第二十一章

一元二次方程21.1一元二次方程

1.認(rèn)識(shí)并掌握一元二次方程的概念及一般形式，理解并靈活運(yùn)用一元二次方程概念解決有關(guān)問(wèn)題2.通過(guò)課堂活動(dòng)，經(jīng)歷探索一元二次方程的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)生活的模型.3.發(fā)展學(xué)生的合作交流意識(shí)，體驗(yàn)與他人合作的重要性，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：一元二次方程的概念.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：一元二次方程的理解和列一元二次方程解決實(shí)際

問(wèn)題.1.含有

的等式叫做方程.2.我們學(xué)過(guò)的方程有

、

、

、

，其中

、

、

都是整式方程.3.使方程左右兩邊相等的

的值叫做這個(gè)方程的解.未知數(shù)一元一次方程二元一次方程三元一次方程分式方程一元一次方程二元一次方程三元一次方程未知數(shù)

要設(shè)計(jì)一座2m高的人體雕像（如左下圖所示），要求雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？設(shè)雕像下部高xm，依題意得方程x2=2(2-x)整理，得

x2+2x-4=0【思考】上述所列的方程與我們以前學(xué)習(xí)的方程一樣嗎？這種方程與以前學(xué)習(xí)的方程有哪些聯(lián)系？問(wèn)題1:有一塊矩形鐵皮,長(zhǎng)100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個(gè)正方形,然后將四周凸出部分折起,就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？100cm50cm3600cm2

一元二次方程的概念知識(shí)點(diǎn)1【分析】

設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則盒底的長(zhǎng)為(100-2x)cm,寬為(50-2x)cm.

根據(jù)方盒的底面積為3600cm2,得整理，得（100-2x）（50-2x）=3600x2-75x+350=0x100cm50cm3600cm2問(wèn)題2:要組織一次排球邀請(qǐng)賽,參賽的每?jī)申?duì)之間都要比賽一場(chǎng),根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件,賽程計(jì)劃安排7天,每天安排4場(chǎng)比賽,比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參加比賽?整理，得

x2-x=56.

學(xué)生活動(dòng)

【探究方程的定義】【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0這兩個(gè)方程都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？區(qū)別特點(diǎn)（1）這兩個(gè)方程的兩邊都是整式；（2）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（3）它們的未知數(shù)的最高次數(shù)都是

2次的.未知數(shù)最高次數(shù)為2

一元二次方程的定義像上述兩個(gè)方程式這樣的等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必須滿足三個(gè)特征）.

【想一想】是一元二次方程嗎？答：不是.等號(hào)左邊含有分式；化簡(jiǎn)整理后，未知數(shù)的最高次數(shù)為3次.例1下列選項(xiàng)中，關(guān)于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含兩個(gè)未知數(shù)整理x2-3x+2=0a≠0A.

B.3x2-5xy+y2=0C.（x-1）（x-2）=0

D.ax2+bx+c=0素養(yǎng)考點(diǎn)1一元二次方程的識(shí)別方法總結(jié)：判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，必須將方程化簡(jiǎn)后再進(jìn)行判斷．三個(gè)條件：①方程兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.必須同時(shí)滿足，缺一不可．判斷下列方程是否為一元二次方程？(2)

x3+x2=36(3)

x+3y=36(5)

x+1=0(1)

x2+x=36(4)(6)(7)(8)例2a為何值時(shí)，下列方程為一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.解：(1)將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,當(dāng)a-2≠0，即a≠2時(shí)，原方程是一元二次方程；(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當(dāng)a=-1時(shí)，原方程是一元二次方程.利用一元二次方程的定義求字母的值素養(yǎng)考點(diǎn)2方法總結(jié)：根據(jù)未知數(shù)最高次數(shù)為2，構(gòu)造方程，解出字母取值，并利用二次項(xiàng)系數(shù)不為0排除使二次項(xiàng)系數(shù)為0的字母取值，從而確定字母取值．方程(2a-4)x2－2bx+a=0.（1）在什么條件下此方程為一元二次方程？（2）在什么條件下此方程為一元一次方程？解：（1）當(dāng)

2a-4≠0，即a≠2時(shí)是一元二次方程.（2）當(dāng)a=2且b≠0時(shí)是一元一次方程.

一般地,任何一個(gè)關(guān)于x

的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都可以化為ax2+bx+c=0

的形式,我們把a(bǔ)x2+bx+c=0

(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

一元二次方程的一般形式知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式ax2

+bx+c=0(a≠

0)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)二次項(xiàng)一次項(xiàng)【思考】為什么要限制a≠0，b,c可以為零嗎？【結(jié)論】只要滿足a≠0，a,b,c可以為任意實(shí)數(shù).當(dāng)a=0時(shí)，ax2+bx+c=0當(dāng)a≠0，b=0時(shí)，ax2+bx+c=0當(dāng)a≠0，c=0時(shí)，ax2+bx+c=0當(dāng)a≠0，b=0,c=0時(shí)，ax2+bx+c=0

一元二次方程bx+c=0（一元一次方程）ax2+c=0ax2+bx=0ax2=0一元一次方程一元二次方程一般式相同點(diǎn)不同點(diǎn)【思考】一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系？Ax+b=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)整式方程，只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2例

將方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

解：

去括號(hào)，得3x2-3x=5x+10

整理，得3x2-8x-10=0其中二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是-8，常數(shù)項(xiàng)是-10.二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的.一元二次方程一般形式的有關(guān)概念素養(yǎng)考點(diǎn)方法點(diǎn)撥（1）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但習(xí)慣上都把二次項(xiàng)的系數(shù)化為正整數(shù).（2）一元二次方程的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)等都是針對(duì)一般形式而言的.（3）指出一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，不要漏掉前面的符號(hào).將下列方程化成一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：（1）5x2-1=4x;(2)4x2=81解：(1)把5x2-1=4x化為一般形式5x2-4x-1=0，二次項(xiàng)系數(shù)為5，一次項(xiàng)系數(shù)為-4，常數(shù)項(xiàng)為-1.(2)把4x2=81化為一般形式4x2-81=0，二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為-81．（3）4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+1)=8x-3解：(3)把4x(x+2)=25化為一般形式4x2+8x-25=0

，二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為8，常數(shù)項(xiàng)為-25．(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化為一般形式3x2-7x+1=0

，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為-7，常數(shù)項(xiàng)為1．

一元二次方程解的概念知識(shí)點(diǎn)3使一元二次方程等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.例已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一個(gè)根為2，求m.

分析:

一個(gè)根為2，即x=2,只需把x=2代入原方程.

解：依題意把x＝2代入原方程，得4（m-1）+6-5m+4=0,整理，得

-m+6=0,

解得

m=6.素養(yǎng)考點(diǎn)利用一元二次方程的解確定字母的值方法總結(jié)：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，在涉及方程根的題目中，我們一般是把這個(gè)根代入方程左右兩邊轉(zhuǎn)化為求待定系數(shù)的方程來(lái)解決問(wèn)題.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個(gè)根是3，求a的值.解：依題意把x=3代入原方程，得

32+3a+a=0

9+4a=0，整理，即.1.已知一元二次方程x2+k-3=0有一個(gè)根為1，則k的值為（

）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4B2.賓館有50間房供游客居住，當(dāng)每間房每天定價(jià)為180元時(shí)，賓館會(huì)住滿；當(dāng)每間房每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)空閑一間房．如果有游客居住，賓館需對(duì)居住的每間房每天支出20元的費(fèi)用．當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí)，賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為10890元？設(shè)房?jī)r(jià)定為x元．則有（

）解析：設(shè)房?jī)r(jià)定為x元.依題意，得A.（180+x-20）（50-）=10890B.（x-20）（50-）=10890C.x（50-）-50×20=10890D.（x+180）（50-）-50×20=10890（x-20）（50-）=10890B一元二次方程概念是整式方程；含一個(gè)未知數(shù)；（一元）最高次數(shù)是2.（二次）一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件；解（根）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.定義判斷等號(hào)兩邊都是整式，只含一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程1.等號(hào)兩邊都是整式,只含有

未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

(二次)的方程,叫做一元二次方程.

3.一元二次方程的一般形式是

,其中

是二次項(xiàng),

是二次項(xiàng)系數(shù);

是一次項(xiàng),

是一次項(xiàng)系數(shù);____

是常數(shù)項(xiàng).

4.將方程6x2=5x-3化成一般形式是

,其中二次項(xiàng)是

,一次項(xiàng)系數(shù)是

,常數(shù)項(xiàng)是

.

5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的

.

6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,屬于方程x2+x-6=0的根的是

.

一個(gè)

2①④

ax2+bx+c=0(a≠0)

ax2

a

bxbc6x2-5x+3=0

6x2

-53根-3,21.一元二次方程的識(shí)別【例1】

下列方程中,是關(guān)于x的一元二次方程的是(

)C.ax2+bx+c=0

D.x2+2x=x2-1解析:選項(xiàng)A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;選項(xiàng)B中的方程,因?yàn)榉帜钢泻形粗獢?shù),不是整式方程,所以它不是一元二次方程;選項(xiàng)C中若a=0,則未知數(shù)的最高次數(shù)低于2,因此,不能確定該方程是不是一元二次方程;選項(xiàng)D中的方程化簡(jiǎn)后二次項(xiàng)系數(shù)為0,是一個(gè)一元一次方程,故只有A中的方程滿足一元二次方程的各種條件.答案:A點(diǎn)撥:判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程,首先把方程化簡(jiǎn)成一般形式,再看未知數(shù)是否只有一個(gè),再次看未知數(shù)的最高次數(shù)是不是2,最后注意看是不是整式方程,以上條件只要有一個(gè)不滿足,該方程就不是一元二次方程.另外,當(dāng)方程中含有字母系數(shù)(即參數(shù))時(shí),應(yīng)區(qū)分未知數(shù)和字母.如若說(shuō)“關(guān)于x的方程……”,則表明x是未知數(shù),而方程中其他字母均是常數(shù).2.一元二次方程的根的應(yīng)用【例2】

已知關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一個(gè)解是0,求實(shí)數(shù)m的值.分析:根據(jù)方程的解的意義可知,當(dāng)x=0時(shí),方程左右兩邊相等,此題即是求當(dāng)x=0時(shí)m的值.解:將x=0代入方程中,得(m-2)×02+3×0+m2-4=0,整理得m2=4.根據(jù)平方根的意義知m=±2.因?yàn)榉匠虨殛P(guān)于x的一元二次方程,所以m-2≠0,即m≠2.故m的值為-2.點(diǎn)撥本題一定要注意,當(dāng)方程是一元二次方程時(shí),二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一前提條件,即m-2≠0.678123451.若關(guān)于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.任意實(shí)數(shù) B.m≠-1C.m>1 D.m>0答案答案關(guān)閉B678123452.某公園里有一塊正方形的空地,后來(lái)從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花(如圖).原空地一邊減少了1m,另一邊減少了2m,剩余空地的面積為18m2,求原正方形空地的邊長(zhǎng).設(shè)原正方形空地的邊長(zhǎng)為xm,則可列方程為(

)A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0答案解析解析關(guān)閉根據(jù)題意,剩余的長(zhǎng)方形空地的長(zhǎng)為(x-1)m,寬為(x-2)m,故可列出方程為(x-1)(x-2)=18.答案解析關(guān)閉C67812345答案