b1~4(iC-b+y∕b1~4(iC2^-b-y]b2-4ac所以Y]+北2=一： JCIux2=~【歸納結論】當ANO時，一元二次方程的根與系數(shù)之間具有以下關系：兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比?即：bb這種關系稱為韋達定理.【教學說明】通過學生計算一些特殊的一元二次方程的兩根之和與兩根之積，啟發(fā)學生從中發(fā)現(xiàn)存在的一般規(guī)律，滲透特殊到一般的思考方法.三、運用新知，深化理解1?教材P47例1、例2.利用根與系數(shù)的關系，求一元二次方程2x2+3x-1=0的兩個根的.(I)平方和(2)倒數(shù)和分析：根據(jù)一元二次方程的兩根與系數(shù)之間的關系可求?解:設方程的兩個根分別為筍衛(wèi)2,那么卸+X23 1~2^x?xι二~y(1)?.?(Xl+x2)2=xi2+2x1x2+x22xl2+x22=(?1+?2)2~2*lx2=字1XI+x11XI+x13?已知方程5x2÷kx-6=0的一個根為2,求它的另一個根及k的值.分析:根據(jù)一元二次方程的兩根與系數(shù)之間的關系可求?解：設方程的另一個根是Xi,那么2xι=-6∕5AXl=-3/5又X葉2=-k∕5Λk=-74?已知一元二次方程x2-6x-5=0的兩根為a、b,則l/a+1/b的值是多少？解：Ta,b是一元二次方程的兩根，/.a+b=6,ab=-5,1 l_a+b_6_6α+5ab-5 55?已知方程x2-4x-1=0有兩個實數(shù)根Xi,X2,要求不解方程，求值：(Xl+l)(x2+l)X2X1+X1X2??:xj+X2=-b∕a=4;x1X2=c∕a=-l,(1)(xι+l)(X2+I)，=x∣x2+x1+x2+l，=-1+4+1=4;λ1兀2_兀］+X2 —(叼+兔2)—2XjX2X1X2 X1X2 ,=-18.6?已知X,y均為實數(shù)，且滿足關系式x2-2x-6=O,y2-2y-6=O,求x/y+y/x的值.解：當XHy時，*.*x>y滿足關系式x2-2x-6=0,y2-2y-6=O,.*.x>y是z2-2z-6=0的兩根，?1x+y=2,xy=-6,.X^y_(%+y)_2xy_4+12_ 8γX Xy -6 3當X,y的值相等時，原式=2.故答案為：-8/3或2.【教學說明】IJ的是考察學生靈活運用知識解決問題能力，讓學生感受到根與系數(shù)的關系在解題中的運用，同時也考察學生思維的嚴密性.四、師生互動、課堂小結先小組內(nèi)交流收獲和感想,而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業(yè)布置作業(yè)：教材"習題2.4”中第1、2、3題.教學反思此節(jié)課在研究方程的根與系數(shù)關系時，先從具體例子觀察、歸納其規(guī)律，并且先從二次項系數(shù)是1的方程入手，然后提出二次項系數(shù)不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程的根與系數(shù)關系，最后對此猜想的正確性作出證明.這個全過程對培養(yǎng)學生正確的思考方法很有價值.2.5一元二次方程的應用第1課時一元二次方程的應用（1）教學目標【知識與技能】使學生會用列一元二次